Definisi 4.1:
Himpunan yang tidak kosong R terhadap dua operasi yang disajikan dengan tanda-tanda + dan merupakan suatu ring bila dan hanya bila memenuhi sifat-sifat berikut:
a. sifat tertutup pada operasi +
Untuk setiap a,b , dapat ditemukan dengan tunggal elemen c , sedemikian hingga
b. sifat asosiatif terhadap operasi
Untuk setiap a,b,c berlaku
c. Ada elemen identitas terhadap operasi . Ada sedemikian hingga untuk setiap berlaku
d. Setiap elemen mempunyai invers terhadap operasi . Untuk setiap dapat ditemukan sedemikian
e. Sifat komutatif terhadap operasi . Untuk setiap berlaku f. Sifat tertutup terhadap operasi (perkalian). Untuk setiap a,b , dapat
ditemukan dengan tunggal c sedemikian hingga
g. Sifat asosiatif terhadap operasi (perkalian). Untuk setiap a,b,c berlaku
h. Sifat distributif operasi terhadap operasi . Untuk setiap a,b,c berlaku: i.
ii.
Himpunan terhadap operasi yang disajikan dengan tanda dan merupakan suatu Ring yang sifat-sifatnya di kelompokkan menjadi 3, yaitu:
Sifat-sifat a,b,c,d dan e menyatakan bahwa terhadap operasi merupakan suatu Grup Abelian.
Sifat-sifat f dan g menyatakan bahwa terhadap operasi bersifat tertutup dan asosiatif.
Sifat h menyatakan bahwa terhadap operasi-operasi dan berlaku sifat distributif kiri dan sifat distributif kanan.
Contoh 1:
Tunjukkan bahwa { } merupakan suatu Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6.
Jawab:
Untuk menunjukkan bahwa E merupakan suatu Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, susun table operasi penjumlahan dan perkalian modulo 6.
Table (E,+) + 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Table (E, ) 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
1. Tunjukkan bahwa E terhadap operasi penjumlahan modulo 6 merupakan grup abelian jika , maka:
a) Sifat tertutup terpenuhi : mod 6 Misal:
. , 3 b) Sifat asosiatif terpenuhi.
Berdasarkan table (E,+)
Jadi, Terbukti
c) Elemen identitas dalam E terhadap operasi penjumlahan modulo 6 adalah 0, sebab untuk setiap maka
Misal: , 4 mod 6 = 4 , 5 mod 6 = 5
d) Setiap elemen E mempunyai invers terhadap operasi .
Missal: 3 dapat ditentukan ( sedemikian hingga maka
0 mod 6 = 0
e) Sifat komutatif terhadap . Missal: ,
Himpunan E memenuhi kelima sifat grup abelian.
2. Tunjukkan bahwa E tertutup dan asosiatif terhadap operasi (perkalian). Untuk setiap
a) Sifat tertutup terpenuhi untuk operasi . Missal: .
, 3
b) Sifat asosiatif terpenuhi untuk operasi . Misal:
berdasarkan table (E, )
Jadi, terbukti 3. Sifat distributif operasi terhadap operasi terpenuhi.
i. Distributif kanan
Misal:
Jadi, terbukti ii. Distributif kiri
Misal:
Jadi, terbukti
Telah ditunjukkan bahwa himpunan E merupakan Grup Abelian, bersifat tertutup dan asosiatif terhadap perkalian, dan bersifat distributif operasi terhadap operasi , sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan E merupakan Ring.
