Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 1 (2015), hal 63 – 68.
63
OPTIMALISASI WAKTU PRODUKSI MIE INSTAN MENGGUNAKAN ANALISIS
INPUT-OUTPUT SISTEM LINEAR MAKS-PLUS
WAKTU INVARIAN
Winda Fitri Winarti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI
Aljabar maks-plus adalah himpunan , dengan merupakan himpunan semua bilangan real, yang dilengkapi dua operasi biner, yaitu maksimal sebagai dan penjumlahan sebagai . Aljabar maks-plus digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Penerapan aljabar maks-plus untuk memodelkan suatu permasalahan diantaranya pada penjadwalan, transportasi, manufakturing dan sistem antrian. Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI) merupakan Sistem Kejadian Diskret (SKD) yang dinyatakan dalam persamaan xk+1) = A xk) B uk) dan yk) = C
xk). Dengan memanfaatkan aljabar maks-plus, pada penelitian ini akan dikaji input-output untuk mengoptimalkan waktu produksi Mie Instan di perusahaan PT.XX. Langkah awal penelitian ini adalah memodelkan sistem produksi ke dalam SLMI. Setelah model terbentuk, dilakukan analisis input-output sistem produksinya dengan kondisi awal dengan penyangga dalam keadaan kosong x)=
ε
dan barisan input. Diketahui vektor input u
u(0) u(1) u(k1)
T dengan bilangan k pada SLMI SISO dengan kondisi awal kosong x) =ε
, maka outputnya y = H u dengan H merupakan matriks keterobservasian. Hasil penelitian ini diperoleh output waktu penyelesaian produksi dalam satu hari yaitu selama 85512 detik atau 23 jam 45 menit 12 detik atau dalam satu hari perusahaan Mie Instan hanya bisa melakukan 26 kali produksi.Kata kunci: analisis input-output, optimal, SLMI SISO PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa permasalahan diberbagai bidang seperti sistem produksi perakitan, sistem jaringan komunikasi, sistem pemrosesan paralel dalam komputer, sistem jaringan kereta, dan sebagainya yang dapat dimodelkan secara matematis ke dalam sistem linear [1]. Salah satu permasalahan dalam pemodelan dan analisa suatu sistem produksi adalah waktu aktivitasnya yang belum diketahui. Hal ini dikarenakan sistem produksi masih pada tahap perancangan, data-data mengenai waktu aktivitas belum diketahui dengan pasti maupun distribusinya. Waktu aktivitas ini dapat diperkirakan berdasarkan hasil dari pengamatan maupun pendapat dari para ahli atau operator dari sistem produksi tersebut [2]. Pemodelan suatu sistem jaringan dengan pendekatan aljabar maks-plus dapat memberikan gambaran tentang sistem yang lebih kompleks. Aljabar maks-plus adalah himpunan , dengan merupakan himpunan semua bilangan
real, yang dilengkapi dua operasi biner, yaitu maksimal sebagai dan penjumlahan sebagai .
Himpunan dinotasikan dengan . Sehingga aljabar maks-plus dapat dinotasikan ke dalam
bentuk himpunan [3]. Ide aljabar maks-plus ditemukan pertama kali pada tahun
1950-an, tetapi teorinya baru mulai berkembang pada tahun 1960-an dan telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis sistem secara aljabar pada beberapa masalah jaringan, seperti penjadwalan, sistem antrian, dan kombinatorik. Lebih jelasnya dapat dilihat pada [1], [3], [4] dan [5]. Penelitian aljabar maks-plus dalam sistem ini menggunakan Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI). SLMI ini digunakan untuk memodelkan dan menganalisis input-output sistem produksi. Adapun tujuan dari penelitian ini adalah mengoptimalkan waktu produksi Mie Instan di PT.XX
dinotasikan dengan SLMI . Pada penelitian ini, dibatasi pada sistem linear maks-plus waktu invarian dengan satu input dan satu output (SLMI SISO) dengan menggunakan operasi matriks dalam aljabar maks-plus, matriks dalam sistem persamaannya merupakan matriks konstan, yaitu tidak tergantung pada parameter k sehingga sistemnya merupakan sistem waktu invarian dan sistem yang digunakan sistem yang memiliki kondisi awal atau input.
