Makalah STRUKTUR ALJABAR

BAB I STRUKTUR ALJABAR

Sebuah sistem dimana terdapat sebuah himpunan dan satu atau lebih dari satu operasi n-ary, yang didefinisikan pada himpunan tersebut, dinamakan sistem aljabar. Selanjutnya, sebuah sistem aljabar akan dinyatakan dengan (S,f1 ,f2 ,f3 ,...,fn) dimana S sebuah himpunan tidak kosong

dan f1 , f2 , ...., fn operasi-operasi yang didefinisikan pada S. Sebagai contoh, (Z,+) adalah sebuah

sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan biasa ; (Z,+,x) adalah sebuah sistem aljabar yang dibentuk oleh himpunan bilangan bulat dan dua buah operasi biner.

Sistem aljabar yang termasuk dalam pokok bahasan Matematika Diskrit yang akan diberikan adalah sistem aljabar satu operasi biner dan sistem aljabar dua operasi biner. Sebelum melihat jenis-jenis sistem aljabar dan konsep-konsep yang berkaitan dengannya, kita akan tinjau lebih dahulu operasi biner dan sifat-sifat operasi biner.

1. OPERASI BINER

Operasi biner pada himpunan tidak kosong S adalah pemetaan dari S x S kepada S. Notasi yang digunakan untuk menyatakan operasi biner adalah +, x, ,  ,  ,  , dan sebagainya. Hasil dari sebuah operasi, misalnya  , pada elemen a dan b akan ditulis sebagai a  b.

Contoh 1.1.

Operasi berikut adalah beberapa contoh operasi biner : -. Operasi pembagian pada bilangan riil.

-. Warna rambut anak yang ditentukan oleh warna rambut orang tuanya. -. Operasi biner  yang didefinisikan sebagai a  b = a + b – 2ab.

2. SIFAT OPERASI BINER

Sifat-sifat yang dimiliki oleh sebuah sistem aljabar nantinya ditentukan oleh sifat-sifat yang dimiliki oleh setiap operasi di dalam sistem aljabar tersebut. Berikut akan diuraikan sifat-sifat yang dapat dimiliki oleh sebuah operasi biner.

Misalkan  dan  adalah operasi biner. Operasi  dikatakan : -. KOMUTATIF , jika a  b = b  a, untuk setiap a, b.

-. Mempunyai :

IDENTITAS, jika terdapat e sedemikian hingga a  e = e  a = a, untuk setiap a. IDENTITAS KIRI, jika terdapat e1 sedemikian hingga e1 a = a, untuk setiap a.

IDENTITAS KANAN, jika terdapat e2 sedemikian hingga a  e2 = a, untuk setiap

-. Mempunyai sifat INVERS, jika untuk setiap a terdapat a-1 sedemikian hingga a  a-1 = a-1  a = e, dimana e adalah elemen identitas untuk operasi . a-1 disebut invers dari elemen a.

-. DISTRIBUTIF terhadap operasi  , jika untuk setiap a, b, c berlaku a  (b  c ) = ( a  b)  (a  c) dan (b  c )  a = ( b  a)  (c  a).

Contoh 1.2.

Operasi biner penjumlahan biasa adalah sebuah operasi yang bersifat komutatif, karena untuk sembarang bilangan x dan y berlaku x+y = y+x. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, karena untuk sembarang x, y, z berlaku (x+y)+z = x+(y+z). Identitas untuk operasi penjumlahan adalah 0 (nol). Invers penjumlahan untuk sembarang bilangan p adalah –p, karena p+(-p)=0.

฀ Contoh 1.3.

-. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan, karena untuk setiap bilangan a, b dan c berlaku a x (b+c) = (a x b) + (a x c) dan (b + c) x a = (b x a) + (c x a).

-. Operasi penjumlahan tidak bersifat distributif terhadap operasi perkalian, karena terdapat p, q dan r dimana p + (q x r)  (p + q) x (p + r). Sebagai contoh 2 + (3 x 4)  (2 + 3) x (2 + 4).

Himpunan S dikatakan tertutup terhadap terhadap operasi biner  , jika untuk setiap a, b  S berlaku a  b  S

Contoh 1.4.

-. Himpunan bilangan bulat Z tidak tertutup terhadap operasi pembagian biasa, karena

terdapat 2, 3  Z dimana 2 : 3  Z. ฀

Soal Latihan 1.1.

1. Tunjukkan bahwa himpunan bilangan genap tertutup terhadap operasi penjumlahan.

2. Tunjukkan bahwa operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada himpunan bilangan kelipatan 2. 3. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan

tersebut. Selidiki sifat asosiatif operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut : [LIU] a. a  b = a + b + 3.

b. a  b = a + b – 2ab. c. a  b = a + 2b. d. a  b = max (a,b).

