TUGAS STRUKTUR ALJABAR
Tentang
CATATAN STRUKTUR ALJABAR
Oleh :
Tadris Matematika Bp. 2010
Dosen Pembimbing Andi Susanto, S.Si, M.Si
JURUSAN PRODI MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)
IMAM BONJOL PADANG
2013 M/1434H
OPERASI BINER
Definisi 1.1
Jika S adalah suatu himpunan yang tidak kosong maka operasi biner o (dibaca “Bundaran”) pada S adalah suatu pemetaan (fungsi) yang mengawankan setiap pasangan berurutan.
(a, b) S x S dengan tepat satu elemen (a o b) S. Secara simbolik definisi 1.1 yaitu operasi biner o ditulis:
o : S x S S
contoh:
A = { } yaitu himpunan bilangan asli genap dan dipandang operasi +, yaitu operasi penjumlahan seperti yang telah kita kenal. Maka + merupakan operasi biner A, sebab jumlah setiap dua bilangan asli genap selalu merupakan bilangan asli genap dalam A.
B = { } yaitu himpunan bilangan asli ganjil dan pandang operasi – yaitu operasi pengurangan. Perhatikan bahwa 1 – 7 = -6 dan -6 B maka – bukan merupakan operasi biner pada B, sebab ada hasil pengurangan dua anggota B yang bukan merupakan anggota B.
Jenis-Jenis Operasi Biner
1. Bersifat komutatif Definisi
Suatu operasi biner o pada suatu himpunan S dikatakan komutatif bila dan hanya bila untuk setiap x, y S maka x o y = y o x
Dengan simbol logika ditulis:
Operasi biner o pada S, komutatif bila dan hanya bila x, y S, x o y = y o x
2. Bersifat assosiatif Definisi
Suatu operasi biner o paa suatu himpunan S bersifat asosiatif bila dan hanya bila untuk setiap x, y, z S berlaku ( x o y) o z = x o ( y o z)
Dengan symbol logika dituliskan:
Operasi biner o pada S bersifat asossiatif bila dan hanya bila x, y, z S, (x o y) o z = x o (y o x)
3. Elemen identitas Definisi
Suatu himpunan S dikatakan mempunyai mempunyai elemen identitas (elemen netral) terhadap operasi biner o bila dan hanya bila ada elemen u S sedemikian hingga untuk setiap x A berlaku x o u = u o x = x.
Teorema 1. 1
Jika himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas maka elemen identitas itu tunggal.
Bukti:
Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas U1 dan U2 dengan U1 . U2 S. karena U1 elemen identitas dari S dan U2 S maka U1 o U2 = U2 o U1 = U2. Demikian pula, karena U2 elemen identitas dari S dan U1 S maka U2 o U1 = U1 o U2 = U1. Jadi U1 = U2. Ini berarti elemen identitas dari S terhadap operasi biner o adalah tunggal.
4. Invers Definisi
Misalkan himpunan S terhadap operasi biner o mempunyai elemen identitas u. suatu elemen y S dikatakan invers dari x S terhadap operasi biner o bila dan hanya bila x o y = y o x = u.
Invers dari x terhadap suatu operasi biner ditulis x-1 (dibaca “invers x”). Teorema
Misalkan o adala
h suatu operasi biner pada himpunan S. Jika x S mempunyai invers terhadap operasi o maka invers dari x tersebut tunggal.
Bukti:
Misalkan invers dari x S terhadap operasi biner o adalah X1 dan X2 dengan X1, X2 S dan misalkan elemen identitas S terhadap operasi biner o adalah u. karena X1 adalah invers dari x maka X o X1= X1 o X = X1. Demikian pula, karena X2 adalah invers dari x maka X o X2 = X2 o X = X2. Maka X1 = X2. Ini berarti bahwa invers dari x terhadap operasi biner adalah tunggal.
Definisi 1.6
Misalkan operasi-operasi biner dan o terdefinisikan pada suatu himpunan S (1) Jika untuk setiap x, y, z S berlaku x (y o z) = (x y) o (x z), maka
pada s berlaku sifat distributive kiri .
(2) Jika untuk setiap x, y, z S berlaku (y oz) o (z x) maka pada S berlaku sifat distributive kanan .
Contoh:
Misalkan B = { } dan dipandang operasi penjumlahan + seperti yang sudah dikenal, sedang operasi pada B didefinisikan jika a, b , c B maka a = a2
b. ambil sembarang a, b, c B maka a (b+c) = a2
(b+c) = a2b + a2c dan (a b) + (a c) = a2b + a2c.
Jadi, a (b + c) = (a ) + (a . maka pada B berlaku sifat distributive kiri terhadap penjumlahan. Sedangkan (a + b) = (a + b)2
c = a2c + 2abc + b2c dan (a + (b = a2
c + b2c.
Maka (a + b) ≠ (a ) + (b
Ini berarti bahwa pada B tidak berlaku sifat distributive kanan operasi
GRUP
GRUP DAN SIFAT-SIFATNYA
A. GrupDefinisi
Suatu himpunan tak kosong G dikatakan grup terhadap operasi biner jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut:
Operasi pada bersifat asosiatif yaitu setiap elemen maka
terhadap operasi biner mempunyai elemen identitas, yaitu ada Setiap elemen mempunyai invers terhadap operasi biner dalam ,
yaitu untuk setiap identitas dari
Grup dapat dinyatakan dengan . Tidak setiap grup memiliki sifat komutatif terhadap operasi binernya. Contohnya pada perkalian matrik,
Operasi biner pada bersifat komutatif, yaitu:
Setiap maka . Maka grup (G, ) disebut grup abelian atau grup komutatif.
Contoh:
1. Himpunan bilangan bulat { } terhadap operasi biner penjumlahan +.
a. Sifat asosiatif dipenuhi yaitu penjumlahan bilangan-bilangan bulat bersifat asosiatif.
b. B terhadap operasi + mempunyai elemen identitas yaitu 0, sebab untuk setiap maka
c. Setiap elemen B mempunyai invers terhadap operasi +, yaitu setiap
ada Jadi, (B, +) merupakan suatu grup.
d. Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk setiap maka Contoh, Jadi (B, +) suatu grup abelian.
2. Himpunan bilangan rasional positif dengna operasi berikut adalah grup.
setiap Bukti :
Uji sifat asosiatif
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Untuk setiap yaitu operasi asosiatif.
Uji elemen identitas
Untuk sebarang , perhatikan elemen x dengan (cukup diperiksa identitas kanan saja karena komutatif).
( ⁄ )
, (karena
Karena , sehingga untuk setiap maka elemen 2 identitas di .
Uji invers
Untuk sebarang perhatikan dengan ( ⁄ )
⁄ ,
⁄ juga berada di untuk setiap ,sehingga ⁄ maka elemen ⁄ adalah invers dari di , Karena itu terbukti membentuk grup terhadap .
3. { } dengan operasi perkalian modulo 14 merupakan suatu grup. (mod 14) sebab (32 - 4) adalah kelipatan dari 14. Tabel berikut menyatakan semua hasil operasi perkalian modulo 14 pada G = {2,4,8}. x 2 4 8 2 4 8 4 8 2 8 2 4 2 4 8
Uji sifat asosiatif 4
Jadi Terbukti
Uji elemen identitas
terhadap operasi perkalian modulo 14 mempunyai elemen identitas yaitu 8
Bukti:
(mod 14) (mod 14) (mod 14)
Jadi, 8 merupakan elemen identitas dari operasi perkalian modulo 14.
Uji Invers
Setiap anggota mempunyai invers terhadap operasi perkalian modulo 14.
Bukti:
2, 4, 8 merupakan anggota , ada 2-1
, 4-1, 8-1 anggota sedemikian hingga 2-1 = 4 4-1 = 2 8-1 = 8
Terbukti, setiap anggota mempunyai invers terhadap operasi perkalian modulo 14. Jadi, merupakan suatu grup.
adalah suatu grup abelian (grup komutatif). Bukti:
2, 4, 8 anggota
(mod 14) (mod 14) (mod 14)
Terbukti, bahwa merupakan grup abelian.
Suatu grup dengan operasi biner perkalian disebut grup multiplikatif. Suatu grup dengan operasi biner penjumlahan disebut grup aditif.
Banyaknya elemen suatu grup ditulis dengan notasi dan disebut order dari grup .
Suatu grup yang banyaknya elemen tak berhingga (infinite) adalah grup tak berhingga (grup infinite).
