UNIVERSITAS GADJAH MADA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA
Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281
Bahan Ajar:
BAB / POKOK BAHASAN I
RING DAN SUBRING
Direncanakan Untuk Perkuliahan
Minggu ke-1 dan 2
PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II
(Semester III/3 SKS/MMM-2201)
Oleh:
Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.
Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.
Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S.
Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN)
Tahun Anggaran 2013
BAB I
RING DAN SUBRING
Pada MK Pengantar Struktur Aljabar I telah diperkenalkan suatu struktur aljabar abstrak, yaitu grup. Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Ada banyak con-toh grup yang dapat kita temukan dalam kehidupan sehari-hari, yakni grup(Z,+),
(Q,+), (R,+), (M2×2(R),+), dan lain sebagainya. Namun kenyataannya ada banyak himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi biner dan memenuhi be-berapa aksioma tertentu, sehingga dapat didefinisikan suatu struktur aljabar abstrak. Pada bab ini akan diperkenalkan struktur abstrak dengan dua operasi tersebut, yakni struktur ring.
1.1. Pengantar: Sifat Himpunan Bilangan Bulat Terhadap Penjumlahan dan Perkalian
Sebelum masuk ke pokok bahasan utama bab ini tentangRing dan Subring, terlebih dahulu akan ditampilkan sifat-sifat himpunan bilangan bulat terhadap ope-rasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang tidak asing lagi bagi kita.
Sudah diketahui dari ”Pengantar Struktur Aljabar I (Pengantar Teori Grup)” bahwa, himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlahan + merupakan grup Abelian. Juga sudah diketahui bersama bahwa selain operasi penjumlahan pa-da himpunan bilangan bulatZjuga dapat didefinisikan operasi perkalian bilangan-bilangan (dinotasikan dengan·).
Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa terhadap operasi penjumlahan +
dan perkalian·, himpunan bilangan bulatZbersifat:
1. terhadap penjumlahan+: (Z,+) merupakangrup Abelian 2. terhadap perkalian·: Zbersifatassosiatif, yakni
3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): Z bersifatdistributif kiri dan kanan, yakni
• (∀n1, n2, n3 ∈Z)(n1+n2)·n3 = (n1 ·n3) + (n2·n3)
• (∀n1, n2, n3 ∈Z)n1·(n2+n3) = (n1 ·n2) + (n1·n3).
1.2. Ring: Definisi, Contoh, dan Sifat Elementer
Dari fenomena sifat himpunan Z terhadap penjumlahan + dan perkalian· yang disebutkan dalam Subbab 1.1 di atas, didefiniskan struktur abstrak yang disebutRINGsebagai berikut.
Definisi 1.2.1. Misalkan R adalah sebarang himpunan tak kosong, dan pada R
didefinisikan 2 (dua) operasi yang dinotasikan dengan +dan · yang selanjutnya
disebut operasi penjumlahan dan perkalian. HimpunanRdisebutRINGterhadap operasi penjumlahan+dan perkalian·jika memenuhi:
(i). terhadap penjumlahan+: (R,+) merupakangrup Abelian
(ii). terhadap perkalian·:Rbersifatassosiatif, yakni (∀r1, r2, r3 ∈R)(r1·r2)·r3 =r1·(r2·r3)
(iii). terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): R bersifatdistributif kiri dan kanan, yakni
• distributif kiri:(∀r1, r2, r3 ∈R) (r1+r2)·r3 = (r1·r3) + (r2·r3)
• distributif kanan:(∀r1, r2, r3 ∈R)r1·(r2+r3) = (r1·r2) + (r1·r3).
Untuk mengefisienkan penulisan, himpunanRyang dilengkapi dengan ope-rasi penjumlahan + dan perkalian · merupakan ring, dinotasikan tripel (R,+,·). Nampak jelas bahwa definisi ring merupakanabstraksidari sifat yang dimiliki oleh suatu obyek yang sudah kita kenal sehari-hari, yakni himpunan bilangan bulat Z
terhadap penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan.
