MATERI ALJABAR KELAS VII

(1)

Huruf- huruf dalam aljabar digunakan sebagai pengganti angka. Bentuk aljabar sering melibatkan angka ( disebut konstanta ), huruf ( disebut variabel ), dan operasi hitung. Hal ini penting untuk kita ketahui dan mengerti agar penulisan singkat dalam aljabar dapat kita gunakan untuk menyelesaikan masalah sehingga lebih mudah dipahami. Sebagai contoh :

Latihan 1

1. Tulislah dengan lengkap bentuk aljabar yang sesuai dengan arti masing-masing operasi dibawah ini.

a. 5x b. z

3

c. −2(3x)2

d. _x12 e. 3(abc)2

2. Tulislah dalam bentuk aljabar yang paling sederhana untuk masing-masing bentuk dibawah ini.

a. a+a b. 1

5dari b c. −5x a x b d. 3p x3p x3p e. 4a x a x a

1 Materi Aljabar Kelas VII

Nurfulaily Putri Aprilianti

Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah ( tidak konstan ).

2a berarti2x a atau(a+a)

a

2berarti a:2atau 1 2dari a

2ab berarti2x a x b atau(ab+ab)

a(−b)berartia x(−b)atau−ab

(2a)2berarti2a x2a atau2x a x2x a atau22x a2

a 1

3_berarti3

√

a

a2

−1

(2)

A. Pengertian Faktor Perkalian

Bentuk aljabar 2a=2x a , maka 3a memiliki faktor-faktor, yaitu 2 dan a. Faktor 2 disebut faktor angka atau faktor numerik. Faktor ini sering disebut juga koefisein

dari a. Faktor a disebut faktor huruf atau faktor alfabetik. Agar lebih mengerti perhatikan contoh-contoh berikut.

2→ faktor numerik

2a2_b₌₂_{x a x a x b} _a2_{→ faktor huruf} b → faktor huruf

Jadi, faktor dari 2a2_b _{adalah 2,} _a2 _{, dan}_b._Pada _a2 _{, bilangan 2 di sebut}

pangkatatau eksponen.

B. Pengertian Suku dan Suku Sejenis

Perhatikan bentuk-bentuk aljabar 2a, 3a + 6b, dan 3q – 2r – s. Bentuk-bentuk tersebut berturut-turut disebut suku tunggal, suku dua dan suku tiga. Pemberian nama ini bersesuaian dengan banyak suku bentuk-bentuk aljabar tersebut. Bentuk aljabar 4x + 3a + 6x mempunyai suku-suku 4x, 3a, dan 6x. Suku-suku 4x dan 6x memuat variabel yang sama, yaitu x. Suku-suku tersebut diberi nama suku-suku sejenis,

sedangkan 4x dan 3a disebut suku-suku tidak sejenis.

Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut ini ! a. a dan 5b adalah suku-suku sejenis, karena:

a = 1 x a a merupakan faktor huruf 5b = 5 x b persekutuan dari b dan 5b b. 4a + 7b + 7 + 2a + 6b + 2 + 12ab

Bentuk aljabar ini memiliki suku-suku sejenis : 4a dan 2a

7b dan 6b 7 dan 2

Materi Aljabar Kelas VII Nurfulaily Putri Aprilianti

2. FAKTOR PERKALIAN, KOEFISIEN, KONSTANTA, SUKU

DAN SUKU SEJENIS

Contoh 1:

Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlaha, susunlah bentuk-bentuk aljabar ini agar suku-suku sejenisnya berdekatan.

a. ₂_a3

(3)

C. Pengertian Koefisien dan Konstanta

Perhatikan bentuk aljabar 3a4+6a3+5a2+7a+8 . Bilangan-bilangan 3, 6, 5, 7 dan 8 disebut koefisien dari bentuk aljabar. Dalam hal ini dapat diterangkan sebagai berikut:

3a4 mempunyai koefisien 3 7a mempunyai koefisien 7 6a3 _mempunyai_koefisien₆ _{8 merupakan}_konstanta 5a2 mempunyai koefisien 5

Latihan 2

1. Tentukan koefisien dari a.

a. 2a c. 4a + 1

b. –a d. 7 + 6a + a2

b. 4−3b+4a+6b=4−3b+6b+4a

Suku sejenis

Contoh 2:

Tentukan koefisien dari 9x2−3x+1

Jawab :

9x2

(4)

2. Nyatakan soal berikut ini ke dalam bentuk penjumlahan!

a. 3a c. 2c3

b. 4z d. 9r

3. Nyatakan soal berikut ini ke dalam bentuk perkalian ! a. 8x2 _c._a2_b2_c3

b. – 2x3 _d.₍_{x + y}₎3

4. Diketahui bentuk aljabar 6x + 3y – 12.

a. Manakah suku pertama ? tuliskan koefisien dari x. b. Manakah suku kedua? Tuliskan koefisien dari y. c. Manakah konstanta ?

5. Sebutkan suku-suku sejenis dari bentuk-bentuk aljabar berikut ini.

a. 5p2 ₊₇_{q +}₃_{p +}₄_{q + 9} _{b. 6}_a3_{– 4}_a2 ₊₇_{a –}₂_a3 ₊₆_{a –}₇

(5)

Penentuan KPK dan FPB bentuk aljabar suku tunggal tidak perlu mencari himpunan kelipatan ataupun himpunan faktornya. Karena bentuk aljabar merupakan bentuk faktor perkalian. Hal ini menandakan bahwa penentuan KPK dan FPB bentuk aljabar suku tunggal akan lebih mudah dilakukan dengan cara pemfaktoran (faktorisasi). Telah kita pelajari bahwa KPK dan FPB dengan pemfaktoran dapat dilakukan dengan ketentuan sebagai berikut :

KPK merupakan hasil perkalian dari faktor yang berbeda dan berpangkat tertinggi.

FPB merupakan hasil perkalian dari faktor yang sama dan berpangkat terendah.

3. KPK DAN FPB BENTUK ALJABAR SUKU TUNGGAL

Contoh 3:

Tentukan KPK dan FPB dari:

a. 2a dan 3a c. 9p2_{q dan 24pq}2

b. 8x dan 36x2 _{d. 3p}2 _{, 10pq dan 15pq}2 Jawab :

a. 2a = 2 . a (simbol . menyatakan perkalian ) 3a = 3 . a

KPK dari 2a dan 3a = 2 . 3 . a = 6a FPB dari 2a dan 3a = a

b. 8x = 23 _{KPK dari 8x dan 36x}2 _{= 2}2_{. 3}2_{. x}2 _{= 72x}2 36x2_{= 2}2_{. 3}2_{. x}2 _{FPB dari 8x dan 36x}2 _{= 2}2 _{. x = 4x}

c. 9p2_{q = 3}2_{. p}2_{. q}2 _{KPK dari 9p}2_{q dan 24pq}2 _{= 2}3 _{. 3}2_{. p}2_{. q}2 _{= 72 p}2_q2 24pq2 _{= 2}3_{. 3 . p . q}2 _{FPB dari 9p}2_{q dan 24pq}2 _{= 3 . p . q = 3pq}

(6)

Latihan 3

1. Tentukan KPK dari :

a. 3 dan 7a c. 8xy2_{, 20x}2_{y dan 24xyz}

b. 18ax dan 3x2 _{d. 2ab, 3b}2_a_{dan 5a}2_b

2. Tentukan FPB dari :

a. 5ab dan 10a2_b _{c. 6k, 15kl dan 42kl}2

b. 2t2_s3 _{dan 6ts}2 _{d. 4pq}2_{r, 5p}2_{qr dan 6pqr}2

Sebelum kita membahas operasi hitung bentuk aljabar, kita akan melihat dulu sifat-sifat dasar dari aritmatika yang juga berlaku pada bentuk aljabar, seperti terlihat pada tabel berikut.