Suatu grup yang banyaknya elemen berhingga disebut grup berhingga (grup finite).
Jika banyak elemen himpunan G sedikit maka untuk memeriksa apakah G terhadap suatu operasi merupakan suatu grup atau bukan, disusun tabel hasil operasi setiap pasang elemen-elemen G. Untuk memudahkan dalam melihat sifat-sifatnya maka penyusunan tabel selalu memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
1) Elemen identitas ditulis pertama kali.
2) Urutan penulisan elemen-elemen disusun mendatar dan menurun harus sama.
3) Elemen pertama dalam mengoperasikan diambil dari elemen-elemen yang disusun menurun, dan elemen-elemen keduanya diambil dari elemen-elemen yang disusun mendatar.
4) Tabel selalu berbentuk bujur sangkar dengan setiap baris maupun kolom memuat semua elemen dari grup tersebut.
Contoh:
1. M = {1, 2, 3, 4} dan operasi perkalian modulo 5. Hasil perkalian modulo 5 pada M ditunjukkan dalam tabel berikut ini:
Merupakan operasi biner, karena setiap hasil operasi perkalian modulo 5 dari elemen M adalah elemen M pula.
Sifat asosiatif 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1
Elemen identitas
Elemen identitas dari M dicari dengan melihat baris atau kolom dari hasil operasi yang urutan elemen-elemennya sama dengan urutan pada baris pertama atau kolom pertama.
Dalam hal ini, elemen identitas dari M adalah 1. Memiliki invers
Invers setiap elemen dicari dengan melihat hasil operasi yang sama dengan elemen identitas.
Misalnya, dicari dengan melihat 3 pada kolom pertama ke kanan sampai 1, terus ke atas hingga baris pertama, yaitu 2. Berarti . Dan dari 3 pada baris pertama menurun hingga 1, terus ke kiri hingga kolom pertama yaitu 2, berarti ,
Sifat komutatif
Ditunjukkan bahwa tabel simetris terhadap diagonal utama (garis putus-putus pada tabel). Hal ini disebabkan letak dari dan simetris terhadap diagonal utama.
Memperhatikan hal itu semua, M terhadap operasi perkalian modulo 5 membentuk suatu grup.
2. K = {a, b, c, d} dan operasi biner pada K didefinisikan menurut tabel berikut ini:
Uji sifat asosiatif
Persamaan (1) dan (2) sama hasilnya yaitu c. jadi terbukti operasi biner pada K bersifat asosiatif.
Uji elemen identitas
Elemen identitas dari K dicari dengan melihat baris atau kolom dari hasil operasi yang urutan elemen-elemennya sama dengan urutan pada baris pertama atau kolom pertama. Elemen identitas dari K adalah c. Uji Invers -1
Invers setiap elemen dicari dengan melihat hasil operasi yang sama dengan elemen identitas.
-1 =
Dicari dengan melihat a pada kolom pertama ke kanan sampai c, terus ke atas hingga baris pertama, yaitu d.
Berarti a-1 = d
Jadi, K terbukti merupakan grup.
(K, ) suatu grup abelian (grup komutatif)
Hal ini disebabkan dari simetris terhadap diagonal utama. Jadi, terbukti bahwa (K, ) merupakan grup abelian (grup komutatif).
B. Sifat-sifat Grup
Setelah diberikan pengertian mengenai grup, berikut ini diberikan beberapa sifat dasar yang dimiliki oleh grup.
Teorema . Sifat Kanselasi (penghapusan)
Diberikan grup (G, ) , maka untuk setiap a,b,c G, berlaku: 1. Kanselasi kiri.
Jika = maka . 2. Kanselasi kanan.
Jika maka .
Bukti:
1. Diambil sebarang . Diketahui G merupakan grup dan maka ada
sehingga
, dengan elemen identitas dari .
Menurut ketentuan jika kedua ruas dioperasikan dari kiri, maka
sifat asosiatif
dengan
Dengan demikian, terbukti bahwa pada grup berlaku sifat kanselasi kiri. 2. Diambil sebarang . Diketahui G merupakan grup dan maka
ada sehingga
, dengan elemen identitas dari .
Menurut ketentuan jika kedua ruas dioperasikan dari kanan, maka
sifat asosiatif
dengan
Dengan demikian, terbukti bahwa pada grup berlaku sifat kanselasi kanan.
Diberikan grup , maka untuk setiap ,maka persamaan-persamaan dan mempunyai penyelesaian tunggal.
Bukti:
Pertama dibuktikan bahwa persamaan mempunyai penyelesaian. Diambil sebarang dan suatu grup maka
Dari ketentuan
adalah penyelesaian dari persamaan . Selanjutnya dibuktikan tunggalnya penyelesaian . Misalkan persamaan mempunyai penyelesaian berarti Sehingga . Dengan sifat kanselasi diperoleh .
Jadi persamaan mempunyai penyelesaian tunggal.
Teorema.
Jika suatu grup, maka untuk setiap , invers dari invers adalah atau ditulis:
Bukti:
dan suatu grup maka ada dengan tunggal sedemikian hingga …………(i)
dan suatu grup maka ada dengan tunggal sehingga …………(ii)
Dari (i) dan (ii) disimpulkan dengan sifat konselasi diperoleh
Terbukti
Teorema.
adalah suatu grup, maka untuk setiap berlaku
Bukti:
………(i)
Perhatikan bahwa ( ) (sifat asosiatif)
Jadi …………(ii) Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa
Dengan sifat kanselasi didapat .
Terbukti
Definisi.
Jika adalah suatu grup, dan m bilangan bulat positif, maka sebanyak m faktor.
yaitu elemen identitas.
sebanyak m faktor.
Catatan :
Jika yaitu suatu grup aditif, dan m bilangan bulat positif, maka , sebanyak m suku.
yaitu elemen identitas grup aditif.
, sebanyak m suku.
Teorema
Apabila suatu grup dan serta bilangan-bilangan bulat positif, maka Bukti: ⏟ ⏟ ⏟ Terbukti
Contoh:
1. suatu grup dan serta bilangan-bilangan bulat positif serta adalah bilangan bulat negatif dengan | | | | maka buktikan bahwa
Bukti:
Misalkan dengan bilangan bulat positif dan karena | | | | maka . ⏟ ( ⏟ ⏟ ⏟ ( ⏟ ⏟ ⏟ ( ⏟ dan seterusnya. ⏟ karena karena – Teorema.
suatu grup dan serta bilangan-bilangan bulat positif, maka Bukti: ⏟ ⏟ Terbukti
Contoh:
1. Jika suatu grup sedemikian rupa hingga setiap berlaku maka buktikan bahwa suatu grup abelian.
Bukti: ketentuan definisi sifat asosiatif sifat kanselasi sifat asosiaif sifat kanselasi
Karena untuk setiap , maka suatu grup abelian. 2. Jika suatu grup abelian, dan n suatu bilangan bulat positif,
buktikanlah bahwa Bukti: ⏟ ⏟ ⏟ , karena G grup abelian ⏟ dan seterusnya. ⏟ ⏟ Terbukti
SUBGRUP DAN SIFAT-SIFATNYA A. Pengertian subgrup
Suatu himpunan bagian H dalam grup G mungkin kosong dan juga mungkin tidak kosong. Subgroup dari G haruslah himpunan tak kosong di G. Himpunan Z, Q, R dan C membentuk grup terhadap operasi yang sama, yaitu penjumlahan (+). Disamping itu terdapat hubungan antar ketiganya yaitu :
Z Q R C
Karena itu Z merupakan subgrup dari Q , R dan C, begitu juga dengan Q yang merupakan subgrup dari R dan C begitu seterusnya. Untuk lebih jelasnya akan terlihat pada definidi berikut .
Definisi :
Misalkan (G,○) suatu grup, H disebut subgrup dari G jika H kompleks dari G dan (H, ○) merupakan suatu grup. H subgrup dari grup G jika H kompleks dari G dan H juga suatu grup terhadap operasi yang sama pada G.