Dari sini dengan mudah disimpulkan bahwa himpunan bilangan bulat Z
Contoh 1.2.2. Berikut contoh-contoh yang lain:
1. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional Q, him-punan bilangan real R, dan himpunan bilangan kompleks C juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan-bilangan yang sudah kita kenal sehari-hari. Oleh karena itu dapat dituliskan dengan notasi
• Ring (Q,+, .),
• Ring (R,+,)
• Ring (C,+,).
Namun himpunan bilangan asli N bukan merupakan ring sebab terhadap pen-jumlahan bukan merupakan grup.
2. Pandang himpunan matriks bujursangkar berukuran 2× 2 dengan komponen-komponen bilangan real, yakni
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian matriks yang sudah dipelajari dalam MK Aljabar Linear Elementerdapat ditunjukkan bahwaM2×2(R)merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Selanjutnya untuk setiap bilangan aslin, dapat ditunjukkan bahwa
Mn×n(R) =
merupakan ring terhadap operasi terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Sehingga dapat dinyatakan dengan ring
(Mn×n(R),+,·).
Proses memperluas dariM2×2(R)keMn×n(R)merupakan salah contoh proses
3. Pandang himpunan semua fungsi dariRkeRsebagai berikut
F(R,R) = {f :R→R|f fungsi}.
Dari MK Kalkulus kita dapat mendefinisikan operasi penjumlahan fungsi dan juga perkalian fungsi sebagai berikut. Untuk sebarang f, g ∈ F(R,R) didefi-nisikanf+gdanf·g sebagai berikut:
(f +g)(x) = f(x) +g(x)
dan
(f ·g)(x) = f(x)·g(x)
untuk setiap x ∈ R. Dengan menggunakan sifat-sifat dalam kalkulus dapat di-tunjukkan bahwaF(R,R)merupakan ring. Sehingga dapat dinyatakan dengan ring
(F(R,R),+,·).
4. DariMK Pengantar Logika Matematika dan Himpunan, sudah kita ketahui bahwa jika A adalah sebarang himpunan maka himpuann kuasa dariA adalah himpunan semua himpunan bagianAdinotasikan dengan
2A={S |S⊂A}.
Dapat ditunjukkan bahwa (2A,+,·)merupakan ring, dengan operasi
penjumla-han dan perkaliannya didefinisikan sebagai berikut:
(∀S1, S2 ∈2A)S1+S2 = (S1−S2)∪(S2−S1)
dan
(∀S1, S2 ∈2A)S1·S2 =S1∩S2
5. Dari MK Teori Grup, kita sudah tahu bahwa jika (G,+) adalah grup abelian, maka kita dapat membentuk himpunan semua endomorphisma dari G ke G, yakni
Kita sudah tahu bahwa(End(G),+) merupakan merupakan grup Abelian. Se-lain itu kita dapat mendefinisikan operasi komposisi◦padaEnd(G), yakni
(f◦g)(x) =f(g(x)), ∀x∈G.
Dapat ditunjukkan bahwa(End(G),+,◦)merupakan ring.
Sudah kita ketahui bahwa jika (R,+,·) merupakan ring, maka jelas bahwa (R,+) merupakan grup. Dengan demikian padaR akan terdapat elemen netral0R
yang menenuhi:
(∀r∈R)0R+r =r+ 0R=r,
dan setiap elemenr∈Rterdapat−r∈Rsedemikian hingga
r+ (−r) = (−r) +r = 0R.
Berikut sifat-sifat dasar dari ringRdalam kaitannya dengan operasi perkaliannya.
Teorema 1.2.3. Jika (R,+,·) merupakan ring, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
(i). (∀r∈R)r·0R= 0R·r= 0R
(ii). (∀r1, r2 ∈R)(−r1)·r2 =−(r1·r2) = r1 ·(−r2)
(iii). (∀r1, r2 ∈R)(−r1)·(−r2) = (r1·r2)
(iv). (∀r1, r2 ∈R)(r1+r2)2
=r2 1 +r
2
2 +r1·r2+r2·r1
Bukti. (sebagai latihan)
Terkait dengan operasi perkalian, nampak bahwa dari contoh-contoh yang diberikan sebelumnya bahwa pada suatu ring (R,+,·) terhadap operasi perkalian, Rbelum tentu bersifat:
(a). komutatif; sebagai contoh ring matriks (M2×2(R),+,·)
(c). setiap elemen mempunyai invers terhadap perkalian; sebagai contoh (Z,+,·) yang mempunyai invers terhadap perkalian hanyalah 1 dan -1.
