Faktorisasi Bentuk Aljabar

(1)

Faktorisasi Bentuk Aljabar

Satuan Pendidikan : SMP. N 2 Jatipuro

Bidang Study : MATEMATIKA

Kelas / Semester : VIII / I 1. STANDAR KOMPETENSI

Memahami bentuk aljabar.

2. KOMPETENSI DASAR 1.1Melakukan operasi aljabar

1.2Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya 3. INDIKATOR

1 Menyelesaikan operasi tambah dan kurang pada bentuk aljabar.

2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya 3 Menentukan faktor suku aljabar

4 Menyelesaikan operasi kali, bagi dan pangkat pada bentuk aljabar 4. TUJUAN PEMBELAJARAN

1. Peserta didik dapat menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dan pecahan bersusun 2. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan,

perkalian, pembagian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar.

3. Peserta didik dapat menyelesaikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan pecahan bentuk aljabar.

4. Peserta didik dapat menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya (memfaktorkan bentuk aljabar).

5. TOPIK MATERI : FAKTORISASI SUKU ALJABAR 1 Pengertian Suku pada Bentuk Aljabar

2 Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar 3 Faktorisasi Bentuk Aljabar

4 Operasi Pecahan dalam Bentuk Aljabar 6. URAIAN MATERI AJAR

A.

PENGERTIAN SUKU PADA BENTUK ALJABAR 1.1 Suku Tunggal dan Suku Banyak

Contoh bentuk Aljabar Suku Satu atau Suku Tunggal 14a

2-5a²b 35c 4-2pq 5-pq 62p²q²

Contoh bentuk Aljabar Suku Banyak

• 2q + 5 ^{suku dua}

• 7p² –2pq ( binom )

12a + 5ab + 7 suku tiga (trinom) 2P³ + 2p²q + 2pq² –7q suku empat 32x³ –3x²y –5x + 8y –7y² suku lima 1.2 Suku-suku Sejenis

Pada 2x, 2 disebut koofisien dan x disebut variabel (peubah) Perhatikan bentuk aljabar berikut ini ! 13x² –9x +6xy –8y –3x² + 5y

Bentuk aljabar diatas terdiri dari 6 suku, yaitu 13x², 9x, 6xy, 8y, 3x² dan 5y, dan memiliki suku-suku sejenis, yaitu :

1) 13x² dan -3x² 2) -8y dan 5y

1

(2)

Publikasi Maryono,S.Pd. di https://www.uns-id.academia.edu/dimasmaryono

2013 Kumpulan soal-soal ulangan harian dan pembahasaannya

Suku-suku dikatakan sejenis apabila memiliki variabel yang sama dengan pangkat yang sama juga. Dengan kata lain, suku sejenis memiliki perbedaan hanya pada koofisienya saja.

Suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar memiliki variabel-variabel yang sama dan pangkat dari masing-masing variabel juga sama

B.

OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR 1. Penjumlahan dan pengurangan Bentuk Aljabar

Untuk menentukan penjumlahan dan pengurangan pada bentuk Aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut ini :

a Suku-suku sejenis

b Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan perkalian terhadap pengurangan, yaitu :

1) ab + ac = a (b + c) atau a (b + c) = ab + ac 2) ab –ac = a (b –c) atau a(b –c) = ab - ac 3 Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu :

1) Hasil perkalian dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

2) Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

3) Hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat

disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku

Contoh :

1. Sederhanakan bentuk aljabar 5x + 6x –9x

2. Tentukan hasi penjumlahan dari 12x² –9x + 6 dan -7x² + 8x –14 3. Kurangkanlah 5x –3 dan 9x –6

Jawab :

1 5x + 6x –9x = (5 + 6 –9)x

1= 2x

2 Penjumlahan dari 12x² –9x + 6 dan -7x² + 8x –14

(12x² –9x + 6) + (-7x² + 8x –14) = 12x² –9x + 6 -7x² + 8x –14

=12x² -7x² –9x + 8x + 6 –14

= 5x² –x –8 3 Pengurangan 5x –3 dan 9x –6

(5x –3) –(9x –6) = 5x –3 - 9x + 6

1= 5x –9x –3 + 6

2= - 4x + 3

Latihan 1

1) Tentukan banyak suku dan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar berikut ! 1) 6a + 3a –5a

Jawab :

2

(3)

...