4. Misalkan (A,) sebuah sistem aljabar dengan  operasi biner dimana untuk setiap a,b  A berlaku a  b = a. Tunjukkan bahwa  bersifat asosiatif. [LIU] 5. Operasi biner  didefinisikan pada himpunan C = {a, b, c, d, e} dalam tabel berikut :

a. Tentukan b  d, c  d dan (a  d)  c. b. Apakah operasi  bersifat komutatif ?.

c. Tentukan (bila ada) elemen identitas untuk operasi .

3. SISTEM ALJABAR SATU OPERASI

Sistem aljabar satu operasi (S,) dibentuk oleh sebuah himpunan dan sebuah operasi yang didefinisikan terhadapnya. Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki, sistem aljabar satu operasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis seperti yang akan diuraikan berikut ini.

3.1. SEMIGROUP

Sistem aljabar (S, ) merupakan semigroup, jika  a b c d e

1. Himpunan S tertutup di bawah operasi . 2. Operasi  bersifat asosiatif.

Contoh 1.5.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup ฀

Jika operasi biner pada semigroup (S,) tersebut bersifat komutatif, maka semigroup (S,) disebut juga semigroup abel.

Contoh 1.6.

(Z,+) merupakan sebuah semigroup abel ฀

3.2. MONOID

Sistem aljabar (S, ) merupakan monoid, jika 1. Himpunan S tertutup di bawah operasi  .

2. Operasi  bersifat asosiatif.

3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi  . Contoh 1.7.

(Z,+) merupakan sebuah monoid dengan elemen identitas penjumlahan . ฀ Jika operasi biner pada monoid (S,) tersebut bersifat komutatif, maka monoid (S,) disebut juga monoid abel.

Contoh 1.8.

Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah monoid abel ฀

3.3. GROUP

Sistem aljabar (S, ) merupakan monoid, jika 1. Himpunan S tertutup di bawah operasi  .

2. Operasi  bersifat asosiatif.

3. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi  .

4. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi  dan invers tersebut merupakan anggota S juga.

Contoh 1.9.

(Z,+) merupakan sebuah group ฀

Contoh 1.10.

Sistem aljabar (Z,+) merupakan sebuah group abel ฀

Soal Latihan 1.2. merupakan subgroup dari group (G,).

Contoh 1.11.

(Z,+) merupakan sebuah group. Misalkan A2 ={ x  x = 3n, n  Z }. Jelas bahwa A2 Z.

Karena (A2,+) membentuk group, maka (A2,+) merupakan subgroup dari group (Z,+).

3.5. SUBGROUP SIKLIK

Misalkan (G,) sebuah group dengan elemen identitas e  G. Jika a  G, maka subgroup siklik yang dibangun oleh a adalah himpunan

gp(a) = { ... , a-2 _{, a}-1 _{, a}0 _{, a}1 _{, a}2 _{, ... }}

= { an n  Z }.

Dimana a0 = e. Dalam hal ini berlaku pula hukum eksponen, am  an = am+n untuk m,nZ. Sebagai contoh, a4  a2 = a6 , a1 a1 = a2 .

Untuk n  Z+ , an dapat dicari dengan mengingat bahwa a0 = e dan hukum eksponen a0 =

a1  a-1. Berdasarkan kedua hal tersebut, maka a-1 adalah invers dari a untuk operasi  dan a-2 , a-3 dan seterusnya dapat dicari.

Order dari subgroup siklik gp(a) = { an  n  Z } adalah integer positif m terkecil sedemikian hingga am = e.

Contoh 1.13.

Perhatikan group (Z4, ) dari contoh 1.12. di atas. Elemen identitas pada group tersebut

adalah 0. Subgroup siklik yang dibangun oleh 2  Z4 adalah gp(2) = { 2n n  Z } = {0,

2}. Order dari gp(2) tersebut adalah 2. ฀

Jika terdapat x  G sedemikian hingga gp(x) = G, maka group G disebut group siklik dan elemen x tersebut dinamakan generator dari G.

Contoh 1.14.

Perhatikan group (Z4,) dari contoh 1.12. Subgroup siklik yang dibangun oleh 1  Z4

adalah gp(1) = { 1n n  Z } = {0, 1, 2, 3}. Oleh karena gp(1) = Z4, maka (Z4,) merupakan

group siklik dan 1 merupakan generator. ฀

3.6. SUBGROUP NORMAL

Misalkan (G,) sebuah group dan (H,) merupakan subgroup dari group (G,). Koset kiri dari H adalah himpunan aH = { a  h   h  H } dan koset kanan dari H adalah Ha = { h  a   h  H }, untuk setiap a  G.

Contoh 1.15.