Contoh 2:
C = {(a, b) | a dan b bilangan-bilangan real}. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada C berturut-turut didefinisikan sebagai berikut:
dan – Tunjukkan bahwa C merupakan suatu Ring. Jawab:
I. Tunjukkan bahwa C memenuhi sifat Grup Abelian, yaitu:
1. Menurut defenisi penjumlahan pada C, C bersifat tertutup terhadap penjumlahan, yaitu jumlah dua pasangan berurutan merupakan suatu pasangan berurutan pula. 2. Sifat asosiatif penjumlahan pasangan-pasangan berurutan mengikuti sifat asosiatif
((a,b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f) = (a + (c + e), b + (d + f)) = (a, b) + ((c, d) + (e, f))
3. C terhadap penjumlahan tersebut mempunyai elemen identitas, yaitu (0, 0), maka untuk setiap (a, b) C sedemikian hingga , maka
(a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)
4. Setiap (a, b) C mempunyai invers terhadap penjumlahan, dapat ditentukan sedemikian hingga , maka
(a, b) + (-a, -b) = (-a, -b) + (a, b) =( 0, 0)
5. Sifat komulatif penjumlahan pasangan-pasangan berurutan mengikuti sifat komulatif penjumlahan bilangan-bilangan real sebagai berikut:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b)
= (c, d) + (a, b), untuk setiap (a, b) , (c, d) Є C Jadi (C, +) merupakan suatu Grup Abelian
II. Tunjukkan bahwa C bersifat tertutup dan asosiatif terhadap perkalian.
6. Menurut defenisi perkalian pasangan-pasangan berurutan tersebut, perkalian dua pasangan berurutan merupakan suatu pasangan berurutan pula. Jadi C bersifat tertutup terhadap perkalian.
7. Sifat asosiatif perkalian pasangan-pasangan berurutan dalam C mengikuti sifat-sifat asosiatif dan distributif perkalian dalam himpunan bilangan real.
((a,b) . (c,d)) . (e,f) = (ac – bd, ad + bc) . (e, f)
= ((ac – bd) e – (ad + bc) f, (ac – bd) f + (ad + bc) e) = (ace – bde – adf – bcf, acf – bdf + ade + bce) = ((ace – adf) – (bcf + bde), (acf + ade) + (bce- bdf) = (a (ce – df) – b (cf + de), a (cf + de) + b (ce – df) = (a, b) . (ce – df, cf + de)
= (a, b) . ((c, d). (f, f))
8. Sifat distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan pada C ditunjukkan sebagai berikut:
(a, b) , ((c, d) + (e, f) = (a, b) . (c + e, d+ f)
= (a (c + e) – b (d + f), a (d + f) + b (c + e) = (ac + ae – bd – bf, ad + af + bc + be) = ((ac – bd) + (ae – bf), (ad + bc) + (af + be)
= (ac – bd, ad + bc) + (ae - bf, af + be) = (a, b) . (c, d) + (a, b) . (e, f)
Sifat distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan pada C, yaitu: ((c, d) + ( e, f) . (a, b) = (c+e,d+f).(a,b)
= ((c+e).a-(d+f).b),((c+e).b+(d+f).a) =(ca+ea-db-fb, cb+eb+da+fa) = ((ca-db)+(ea-fb), (cb+da)+(eb+fa)) =(ca-db,cb+da)+(ea-fb,eb+fa) =(c, d) . (a, b) + (e, f) . (a, b).
Karena C terhadap operasi penjumlahan dan perkalian memenuhi semua sifat-sifat Ring, maka (C,+, ) merupakan suatu Ring.
Contoh3:
Misalkan B adalah himpunan bilangna bulat. Operasi-operasi dan berturut-turut didefenisikan sebagai berikut.
Untuk setiap berlaku dan .
Tunjukkan bahwa B merupakan suatu Ring komutatif! Apakah B merupakan Ring dengan elemen satuan?
Jawab:
I. Diperhatikan B terhadap operasi
1. B terhadap operasi bersifat tertutup, sebab jika maka yaitu .
2. Sifat asosiatif pada B ditunjukkan, maka
3. Elemen identitas dalam B terhadap adalah -1, sebab dan
4. Jika a maka invers a terhadap adalah –(a+2) dan (-a-2), sebab dan
5. Sifat komutatif terpenuhi, , maka
II. Perhatikan B terhadap operasi
6. B terhadap operasi bersifat tertutup, sebab jika maka yaitu .
7. Sifat asosiatif pada B ditunjukkan sebagai berikut: Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa 8. Sifat distributif kiri terhadap ditunjukkan sebagai berikut:
Sifat distributif kanan terhadap pada B.
terbukti Jadi merupakan suatu Ring .
