Grup Permutasi dan Grup Siklis

Grup Permutasi dan Grup Siklis

Grup Permutasi

• Suatu Permutasi dari suatu himpunan

berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari

Definisi Fungsi

Suatu fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan yang memetakan setiap elemen A ke tepat satu elemen B, ditulis:

f : A → B

Jika f memetakan a ∈ A ke b ∈ B, ditulis f(a) = b A _f B

4

Fungsi satu-satu dan onto

Fungsi Komposisi

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi dengan f : A → B

dan g : B → C, maka ada fungsi dari A ke C.

Fungsi dari A ke C adalah fungsi komposisi yang

terdiri dari f diikuti g, ditulis: (g⃘f)(a) = g(f(a)) = c, dengan a ∈ A dan c ∈ C.

gambar:

A _f B g C

) a )( f g ( 

6

Definisi Permutasi

Suatu permutasi pada A adalah fungsi dari A ke A yang sekaligus satu-satu dan onto, ditulis

A A

:

f 11

Contoh 1

Diberikan A = { 1, 2, 3, 4, 5 }.

f adalah permutasi yang digambarkan sebagai:

atau

f ditulis dalam notasi baku sebagai berikut :

Komposisi Permutasi (Teorema)

Jika f dan g permutasi-permutasi pada A, maka f⃘g juga permutasi pada A.

GRUP SIMETRIK

Diberikan A adalah himpunan berhingga

{1,2,3, …,n}.

Grup semua permutasi untuk A disebut grup simetrik pada n huruf, dan

ditunjukkan dengan S_n.

Teorema 2.4.2

Contoh:

Diberikan himpunan A = {1,2,3}.

Contoh grup simetri A(S) = S₃ , order A(S) 3! = 6

elemen.

Didaftar permutasi-permutasi untuk A sbb:

14

Dapat ditunjukkan

⃘ α0 α1 α2 β1 β2 β3

α0 α0 α1 α2 β1 β2 β3

α1 α1 α2 α0 β3 β1 β2

α2 α2 α0 α1 β2 β3 β1

β1 β1 β2 β3 α0 α1 α2

β2 β2 β3 β1 α2 α0 α1

Perhatikan bahwa grup simetrik tersebut di atas tidaklah komutatif (contoh grup berhingga yang tidak komutatif)

Jadi S₃ mempunyai tingkat (order) minimal

Soal latihan

1.

Hitunglah komposisi sebagai berikut:

a) f g b) g f c) f-1 d) g-1 e) f –1 g-1 f) (f g)-1

1 2 3 4 1 2 3 4

2 1 4 3 3 1 4 2

f   dan g   

2.

Hitung

a) f g b) g-1 f-1 c) (g f )-1 d) f g2 e) f g2

1

2

3

4

1

2

3

4

3

4

1

2

4

3

1

2

f











dan g











Perkalian Langsung

• Apabila terdapat dua buah grup G₁ dan G₂ maka dapat dibentuk grup baru dari kedua grup tersebut

• produk Cartesius dari dua himpunan A dan B yang dinyatakan dengan

Teorema 2.5.2

Bila G dan H dua buah grup maka produk Cartesius G x H dengan operasi :

( g_i , h_i ) (g_j , h_j ) = (g_i g_j , h_i h_j ) untuk setiap (g_i , h_i ) dan (g_j , h_j )  G x H maka G x H merupakan grup dan disebut

• Perhatikan operasi dalam grup

• Contoh: 1

Dalam perkalian langsung Z x Z karena Z merupakan grup terhadap operasi + maka operasi dalam Z x Z berlaku sama. Misalkan (a,b) dan (c,d) unsur dalam Z x Z maka

Contoh 2:

Misal grup ( Z₃ , + ) dan grup permutasi (S₂ ,)

Z₃ x S₂ = { (1,i), (2,i), (3,i), (1,(1 2)),(2,(1 2)),(3,(1 2))}

sedang operasi unsur-unsurnya sebagai berikut: Misal,

Latihan soal

1. Bila grup G mempunyai unsur identitas i dan grup H mempunyai unsur identitas e

buktikan {( g_i, e) / g_i  G } dan { (i, h_i ) h_i  H } merupakan subgrup dari G x H

Latihan soal

3. Hitunglah perkalian unsur-unsur sebagai berikut

a. ((123),2)((23),3) dalam S₃ x Z₅

GRUP SIKLIS

Himpunan dengan anggota-anggota berbentuk

membentuk suatu grup siklik, a sebagai elemen pembangun atau penghasil atau

“generator”, biasa ditulis G = <a>.

