2.1 BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

2. ALJABAR

2.1 BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA 2.1.1 Bentuk aljabar

Suatu bentuk aljabar terjadi dari suatu konstanta dan variabel (peubah) atau kombinasi konstanta dan peubah melalui operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan pengakaran.

Contoh: y, 𝑥 + 5, 2𝑎 − 6, 2𝑏²+ 7𝑏, 𝑚 − 6 ²

Dalam bentuk-bentuk aljabar kita harus mengenal apa yang dimaksud dengan suku, faktor, koefisien, konstanta, variabel, suku sejenis dan tidak sejenis.

A. Suku

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang.

Contoh:

2𝑎 + 7 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑑𝑢𝑎 𝑠𝑢𝑘𝑢, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 2𝑎 𝑑𝑎𝑛 7

𝑎𝑥²+𝑏𝑥 + 𝑐 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑢𝑘𝑢, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝑎𝑥²,𝑏𝑥, 𝑑𝑎𝑛 𝑐

6𝑎 − 5𝑏 − 3𝑐 + 4 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑎𝑡 𝑠𝑢𝑘𝑢, 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 6𝑎, 5𝑏, 3𝑐, 𝑑𝑎𝑛 4 Suku banyak (polinom) adalah bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku atau lebih. Dua suku disebut binom, tiga suku disebut trinom, dan seterusnya. Bentuk aljabar yang hanya mempunyai satu suku, disebut suku tunggal, contohnya: 2𝑎, 3𝑏, 2𝑥², 5𝑥𝑦,^𝑥_2𝑦³

B. Faktor

Faktor adalah bilangan-bilangan yang membagi habis suatu bilangan lain atau suatu hasil kali.

Contoh:

 2 × 3 × 5 atau dapat juga ditulis 2 ∙ 3 ∙ 5 2, 3, dan 5 masing-masing disebut faktor.

 2𝑥 − 5 3𝑥 + 15 memiliki faktor 2𝑥 − 5 𝑑𝑎𝑛 3𝑥 + 15

C. Koefisien

Koefisien adalah faktor angka pada suatu hasil kali dengan suatu variabel (peubah). Koefisien yang nilainya sama dengan 1 tidak harus ditulis.

Contoh:

Perhatikan bentuk aljabar 4x²– 8x + 2.

Bilangan 4 pada x², disebut koefisien. Bilangan -8 pada -8x, disebut koefisien. x² dan x dinamakan variabel atau perubah. Bilangan 2 dinamakan konstanta.

D. Konstanta

Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu (bilangan konstan/tetap).

E. Variabel

Variabel (peubah) adalah lambang yang digunakan untuk mengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

F. Suku sejenis dan tidak sejenis

Suku-suku dikatakan sejenis, bila memuat variabel dan pangkat dari variabel tersebut sama. Sebaliknya, jika berbeda maka disebut suku-suku yang tidak sejenis. Contoh: Perhatikan bentuk aljabar berikut: 4𝑥²− 2𝑥 + 3 + 6𝑥²+ 5𝑥 − 1. Suku-suku 4𝑥² sejenis dengan 6𝑥², −2𝑥 sejenis dengan 5𝑥, dan 3 sejenis dengan -1. Sedangkan 4𝑥² tidak sejenis dengan 5𝑥.

2.1.2 Operasi hitung

A. Menjumlahkan dan mengurangkan bentuk-bentuk aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Contoh:

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut.

𝑎. −4𝑎𝑥 + 7𝑎𝑥

𝑏. 2𝑥²− 3𝑥 + 2 + 4𝑥² − 5𝑥 + 1

𝑐. 3𝑎²+ 5 − 4𝑎²− 3𝑎 + 2 Penyelesaian:

𝑎. −4𝑎𝑥 + 7𝑎𝑥 = −4 + 7 𝑎𝑥 = 3𝑎𝑥

𝑏. 2𝑥²− 3𝑥 + 2 + 4𝑥² − 5𝑥 + 1 = 2𝑥²− 3𝑥 + 2 + 4𝑥²− 5𝑥 + 1

= 2 + 4 𝑥² + −3 − 5 𝑥 + 2 + 1

= 6𝑥²+ −8 𝑥 + 3

= 6𝑥²− 8𝑥 + 3

𝑐. 3𝑎²+ 5 − 4𝑎² − 3𝑎 + 2 = 3𝑎²+ 5− 4𝑎²+ 3𝑎 − 2

= 3 − 4 𝑎²+ 3𝑎 + 5 − 2

= −1 𝑎²+ 3𝑎 + 3

= −𝑎²+ 3𝑎 + 3

B. Menyatakan perkalian konstanta dengan suku dua sebagai jumlah atau selisih

Distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan

 Penjumlahan: 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

 Pengurangan:𝑎 × 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐

Menyatakan perkalian konstanta dengan suku dua

Dengan mempergunakan distributif perkalian, maka perkalian konstanta dengan suku dua dapat dinyatakan sebagai jumlah atau selisih.