ANALISIS INPUT-OUTPUT SLMI SISO
Setiap titik dalam sistem produksi mempunyai aktivitas tertentu yang membutuhkan waktu, dimana
aktivitas suatu titik hanya dapat dimulai bila semua titik telah menyelesaikan aktivitasnya dan mengirimkan hasilnya sepanjang ruas garis berarah yang menghubungkannya. Misalkan pada sistem produksi, memerlukan waktu untuk pemrosesan dari tempat pemrosesan pertama ke pemrosesan selanjutnya. Sehingga bentuk persamaan umum, yaitu [4]:
untuk , , dan
Setiap titik mempunyai aktivitas tertentu. Aktivitas-aktivitas ini memerlukan waktu yang dinamakan waktu aktivitas. Jadi, ruas garis berarah yang bersesuaian dengan dapat ditafsirkan
sebagai saluran output titik dan sebagai saluran input titik serta menganggap aktivitas sebagai kejadian, sehingga tafsirannya adalah [4]:
i. : waktu saat awal titik menjadi aktif pada kejadian ke-
ii. : jumlah waktu aktivitas titik ke titik
Sebuah sistem dikatakan waktu invarian jika respon terhadap suatu urutan input tertentu tidak tergantung pada waktu dan sistem yang operasinya dapat diprediksi secara tepat. Berikut ini diberikan definisi mengenai SLMI SISO dan SLMI Autonomous.
Definisi 1 [1] Sistem linear maks-plus waktu invarian dengan satu input dan satu output (SLMI SISO)
dapat dinyatakan dengan persamaan berikut:
untuk , dengan kondisi awal , , , , vektor menyatakan suatu keadaan sistem, skalar menyatakan input sistem, dan skalar menyatakan output sistem saat waktu ke- .
Secara khusus untuk SLMI SISO dengan kondisi awal diperoleh input-outputnya dari
Sistem Persamaan (2) diperoleh [5]:
1 0 k i (3) dan
1 0 k i (4) untuk .Untuk SLMI SISO berdasarkan input dan kondisi awalnya atau SLMI
diperoleh outputnya dalam akibat berikut.
Akibat 2 [3] Diberikan suatu bilangan . Jika vektor output dan vektor input pada SLMI SISO dengan kondisi awal , maka
(1)
dengan [ ] Bukti:
Jika diberikan kondisi awal dan barisan input dengan induksi matematik pada
Persamaan (3), misalkan
1 1 0 iJadi, Persamaan (3) benar untuk Misalkan,
1 0 n iJadi, Persamaan (3) benar untuk . Akibatnya diperoleh Persamaan (4),
1 0 k i untukDiberikan suatu bilangan . Jika didefinisikan dan
maka dari Persamaan (4) diperoleh:
ditulis dalam bentuk matriks:
[ ] [ ] [ ] atau dengan [ ]
Dari Akibat 2 berarti jika diketahui kondisi awal sistem, semua penyangga dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau setengah jadi [1].