(Z4 , ) adalah group dan B = {0 , 2} adalah subgroup dari (Z4 , ). Koset kiri dari B

adalah a  B untuk setiap a  Z4 : 0  B = {0 , 2} , 1  B = {1 , 3} , 2  B = {0 , 2} ,

adalah B  a untuk setiap a  Z4 : B  0 = {0 , 2}, B  1 = {1 , 3} , B  2 = {0 , 2} , dan

B  3 = {1 , 3}. Jadi, koset kanan dari B adalah {0,2} dan {1,3} ฀ Suatu subgroup (H,) dari group (G,) merupakan subgroup normal jika untuk setiap a  G berlaku aH = Ha (koset kiri H = koset kanan H, untuk setiap anggota G).

Contoh 1.16.

B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z4 , ) adalah subgroup normal dari (Z4 , ),

karena untuk setiap a  Z4 , a  B = B  a. ฀

Himpunan koset dari subgroup normal H pada group (G, ) membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.

Contoh 1.17.

Koset dari B = {0 , 2} yang merupakan subgroup dari (Z4,) adalah {0 , 2} dan {1 , 3}.

Himpunan {{0 , 2}, {1 , 3}} membentuk group kuosien di bawah operasi perkalian koset.  {0 , 2} {1 , 3}

{0 , 2} {0 , 2} {1 , 3} {1 , 3} {1 , 3} {0 , 2}

Soal Latihan 1.3.

1. Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh 3 dari group (Z,+).

2. Operasi biner  dari group (V, ) didefinisikan dalam bentuk tabel berikut.

 e A b c

e e A b c

a a B c e

b b C e a

c c E a b

a. Tentukan subgroup siklik yang dibangun oleh setiap anggota V dan tentukan ordernya. b. Apakah V merupakan group siklik ? Jelaskan !

BAB 2

PENGERTIAN RING

INGAT KEMBALI :

1. Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan semigrup, jika memenuhi :

a. Tertutup, yakni a b, G, *a bG

b. Assosiatif, yakni

2. Misal G suatu himpunan tak kosong dan * adalah suatu operasi yang didefinisikan pada G. (G,*) dinamakan grup, jika memenuhi :

a. Tertutup, yakni b. Assosiatif, yakni

c. Terdapat elemen identitas, yakni

Untuk selanjutnya e dinamakan elemen identitas pada G terhadap operasi * d. Setiap elemen punya invers, yakni

Untuk selanjutnya a-1 dinamakan invers dari a.

Suatu grup (G,*) dinamakan grup komutatif (abelian), jika operasi * bersifat komutatif , yakni

Definisi : ( RING )

iii. Terdapat elemen identitas, yakni

Untuk selanjutnya e dinamakan elemen netral (nol) . iv. Setiap elemen punya invers, yakni

Untuk selanjutnya a-1 dinamakan invers dari a. v. Komutatif , yakni

b. ( R, ) semigrup i. Tertutup, yakni ii. Assosiatif, yakni

c. Sifat distributif kiri dan distributif kanan, yakni :

Perlu diperhatikan bahwa, operasi penjumlahan dan operasi pergandaan disini BUKAN BERARTI operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.

Contoh :

1. Z = Himpunan semua bilangan bulat.

Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut : + adalah operasi penjumlahan biasa

adalah operasi pergandaan biasa. (Z, + , ) merupakan ring.

Bukti :

a. Ditunjukkan (Z, + ) grup abelian

i. …(sifat ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)

ii. , …(sifat assosiatif penjumlahan bilangan bulat)

iii. , berlaku

Jadi 0 adalah elemen netral pada Z

iv. , , berlaku

Jadi setiap elemen di Z mempunyai invers terhadap operasi +

b. Ditunjukkan ( Z , ) semigrup

i. berlaku …(sifat ketertutupan pergandaan bilangan bulat) ii. , (sifat assosiatif pergandaan bilangan bulat) Dari b ( i dan ii), diperoleh ( Z , ) semigrup

c. Ditunjukkan berlaku sifat distributif kiri dan kanan

2. Q = Himpunan semua bilangan rasional. R = Himpunan semua bilangan real C = Himpunan semua bilangan kompleks

Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka (Q, + , ), (R, + , ), (C, + , ) masing-masing merupakan ring. ( Coba tunjukkan buktinya yaa !!! )

3. N = Himpunan semua bilangan asli

Untuk operasi + dan seperti pada nomor 1, maka ( N, + , ) bukan ring. ( Tunjukkan aksioma apa yang tidak terpenuhi !!! )

LATIHAN SOAL 1. Diketahui M =

Didefinisikan operasi + dan pada M seperti berikut : + adalah operasi penjumlahan matriks

adalah operasi pergandaan matriks

Selidikilah apakah (M, + , ) merupakan ring atau bukan !

2. Diketahui Z5 = Himpunan semua bilangan bulat modulo 5

Apakah (K, , ) ring ? Tunjukkan ! 4. ZxZ= {(a,b) | Z dan Z }

Operasi , didefinisikan ,

Operasi , didefinisikan ,

Selidiki apakah (ZxZ, , ) merupakan ring atau bukan ! 5. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .

Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut : ,

Selidikilah apakah ( Z, ⊕, ⊗ ) merupakan ring ? 6. Diketahui Z adalah himpunan semua bilangan bulat .