..

2) 5x³ + y² –6y² –2x³ Jawab :

...

..

2) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini ! 1) -15p + 6p - 17p

Jawab :

...

2) 3y² + 7y –6y² –10y Jawab :

...

3) Sederhanakanlah bentuk –bentuk Aljabar berikut ini ! 1) 15x –3(x –7)

Jawab :

...

2) a(a + 2b) + 4a(a + b) Jawab :

...

4) Tentukan jumlah dari : 1) 2a –7b dan -4a + 5b

Jawab :

...

2) 5x² –6y + 3 dan -2x² + 7y –5 Jawab :

...

5) Kurangkanlah : 1) 6a –5 dari 7a + 3

Jawab :

...

2) -3(4y² - 2y +5) dari 2(y² + 2y + 2) Jawab :

...

3

(4)

...

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Perkalian bentuk Aljabar erat kaitanya dengan “faktorisasiyangakanAljabar” dibahas pada bahasan berikutnya.

Perkalian suku dua dan suku banyak yang perlu diingat kembali meliputi materi-materi berikut ini :

Contoh Soal :

Tentukanlah hasil perkalian bentuk aljabar berikut ini ! 1 (x + 2)(x + 3)

2 (2x + 3)(x² + 2x - 5)

1. x (x + k) = x(x) + x(k)

1=

x² +

k x

2. x (x + y + k)

= x(x) + x(y) + x(k)

1= x² + xy +kx 3. (x + p)(x + q) = x(x) +

x(q) + p(x) + p(q) 1= x² +

(p + q)x + pq 4. (x + p)(x + q + r) =

x(x) + x(q) + x(r) + p(x) +

p(q) + p(r)

= x² + xq + xr + px + pq + pr

Jawab :

1 (x + 2)(x + 3)

(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)

1=x² + 3x + 2x + 6 2= x² + 5x

+ 6 2 (2x + 3)(x² + 2x - 5)

(2x + 3)(x² + 2x - 5) = 2x (x² + 2x - 5) + 3(x² + 2x - 5)

1= 2

x³ + 4x² – 10x + 3x² + 6x – 15

2= 2

x³ + 4x² + 3x² – 10x + 6x – 15

3= 2

x³ + 7x² – 4x – 15

Latihan 2

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut ini !

1. 4 a ( 2 a –

5a b ) J a w a b :

...

2. -2p (x² + 2x) Jawab : ...

...

3. (3p –7)(p –3)

Jawab :

...

4. (a –3)(a² + 4a + 5) Jawab :

4

(5)

...

5. 3y(4xy –4yz)

Jawab :

...

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar terlebih dahulu kita tentukan faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

Untuk bilangan bulat a dengan pangkat m dan n selalu berlaku :

a^m x aⁿ = a^{m + n} dan a^m : aⁿ = a^{m - n}

Contoh soal :

Tentukanlah hasil pembagian bentuk aljabar berikut ini ! 1. 5xy : 2x

2. (p²q x pq) : p² q² Jawab :

1. 5xy : 2x =

2.

^(p²q x pq) : p²q²

⁼

=

= p

Latihan 3

Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini ! 1. 6xy : 2y

Jawab :

...

(6)

...

2. p⁴q⁶r⁵ : pq²r³

Jawab :

5 Publikasi Maryono,S.Pd. di https://www.uns-

id.academia.edu/dimasmaryono 2013

Kumpulan soal-soal ulangan harian dan pembahasaannya

...

3. 18a³b⁵c⁶ : 2ab² : 3a²c²

Jawab :

...

4. 3x²y x 2yz² : xyz

Jawab :

...

5. 8p³q²r x (15p⁵q⁷r⁴ : 5p²q⁴r³)

Jawab :

...