sifat asosiatif

contoh bentuk aljabar

(3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) (a + b) + c = a + (b + c) (3 x 5) x 2 = 3 x (5 x 2) (ab)c = a(bc)

(3 - 5) - 2 ≠ 3 - (5 - 2) (a - b) - c ≠ a - (b - c) (3 : 5) : 2 ≠ 3 : (5 : 2) a/b : c ≠ a : b/c

sifat distributif

contoh bentuk aljabar

(3 + 5) x 2 = 3 x 2 + 5 x 2 (a + b)c = ac + bc 3 x (5 + 2) = 3 x 5 + 3 x 2 a(b + c) = ab + ac 3 x (5 - 2) = 3 x 5 - 3 x 2 a(b - c = ab - ac (3 - 5) x 2 = 3 x 2 - 5 x 2 (a - b)c = ac - bc

A. Perkalian Konstanta dengan Bentuk Aljabar Bersuku Dua

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan ataupun pengurangan pada bilangan bulat tersebut dapat juga diterapkan untuk operasi perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar bersuku dua atau lebih.

Perhatikan contoh berikut ini : a. 3(x + 2) = 3x + 6

b. – (3a – 4b – 5c) = - 3a + 4b + 5c c. – k(k – 2l +4m) = -k2₊₂_{kl –}₄_km

4. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

Sifat Komutatif

Contoh Bentuk Aljabar 3 + 5 = 5 + 3 a + b = b + a 3 x 5 = 5 x 3 ab = ba 3 - 5 ≠ 5 - 6 a - b ≠ b -a

(7)

B. Menjumlahkan dan Mengurangkan Suku-suku Sejenis

Suatu bentuk aljabar yang mengandung suku-suku sejenis dapat disederhanakan dengan cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis yang ada. Proses ini dilakukan dengan sifat distributif.

Adakalanya penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dilakukan secara menurun, seperti pada cotoh berikut ini:

a. – 3 a – b + c a + 7b – 5c

+

= (- 3 + 1) a + (- 1 + 7)b + (1 – 5)c = - 2a + 6b + (-4)c

= - 2a + 6b – 4c

b. 5x – 4y + 3z -5x + 4y – 3z

-

= [5 – (-5)]x + (- 4 – 4)y + [3 – (-3)] z = (5 + 5)x – (4 + 4)y + (3 + 3)z = 10x – 8y + 6z

Contoh 4 :

Sederhanakan bentuk berikut ini ! b2 ₊₂_{ab –}₃_b2₊₅_ab

jawab :

b2 _{+ 2ab – 3b}2_{+ 5ab = (b}2 _{– 3b}2_{) + (2ab + 5ab) (sifat komutatif)}

= (1 – 3) b2 _{+ (2 + 5) ab (sifat distributif)}

= - 2 b2 _{+ 7ab}

Contoh 5 :

Sederhanakanlah !

a. 5(x – 4) – 3(x + 2)

b. 3(x2_{– 5}_x_{+ 4) – 7(}_x2_{– x –}₂₎ Jawab :

(8)

Latihan 4

1. Gunakan sifat distributif untuk menyatakan bentuk aljabar berikut ini sebagau jumlah atau selisih.

a. 3(x + y) = ... b. - (y – z) = ... 2. Jumlahkan !

a. 10a + 3a b. -2x2_{+ 5}_x2_{- 7}_x2

3. Jumlahkan secara menurun ! a. 4a + 3b

−2a−3b .. . . +¿

b. a – b + c a−b+c

.. . . +¿

4. jika A = a + 3b, B = 2a – 3b + c, dan C = 5a + 2b – 4c. tentukan : a. A + B + C

b. 2[(- B + 2C) – A]

5. Tentukan bentuk yang paling sederhana dari bentuk-bentuk berikut ini. a. 4(a + 3) + 2(3a – 1)

b. 3(3x – 4y) + 2(2x + y)

C. Perkalian dan Pembagian Antar bentuk Aljabar

Pada saat kita melakukan perkalian dan pembagian antar bentuk aljabar, terlebih dahulu lakukan pengelompokkan koefisien, kemudian kelompokkan variabel-variabel yang sama. Tuliskan variabel dalam urutan abjad dan pangkat dalam urutan kecil ke besar. Untuk diingat : operasi dalam variabel harus diselesaikan terlebih dahulu.