Didefinisikan operasi penjumlahan dan pergandaan pada Z sebagai berikut : ,

Selidikilah apakah ( Z, ⊕, ⊗ ) merupakan ring ? 7. Diketahui K =

Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

Untuk setiap (a,b) , (c,d) K, ( a, b ) = ( c, d) jika dan hanya jika a = c dan b = d ( a, b) (c, d) = (ad + bc , bd )

( a, b) ( c, d) = ( ac , bd )

Selidilah apakah ( K , , ) merupakang ring. 8. Diketahui K =

Didefinisikan operasi pada K , seperti berikut :

Selidiki apakah ( K , , ) merupakang ring ! 9. Diberikan himpunan S.

Didefinisikan himpunan P(S) =

Operasi biner dan pada P(S), didefinisikan sebagai berikut ,

a. Buatlah table untuk dan pada P(S) jika S = {a, b}

b. Tunjukkan bahwa untuk himpunan S diatas, maka ( P(S) , , ) merupakan ring 10. Diketahui Q adalah himpunan semua bilangan rasional.

Didefinisikan operasi sebagai operasi penjumlahan biasa, dan operasi didefinisikan

sebagai .

Selidiki apakah ( Q , , ) merupakan ring atau bukan !

UNTUK SELANJUTNYA OPERASI PENJUMLAHAN CUKUP DITULIS “ + ” , DAN

OPERASI PERGANDAAN CUKUP DITULIS “ . “

Definisi 2 :

Misal R adalah ring yang mempunyai elemen identitas terhadap operasi pergandaan (missal dinotasikan e1 ). Untuk selanjutnya elemen identitas terhadap operasi pergandaan ( e1 ) dinamakan

sebagai elemen satuan.

Untuk lebih lanjut, ring R yang memuat elemen satuan dinamakan sebagai Ring dengan elemen satuan.

Definisi 3 :

Ring R dikatakan sebagai ring komutatif jika operasi pergandaan pada R bersifat komutatif. Teorema 1 :

Bukti ? Teorema 2 :

Misalkan R ring dengan elemen satuan e1 .

Untuk setiap a R berlaku : 1. (– e1 ) a = – a

2. (–e1 ) (–e1 ) = e1

Bukti :

( Coba buktikan ) Definisi 4 :

Misalkan R ring dengan elemen satuan

Suatu elemen u R dinamakan unit, jika u mempunyai invers terhadap operasi pergandaan.

Definisi 5 :

Misalkan R ring dengan setiap elemen tak nol ( selain elemen netral ) merupakan unit, maka R dinamakan ring pembagian ( division ring ) .

Definisi 6 :

Misalkan R adalah division ring yang bersifat komutatif, maka R dinamakan sebagai lapangan ( field ) .

Jika R tidak komutatif maka R dinamakan skew field. 

BAB 3

SUB RING

Definisi :

Misalkan (R , + , . ) ring dan S himpunan bagian R. S dikatakan subring dari R, jika (S, + , *) adalah ring.

Teorema :

Misalkan R adalah ring dan S adalah himpunan bagian dari R. S subring dari R jika dan hanya jika :

1. e0 S

2. (a – b) S, untuk setiap a,b S 3. a.b S , untuk setiap a,b S Bukti :

Coba buktikan yaa !!!

Example :

1. (Z, + , . ) subring dari (Q, + , . ) subring dari (R, + , . ) subring dari (C, + , . ) 2. D2(R) subring dari M2(R)

SOAL :

1. Misalkan M dan N masing-masing merupakan subring dari R. Apakah : a. M N subring dari R

b. M N subring dari R

c. M + N = { m + n | m M dan n N } subring dari R 2. Misalkan (R, +, . ) ring dan a R

BAB 4

DAERAH INTEGRAL

Definisi 1 :

Jika a dan b adalah elemen TAK NOL ( selain e0 ) pada ring R sedemikian hingga a.b = e0 , maka

a dan b dikatakan sebagai pembagi nol. Example 1 :

Misal pada Z12 , elemen 2, 3, 4, 6, 8, 9 merupakan elemen pembagi nol. ( kenapa ??? )

Misal pada M2(Real), elemen , adalah elemen pembagi nol ( kenapa ??? )

Teorema 1 :

Pada ring Zn , elemen pembagi nol adalah elemen-elemen yang tidak saling prima dengan n.

Bukti :

Misalkan m Zn dengan m 0 dan misalkan gcd(fpb) dari m dan n adalah d 1. Berlaku :

m = n

dan (m/d)n menghasilkan 0. Kemudian m(n/d) = 0 pada Zn , dimana m dan (n/d) tidak nol, jadi m

adalah pembagi nol.

Sementara disisi lain, Andaikan m Zn relatif prima dengan n. Jika untuk s Zn , ms = 0 , maka n

membagi pergandaan ms, dengan m dan s adalah elemen pada ring Z. Karena n relatif prima dengan m, maka n membagi habis s, jadi s = 0 pada Zn .