3 Pemangkatan Bentuk Aljabar

(1) Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar

Operasi pemangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku :

aⁿ= a x a x a x ... x a

sebanyak n kali

Dalam pemangkatan bentuk pengertian –pengertian berik

ini :

i) 3a² dengan (3a²)

Pada bentuk 3a², yang dikuadratkan hanya a, sedangkan pada bentuk (3a yang dikuadratkan adalah 3a. Jadi, 3a² tidak sama dengan (3a)².

3a² = 3 x a x a dan (3a)² = (3a) x (3a)

ii) –(3a)² dengan (-3a)²

Pada bentuk –(3a)² ,yang dikuadratkan hanya 3a, sedangkan pada bentuk (-3a)², yang dikuadratkan adalah -3a. Jadi, -(3a)² tidak sama dengan (-3a)² - (3a)² = -(3a x 3a) dan (-3a)² = (-3a) x (-3a)

Contoh Soal :

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut ini ! 1. (5a)³

2. (-7x²y³)² Jawab :

1. (5a)³ = (5a) x (5a) = 25a² 2. (-7x²y³)² = (-7x²y³) x (-7x²y³)

1= 49 x⁴y⁶

(7)

Hubungan antara segitiga Pascal dengan pemangkatan suku dua ditunjukkan seperti berikut ini :

6

(8)

1

1 1 (a + b)¹

1 2 1 (a + b)²

1 3 3 1 (a + b)³

1 4 6 4 1 (a + b)⁴

Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal diatas merupakan Koofisienpada hasil pemangkatanbentuk Aljabar suku dua.

Koofisiendari suku-suku pada hasil pemangkatan suku dua diperoleh dari bilangan pada segitiga Pascal 1. (a + b)² = 1a² + 2ab + 1b²

2. (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³

3. (a + b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴

4. (a + b)⁵ = 1a⁵ + 5a⁴b+ 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + 1b⁵

T Perhatikan, pangkat dari a turun, dan pangkat dari b

e n t

Tentukan hasil pemangkatan berikut ini ! (1) (a + b)²

(2) (4x –3)² Jawab :

Untuk (a + b)² dan (a –b)², bilangan segitiga Pascalnya adalah 1, 2, 1, sehingga penjabaran dari pengkuadratan suku dua adalah sebagai berikut :

(1) (a + b)² = 1(a)² + 2(a)(b) + 1(b)² 1= a² + 2ab + b² (2) (4x –3)² = 1(4x)² + 2(4x)(-3) + 1(-3)²

1= 16x² –24x + 9

Latihan 4

1. Tentukan hasil pemangkatan bentuk aljabar berikut ini ! 1. (-7a)²

Jawab :

...

2. (4p²q²)³ Jawab :

...

3. (5a –7)² Jawab :

...

4. (3a² –2a)³ Jawab :

7

(9)

...

2. Tentukan suku ke-4 dan hasil pemangkatan bentuk Aljabar berikut ini! a.

(p + q)⁴ Jawab :

...

2. (2a² + 3a)⁵ Jawab :

...

3. FAKTORISASI BENTUK ALJABAR 1. Faktorisasi dengan Hukum Distributif

Hukum distributif dapat dinyatakan sebagai berikut : ab + ac = a(b + c) , dengan a, b, c sebarang bilangan bulat.

bentuk perkalian bentuk penjumlahan

Memfaktorkan adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi bentuk perkalian.

Bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan hukum distributif

2. Faktorisasi Bentuk x² + 2xy + y²danx² –2xy + y²

Untuk memfaktorkan bentuk Aljabar x² + 2xy + y² dan x² - 2xy + y² perhatikan uraian berikut !

1. x² + 2xy + y² = x² + xy + xy + y² 1= (x² + xy) + (xy + y²) 2= x(x + y) + y(x + y) 3= (x + y)(x + y) 4= (x + y)² 2. x² –2xy + y² = x² –xy –xy + y²

1= (x² –xy) –(xy –y²) 2= x(x –y) –y(x –y) 3= (x –y)(x –y)

4= (x –y)²

Berdasarkan pembahasan diatas, dapat disimpulkan :

x²+ 2xy + y² = (x + y)² x² –2xy + y² = (x –y)²

(10)

8