CONTOH 6 :

Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana !

a. 2ab(-3bc)

b. [24a2_b3₍_{c – d}₎3_{] : [-6}_ab_{(d – c)}2_]

(9)

dalam praktek kita sering menjumpai bentuk-bentuk aljabar yang agak rumit, seperti (a + b)2_{, (}_{a – b}₎2_,₍_{a + b}₎₍_{a – b}_{), ataupun (}_{a + b}₎₍_{p + q + r}_{). Berikut ini akan kita uraikan} bentuk-bentuk aljabar di atas satu per satu.

Bentuk I: (a +b)2

Bentuk diatas dapat dijabarkan sebagai berikut :

(a + b)2_{= (}_{a + b}₎ _× ₍_{a + b}₎

= a × (a + b) + b × (a + b)

= (a × a) + (a × b) + (b × a) + (b × b)

= a2 _{+ ab + ab + b}2

= a2_{+ 2}_{ab + b}2

Kesimpulan : (a + b)2 ₌_a2_{+ 2}_{ab + b}2

Bentuk II: (a – b)2

Bentuk diatas dapat dijabarkan sebagai berikut :

(a - b)2_{= (}_{a - b}₎ _× ₍_{a - b}₎

= a × (a - b) + b × (a - b)

= (a × a) - (a × b) - (b × a) - (b × b) = a2 _{- ab - ab + b}2

= a2_{- 2}_{ab + b}2

(10)

Kesimpulan : (a - b)2 ₌_a2_{- 2}_{ab + b}2

Bentuk III: (a + b) (a – b)

Bentuk diatas dapat dipaparkan sebagai berikutn:

(a + b) × (a – b) = a × (a – b) + b × (a – b)

= (a × a) – (a × b) + (b × a) - (b × b)

= a2 _–_{ab + ab}_–_b2 = a2_–_b2

Kesimpulan : (a + b) × (a – b) = a2_–_b2

Bentuk IV: (a + b) (p + q + r)

Penjabaran bentuk diatas dapat dupaparkan sebagai berikut :

(a + b) (p + q + r) = a × (p + q+ r) + b × (p + q + r)

= (a × p) + (a × q) + (a × r) + (b × p) + (b × q) + (b × r)

= ap + aq + ar + bp + bq + br

Kesimpulan : (a + b) (p + q + r) = ap + aq + ar + bp + bq + br

Contoh 7:

Uraikanlah !

a. (x2_–₄₎2 _{b. (}_{x – y +}_{2) (}_{x – y +}₃₎

Jawab :

a. (x2_–₄₎2 _{= (}_x2_–_{4) (}_x2_–₄₎

= (x2 _× _x2_{) – (}_x2 _×_{4) – (4} _× _x2_{) + ( 4} _× ₄₎ = x4_–₄_x2_–₄_x2₊₁₆

= x4_–₈_x2₊₁₆

(11)

Latihan 5

1. Tulislah dalam bentuk yang paling sederhana. a. 2 × 4p b. 5pqr × 6pr2

2. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.

a. (x + 5) × ( x – 5) b. (5a + 5) × (7b – 7)

3. Bila A = x – 2, B = -2x + 1, dan C = 3x + 4, tentukanlah:

a. A + B – C c. A × C

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

Latihan 6

5. SUBSTITUSI PADA BENTUK ALJABAR

COTOH 8:

a. Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.

b. Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2_{– xy + 3y}2_. Jawab :

a. Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh 5 – 2m = 5 – 2(3)