GRUP SIKLIS

Definisi 2.6.1

Suatu grup G dan suatu unsur g  G, jika grup G dapat dinyatakan sebagai

G = { gn / n  Z },

Perlu diingat...

definisi grup siklis G = { gn / n  Z } digunakan operasi perkalian, tetapi apabila grup G

dengan operasi penjumlahan, maka definisi grup siklis menjadi

28

Contoh:

1. Misalnya untuk n = 6, grup itu ialah G = { e , a , a2 _{, a}3 _{, a}4 _{, a}5 _}

Grup semacam ini biasa dinyatakan dengan C₆, yaitu grup siklis berorder 6, ( |G| = 6 )

Grup siklis berorde n dinyatakan dengan C_n.

‣ Misalkan G = Z₆ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 },

adalah grup siklik dengan elemen pembangunnya 1, G = <1>, sebab:

10 _{= 0, 1}3 _{= 3,}

11 _{= 1, 1}4 _{= 4,}

12 _{= 2, 1}5 _{= 5.}

‣ dapat juga dibangun oleh 5, G = <5>, sebab: 50 _{= 0,}

51 _{= 5,}

52 _{= 5 + 5 = 4,}

53 _{= 5 + 5 + 5 = 3,}

54 _{= 5 + 5 + 5 + 5 = 2,}

55 _{= 5 + 5 + 5 +5 + 5 = 1.}

3. (Z,+) adalah grup siklis dengan unsur pembangun 1 dan -1.

5. Himpunan operasi simetri dari bangun kitiran ini terdiri dari rotasi dengan titik pusat O, dengan

sudut rotasi 90o_{, 180}o_{, 270}o_{, dan}

360o

Jika (O,90o_{)=S, maka}

(O,180o_)=S2_, _(O,270o_)=S3_,

dan (O,360o_)=I

O

Jadi G = { I , S , S2 _{, S}3 _{} merupakan grup siklis dengan}

pembangun S, G = <S>, dan order G sama dengan 4

32

6. Perhatikan segi-5 beraturan dengan pusat O dan

sudut-sudut rotasi 72o_{, 144}o_{, 216}o_,

dengan order 5.

Orde dari grup siklis

Bila G grup siklis dibangun oleh unsur g, maka orde  G  adalah sama dengan orde dari

Lemma 2.6.2

Bila G suatu grup , g  G maka H = { g n / n  Z }

merupakan subgrup terkecil dalam G yang dibangun oleh unsur g

Lemma 2.6.3

Lemma 2.6.5

Subgrup dari grup siklis adalah siklis

Lemma 2.6.7

Contoh

• Z =<1> = <-1> dan 3Z subgrupdari Z dengan 3Z = <3> = <-3>.

jika didefinisikan

f: Z  3Z

maka

• f bersifat pada, karena bila diambil sebarang x  3Z haruslah x = 3m, untuk suatu m  Z. Ini berarti ada m  Z sedemikian hingga f(m) = x = 3m atau f pemetaan pada.

• f juga pemetaan 1-1, karena bila diambil unsur f(n) = f(m) maka diperoleh 3n = 3m atau n=m.

Lemma 2.6.8

Bila G suatu grup sebarang, g  G dan

misalkan n , m  Z sehingga gn = 1 dan juga gm = 1, maka gd = 1 di mana d = (m, n).

Khususnya bila gs = 1 untuk suatu s  Z,

maka orde dari g membagi s. Dalam hal ini d = (m,n) dimaksudkan d merupakan pembagi

Lemma 2.6.9

Misalkan G = < g > dengan n unsur, dan

misalkan h = gs, s  Z adalah unsur dalam G, maka h akan membangun subgrup siklis H

dalam G yang berorde n/d, di mana d

Contoh

• Grup (Z₁₂,+) adalah grup siklis dan Z₁₂=<1>=<5> =<7>=<11>

• misal diambil 3  Z₁₂, karena 3 = (3,12) maka H=<3>={0,3,6,9} subgrup dari Z₁₂ dengan orde 12/3 = 4

• misal diambil 4  Z₁₂, karena 4 = (4,12) maka H=<4>={0,4,8} subgrup dari Z₁₂ dengan orde 12/4 = 3

• Bagaimana dengan 5? H=<5>= Z₁₂

Menentukan unsur pembangun

Contoh

• Tentukan semua subgrup yg mungkin dari Z₁₈

Diperoleh:

• Unsur pembangun Z₁₈ adalah 1,5,7,11

• Subgrup dengan orde terbesar dibangun oleh unsur 2, dengan orde 18/2 =9, sehingga

• Selanjutnya mencari semua subgrup dalam <2>

• Menentukan unsur pembangun dari <2>,

berupa 2h dg h relatif prim dg orde <2>, yaitu 9. diperoleh h = 1,2,4,5,7,8 sehingga

<2>=<4>=<10>=<14>=<16>

• Unsur yg tdk membangun <2> adalah 6 dan 12, sehingga