Corollary 1 :

Untuk p prima, maka Zp tidak mempunyai pembagi nol.

Bukti :

( kenapa ??? ) Teorema 2 :

Hukum kanselasi berlaku pada ring R jika dan hanya jika R tidak memuat pembagi nol. Bukti :

Misalkan R ring dengan hukum kanselasi berlaku, dan misalkan ab = e0 untuk suatu a,b R . Akan

ditunjukkan a atau b adalah nol. Jika a e0, ab = ae0 mengakibatkan b = e0 ( dengan hukum

kanselasi ). Identik untuk b e0 mengakibatkan a = e0 ( coba tunjukkan !!! ). Jadi tidak ada pembagi

nol ketika hukum kanselasi berlaku pada R.

⟸

Misalkan R tidak mempunyai pembagi nol dan ab = ac , untuk a e0 .

Akibatnya ab – ac = a(b – c) = e0 . Karena a e0 dan R tidak memuat pembagi nol , jadi haruslah b

– c = e0 . Diperoleh b = c

Identik untuk ba = ca , dengan a e0 mengakibatkan b = c . ( coba tunjukkan !!! )

Definisi 2 :

Daerah integral D adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol. Example 4 :

Z dan Zp adalah daerah integral, untuk p prima.

Zn bukan daerah integral, untuk n bilangan bulat selain prima. Kenapa ???

Example 5 :

Tunjukkan meskipun Z2 adalah daerah integral ( kenapa ??? ) , tetapi M2 (Z2) mempunyai pembagi

nol !!! Jawab : Kenapa ???? Teorema 4 :

Setiap lapangan adalah daerah integral.

Bukti :

Misal diketahui lapangan F.

Ambil sembarang a,b F dan asumsikan bahwa a e0. (kenapa???)

Jika ab = e0, maka a-1ab = a-1e0 . Jadi b = e0 .

Identik untuk b e0, jika ab = e0 maka a = e0.

Jadi F tidak memuat pembagi nol.

Setiap daerah integral BERHINGGA adalah lapangan. Bukti :

Misalkan e0 , e1 , a1, a2, ..., an adalah semua elemen pada daerah integral D. Akan ditunjukkan

bahwa untuk setiap a D , dengan a e0 , terdapat b D sedemikian hingga ab = e1.

Bentuk

ae1 , aa1 , ... , aan

Klaim bahwa semua elemen-elemen tadi berbeda, karena untuk aai = aaj mengakibatkan ai=aj. Dan

juga, karena D tidak memuat pembagi nol, tidak ada dari elemen-elemen tadi yang nol.

Dengan mencacah, perhatikan bahwa ae1 , aa1 , ... , aan adalah e1 , a1 , ... , an dalam suatu urutan,

termasuk ae1 = e1 , yakni a = e1 atau aai = e1 , untuk suatu i.

Jadi a mempunyai invers terhadap pergandaan. Corollary 2 :

Untuk p prima, maka Zp lapangan.

Bukti :

( kenapa ??? ) LATIHAN

1. Tentukan solusi dari persamaan x3– 2x2– 3x = 0 pada Z12

2. Tentukan solusi dari persamaan x2 + 2x + 2 = 0 pada Z6

3. Tunjukkan bahwa adalah pembagi nol pada M2(Z)

4. Selidiki pada soal sebelumnya ( pada soal latihan ring ) , mana yang merupakan daerah integral 5. Suatu elemen a pada ring R dikatakan idempoten jika a2 = a . Tunjukkan bahwa division ring

( ring pembagian ) memuat tepat 2 buah elemen idempoten.

6. Tunjukkan bahwa irisan dari dua buah sub daerah integral D merupakan sub daerah integral D 7. Misalkan untuk setiap elemen tak nol a R , terdapat dengan tunggal b R , sedemikian

hingga aba = a.

a. Tunjukkan bahwa R tidak memuat pembagi nol b. Tunjukkan bahwa bab = b

BAB 5

IDEAL

A. Pengertian Ideal

Subring-subring dari suatu ring mempunyai peranan yang mirip dengan subgrup normal dalam suatu grup. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal.

Definisi 1:

Misalkan R adalah suatu ring dan I  R dengan I , I disebut

Ideal kiri dari R jika :

i. x, y  I berlaku (x – y)  I ii. (r  R)(x  I) berlaku rx  I

Misalkan R adalah suatu ring dan IR dengan I, I disebut

Ideal kanan dari R jika :

1. x, y  I berlaku (x – y)  I 2. (r  R)(x  I) berlaku xr  I

Misalkan R adalah suatu ring dan I  R dengan I , I disebut Ideal dari R jika : 1. x, y  I berlaku (x – y)  I

2. (r  R)(x  I) berlaku rx, xr  I Note :

1. Syarat ke ii. bahwa rx, xr  I jika I Ideal tidak berarti bahwa rx = xr.

2. Ideal pasti merupakan subring tetapi tidak sebaliknya

Contoh :

1. Z = himpunan dari bilangan-bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian

Jika m tak nol suatu bilangan bulat , maka M = {mz | z bilangan bulat} merupakan ideal

dengan mudah ditunjukkan bahwa himpunan-himpunan bagian dari Z12 berikut

merupakan ideal darinya:

1. M2(Q) = adalah ring terhadap penjumlahan dan pergandaan

matriks.