Dari kenyataan diatas, didefinisikan jenis-jenis ring berikut ini.
Definisi 1.2.4. Misalkan (R,+,·) suatu ring.
(i). RingRdisebutring komutatifjikaRkomutatif terhadap perkalian.
(ii). RingRdisebutring dengan elemen satuanjikaRmempunyai elemen satuan terhadap perkalian.
(iii). RingR disebut ring komutatif dengan elemen satuan jikaR komutatif dan mempunyai elemen satuan terhadap perkalian.
(iv). Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika R mempunyai elemen satuan dan setiap elemen tak nol diRmempunyai invers terhadap perkalian.
Contoh 1.2.5. 1. Ring(2Z,+,·)merupakan ring komutatif, namun tidak mem-punyai elemen satuan.
2. Ring matriks(M2×2(R),+,·)merupakan ring dengan elemen satuanI2. Ring matriksM2×2(R)bukan ring komutatif.
3. Ring (Z,+,·),(R,+,·),(Q,+,·), dan (C, ,+,·)masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.
Berikut ini merupakan akibat dari Teorema 1.2.3.
Akibat 1.2.6. Diberikan sebarang ring R dengan elemen satuan 1R. Elemen 0R
dan1Rmerupakan elemen yang berbeda jika dan hanya jikaR6={0R}.
Bukti. (⇒).Sudah jelasR6={0R}, sebab1R∈Rdan1R 6= 0R.
(⇐). Diketahui R 6= {0R}. Misalkan a ∈ R sedemikian sehingga a 6= 0R.
Andaikan 1R = 0R, diperoleh a = a1R = a0R = 0R. Hal ini terjadi
1.3. Subring: Definisi dan Syarat Perlu dan Cukup
Sudah kita ketahui bahwa himpunan bilangan bulat genap dapat dinyatakan sebagai
2Z={2n|n ∈Z},
dan dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat 2Z juga merupakan ring. Hal ini berbeda dengan him-punan bilangan ganjil
1 + 2Z={1 + 2n|n ∈Z}
bukan merupakan ring terhadap operasi penjumlahan bilangan-bilangan bulat, se-bab tidak tertutup terhadap penjumlahan.
Dari fenomena ini, kita dapat mendefinisikan struktur subring sebagai berikut.
Definisi 1.3.1. Misalkan S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dalam ring (R,+,·). HimpunanS disebutsubringdariRjikaSjuga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ringR.
Jadi subring adalah suatu ring di dalam suatu ring. Nampak jelas bahwa2Z
subring dalam ring (Z,+,·), dan1 + 2Zbukan merupakan subring dalam (Z,+,·).
1. Dengan mudah dapat disimpulkan bahwa (Z,+,·) merupakan subring (Q,+,·), juga merupakan subring di (R,+,·) dan (C,+,·).
2. Himpunan matriks segitiga atas
Dari definisi subring, dapat disimpulkan bahwa suatu himpunan bagian dari suatu ring (R,+,·) merupakan ring jika:
1. terhadap penjumlahan+: (S,+) juga merupakan grup Abelian 2. terhadap perkalian·:S juga bersifat assosiatif, yakni
(∀s1, s2, s3 ∈S)(s1·s2)·s3 =s1·(s2·s3)
3. terhadap keduanya (penjumlahan dan perkalian): S bersifat distributif kiri dan kanan, yakni
• (∀s1, s2, s3 ∈S)(s1+s2)·s3 = (s1·s3) + (s2·s3)
• (∀s1, s2, s3 ∈S)s1 ·(s2+s3) = (s1·s2) + (s1·s3)
Nampak bahwa:
1. Syarat 1 ekuivalen dengan menyatakan bahwaSmerupakan subgrup dalam grup (R,+), hal ini ekuivalen dengan terpenuhinya:
(∀s1, s2 ∈S)(s1−s2)∈S.