Contoh :
a) G = (1, -1, i, -i } dengan i = √ maka (G,x) merupakan grup dan H={1, - 1} adalah subgrup dari G karena H ≠ ø, H G sehingga H kompleks dari
(H,x) juga suatu grup.
b) (Z,+) merupakan subgrup dari (Q,+)
B. Teorema tentang Subgrup Teorema 1 :
Misalkan G adalah grup dan H kompleks dari G
H subgrup dari G jika dan hanya jika ( a, b H) berlaku : i. a○b H dan
ii. a-1 H
Bukti:
( ) H subgrup dari G maka H juga merupakan grup sehingga ( a, b H) pasti berlaku
(i). ab H dan (ii). a-1 H
( ) a, b H berlaku i. ab H dan ii. a-1 H.
Akan ditunjukkan H subgrup dari G berarti H merupakan grup, sebagai berikut :
Tertutup diketahui dari i
Asosiatif : ambil sebarang x, y, z H maka x, y, z G karena H ʗ G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z = x(yz)
Ada elemen satuan : dari ii. diketahui a H berlaku a-1 H dan menurut i. berlaku aa-1 H dan aa-1 = e maka e H
Setiap elemen dalam H mempunyai invers diketahui dari ii. Teorema 2 :
(G;○) suatu grup, H ≠ ø dan H G. H subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b H berlaku a ○ b-1 H
Bukti:
[ ] Akan dibuktikan jika H subgrup dari G maka untuk setap a, b H berlaku a ○ b H. H subgrup dari G berarti (H;○) suatu grup.
Ambil b H, karena H suatu grup maka b-1 H.
Ambil a H dan b-1 H dan H suatu grup maka a○b-1 H.
[ ] Akan dibuktikan jika untuk setiap a,b H berlaku a ○ b-1 H maka H adalah subgrup dari G.
H ≠ ø, ambil sebarang c H, manurut ketentuan c ○ c-1 H. Karena c ○ c-1 = u maka u H. ini berarti H memuat elemen identitas u.
Ambil sebarang d H,dan u H menurut ketentuan maka u ○ d-1 H. Karena u ○ d-1
= d-1maka d-1 H. Ini berarti setiap elemen H mempunyai invers c H dan d-1 H maka c ○ (d-1
)-1 H. Padahal c ○ (d-1)-1 = c ○ d maka c ○ d H. Jadi jika c, d H maka c ○ d H. Hal ini berarti H tertutup terhadap operasi ○. H ⊂G dan (G;○) suatu grup, maka operasi ○ pada H bersifat asosiatif pula.
Maka terbukti bahwa H suatu grup dan merupakan subgrup dari G.
Teorema 3 :
(G,○) suatu grup berhingga. H ⊂ G dan H ≠ ø H adalah subgrup dari G jika dan hanya jika untuk setiap a, b H, a○b H (H tertutup terhadap operasi ○)
Bukti :
[ ] Akan dibuktikan jika H subgrup dari G maka H tertutup terhadap operasi ○.
H subgrup dari G. maka (H;○) suatu grup. Berarti untuk tiap a, b H maka a○b H (H tertutup terhadap operasi ○)
[ ] Akan dibuktikan jika untuk setiap a, b G, a ○ b H maka H subgrup dari G
Ambil sebarang a H, karena H tertutup terhadap operasi ○, maka a○a = a2 , a2○a = a3 H, dan seterusnya an H jadi a1
, a2, a3,…an , H. Tetapi H adalah himpunan berhingga, maka pasti ada pengulangan dalam a1, a2, a3,…an.
Misalkan ada bilangan-bilangan bulat r dan s dengan ○<r<s yang memenuhi ar = as. Berarti ar-s = u ( elemen identitas dalam H). karena r-s-1>○, maka ar-s-1 H.
ar-s-1 = a-1 sebab a○ar-s-1 = ar-s = u. Jadi a-1 H. sifat asosiatif dari operasi ○ pada mengikuti sifat asosiatif ○ pada G.
Terbuktilah bahwa H adalah subgrup dari G.
Contoh :
B adalah himpunan bilangan bulat dan (B;+) suatu grup. B3 adalah himpunan bilangan bulat kelipatan 3, dan (B3;+) merupakan suatu grup. B3 ⊂ B maka B3 adalah subgrup dari B.
B5 adalah himpunan bilangan bulat kelipatan 5 dan (B5;+) merupakan suatu grup pula. B5 ⊂ B maka B5 adalah subgrup dari B.
Apakah B3 B5 merupakan subgrup dari B?
B3 B5 = B15 yaitu himpunan bilangan bulat kelipatan 15. (B15;+)
merupakan suatu grup pula. B15 ⊂ B, maka B15 adalah subgrup dari B. Jadi B3 B5 adalah subgroup dari B.
Secara umum hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.
Teorema 4 : (G;○) suatu grup.
Apabila H dan K adalah subgrup dari G maka H K juga subgroup dari
G.
Bukti :
Ambil sebarang a, b H K maka a, b K dan a, b H. a, b H dan H suatu subgroup maka a○–b H. a, b K dan K suatu subgrup maka a○b H.
a○b H dan a○b K maka a○b H K. jadi H K tertutup terhadap operasi ○….(i)
Ambil sebarang a H K maka a H dan a K. a H dan H suatu subgroup maka a-1 H
a K dan K suatu subgroup maka a-1 K a-1 H dan a-1 K maka a-1 H K.
Jadi setiap elemen H K mempunyai invers….(ii)
Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa H K merupakan subgroup dari G.
Defenisi :
(G;○) suatu grup. K dan H masing-masing adalah himpunan bagian dari G maka KH (hasil kali H dan K) adalah himpunan semua elemen (a○b) dengan a K dan b H. Atau ditulis :
KH = {(a○b) │a K dan b H}.
Definisi :
(G;○) suatu grup dan H adalah himpunan bagian dari G. maka H-1
adalah himpunan semua elemen a-1 dengan a H. atau ditulis :
H-1 = {a-1│a H} Teorema 5 :
(G; ○) suatu grup. Jika H subgrup maka :
i. HH = H ii. H-1 = H
i. Ambil sembarang y HH maka y = a ○ b dengan a, b H. a,b H dan H suatu subgrup maka a○b H, y HH, y = a○b dan a○b H berarti y H.
Jadi HH⊂H … (1)
Ambil z H dan u H sebab H subgroup maka z○u HH tetapi karena z○u = z maka z HH.
Jadi H⊂HH …(2)
Dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa HH = H
ii. Ambil sembarang a H dank arena H suatu subgroup maka a-1 H. Menurut defenisi, jika a-1 H maka (a-1)-1 H-1
Karena (a-1)-1 = a maka a H-1
Jadi, jika a H maka a H-1 berarti H⊂ H-1…(1) Ambil sebarang b H-1
maka b = y-1 H. b = y-1 dan y-1 H maka b H.
jadi, jika b H-1 maka b H, berarti H-1 ⊂H …(2) dari (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa H-1 = H.
Teorema 6:
Misalkan G suatu grup, sedangkan H dan K masing - masing subgrup dari G, maka : HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.
Bukti :
Diketahui G grup, H subgrup dari G dan K subgrup dari G () HK juga subgrup dari G ditunjukkan HK = KH (HK KH dan HK KH)
1) Menurut teorema . HK subgrup maka (HK)-1 = HK
Ambil x HK = (HK)-1 maka x = t-1 untuk setiap t HK berarti t = hk untuk setiap t H, k K. karena H dan K subgrup maka h-1 H, k-1 K, sehinga x = t-1 = (hk)-1= k-1h-1 KH Jadi x HK ⇒ x KH atau HK ⊂ KH.
2) Menurut teorema, H dan K subgrup maka H-1= H dan K-1= K
Ambil sebarang a,c H dan b, d K, dan k arena H dan K masing-masing subgrup dari G maka a ○ c H dan b ○ d K.
Ambil (a ○ b) HK dan (c ○ d) HK maka
(a ○ b) ○ (c ○ d) = ((a ○ b) ○ c) ○ d sifat asosiatif = (a ○ (b ○ c ))○ d sifat asosiatif = (a ○ (c ○ b)) ○ d HK=KH = ((a ○ c) ○ b) ○ d sifat asosiatif =(a ○ c) ○ (b ○ d) sifat asosiatif Jadi (a ○ b) ○ (c ○ d) = (a ○ b) ○ (c ○ d),
Karena a ○ c H dan b ○ d K, maka (a ○ c) ○ (b ○ d) HK. Sehingga (a ○ b) ○ (c ○ d) HK pula.