N = adalah bukan ideal dari M2(Q), karena : syarat ii. Tidak dipenuhi,

A =  M2(Q) dan B =  N

AB = = N

Mahasiswa diharap mencoba mencari contoh-contoh subring yang merupakan ideal dan

Untuk lebih memantapkan materi tentang subring, diharap mahasiswa membuktikan

secara formal ideal yang dimilikinya dan membuat atau mencari contoh-contoh yang lain

tentang ideal disertai buktinya.

TUGAS MANDIRI:

KERJAKAN SOAL-SOAL DI BAWAH INI :

1. Misalkan R adalah ring dari semua matriks ordo 2x2 dengan semua komponennya bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

Didefinisikan U = dan V = maka selidikilah U dan V

masing-masing merupakan ideal kiri, ideal kanan, ideal atau tidak

BAB 6

RING FAKTOR

Ide :

Perhatikan kemiripan struktur pada teori grup dan teori ring. Sub ring mirip dengan sub grup

Ideal mirip dengan sub grup normal Ring faktor mirip dengan grup faktor Coba perhatikan kemiripan strukturnya !!!!

Ring Faktor

Ring factor mempunyai kemiripan dengan grup faktor.

Jika I ideal dari ring R maka I subring dari R, berarti I juga merupakan ring, sehingga (I,+) merupakan subgrup normal dari (R,+).

Himpunan semua koset kiri (kanan) I dalam R, ditulis sebagai R/I = {r + I | r  R}

Operasi penjumlahan dan pergandaan pada R/I didefinisikan : Untuk setiap (a + I) , (b + I) R/I , dengan a, b R

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I

Akan ditunjukkan dulu operasi-operasi tersebut well defined, artinya : Ambil sembarang x + I , y + I , x’ + I , y’ + I R/I

jika x + I = x’ + I  y + I = y’ + I maka adit

(x + I) + (y + I) = (x’ + I) + (y’ + I) dan (x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I) Bukti :

Karena I ideal maka x –x’, y –y’  I (kenapa???) , Sehingga : (x –x’) + (y –y’)  I  (x + y) –(x’+ y’)  I

 (x + y) + I = (x’+ y’) + I

 (x + I) + (y + I) = (x’+ I) + (y’ + I)

(x – x’)y, x’(y – y’)  I, x’, y  R  xy – x’y, x’y – x’y’  I

 (xy – x’y) + (x’y – x’y’)  I

 xy –x’y’  I  xy + I = x’y’+ I

(x + I) (y + I) = (x’ + I) (y’ + I)

Terbukti bahwa operasi penjumlahan dan pergandaan pada R/I tersebut well defined.

Selanjutnya ditunjukkan bahwa R/I adalah ring, sebagai berikut : 1. Adit (R/I, +) grup komutatif

a. Tertutup

ambil sebarang a + I, b + I  R/I maka a, b  R dan a + b  R (kenapa???) , sehingga (a + I) + (b + I) = (a + b) + I  R/I

b. Assosiatif

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I  R/I

maka a, b, c R, dan (a + b) + c = a + (b + c) (kenapa???) diperoleh

[ (a+I)+(b+I) ] + (c+I) = [(a+b)+I] + (c+I) = [ (a+b)+c ] + I = [ a+(b+c) ] + I

= (a+I) + [ (b+I) + (c+I) ]

c. Ada elemen netral

Ambil e0 + I = I  R/I dengan e0 elemen netral dalam R,

(a + I) + I = a + I dan I + (a + I) = a + I untuk (a + I)  R/I

d. Setiap elemen dalam R/I mempunyai invers

a + I  R/I maka a, -a  R maka -a + a = a + (-a) = e0 R,

dan –a + I  R/I, sehingga (-a + I)+(a + I) = (-a + a)+I = e0 + I = I dan (a + I)+a + I) = (a +

(-a))+I = e0 + I = I

Jadi (-a + I) adalah invers dari (a + I)

e. Kommutatif

(a + I), (b + I)  R/I maka a, b  R dan a + b = b + a  R sehingga (b + a) + I  R/I dan berlaku :

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I) + (a + I)

2. (R/I, . ) tertutup dan asosiatif a. Tertutup

Ambil sebarang (a + I), (b + I)  R/I maka a, b  R dan ab  R, sehingga (a + I) (b + I) = ab + I  R/I

b. assosiatif

Ambil sebarang a + I, b + I, c + I  R/I maka a, b, c R, (a.b).c = a.(b.c) (kenapa???)