Contoh:

1. 3 𝑝 + 𝑞 = 3𝑝 + 3𝑞 2. 5 3𝑝 + 4𝑞 = 15𝑝 + 20𝑞 3. −3 4𝑝 − 5𝑞 = −12𝑝 + 15𝑞

a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

𝑘 𝑎𝑥 = 𝑘𝑎𝑥

𝑘 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑘𝑎𝑥 + 𝑘𝑏 Contoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.

𝑎. 4 𝑝 + 𝑞 𝑏. 5 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑐. 3 𝑥 − 2 + 6 7𝑥 + 1 𝑑. −8 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 Penyelesaian:

𝑎. 4 𝑝 + 𝑞 = 4𝑝 + 4𝑞 𝑏. 5 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 5𝑎𝑥 + 5𝑏𝑦

𝑐. 3 𝑥 − 2 + 6 7𝑥 + 1 = 3𝑥 − 6 + 42𝑥 + 6

= 3 + 42 𝑥 − 6 + 6

= 45𝑥

𝑑. −8 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −16𝑥 + 8𝑦 − 24𝑧

b. Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

𝑎𝑥 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑥 𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑏 𝑐𝑥 + 𝑑

= 𝑎𝑥 × 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 × 𝑑 + 𝑏 × 𝑐𝑥 + 𝑏 × 𝑑

= 𝑎𝑐𝑥²+𝑎𝑑𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑

= 𝑎𝑐𝑥²+ 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑥 + 𝑏𝑑

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut.

= 𝑎𝑥 × 𝑐𝑥² + 𝑎𝑥 × 𝑑𝑥 + 𝑎𝑥 × 𝑒 + 𝑏 × 𝑐𝑥² + 𝑏 × 𝑑𝑥 + 𝑏 × 𝑒

=𝑎𝑐𝑥³+𝑎𝑑𝑥²+𝑎𝑒𝑥 + 𝑏𝑐𝑥²+𝑏𝑑𝑥 + 𝑏𝑒

=𝑎𝑐𝑥³+ 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑥²+ 𝑎𝑒 + 𝑏𝑑 𝑥 + 𝑏𝑒

Contoh soal:

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.

1. 2𝑥 + 3 3𝑥 − 2 2. −4𝑎 + 𝑏 4𝑎 + 2𝑏 3. 2𝑥 − 1 𝑥²− 2𝑥 + 4 4. 𝑥 + 2 𝑥 − 2

Penyelesaian:

1. Cara (1) dengan sifat distributif.

2𝑥 + 3 3𝑥 − 2 = 2𝑥 3𝑥 − 2 + 3 3𝑥 − 2

= 6𝑥²− 4𝑥 + 9𝑥 − 6

= 6𝑥²+ 5𝑥 − 6 Cara (2) dengan skema.

= 2𝑥 × 3𝑥 + 2𝑥 × −2 + 3 × 3𝑥 + 3 × −2

= 6𝑥² − 4𝑥 + 9𝑥 − 6

= 6𝑥² + 5𝑥 − 6

2. Cara (1) dengan sifat distributif.

−4𝑎 + 𝑏 4𝑎 + 2𝑏 = −4𝑎 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑏 4𝑎 + 2𝑏

=−16𝑎² − 8𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏 + 2𝑏²

=−16𝑎² − 4𝑎𝑏 + 2𝑏²

Cara (2) dengan skema.

= −4𝑎 × 4𝑎 + −4𝑎 × 2𝑏 + 𝑏 × 4𝑎 + 𝑏 × 2𝑏

=−16𝑎²− 8𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏 + 2𝑏²

=−16𝑎²− 4𝑎𝑏 + 2𝑏²

3. Cara (1) dengan sifat distributif.

2𝑥 − 1 𝑥²− 2𝑥 + 4 = 2𝑥 𝑥²− 2𝑥 + 4 − 1 𝑥²− 2𝑥 + 4

= 2𝑥³− 4𝑥²+ 8𝑥 − 𝑥² + 2𝑥 − 4

= 2𝑥³− 4𝑥²− 𝑥²+ +8𝑥 + 2𝑥 − 4

= 2𝑥³− 5𝑥²+ 10𝑥 − 4 Cara (2) dengan skema.