Hal ini berarti HK tertutup terhadap operasi biner …… (i)
Ambil a H dan b K maka (a ○ b) HK a H dan H subgrup maka a-1 H
b K dan K subgrup maka b-1 K a-1 H dan b-1 K maka (a-1 ○ b-1) HK ingatlah bahwa (a ○ b)-1
= b-1 ○ a-1
= a-1 ○ b-1
Karena HK = KH sehingga (a ○ b)-1 HK pula.
Jadi jika (a ○ b) HK maka (a ○ b)-1 HK. Ini berarti setiap elemen HK mempunyai invers terhadap operasi ○ ……. (ii)
GRUP SIKLIK DAN GENERATOR
Definisi ( perkalian )
Grup (G, o) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga G = { | n Є Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut.
Defenisi ( terhadap penjumlahan )
Grup (G, +) disebut siklik bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga G = {na | n Є Z}.
Definisi 2.5
Grup G dikatakan grup siklik bila dan hanya bila ada elemen a Є G sedemikian sehingga hingga setiap elemen y Є G, y = dengan m bilangan bulat. Elemen a Є G disebut penghasil (generator) dari G.
Contoh 2.11
(1) B = himpunan bilangan bulat, terhadap operasi penjumlahan. B merupakan suatu grup. Grup B ini dapat dipandang sebagai grup siklik dengan generator 1. Setiap bilangan bulat positif n dapat dinyatakan sebagai jumlah n suku yang semua sukunya 1.
Misalnya 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Karena banyaknya elemen B (order grup B) tak berhingga, maka B disebut grup siklik tak berhingga. (2) Himpunan bilangan bulat modulo n terhadap operasi penjumlahan
modulo 6 juga merupakan suatu grup siklik dengan order 1 atau (n - 1).
Misalkan G = { 0, 1,2,3,4,5} terhaap operasi penjumlahan modulo 6 adalah grup siklik dengan generator 1 atau 5, sebab
(2) (5) = 10 ≡ 4 (mod 6), 4 Є G (3) (5) = 15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G
(4) (5) = 20 ≡ 2 (mod 6), 2 Є G (5) (5) = 25 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G (6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6), 0 Є G (7) (5) = 35 ≡ 5 (mod 6), 5 Є G Dan seterusnya. (-1) (5) = -5 ≡ 1 (mod 6), 1 Є G (-2) (5) = -10 ≡ 2 (mod 6), 4 Є G (-3) (5) = -15 ≡ 3 (mod 6), 3 Є G Dan seterusnya.
Sehingga untuk setiap bilangan bulat m maka m (5) Є G. Note:
-5 = 6 (-1) + 1
-10 = 6 (-2) + 2
-15 = 6 (-3) + 3 , dan seterusnya
Contoh :
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu grup terhadap operasi perkalian (G, o)
Tentukan grup siklik dari grup tersebut!
Penyelesaian :
Generator dari G = { -1, 1 } adalah -1 dan 1
= { , , , … } = {-1,1}
[1] = { | n Є Z}
= { , , , … } = {1}
Generator -1 adalah membangun suatu Grup Siklik, sehingga :
[-1] = {-1, 1}
Generator 1 adalah membangun Subgrup Siklik, sehingga :
[1] = {1}
Teorema :
Setiap Grup Siklik adalah Grup Abelian.
Bukti :
Misalkan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi perkalian dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = { | n Є Z}.
Ambil x, y Є G, sehingga x = dan y = , untuk m, n Є Z. x o y = o = = = o = y o x
Jadi (G, o) merupakan Grup Komutatif.
Misakan (G, o) merupakan Grup Siklik terhadap operasi penjumlahan dan merupakan pembangun dari G, sehingga G = {na | n Є Z}.
Ambil x, y Є Z sehingga x = na dan y = ma, untuk m,n Є Z. x + y = na + ma = (n + m) a = (m + n) a = ma + na = y + x
Definisi 2.6
Jika G suatu grup dan a Є G, Periode (order) dari a adalah bilangan bulat positif terkecil m sedemikian hingga = u, jika tak ada bilangan bulat positif demikian, maka dikatakan bahwa a berperiode tak berhingga. Periode a ditulis p (a).
Pada contoh 2.11 (2).
P (5) = 6 sebab (6) (5) = 30 ≡ 0 (mod 6)
P (4) = 3 sebab (3) (4) = 12 ≡ 0 (mod 6)
Selanjutnya periksalah bahwa p (3) = 2, p (2) =3, p (1) = 6 dan p (0) = 1
Contoh 2.12 perhatikan gambar 2.3
Misalkan s (O, ) adalah rotasi dengan pusat O dan sudut putaran berlawanan arah dengan arah
0 perputaran jarum jam.
Jika S (O, ) = S maka S (O, ) = , S (0, ) = , dan S (O, ) = = I yaitu transportasi Identitas.
Pandang himpunan T = {I, S, , }. Maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa T terhadap operasi perkalian o merupkan suatu grup.
Grup T inipun merupakan grup siklik dengn generator S atau (mengapa ?). Coba periksalah bahwa periode setiap elemennya adalah p (I) = 1, p (S) = 4, p ( ) = 2 dan p ( ) = 4.
Perhatikan lagi contoh 2.11 (2), yaitu G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan grup siklik dengan generator I atau S,
sedangkan order grup G yaitu n (G) = 6. Mengingat generator G maka grup siklik G dapat ditulis sebagai
{0.1, 1.1, 2.1, 3.1, 4.1, 5.1} atau
{0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5}.
Perhatikan bahwa factor persekutuan terbesar dari 1 dan 6 yaitu (1,6) = 1. Begtu pula (5,6) = 1.
Demikian pula pada contoh 2.12, T = {I, S, , } terhadap operasi perkalian o, T merupakan suatu grup siklik dengan generator S atau . Order grup T yaitu n (T) = 4. Perhatikan pula bahwa (4,1) = 1 dan (4,3) = 1.
Contoh-contoh ini membawa kita kepada teorema berikut ini:
Teorema 2.13
Jika (G; o) suatu grup siklik dengan order k. Є G dengan o < t < k, maka merupakan generator dari G bila dan hanya bila (k, t) = 1.
Bukti: I. Dibuktikan: jika (k, t) = 1 maka generator G. G = {a, , , … , , = u}.
Kita pernah mempelajari dalam Teori Bilangan,
Apabila a dan b dua bilangan bulat tidak nol, maka a dan b saling prima jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax + by = 1.
jika (k, t) = 1 maka ada bilangan –bilangan x dan y sedemikian sehingga kx + ty = 1
Karena p (G) = k maka = u. Perhatikan bahwa
( = = = a o = a o ( = a o = a o u = a Jadi = a
Ini berarti bahwa elemen a dihasilkan oleh perpangkatan . Oleh karena setiap elemen G merupakan perpangkatan dari a, maka setiap elemen G dapat dihasilkan oleh perpangkatan dari . Jadi adalah generator G.
II. Dibuktikan : Jika generator G maka (k, t) = 1.
generator G, maka setiap elemen G merupakan perpangkatan dari .
a Є G dan misalkan a = ( dengan y bilangan bulat, maka a o = o
u = =
Ini berarti (ty-1) merupakan kelipatan dari k, misalkan ty-1 = kx,
maka kx – ty = 1
Dan disimpulkan bahwa (k, t) = 1. (Terbukti)
Contoh 2.13 Jika G = {a, a2, a3, a4, …, u = a16} suatu grup siklik.
Perhatikan himpunan P = {u, a4, a8, a12} terhadap operasi perkalian o seperti pada G. periksalah bahwa P merupakan suatu grup dan karena P G maka P subgroup dari G.
P merupakan grup siklik pula dengan generator a4 atau a12.
Teorema 2.14
Setiap subgroup dari grup siklik adalah grup siklik pula.
Bukti : Misalkan G suatu grup siklik dengan generator a, maka setiap elemen G merupakan perpangkatan dari a. ambil H suatu subgroup dari G yang tidak hanya terdiri atas elemen identitas saja.
Misalkan m adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga
am H.
Ambil sembarang elemen ak H. Dalam teori Bilangan,
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a > 0, maka ada dengan tunggal pasangan bilangan-bilangan bulat dengan q dan r yang memenuhi b = qa + r dengan 0 < r < a
kita telah mengetahui bahwa setiap bilangan bulat k dapat dinyatakan sebagai.
K = qm + r dengan 0 r m Maka ak = aqm + r = aqm o ar
a-qm o ak = ar
(am)-q o ak = ar
(am)-q H dan ak H dan karena H suatu subgroup, maka (am)-q o ak H. Karena (am)-q o ak = ar maka ar H pula.