2. Syarat 2 merupakan syarat keassosiatifan yang pasti terpenuhi oleh sebarang himpunan bagian dariR. Terhadap operasi ·ini yang masih harus dicek adalah sifat ketertutupannya yakni
(∀s1, s2 ∈S)(s1 ·s2)∈S.
3. Syarat 3 merupakan syarat kedistributifanan, yang juga pasti terpenuhi oleh se-barang himpunan bagian dariR.
Dengan demikian, kita dapat menurunkan syarat perlu dan cukup agar him-punan bagianSdalam ringRmerupakan subring dalam teorema sebagai berikut.
Teorema 1.3.2. MisakanS himpunan tak kosong dalam ring (R,+,·). Himpunan
Smerupakan subring dariRjika dan hanya jika
Bukti. (⇒).DiketahuiS merupakan subring dari (R,+,·), sehingga berdasarkan penjelasan sebelumnya diperoleh bahwa untuk setiaps1, s2 ∈Sberlaku
s1−s2 ∈Sdans1·s2 ∈S.
(⇐).(sebagai latihan)
Teorema di atas memberikan pada kita cara yang lebih efisien untuk menge-cek suatu himpunan bagian dari suatu ring merupakan subring atau bukan.
1.4. Latihan
Kerjakan soal-soal latihan berikut ini.
1. Untuk sebarang ring(R,+,·), tunjukkan bahwa{0}merupakan subring!
2. Apakah ring (2A,+,·) pada Contoh 1.2.2 (4) merupakan ring dengan elemen
satuan? Jelaskan!
3. Jika(R1,+1,·1)dan(R2,+2,·2)merupakan ring, tunjukkan bahwaR1×R2juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan+dan perkalian·sebagai berikut:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+1x2, y1+2y2)
(x1, y1)·(x2, y2) = (x1·1x2, y1·2y2)
untuk setiap(x1, y1),(x2, y2)∈R1×R2 !
4. Tunjukkan secara umum himpunan kZ merupakan subring pada ring bilangan bulatZ!
5. Misalkan A adalah sebarang himpunan tak kosong. Selanjutnya didefinisikan himpunan semua fungsi dariAkeRsebagai berikut ini
F(A,R) = {f :A→R|f fungsi}.
Selanjutnya didefinisikan operasi penjumlahan+dan kali·padaF(A,R) seba-gai beikut. Untuk setiapf1, f2 ∈F(A,R)dan untuk setiapa ∈A,
(f1 ·f2)(a) = f1(a)·f2(a).
Perhatikan bahwa soal ini adalah perluasan (generalisasi) dari Contoh 1.2.2 (3), yakni dengan menggantiRdengan sebarang himpunanA. Buktikan(F(A,R),+,·)
merupakan ring !
6. Tunjukkan jikaS1danS2masing-masing merupakan subring dalam ring (R,+,·) makaS1∩S2juga merupakan subring diR, tetapiS1∪S2belum tentu merupakan subring!
7. Misalkan(R,+,·)merupakan ring. Tunjukkan bahwa himpunan
C(R) = {a∈R|(∀x∈R)ax =xa}
merupakan subring! Subring C(R) selanjutnya disebut pusat (center) dari ring R.
8. MisalkanSsebarang himpunan,Rsebarang ring, danf :S →Rfungsi bijektif. Untuk setiapx∈S, didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian sbb.:
x+y=f−1
(f(x) +g(y))
x·y=f−1
(f(x)·g(y)).
Tunjukkan bahwaSmerupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian tersebut!
9. Buktikan bahwa untuk sebarang ringR, himpunan matriks berukurann×natas ringRterhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring!
10. Misalkan
M =
z1 z2 −z2 z1
|z1, z2 ∈C