[(a + I).(b + I)].(c + I) = [( a.b) + I ].(c + I) = [(a.b).c] + I = [a.(b.c)] + I

= (a + I). [(b + I). (c + I)]

3. (R/I, + , . ) distributif

[ (a + I) + (b + I) ] .(c + I) = [(a + b) + I].(c + I) = [(a + b).c] + I

= [a.c + b.c)] + I = (a.c + I) + (b.c + I)

= (a + I).(c + I) + (b + I).(c + I)]

(a + I). [(b + I) + (c + I)] = [(a + I). [(b + c) + I] = [a .(b + c)] + I = [a.b + a.c)] + I = (a.b + I) + (a.c + I)

= (a + I).(b + I) + (a + I).(c + I)]

Dari 1, 2, dan 3 terbukti bahwa R/I adalah ring , dan selanjutnya disebut ring faktor (qoutient rings).

R/I terdiri dari koset-koset kiri (kanan) dari ideal I dalam R.

Dari pembuktian di atas, tampak bahwa setiap ideal dari suatu ring R pastilah membentuk ring faktor R/I.

Definisi :

Misalkan I ideal dari suatu ring R, maka R/I = { r + I | r  R } merupakan suatu ring yang disebut ring faktor (qoutient rings) terhadap opersi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan sebagai berikut:

a + I, b + I  R/I,

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I Contoh :

Z12 = {0, 1, 2, 3, …, 11} adalah ring dari bilangan-bilangan bulat modulo 12.

IDEAL RING FAKTOR

P = { 0, 6 } Z12 / P = { P, {1,7}, {2,8}, {3,9}, {4,10}, {5,11} }

R = { 0, 3, 6, 9 } Z12 / R = {R,{1,4,7,10}, {2,5,8,11}}

S = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 } Z12 / S = {S, {1,3,5,7,9,11}}

TUGAS MANDIRI:

BAB 7

HOMOMORFISMA DAN SIFAT-SIFATNYA

Ingat kembali pendefinisian homomorfisme pada teori grup. Homomorfisme pada teori ring mempunyai

kemiripan struktur seperti pada teori grup. Coba identifikasi yaa !!!

Definisi 1 :

Misalnya diberikan ring R dan R’.

Pemetaan f : R R’ disebut homomorfismadari R ke R’ jika a, b  R berlaku :

1. f(a + b) = f(a) + f(b)

2. f(a.b) = f(a) . f(b)

Operasi pada R Operasi pada R’

Homomorfisma merupakan fungsi yang mempertahankan operasi yang disajikan dengan skema berikut :

R f R’ atau R f R’

a  a’ a  f(a)

b  b’ b  f(b)

a + b  a’ + b’ a + b  f(a) + f(b)

a . b  a’ . b’ a . b  f(a) . f(b)

Catatan :

1. Operasi pada R dan R’ TIDAK HARUS sama, baik penjumlahan maupun pergandaannya.

2. Operasi pada R dan R’ sering kali tidak dinyatakan.

3. Untuk membuktikan homomorfisma, haruslah dibuktikan dulu suatu fungsi, jika belum diketahui fungsi.

(f : R R’ disebut Pemetaan atau fungsi jika

(a, b R) , a = b f(a) = f(b) )

Example 1 :

Jika Z dan Q berturut-turut ring dari bilangan bulat dan ring dari bilangan rasional terhadap operasi penjumlahan

dan pergandaan biasa.

Didefinisikan pengaitan f dari ring Z ke Q, sebagai berikut : aZ, f(a) = 2a, maka apakah g adalah suatu

homomorfisma?

a) f fungsi yakni (a, b Z), a = b f(a) = f(b)

 2a = 2b ... (sifat pada Z) f(a) = f(b) ...( definisi f )

b) f bukan homomorfisma, karena

tidak berlaku x, yZ, f(xy) = 2xy ≠ (2x)(2y) = f(x) f(y)

Sebagai counter example :  -3, 5 Z,

f((-3)5) = f (-15) = 2(-15) = 30 ≠ f (-3) f (5) = (-6)10 = 60

Example 2 :

Diberikan pengaitan h dari Z ke Zn (ring dari bilangan bulat modulo n).

xZ, h(x) = r = sisa x/n, artinya x = kn + r atau r = x – kn , untuk suatu k  Z dan 0  r < n. Buktikan bahwa h homomorfisma

Bukti :

a. h merupakan fungsi : bukti sebagai latihan mahasiswa

b. h homomorfisma :

x, yZ maka x = pn + r dan y = qn + s, untuk suatu p, q  Z. Ini berarti bahwa h(x) = r, h(y) = s  Zn, dimana 0 r< n dan 0s<n, maka r+s, rs  Zn.