Ingat ketentuan di atas bahwa jika r m maka ar H tidak mungkin terjadi, sebab m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga am H, maka satu-satunya kemungkinan adalah r = berarti ak
= aqm = (am)q.
Hal ini menunjukkan bahwa H merupakan subgroup siklik dengan generator am.
GRUP PERMUTASI
Pada bagian terdahulu sudah di jelaskan konsep dasar dari grup. Beberapa contoh sederhana sudah diperkenalkan. Pada bagian ini akan di bahas lebih mendalam tentang grup dan subgrup. Grup yang dibahas di sini tidak sekedar dibangun dari sebuah himpuan tak kosong, lebih lanjut akan di bangun dari transformasi yang terjadi pada sebuah himpunan. Selanjutnya akan di bahas suatu hubungan amat penting yang berlaku antara suatu grup hingga dengan subgrup. Orde dari setiap subgroup dari grup hingga membagi orde dari grupnya.
A. Grup Permutasi
Definisi :
Suatu permutasi dari himpunan A didefinisikan sebagai suatu fungsi bijektif pada A Contoh :
1. Jika A { } maka permutasi dari himpunan A adalah ….
Permutasi dan masing – masing dinotasikan dengan
(
)
dan(
)
Dari contoh di atas maka notasi dari permutasi dapat disimpulkan sebagai berikut : Jika { } maka suatu fungsi berikut :
1 f(1) = 2 f(2) = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 f(3) = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
n f(n) =
Merupakan permutasi jika f bijektif dan untuk permutasi tersebut di sajikan dengan notasi dua baris berikut ini :
(
)
2. Misalkan A={ },maka semua permutasi pada A adalah….. ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( )
Maka di peroleh { }. Misalakan permutasi ini kita komposisi kan maka :
engan ini berarti:
= 2, = 1, = 3, ( ) n=1 ( ) n= 2 ( )= n = 3 ( )
dapat di notasikan sebagai berikut: (
) ( ) ( )
Operasi biner pada secara lengkap dapat disajikan dengan table cayley berikut
Teorema :
Misalkan A adalah himpunan tak kosong dan { | } maka merupakan grup terhadap komposisi fungsi
Bukti :
Misalkan A sebuah himpunan tak kosong dan himpunan semua pemutasi pada A. Untuk membuktikannya sebuah grup maka harus memenuhi sifat:
Bersifat assosiatif
Komposisi fungsi bersifat assosiatif
Mempunyai elemen identitas
Misalkan dengan untuk setiap jelas Ambil sembarang
Di peroleh ( ) dan ( ) Jadi untuk setiap
Dengan demikian merupakan elemen netral di
Mempunyai invers Ambil sebarang
Misalkan untuk setiap
Defenisikan dengan apabila ( )
Diperoleh ( ) ( ) dan ( ) ( ( )) ( ) untuk setiap
Jadi
Karena semua sifat telah di penuhi maka dapat di simpulkan bahwa adalah sebuah grup terhadap komposisi fungsi.
Definisi :
Misalkan A adalah himpunan berhingga { 1,2,3…n}. grup dari semua permutasi pada A yaitu disebut grup simetris derajat n, dan di notasikan dengan . Grup memiliki elemen dimana
KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE
A. KOSETMisalkan adalah suatu grup permutasi dengan { } di komposisi terhadap H = { } adalah suatu subgrup dari. Ambil suatu elemen dari misalkan ( ) di bentuk suatu himpunan dari hasil perkalian setiap elemen H dengan
=
Himpunan semua hasil kali elemen H dengan ditulis dan di sebut koset kanan dan H dalam
{ } :
Jika H suatu subgrup dari grup (G, dan G maka :
i. Ha = { h │ h } di sebut koset kanan dari H dalam G ii. Ah = { a │ h } di sebut koset kiri dari H dalam G Teorema
(G, suatu grup ,H adalah subgrup dari G dan a,b G,maka: i. Ha = H jika dan hanya jika a
ii. Ha = Hb jika dan hanya jika a iii. b a jika dan hanya jika Ha = Hb iv. jika Ha , maka Ha ⋂
v. jika a maka Ha bukan subgrup dari G vi. Ha ekuivalen dengan Hb(Ha \
Bukti
i. (
karena Ha = H maka h a ,untuk setiap h , karena u a = a
(
ambil sekarang h karena a maka h a sehingga Ha ⊂ , Mengingat sifat tertutup dalam H,maka persamaan h = x a selalu mempunyai penyelesaian dalam H.
Jadi H ⊂ Ha, Ha ⊂ dan H ⊂ Ha maka Ha = H ii. (
u maka u a = a , karena a dan Ha = Hb maka a Jadi a = h untuk semua b .
a (h ) a h a
karena h maka a pula (
a misalkan a = h untuk suatu h a = h
ambil x a, maka x = a untuk suatu x = (h x = h) misalkan h = x = ini berarti x b jadi, Ha ⊂ a = h maka b = a
ambil y b maka y = h’ untuk h’
y = h’ a) karena b = a y = (h’ a misalkan h’ y = h’’ a ini berarti y a jadi Hb ⊂ Ha
Ha ⊂ dan Hb ⊂ Ha maka Ha=Hb iii. (
b a, misalkan b = a untuk suatu b a-1= ( a ) a-1 b a-1= a a-1) b a-1= b a-1= maka b a-1
berdasarkan teorema (ii) b a-1 maka Ha=Hb (
b , sebaba H memuat u sehingga u b dan Ha= Hb maka b a.
iv. Andaikan Ha ⋂ , misalkan c Ha ⋂ maka c Ha dan c Hb ,menurut teorema(iii) c Ha jika dan hanya jika Ha=Hb , c Hb jika dan hanya jika Hb=Hc, maka dapat disimpulkan Ha=Hb,
Jadi, Ha ⋂ Ha=Hb
Ini kontraposisi dari implikasi ,jika jika Ha maka Ha ⋂
v. Hu=H, jika a maka Ha dan Ha ⋂ ,sehingga karena u maka u a, jadi Ha bukan subgrup dari G, karena tidak memuat elemen identitas u.
vi. Untuk membuktikan bahwa Ha maka diadakan perkawanan
dari Ha dengan Hb dengan aturan: h
perkawanan ini suatu pemetaan, sebab apabila = untuk maka dengan sifat kanselasidiperoleh = Sehingga = . Pemetaan itu 1-1, sebab apabila
= maka = , sehingga =
pemetaan itu onto, sebab setiap elemen Hb, misalnya menentukan , sehingga yang menjadi kawan dari . Maka pemetaan itu 1-1 dan onto sehingga Ha
B. Teorema Lagrange
Suatu pedoman yang sering digunakan untuk menentukan banyaknya subgrup yang berbeda dari suatu grup terhingga, yaitu banyaknya anggota dari subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya. Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Lagrange.
Teorema 1.
Jika G suatu grup berhingga dan H subgroup dari G, maka order dari H membagi habis order dari G (ditulis m(H)|n(G))
Bukti :
Maka jelas H juga terhingga. Sebut (H) = m dan (G) = n Karena (H) = m, maka H mempunyai m anggota yang berbeda. Tulis m anggota dari H tersebut, yaitu h1, h2, h3, …, hm
Oleh karena itu, untuk sebarang a anggota elemen G, koset kanan Ha yaitu: Ha = { h1a, h2a, …, hma}
Jelas hia ≠ hja untuk i ≠ j.
(karena jika diandaikan hia=hja, maka hukum pencoretan kanan memberikan hi=hj, yang kontradiksi dengan asumsi bahwa hi ≠ hj untuk i ≠ j).
Jadi, Ha mempunyai m anggota yang berbeda.
Sehingga setiap koset dari H di G memuat m anggota yang berbeda. Selanjutnya , misalkan G memuat k koset kanan yang berbeda itu. Akibatnya k koset kanan akan mempunyai mk anggota yang berbeda. Oleh karena itu, G mempunyai mk anggota, dengan kata lain:
(G) = mk atau n = mk
Jadi m | n
ini berarti (H) membagi (G).
Karena n = mk, maka n/k = m, akibatnya indeks subgrup dari grup terhingga, membagi orde grup tersebut.
Definisi :
Misalkan G suatu grup dan H subgrup dari G maka a kongruen dengan b modulo H,ditulis a bila dan hanya bila a.