APLIKASI PADA PRODUKSI MIE INSTAN
Bahan baku dimasukkan ke dan , diproses dan dikirimkan ke untuk dicampurkan dan sampai ke untuk proses pembungkusan produk. Waktu pemrosesan untuk dan
berturut-turut adalah dan
satuan waktu (detik). Sistem produksi Mie Instan disajikan seperti pada Gambar 1. berikut ini
Gambar 1. Sistem Produksi Mie Instan
Keterangan:
pengayakan tepung olahan bumbu mixing
pengepresan dan pembentukan untaian mie pengukusan
cutting dan pencetakkan penggorengan
cooling
pembungkusan
Diasumsikan bahwa setiap unit pemrosesan mulai bekerja segera setelah bahan tersedia dan telah menyelesaikan pemrosesan produk sebelumnya, dengan:
: waktu saat bahan baku tepung dan bumbu dimasukkan ke sistem untuk pemrosesan
: waktu saat unit pemrosesan ke- mulai bekerja untuk pemrosesan ke-
: waktu saat produk mie ke- yang diselesaikan meninggalkan sistem
Waktu saat mulai bekerja untuk pemrosesan ke- , jika bahan mentah yang dimasukkan ke
sistem untuk pemrosesan ke- , maka bahan mentah ini tersedia pada input unit pemrosesan pada
waktu . Akan tetapi hanya dapat mulai bekerja pada sejumlah bahan baku baru segera
setelah menyelesaikan pemrosesan sebelumnya, yaitu sejumlah bahan baku untuk pemrosesan ke- .
Karena waktu pemrosesan pada adalah satuan waktu (detik), maka produk setengah jadi
ke- akan meninggalkan pada saat .
Menggunakan operasi aljabar maks-plus maka diperoleh:
Dengan alasan yang sama untuk dan waktu saat pemrosesan ke- yang diselesaikan meninggalkan sistem, diperoleh:
𝑃
𝑡 𝑡 𝑡𝑃
𝑃
𝑃
𝑃
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑡 𝑡 𝑡 𝑢 𝑘 𝑡 𝑑𝑃
𝑡𝑃
𝑃
𝑃
𝑦 𝑘 𝑑 𝑑 𝑑 𝑡 𝑡 𝑡
untuk dan kondisi awal dalam keadaan kosong .
Berdasarkan Gambar 1 tentang sistem produksi Mie Instan diperoleh bentuk pemodelan SLMI SISO, ditulis ke dalam bentuk persamaan matriks aljabar maks-plus seperti berikut
[4212 3607 3292 2062 905 879 566 674 300 322 214 527 553 1710 2940 3255 3860 77 390 416 1573 2803 3118 3723 180 206 1363 2593 2908 3513 73 1230 2460 2775 3380 600 1830 2145 2750 900 1215 1820 600 900 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ] [3312 2960 2823 2613 2480 1850 920 15 0 ] [ε ε ε ε ε ε ε ε 300] untuk dengan [x1(k) x2(k) x9(k)] .
Dari bentuk pemodelan persamaan matriks di atas, maka matriks didefinisikan sebagai waktu
pemrosesan untuk unit pemrosesan produksi Mie Instan yang sedang berlangsung, matriks
didefinisikan sebagai waktu transfer dari awal bahan baku dimasukkan ke sistem produksi sampai proses ke-i, matriks didefinisikan sebagai jumlah waktu proses akhir dan waktu transfer sebelum produk Mie Instan dapat diambil atau selesai dikerjakan dan matriks didefinisikan sebagai waktu keadaan sistem untuk tiap unit pemrosesan atau mesin saat bahan dimasukkan.
[4212 3607 3292 2062 905 879 566 674 300 322 214 527 553 1710 2940 3255 3860 77 390 416 1573 2803 3118 3723 180 206 1363 2593 2908 3513 73 1230 2460 2775 3380 600 1830 2145 2750 900 1215 1820 600 900 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ] , [3312 2960 2823 2613 2480 1850 920 15 0 ] , dan [ε ε ε ε ε ε ε ε 300] .
SLMI dengan suatu barisan vektor keadaan sistem dan barisan output sistem, misalkan diberikan kondisi awal sistem kosong . Pada sistem produksi Mie Instan ini,
membutuhkan waktu 900 detik dalam sekali proses dan waktu transfer dari input ke adalah 0 detik.