= 2𝑥 × 𝑥² + 2𝑥 × −2𝑥 + 2𝑥 × 4 + −1 × 𝑥² + −1 × −2𝑥 + −1 × 4

= 2𝑥³ − 4𝑥²+ 8𝑥 − 𝑥² + 2𝑥 − 4

= 2𝑥³ − 4𝑥²− 𝑥²+ 8𝑥 + 2𝑥 − 4

= 2𝑥³ − 5𝑥²+ 10𝑥 − 4

4. Cara (1) dengan sifat distributif.

𝑥 + 2 𝑥 − 2 = 𝑥 𝑥 − 2 + 2 𝑥 − 2

=𝑥²− 2𝑥 + 2𝑥 − 4

=𝑥²− 4 Cara (2) dengan skema.

= 𝑥 × 𝑥 + 𝑥 × −2 + 2 × 𝑥 + 2 × −2

=𝑥² − 2𝑥 + 2𝑥 − 4

=𝑥² − 4

2.1.3 Pangkat aljabar

A. Perkalian dengan faktor yang sama

Perkalian dengan faktor yang sama dinyatakan sebagai perpangkatan.

Contoh:

 5 × 5, 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 5²,𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎: 5 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 2

 𝑝 × 𝑝, 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑝²,𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎: 𝑝 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 2

 𝑝 × 𝑝 × 𝑝, 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑝³,𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎: 𝑝 𝑝𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 3

 𝑝² ×𝑝³ = 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 = 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 = 𝑝⁵

 𝑝^{4 2} =𝑝⁴×𝑝⁴ = 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 = 𝑝⁸ Perkalian dengan faktor yang sama:

 𝑝^𝑚 ×𝑝^𝑛 =𝑝^𝑚+𝑛

 𝑝^{𝑚 𝑛} =𝑝^𝑚×𝑛

Di mana 𝑝 ∈ 𝑹, 𝑑𝑎𝑛 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑨

2.1.4 Pecahan bentuk aljabar

Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang, atau penyebut atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar. Misalnya: ¹

𝑎

,

^𝑏

2

, 𝑑𝑎𝑛

^𝑥+𝑦_𝑥

A. Menentukan KPK dan FPB dari bentuk-bentuk aljabar suku tunggal.

Sebelum menentukan KPK dan FPB dari bentuk-bentuk aljabar suku tunggal, kita harus dapat menguraikannya menjadi faktor-faktor (faktorisasi).

Faktorisasi dilakukan untuk menerangkan operasi bilangan, sehingga dapat mempermudah suatu penyelesaian.

1. Faktorisasi prima bentuk aljabar

Faktorisasi prima adalah menyatakan suatu bilangan ke dalam bentuk- bentuk perkalian bilangan prima.

Contoh:

 12 = 4 × 3 = 2 × 2 × 3 = 2³× 3

 12𝑎 = 4 × 3 × 𝑎 = 2²× 3 ×𝑎

 18𝑎𝑏² = 2 × 9 ×𝑎 × 𝑏² = 2 × 3²×𝑎 × 𝑏² 2. Menentukan KPK

Kelipatan adalah bilangan hasil penggandaan dari bilangan yang lain.

Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih.

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) adalah kelipatan persekutuan dari dua bilangan atau lebih,yang nilainya paling kecil.

KPK dapat ditentukan dengan menuliskan semua faktor prima yang ada.

Jika terdapat faktor prima yang sama maka dipilih yang terbesar.

Contoh soal:

1. Tentukan KPK dari 12𝑎 dan 18𝑎² Jawab:

12𝑎 = 2²× 3 ×𝑎 18𝑎² = 2 × 3²×𝑎²

𝐾𝑃𝐾 = 2²× 3²×𝑎² = 4 × 9 ×𝑎² = 36𝑎² 2. Tentukan KPK dari 6𝑎², 8𝑎𝑏, dan 12𝑎³𝑏²

Jawab:

6𝑎² = 2 × 3 ×𝑎² 8𝑎𝑏 = 2³ ×𝑎 × 𝑏

12𝑎³𝑏² = 2²× 3 ×𝑎³×𝑏²

𝐾𝑃𝐾 = 2³× 3 ×𝑎³ ×𝑏² = 8 × 3 ×𝑎³ ×𝑏² = 24𝑎³𝑏²

3. Menentukan FPB

Faktor persekutuan adalah faktor hasil kali yang sama dari dua bilangan atau lebih.

FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) adalah faktor persekutuan dari dua bilangan atau lebih yang nilainya paling besar.

Contoh soal:

1. Tentukan FPB dari 12𝑎 dan 18𝑎² Jawab:

12𝑎 = 2²× 3 ×𝑎

18𝑎² = 2 × 3²×𝑎² 𝐹𝑃𝐵 = 2 × 3 × 𝑎 = 6𝑎

2. Tentukan FPB dari 6𝑎², 8𝑎𝑏, dan 12𝑎³𝑏² Jawab:

6𝑎² = 2 × 3 ×𝑎² 8𝑎𝑏 = 2³ ×𝑎 × 𝑏

12𝑎³𝑏² = 2³× 3 ×𝑎³𝑏²

𝐹𝑃𝐵 = 23 B. Menyederhanakan Pecahan

Suatu pecahan dikatakan sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan lagi, kecuali 1.

Untuk menyederhanakan suatu pecahan dapat dilakukan langkah-langkah berikut:

1. Faktorkan pembilang dan penyebutnya.

2. Tentukan FPB dari faktor-faktor tersebut.

3. Gunakan FPB untuk menyederhanakan pecahan.

Contoh:



⁵⁶₇₂

=

^8×7

8×9

=

⁷

9



¹²₁₈^𝑎

=

^6×2𝑎

6×3

=

^2𝑎

3



₂₄¹⁵_𝑎

=

^3×5

3×8𝑎

=

⁵

8𝑎



₁₂^9𝑎_𝑎𝑏²

=

^3𝑎×𝑎

3𝑎×4𝑏

=

^3𝑎

4𝑏



^6𝑎+8𝑏₁₂

=

^{2 3𝑎+8𝑏}

2×6

=

^3𝑎+4𝑏

6

Cara yang paling banyak digunakan untuk menyederhanakan pecahan adalah menggunakan sifat pecahan sebagai berikut, yaitu nilai suatu pecahan tidak berubah, bila pembilang dan penyebutnya dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang sama. Jika 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑝 bilangan bulat, 𝑝 ≠ 0, dan 𝑏 bilangan asli, maka ^𝑎

𝑏

=

^𝑎𝑝

𝑏𝑝

=

^𝑎:𝑝

𝑏:𝑝

C. Menjumlahkan Pecahan

Pengerjaan hitung penjumlahan dan pengurangan pada pecahan dapat dilakukan hanya jika penyebut-penyebutnya sama. Apabila penyebutnya tidak sama, maka harus disamakan dengan menggunakan KPK agar pengerjaan itu dapat dilakukan.

Contoh:



₄³_𝑎

−

_𝑎𝑏²

=

^3𝑏

4𝑎𝑏

−

₄⁸_𝑎𝑏

=

^3𝑏−8

4𝑎𝑏

2.2 OPERASI BENTUK ALJABAR 2.2.1 Perkalian bentuk aljabar

Salah satu penyelesaian perkalian bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Di bawah ini, akan dijelaskan hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan, dan juga penjabaran bentuk-bentuk aljabar.

A. Hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan 𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞 = 𝑥²+ 𝑝 + 𝑞 + 𝑝𝑞

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑝, 𝑞 ∈ 𝒁 Contoh soal:

 𝑥 + 3 𝑥 + 5 = 𝑥 𝑥 + 5 + 3 𝑥 + 5

=𝑥²+ 5𝑥 + 3𝑥 + 15

=𝑥²+ 8𝑥 + 15

 x − 8 x − 5 = x x − 5 − 8 x − 5

=𝑥²− 5𝑥 − 8𝑥 + 40

=𝑥²− 13𝑥 + 40

B. Penjabaran bentuk 𝑥 + 𝑝 𝑥 − 𝑝 𝑥 + 𝑝 𝑥 − 𝑝 = 𝑥²− 𝑝²

Contoh soal:

𝑥 + 7 𝑥 − 7 = 𝑥 𝑥 − 7 + 7 𝑥 − 7

= 𝑥²− 7𝑥 + 7𝑥 − 49

= 𝑥²− 49