Teorema 2:
Jika G suatu grup dan H adalah subgrup dari G maka untuk setiap a { | } =
Definisi :
Jika G suatu grup dan H adalah suatu subgrup dari G, maka indeks dari H dalam G adalah banyak koset kanan yang berbeda dari H dan di tulis . Jika G suatu grup berhingga , maka
Teorema 3 :
Jika G suatu grup berhingga dan a maka p(a)| n(G) yaitu periode a membagi habis orde G
Teorema 4 :
Jika G suatu grup berhingga yang berorder bilangan prima maka G merupakan grup siklik
Bukti :
Misalkan m bilangan prima. maka pembagi dari m hanyalah 1 dan m saja, dan subgrup dari G hanyalah {e} dan G saja. Ambil x e maka himpunan perpangkatan bilangan asli dari x, yaitu H = { x, x2, x3,…, xm = e } merupakan subgrup dari G. karena x e maka H = G. Dan karena H grup siklik maka G juga grup siklik.
HOMOMORFISMA DAN ISOMORFISMA
A. Homomorfisma
Definisi: Homomorfisma Grup
Diketahui (G, ) dan (G',∗) merupakan grup. Pemetaan ϕ :G →G' disebut homomorfisma dari G ke G' jika dan hanya jika untuk setiap a,b G berlaku ϕ (a b) =ϕ (a)∗ ϕ (b)
Contoh
dengan operasi penjumlahan Modula 4, dan
dengan operasi perkalian modulo 5. dan masing-masing merupakan grup. Table-tabel berikut adalah table operasi biner pada
+ 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 1 4 3 1 2 3 1 2 4
Di bentuk persamaan dan di definisika sebagai
Periksalah bahwa untuk setiap berlaku bahwa
Misalkan :
Contoh:
Misalkan suatu grup, pemetaan di definisikan oleh
untuk setiap x . Untuk a, b maka u dan
sehingga
Jadi suatu homorfisma. Homomorfisma ini adalah homomorfisma trivial, homomorfisma lainya adalah
yang didefinisikan oleh untuk x
Lemma
Diketahui G,G' grup dan ϕ :G →G' merupakan homomorfisma grup, maka keempat
sifat berikut berlaku:
(i). Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ (e) merupakan elemen identitas e ' di G'
(ii). Jika a G, maka ϕ (a-1 ) = ϕ (a)-1
(iii). Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ (H ) merupakan subgrup pada G'
(iv). Jika K ' merupakan subgrup pada G' , maka ϕ −1 (K ') merupakan subgroup pada G.
Teorema 3.11
Misalkan (G; dan( G’; masing-masing adalah grup. Pemetaan ϕ :G →G' merupakan homomorfisma , maka:
(i) ϕ(u), u elemen identitas dalam G dan u’ adalah elemen identitas dalam G (ii)ϕ (x-1)= ϕ(x)-1
untuk setiap x G
ϕ (x)-1 di maksud ϕ(x) -1 yaitu inver’s dari ϕ (x) dalam G bukti:
(i) u’ adalah elemen identitas dalam G’, maka ϕ (x) u’= ϕ (x) untuk x G, x G dan u G maka x u=x, sehingga ϕ (x u) = ϕ (x). jadi ϕ (x) ϕ (u)
ϕ (x) ϕ (u) Karena ϕ homomorfisma u’= ϕ (u)
(ii) u’= ϕ (u)= (x x-1) untuk setiap x G
maka u’ = ϕ (x) ϕ (x)-1 karena ϕ suatu homomorfisma ϕ (x)-1 u’ = ϕ (x)-1 ϕ (x) ϕ (x)-1
ϕ (x)-1=u’ ϕ (x)-1 ϕ (x)-1= ϕ (x)-1
untuk setiap x dalam G
Contoh 1:
Misalkan grup G dan G’ yang masing-masing mempunyai identitas . paling sedikit terdapat satu homomorfisma : G→ G’ yaitu dengan sifat untuk setiap a . Jelaskan bahwa pemetaan
adalah suatu homomorfisma, sebab jika maka homomofirma ini disebut juga homomorfisma trivial.
Homomorfisma trifial belum dapat memberikan informasi tentang, struktur suatu grup dengan memperhatikan sifat struktur grup yang lain, sekarang perhatikan teorema berikut:
Contoh:2
Misalkan s, grup simetris derajat n, dan didefenisikan n 2 sebagai
0 jika permutasi genap
1 jika permutasi ganjil
Tunjukkan bahwa adalah suatu homomorfisma
Penyelesaian:
Untuk sebarang permutasi di n pasti genap atua ganjil dan tidak mungkin
berlaku keduanya. Sehingga nilai selalu ada dan tuggal di 2. Karena itu
suatu pemetaan. Sekarang tinggal ditunjukkan bahwa ) =
) untuk setiap n. misalkan n sebarang. Akan
ditunjukkan untuk semua kemungkinan kasus untuk .
Kasus dan , keduanya genap atau keduanya ganji.
Jika dan , permutasi genap(ganjil), maka keduanya merupakan hasilkali
sejumlah genap (ganjil) dari transposisi. Akaibatnya merupakan hasilkali sejumlah genap permutasi. Jadi adalah permutasi genap. Karena itu diperoleh.
Dan
permutasi ganjil permutasi ganjil
kasus dan , berturut-turut genap dan ganjil atau ganjil dan genap.
Jika dan beturut-turut permutasi genap dan ganjil (ganjil dan genap),
maka merupakan hasil kali sejumlah genap + ganjil (ganjil +genap), yaitu
sejumlah ganjil dari transposisi. Akibatnya merupakan permutasi ganjil. Karena itu diperoleh.
berturut-turut permutasi genap dan ganjil
permutasi ganjil
Dan
berturut-turut permutasi genap dan ganjil
permutasi ganjil
Dari semua kemungkinan untuk nilai berlaku
, karenanya adalah suatu homomorfisma.
Contoh 3:
Misalkan adalah grup dari semua fungsi dari terhadap operasi
penjumlahan, dengan adalah grup bilangan riil. Untuk , didefenisikan
dengan c : untuk setiap . Ternyata c adalah suatu homomorfisma.
Bukti:
Ingat kembali defenisi penjumlahan dari dua fungsi, yaitu untuk setiap
dan setiap
Misalkan , maka
c c c
Untuk setiap
Defenisi 3.3:(Image,Range,dan Invers)
Misalkan : adalah suatu pemetaan, dan . Image dari A di Y, ditulis dengan adalah himpunan.
{
Himpunan dikatakan juga range dari invers dari B di X ditulis -1 [B] adalah himpunan.
{ x ⎸ . Teorema 1.12
Misalkan adalah suatu homomorfisma grup.
1. Maka sub grup dari maka ) sub grup dari
2. Jika sub grub dari maka -1 ( dari
Akan dibuktikan bagian 1 dari teorema. Misalkan H adalah suatu sub grup dari
, dan misalkan
dan dua elemen sebarang di . Karena adalah homomorfisma maka
) b).
Tinggal ditunjukkan invers dari elemen di ker ) juga berada disana.
Misalkan ker , maka dan . Menggunakan teorema 3.4 dperoleh
-1
) -1] -1
Dengan demikian -1 juga berada di ker . Dengan demikian lengkap bukti
bahwa Ker subgrup di G.
Teorema 1.13 : Misalkan adalah homomorfisma dan
Ker . Jika maka himpunan
-1
Adalah koset kiri ( ) dari yang juga koset kanan dari
Bukti:
Pembuktian ini hanya untuk koset kiri, sedangkan koset kanan dijadikan
sebagai latihan. Misalkan adalah homomorfisma dan . akan dibuktikan bahwa
{
Ambil sembarang yang memenuhi = . Maka
Dimana identitas di . Menurut teorema 3.4 [ ]-1 -1)
sehingga diperoleh -1 . . jadi -1 , yaitu -1
untuk suatu h di H, akibatnya dan . Ini menunjukan bahwa
{ }
Sebaliknya misalkan , maka untuk suatu h di H. sehingga diperoleh
.
Karena maka jelas berada didalam himpunan
{ . Jadi { .
Dengan demikian menjadi lengkap bukti teorema, yaitu
{
Suatu kesimpulan amat penting yang dapat difahami dari Teorema 3.8 adalah,
jika adalah homomorfisma dan Ker dan
untuk ,maka dan . Sifat ini perlu untuk diingat untuk memudahkan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang menyangkut dan homomorfisma.