Diketahui bahwa r, s, r+s, rs Z, sehingga t, uZ berlaku

r + s = tn + v dan rs = un + w, dengan 0 v < n dan 0w<n.

(r, s  Zn maka r+s = v, rs = w  Zn)

i. x + y = (pn + r) + (qn + s) ii. xy = (pn + r)(qn + s)

= (p+q)n + (r+s) = (pqn)n + (ps)n + (qr)n + rs

= (p+q)n + tn +v = [(pqn)+(ps)+(qr)]n+un + w

= (p+q+t)n + v = [(pqn)+(ps)+(qr)+u]n + w

= p*n + v = q*n + w

Tampak dari i, bahwa h(x+y) = v = r+s = h(x)+h(y)

dari ii, diperoleh h(xy) = w = rs = h(x).h(y)

Jadi h adalah homomorfisma

A. Monomorfisma, Epimorfisma dan Isomorfisma

Sebelum membahas materi ini, perlu diingatkan kembali beberapa hal yang berkaitan dengan pemetaan

(fungsi), yaitu:

Definisi 2 :

a. Fungsi f : G G’ disebut onto/pada/surjektifjika f(G) = G’ atau dengan kata lain : (a’G’)(a 

G) , sehingga a’ = f(a).

c. Fungsi f disebut bijektif (korespondensi 1–1) jika f injektif dan surjektif

Mahasiswa akan kesulitan memahami materi isomorfisma tanpa faham definisi 2 di atas (Buka kembali Logika

Matematika dan Himpunan )

Definisi 3 :

1. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang injektif (1-1) disebut monomorfisma.

2. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang surjektif (pada/onto) disebut epimorfisma.

3. Suatu homomorfisma dari R ke R’ yang bijektif (injektif dan surjektif) disebut isomorfisma.

4. Suatu homomorfisma dari R ke R’ dengan R = R’ disebut endomorfisma (suatu homomorfisma dari

suatu ring R ke ring R itu sendiri)

5. Endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.

6. Jika terdapat suatu homomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ homomorfik

7. Jika terdapat suatu isomorfisma dari R ke R’ maka dikatakan R dan R’ isomorfik, dinotasikan R ~ R’

B. SIFAT-SIFAT HOMOMORFISMA

Teorema 1 :

Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka :

1. f(e0) = e0’, dengan e0 dan e0’ berturutan adalah elemen netral dalam R dan R’.

2. f(- a) = - f(a) , untuk a  R

Bukti :

Diketahui f adalah homomorfisma dari R ke R’

1. Elemen netral dalam R adalah e0 maka x  R berlaku x+ e0 = e0+x = x, sehingga:

f(x+ e0) = f(x) atau f(e0+x) = f(x) f fungsi

f(x)+f(e0) = f(x) f(e0)+f(x) = f(x) f homomorfisma

-f(x)+f(x)+f(e0) = -f(x)+f(x) f(e0)+f(x)-f(x) = f(x)+(-f(x))

f(e0) = e0’ f(e0) = e0’

2. Dari Teorema 1 bag 1, di atas f(e0) = e0’ = f(x)+(-f(x)) = -f(x)+f(x)untuk x  R dan x+(-x) = e0 = -x+x

sehingga

f(e0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)= e0’, dan f(e0) = f(-x+x) = f(-x)+f(x) = e0’.

Sehingga diperoleh :

f(x)+f(-x) = f(x)-f(x)dan f(-x)+f(x)= -f(x)+f(x) dengan sifat kanselasi pada R’, diperoleh f(-x) = -f(x).

Definisi 2 :

Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka :

1. Himpunan semua peta (bayangan) anggota dari R dalam R’ oleh f ditulis f(R) atau Im(f) didefinisikan,

2. Kernel f dinotasikan dan didefinisikan sebagai

Ker(f) = { x R | f(x) = e0’, e0’ elemen netral dalam R’ }

Example 3 :

(Z,+, .) adalah ring bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan pergandaan biasa.

(Q,+,*) adalah ring bilangan rasional dengan operasi penjumlahan biasa dan perkalian * yang didefinisikan, x,

yQ, x*y = xy/2. (coba tunjukkan dulu yaa !!! )

f : Z Q adalah HOMOMORFISME RING ( coba tunjukkan dulu yaa !!! ) yang didefinisikan dengan :

aZ, f(a) = 2a Tentukan Ker(f) dan Im(f) !

Jawab :

Ker f = {x  Z | f(x) = 0} = {x  Z | 2x = 0} = {x  Z | x = 0} = {0}

Im f = {y  Q | f(a) = y, a  Z} = {y  Q | 2a = y, a  Z}

= {y = 2a  Q | a  Z} = 2Z

Teorema 2 :

Misalkan f homomorfisma dari R ke R’ maka : a. Im(f) subring dari R’

b. Ker(f) ideal dari R

c. Ker f = {0}  f monomorfisma

d. f(R) = R’ maka f epimorfisma