membutuhkan waktu pemrosesan selama 600 detik dalam sekali proses dan waktu transfer dari
input ke adalah 15 detik. Sehingga produksi pada dapat dimulai pada detik ke-
, yang berarti diberikan barisan input , , ,
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , satuan waktu (detik) untuk setiap , maka diperoleh barisan output seperti pada Tabel 1 berikut ini
Tabel 1. Perhitungan Waktu Keadaan dan Output SLMI K 1 2 3 4 5 ... 21 22 23 24 25 26 27 X1 0 900 2700 6300 13500 ... 67500 68400 70200 73800 81000 81900 83700 X2 15 915 2715 6315 13515 ... 67515 68415 70215 73815 81015 81915 83715 X3 920 1820 3620 7220 14420 ... 68420 69320 71120 74720 81920 82820 84620 X4 1850 2750 4550 8150 15350 ... 69350 70250 72050 75650 82850 83750 85550 X5 2480 3380 5180 8780 15980 ... 69980 70880 72680 76280 83480 84380 86180 X6 2613 3513 5313 8913 16113 ... 70113 71013 72813 76413 83613 84513 86313 X7 2823 3723 5523 9123 16323 ... 70323 71223 73023 76623 83823 84723 86523 X8 2960 3860 5660 9260 16460 ... 70460 71360 73160 76760 83960 84860 86660 X9 3312 4212 6012 9612 16812 ... 70812 71712 73512 77112 84312 85212 87012 Y 3612 4512 6312 9912 17112 ... 71112 72012 73812 77412 84612 85512 87312
Berdasarkan dari hasil perhitungan output SLMI pada Tabel 1 dengan waktu
penyelesaian produksi dalam satu hari adalah 24 jam atau 86400 detik, dilihat pada baris ke-10 kolom ke-26 menunjukkan bahwa dalam satu hari perusahaan Mie Instan hanya bisa melakukan 26 kali produksi, yaitu selama 85512 detik atau 23 jam 45 menit 12 detik karena kondisi awal sistem semua penyangga dalam keadaan kosong dan tidak ada unit pemrosesan yang memuat bahan mentah atau produk setengah jadi.
PENUTUP
1. Dari model sistem produksi dengan aljabar maks-plus, yaitu dan
, untuk dapat didefinisikan bahwa sebagai waktu pemrosesan untuk unit pemrosesan produksi yang sedang berlangsung, sebagai waktu transfer dari awal bahan baku
dimasukkan sampai proses ke-i dan sebagai jumlah waktu proses akhir dan waktu transfer
sebelum produk dapat diambil atau selesai dikerjakan.
2. Jika vektor output dan vektor input
dengan bilangan pada SLMI SISO dengan kondisi awal kosong , maka .
3. Masalah input-output SLMI pada produksi Mie Instan dengan kondisi awal serta barisan
waktu saat bahan mentah dimasukkan ke sistem (input), menghasilkan output waktu penyelesaian
produksi dalam satu hari yaitu selama 85512 detik atau 23 jam 45 menit 12 detik atau dalam satu hari perusahaan Mie Instan hanya bisa melakukan 26 kali produksi.
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Rudhito A. Sistem Linear MaxPlus Waktu Invariant. Tesis tidak diterbitkan. Yogyakarta: Program Pascasarjana Universitas Gajah Mada; 2003.
[2]. Rudhito A. Sistem Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ”Matematika dan Pendidikan Karakter dalam Pembelajaran” FMIPA. UNY. 2011; 01:104-113.
[3]. De Schutter B, T. van den Boom. Max-Plus Algebra and Max-Plus Linear Discrete Event
Systems: An Introduction. Proceedings of the 9th International Workshop on Discreete System
(WODES’08). Sweden: Delf University of Technology. 2008; 09:36-42.
[4]. Bacelli F, Cohen G, Olsder GJ, Quadrat JP. Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems. New York: John Wiley and Sons; 1992.
[5]. De Schutter B. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event Systems. Leuven: Departement of Electrical Enginering Khatolieke Universiteit Leuven; 1996.
WINDA FITRI WINARTI : FMIPA UNTAN, Pontianak, [email protected]
NILAMSARI KUSUMASTUTI : FMIPA UNTAN, Pontianak, [email protected]