Teorema 1.14:
Suatu homomorfisma adalah injektif jika dan hanya jika
Ker .
Bukti:
{ ,
Yaitu koset kiri yang memuat . Ini menunjukkan bahwa untuk setiap
dengan maka , yang menunjukan bahwa
adalah injektif.
Sebaliknya misalkan injektif. Menurut Teorema 3.4 , identitas
di . Karena injektif maka hanya yang memenuhi , sehingga Ker .
Dari teorema di ataa telah diperlihatkan bahwa untuk menunjukkan bahwa
suatu homomorfisma merupakan pemetaan satu-satu ( injektif ) dapat digunakan sifat kornel, yaitu jika Ker . Begitu juga untuk
menunjukkan bahwa adalah pemetaan “pada” surjektif dapat pula
digunakan sifat image yaitu jika
B. Isomorfisma
Definsi (Isomorfisma)
Diketahui G,G' grup dan ϕ :G→G' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ
disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan bijektif. Istilah yang lainnya:
1. Homomorfisma disebut epimorfisma apabila setiap
ada sehingga dengan kata lain setiap
elemen mempunyai kawan elemen . Dapat pula dikatakan bahwa
homomorfisma dari G atau disingkat homomorfisma onto.
2. Homomorfisma disebut monomorfisma jika suatu
pemetaan satu-satu dari G ke G’. dengan kata lain, jika maka x=y untuk x,y G.
3. Homomorfisma disebut isomorfisma jika sekaligus
epimorfisme dan monomorfisme, yaitu suatu homomorfisma satu-satu dari G ke G’.
Contoh: Diketahui � merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Maka,
ϕ :→� dengan ϕ (a) = −a , untuk setiap a∈� merupakan homomorfisma grup
Grup G dan grup G’ dikatakan isomorfisma jika ada isomorfisma dari G ke G’. selanjutnya notasi G G’. pada contoh 3.8 G P{ 0,1,2,3} suatu grup dengan operasi penjumlahan modulo 4 dan G’={1,2,3,4} suatu grup dengan operasi perkalian modulo 5, G G’.
Contoh: B={ 0,1,2} yaitu himpunan bilangan bulat modulo 3. B terhadap operasi penjumlahan modulo 3 merupakan suatu grup G={ I,S3,S,S2} yaitu suatu grup operasi simetri dari segitiga samasisi dengan s adalah rotasi terhadap pusat segitiga dengan putar 120o. table opersai pada B dan G adalah sebagai berikut: + 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 Tabel ( B;+) Tabel ( G; ) I S S2 I S S I S S2 S S2 I S2 I S
Pemetaan didefinisikan oleh dan 2
2 =
Jadi suatu homomorfisma Nampak bahwa suatu pemetaan satu-satu dan
onto maka suatu isomorfisma. Jadi B G.
Teorema 2.1:
Diketahui ϕ :G→G' homomorfisma grup dengan ker (ϕ ) = H . Maka pemetaan
μ :G H →ϕ (G) yang didefinisikan μ (aH ) =ϕ (a) untuk setiap aH ∈G H
merupakan isomorfisma grup.
Bukti:
Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa μ merupakan pemetaan. Diambil sebarang
(aH ),(bH )∈G H dengan aH = bH dan akan ditunjukkan bahwa μ (aH ) = μ (bH ).
Karena aH = bH , akibatnya ab−1∈H dan dengan demikian ϕ (ab−1 ) = e ' . Karena
ϕ (ab−1 ) = e ' , maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' ab a b a b e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−
− = − = = atau dengan kata lain ϕ (a) =ϕ (b) . Karena
sesuai definisi μ berlaku μ (aH ) =ϕ (a) dan μ (bH ) =ϕ (b) , dengan demikian berlaku
μ (aH ) = μ (bH ). Jadi, μ merupakan pemetaan.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa μ merupakan homomorfisma grup. Diambil
sebarang (aH ),(bH )∈G H , diperhatikan bahwa
μ ((aH )(bH )) = μ ((ab)H ) =ϕ (ab) =ϕ (a)ϕ (b) = μ (aH )μ (bH ) . Jadi, terbukti bahwa μ merupakan homomorfisma grup.
Diambil sebarang y∈ϕ (G) , maka y =ϕ (a) untuk suatu a∈G dan dengan demikian
dapat dipilih x = aH ∈G H sehingga μ ( x) = y . Jadi, μ merupakan pemetaan surjektif.
Diambil sebarang x∈ker (μ ) . Karena ker (μ ) ⊆ G H , maka x =
aH untuk suatu a∈G.
Karena μ (x) = μ (aH ) =ϕ (a) = e ' dan karena ker (ϕ ) = H berakibat a∈H . Karena
a∈H , berakibat aH = H dan dengan demikian x = H . Jadi,
diperoleh ker (μ ) = {H}
dan menurut Lemma E3.6 berakibat μ merupakan pemetaan injektif. Jadi, karena μ merupakan homomorfisma grup yang surjektif sekaligus injektif, maka μ
RING
PENGERTIAN, TIPE-TIPE KARATERISTIK RING
Definisi 4.1:
Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan tanda-tanda + dan merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut:
a. sifat tertutup pada operasi +
Untuk setiap a,b , dapat ditemukan dengan tunggal elemen c , sedemikian hingga
b. sifat asosiatif terhadap operasi
Untuk setiap a,b,c berlaku
c. Ada elemen identitas terhadap operasi . Ada sedemikian hingga untuk setiap berlaku
d. Setiap elemen mempunyai invers terhadap operasi . Untuk setiap dapat ditemukan sedemikian
e. Sifat komutatif terhadap operasi . Untuk setiap berlaku f. Sifat tertutup terhadap operasi (perkalian). Untuk setiap a,b , dapat
ditemukan dengan tunggal c sedemikian hingga
g. Sifat asosiatif terhadap operasi (perkalian). Untuk setiap a,b,c berlaku
h. Sifat distributif operasi terhadap operasi . Untuk setiap a,b,c berlaku: i.
ii.
Himpunan terhadap operasi yang disajikan dengan tanda dan merupakan suatu Ring yang sifat-sifatnya di kelompokkan menjadi 3, yaitu:
Sifat-sifat a,b,c,d dan e menyatakan bahwa terhadap operasi merupakan suatu Grup Abelian.
Sifat-sifat f dan g menyatakan bahwa terhadap operasi bersifat tertutup dan asosiatif.
Sifat h menyatakan bahwa terhadap operasi-operasi dan berlaku sifat distributif kiri dan sifat distributif kanan.
Contoh 1:
Tunjukkan bahwa { } merupakan suatu Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6.
Jawab:
Untuk menunjukkan bahwa E merupakan suatu Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, susun table operasi penjumlahan dan perkalian modulo 6.
Table (E,+) + 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Table (E, ) 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
1. Tunjukkan bahwa E terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan grup abelian jika , maka:
a) Sifat tertutup terpenuhi : mod 6 Misal:
. , 3 b) Sifat asosiatif terpenuhi.
Berdasarkan table (E,+)
Jadi, Terbukti
c) Elemen identitas dalam E terhadap operasi penjumlahan modulo 6 adalah 0, sebab untuk setiap maka
Misal: , 4 mod 6 = 4 , 5 mod 6 = 5
d) Setiap elemen E mempunyai invers terhadap operasi .
Missal: 3 dapat ditentukan ( sedemikian hingga maka
0 mod 6 = 0
e) Sifat komutatif terhadap . Missal: ,
Himpunan E memenuhi kelima sifat grup abelian.
2. Tunjukkan bahwa E tertutup dan asosiatif terhadap operasi (perkalian). Untuk setiap
a) Sifat tertutup terpenuhi untuk operasi . Missal: .
, 3
b) Sifat asosiatif terpenuhi untuk operasi . Misal:
berdasarkan table (E, )
Jadi, terbukti 3. Sifat distributif operasi terhadap operasi terpenuhi.
i. Distributif kanan
Misal:
Jadi, terbukti ii. Distributif kiri
Misal:
Jadi, terbukti
Telah ditunjukkan bahwa himpunan E merupakan Grup Abelian, bersifat tertutup dan asosiatif terhadap perkalian, dan bersifat distributif operasi terhadap operasi , sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan E merupakan Ring.