= 5 – 6 = –1

b. Substitusi x = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh 2x2_{– xy + 3y}2_{= 2(–4)}2 _{– (–4) (3) + 3(3)}2

(12)

1. Sustitusikan a = 4 untuk menghitung nilai dari :

a. a + 3 b. 2a2 _{: 4}

2. Jika a = 2, b = -3, c = 0, p = 5 dan q = - 7, hitunglah nilai dari: a. abcpq b. (p – q)2_–_a2_b

3. jika a = -3, b = 2, dan c = -5, hitunglah nilai dari: a. (-10a + 10b + 10c) × (c – a + b)

b. (3a2_b_{+ 2}_{ab –}₃_a2_c₎ _× ₍_a2_{+ c – b}2₎

4. Bila m = 1,6 dan n = 3,8 hitunglah nilai dari masing-masing bentuk aljabar berikut ini. a. 5m + n

b. 2m2_{– 3}_{n +}₁

c. (2m2_–₄_n_{) : (2}_m_{– 1)}

Dalam perhitungan sehari-hari sering dijumpai persoalan yang pemecahannya menggunakan matematika. Mula-mula soal itu diterjemahkan ke dalam model matematika lalu dirumuskan menjadi benuk aljabar ataupun persamaan matematika sehingga mudah diselesaikan.

6. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYELESAIKAN

MASALAH

Contoh 9 :

Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya.

Jawab :

Misalkan: umur ayah = x; umur anak = y sehingga diperoleh persamaan x = 4y ... (i)

x + 5 = 3(y + 5) ... (ii)

Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x + 5 = 3(y + 5)

œ 4y + 5 = 3(y + 5) œ 4y + 5 = 3y + 15 œ 4y – 3y = 15 – 5

y = 10

Untuk y = 10, maka x = 4y

x = 4 × 10

x = 40

(13)

Latihan 7

1. Tiga tahun yang lalu jumlah umur seorang ayah beserta anak kembarnya diketahui 35 tahun. Jika pada saat itu umur ayahnya 29 tahun, berapa tahunkah umur anak kembarnya sekarang?

2. Fulla membeli 15 ekor ayam dengan harga Rp 15.000,00/ ekor. Kemudian dijual dengan keuntungan Rp 2.000,00/ ekor. Berapa harga penjualan seluruh ayam?

3. Diketahui luas persegi panjang ABCD adalah 50 cm2 _{dan panjangnya adalah dua kali} dari lebarnya. Hitunglah keliling persegi panjang ABCD itu?

4. Diana ingin membeli sebuah pisau pemotong kertas dan sebuah gunting lipat. Harga pisau itu Rp 1.500,00 lebih mahal dibandingkan harga sebuah gunting lipat. Apabila untuk membeli 4 buah gunting lipat dan 2 pisau diperlukan Rp 18.000,00 tentukan harga sebuah gunting lipat dan sebuah pisau ?

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.

Misalnya a 2,

4 p,

3a 7bc,

m+3 n dan

x2 x+y

A. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat

(14)

dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

B. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal a. Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut.

CONTOH 10:

Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y ≠ 0. a. 3x

6x2y b.

4x2yz3 2xy2

Jawab :

a. FPB dari 3x dan 6x2_{y adalah 3x, sehingga}

3x

Jadi, bentuk sederhana dari 3x

6x2y adalah

Jadi bentuk sederhana dari 4x 2

Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar berikut.

(15)

b. Perkalian dan pembagian

Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar.

Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers (operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan

Contoh 12:

(16)

a. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar.

(

a

1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentuk aljabar berikut.

a. 2pq

4pq2, p , q ≠0 b. 3x 2

+15y−yz

xyz , x , y , z≠0

2. Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar berikut.

a. 3

3. Tentukan hasil perkalian dan pembagian pecahan aljabar berikut.

a. 9mn 4. Selesaikan operasi perpangkatan pecahan aljabar berikut.

a.

(

2x

Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut:

(17)

b.

(

−3

4x2

)

d.

(

2a 3 +

1 b2