Contoh 2:
C = {(a, b) | a dan b bilangan-bilangan real}. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada C berturut-turut didefinisikan sebagai berikut:
dan – Tunjukkan bahwa C merupakan suatu Ring. Jawab:
I. Tunjukkan bahwa C memenuhi sifat Grup Abelian, yaitu:
1. Menurut defenisi penjumlahan pada C, C bersifat tertutup terhadap penjumlahan, yaitu jumlah dua pasangan berurutan merupakan suatu pasangan berurutan pula. 2. Sifat asosiatif penjumlahan pasangan-pasangan berurutan mengikuti sifat asosiatif
((a,b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f) = (a + (c + e), b + (d + f)) = (a, b) + ((c, d) + (e, f))
3. C terhadap penjumlahan tersebut mempunyai elemen identitas, yaitu (0, 0), maka untuk setiap (a, b) C sedemikian hingga , maka
(a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)
4. Setiap (a, b) C mempunyai invers terhadap penjumlahan, dapat ditentukan sedemikian hingga , maka
(a, b) + (-a, -b) = (-a, -b) + (a, b) =( 0, 0)
5. Sifat komulatif penjumlahan pasangan-pasangan berurutan mengikuti sifat komulatif penjumlahan bilangan-bilangan real sebagai berikut:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b)
= (c, d) + (a, b), untuk setiap (a, b) , (c, d) Є C Jadi (C, +) merupakan suatu Grup Abelian
II. Tunjukkan bahwa C bersifat tertutup dan asosiatif terhadap perkalian.
6. Menurut defenisi perkalian pasangan-pasangan berurutan tersebut, perkalian dua pasangan berurutan merupakan suatu pasangan berurutan pula. Jadi C bersifat tertutup terhadap perkalian.
7. Sifat asosiatif perkalian pasangan-pasangan berurutan dalam C mengikuti sifat-sifat asosiatif dan distributif perkalian dalam himpunan bilangan real.
((a,b) . (c,d)) . (e,f) = (ac – bd, ad + bc) . (e, f)
= ((ac – bd) e – (ad + bc) f, (ac – bd) f + (ad + bc) e) = (ace – bde – adf – bcf, acf – bdf + ade + bce) = ((ace – adf) – (bcf + bde), (acf + ade) + (bce- bdf) = (a (ce – df) – b (cf + de), a (cf + de) + b (ce – df) = (a, b) . (ce – df, cf + de)
= (a, b) . ((c, d). (f, f))
8. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan pada C ditunjukkan sebagai berikut:
(a, b) , ((c, d) + (e, f) = (a, b) . (c + e, d+ f)
= (a (c + e) – b (d + f), a (d + f) + b (c + e) = (ac + ae – bd – bf, ad + af + bc + be) = ((ac – bd) + (ae – bf), (ad + bc) + (af + be)
= (ac – bd, ad + bc) + (ae - bf, af + be) = (a, b) . (c, d) + (a, b) . (e, f)
Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan pada C, yaitu: ((c, d) + ( e, f) . (a, b) = (c+e,d+f).(a,b)
= ((c+e).a-(d+f).b),((c+e).b+(d+f).a) =(ca+ea-db-fb, cb+eb+da+fa) = ((ca-db)+(ea-fb), (cb+da)+(eb+fa)) =(ca-db,cb+da)+(ea-fb,eb+fa) =(c, d) . (a, b) + (e, f) . (a, b).
Karena C terhadap operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi semua sifat-sifat Ring, maka (C,+, ) merupakan suatu Ring.
Contoh3:
Misalkan B adalah himpunan bilangna bulat. Operasi-operasi dan berturut-turut didefenisikan sebagai berikut.
Untuk setiap berlaku dan .
Tunjukkan bahwa B merupakan suatu Ring komutatif! Apakah B merupakan Ring dengan elemen satuan?
Jawab:
I. Diperhatikan B terhadap operasi
1. B terhadap operasi bersifat tertutup, sebab jika maka yaitu .
2. Sifat asosiatif pada B ditunjukkan, maka
3. Elemen identitas dalam B terhadap adalah -1, sebab dan
4. Jika a maka invers a terhadap adalah –(a+2) dan (-a-2), sebab dan
5. Sifat komutatif terpenuhi, , maka
II. Perhatikan B terhadap operasi
6. B terhadap operasi bersifat tertutup, sebab jika maka yaitu .
7. Sifat asosiatif pada B ditunjukkan sebagai berikut: Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa 8. Sifat distributif kiri terhadap ditunjukkan sebagai berikut:
Sifat distributif kanan terhadap pada B.
terbukti Jadi merupakan suatu Ring .
SIFAT-SIFAT RING
Misalkan R adalah suatu Ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Elemen identitas terhadap penjumlahan dalam R dinyatakan dengan 0. Elemen identitas terhadap perkalian (elemen satuan) dalam R dinyatakan dengan 1 dan invers terhadap penjumlahan dinyatakan dengan (-a). Maka untuk setiap berlaku :
dan
Teorema 4.1
Misalkan R adalah suatu Ring dengan operasi-operasi perkalian dan penjumlahan, maka: i. untuk setiap
ii. – dan – untuk setiap iii. untuk setiap
iv. untuk setiap
v. – – dan – untuk setiap
Bukti :
i. sifat elemen identitas 0 dan R sifat distribusi kiri.
sifat elemen identitas 0 dan R
sifat kanselasi dalam grup R terhadap penjumlahan. Kemudian,
sifat elemen identitas 0 dan R sifat distribusi kanan
sifat elemen identitas dalam R
sifat kanselasi dalam grup R terhadap penjumlahan
Karena elemen sembarang dalam R, maka untuk setiap , berlaku
ii. maka
maka Jadi
. sifat kanselasi dalam grup aditif Jika dapat ditemukan sedemikian hingga ( )
sifat asosiatif penjumlahan sifat asosiatif penjumlahan sifat elemen identitas penjumlahan sifat invers penjumlahan.
Ini berarti bahwa
iii. sifat distributif kiri sifat invers penjumlahan
Jadi adalah invers dari , yaitu
sifat distributive kanan sifat invers penjumlahan
sifat elemen identitas penjumlahan Jadi adalah invers dari , yaitu
Sehingga
iv. Gunakan sifat bahwa dan – ( ) v. maka – – TIPE-TIPE RING
Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan u, maka u sendiri adalah invers terhadap perkalian dari u yaitu = u. Tetapi elemen-elemen R yang lain belum tentu mempunyai invers terhadap perkalian. Misalnya, himpunan bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian aritmetika merupakan suatu ring dengan elemen satuan u=1 dan = 1. Tapi elemen-elemen lainnya tidak mempunyai invers terhadap perkalian dalam himpinan bilangan bulat.
Defenisi 4.2
Misalkan R suatu Ring dengan elemen identitas terhadap penjumlahan adalah z, suatu elemen a z dalam R disebut pembagi nol, jika ada suatu elemen b z dalam R sedemikian sehingga a b = z atau b a = z.
Selanjutnya elemen identitas terhadap penjumlahan dalam u suatu ring disebut elemen nol. Dalam aritmetika, apabila hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan 0 maka a = 0 atau b = 0. Maka ring bilangan bulat tidak memuat pembagi nol.
Contoh:
i) H = { } terhadap penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6 merupakan suatu ring. Ring H ini memuat pembagi nol, sebab 2.3 = 0 dan 3.2 = 0 ii) M adalah himpunan semua matriks berordo 2 x 2 . M terhadap penjumlahan dan perkalian matriks merupakan suatu ring. Ring M ini pun memuat pembagi nol, sebab:
*
+ * + = * + dan * + * + = * +
Dari defenisi 4.2 tersebut dapat dimengerti bahwa ring R tidak memuat pembagi nol, jika dan hanya jika untuk setiap a,b R berlaku jika a.b = z, maka a = z atau b = z, atau dapat dikatakan bahwa ring R tidak memuat pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap a,b R jika a z dan b z maka a.b z.
z adalah elemen nol dari R.
Defenisi 4.3
Jika R suatu ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat elemen pembagi nol maka R disebut daerah integral (integral domain).
KARAKTERISTIK SUATU RING
Misalkan R suatu ring dengan operasi – operasi penjumlahan dan perkalian. Elemen sembarang dan suatu bilangan bulat positif, maka :
. –
Jika dengan adalah elemen nol dalam R. Untuk setiap dan bilangan – bilangan bulat berlaku :