SIFAT-SIFAT RING
Misalkan R adalah suatu Ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Elemen identitas terhadap penjumlahan dalam R dinyatakan dengan 0. Elemen identitas terhadap perkalian (elemen satuan) dalam R dinyatakan dengan 1 dan invers terhadap penjumlahan dinyatakan dengan (-a). Maka untuk setiap berlaku :
dan
Teorema 4.1
Misalkan R adalah suatu Ring dengan operasi-operasi perkalian dan penjumlahan, maka: i. untuk setiap
ii. – dan – untuk setiap iii. untuk setiap
iv. untuk setiap
v. – – dan – untuk setiap
Bukti :
i. sifat elemen identitas 0 dan R sifat distribusi kiri.
sifat elemen identitas 0 dan R
sifat kanselasi dalam grup R terhadap penjumlahan. Kemudian,
sifat elemen identitas 0 dan R sifat distribusi kanan
sifat elemen identitas dalam R
sifat kanselasi dalam grup R terhadap penjumlahan
Karena elemen sembarang dalam R, maka untuk setiap , berlaku
ii. maka
maka Jadi
. sifat kanselasi dalam grup aditif Jika dapat ditemukan sedemikian hingga ( )
sifat asosiatif penjumlahan sifat asosiatif penjumlahan sifat elemen identitas penjumlahan sifat invers penjumlahan.
Ini berarti bahwa
iii. sifat distributif kiri sifat invers penjumlahan
Jadi adalah invers dari , yaitu
sifat distributive kanan sifat invers penjumlahan
sifat elemen identitas penjumlahan Jadi adalah invers dari , yaitu
Sehingga
iv. Gunakan sifat bahwa dan – ( ) v. maka – – TIPE-TIPE RING
Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan u, maka u sendiri adalah invers terhadap perkalian dari u yaitu = u. Tetapi elemen-elemen R yang lain belum tentu mempunyai invers terhadap perkalian. Misalnya, himpunan bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian aritmetika merupakan suatu ring dengan elemen satuan u=1 dan = 1. Tapi elemen-elemen lainnya tidak mempunyai invers terhadap perkalian dalam himpinan bilangan bulat.
Defenisi 4.2
Misalkan R suatu Ring dengan elemen identitas terhadap penjumlahan adalah z, suatu elemen a z dalam R disebut pembagi nol, jika ada suatu elemen b z dalam R sedemikian sehingga a b = z atau b a = z.
Selanjutnya elemen identitas terhadap penjumlahan dalam u suatu ring disebut elemen nol. Dalam aritmetika, apabila hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan 0 maka a = 0 atau b = 0. Maka ring bilangan bulat tidak memuat pembagi nol.
Contoh:
i) H = { } terhadap penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6 merupakan suatu ring. Ring H ini memuat pembagi nol, sebab 2.3 = 0 dan 3.2 = 0 ii) M adalah himpunan semua matriks berordo 2 x 2 . M terhadap penjumlahan dan perkalian matriks merupakan suatu ring. Ring M ini pun memuat pembagi nol, sebab:
*
+ * + = * + dan * + * + = * +
Dari defenisi 4.2 tersebut dapat dimengerti bahwa ring R tidak memuat pembagi nol, jika dan hanya jika untuk setiap a,b R berlaku jika a.b = z, maka a = z atau b = z, atau dapat dikatakan bahwa ring R tidak memuat pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap a,b R jika a z dan b z maka a.b z.
z adalah elemen nol dari R.
Defenisi 4.3
Jika R suatu ring komutatif dengan elemen satuan dan tidak memuat elemen pembagi nol maka R disebut daerah integral (integral domain).
KARAKTERISTIK SUATU RING
Misalkan R suatu ring dengan operasi – operasi penjumlahan dan perkalian. Elemen sembarang dan suatu bilangan bulat positif, maka :
. –
Jika dengan adalah elemen nol dalam R. Untuk setiap dan bilangan – bilangan bulat berlaku :
i. ii. iii.
Definisi 4.4
Misalkan R suatu ring dengan elemen nol adalah . Jika untuk setiap ada bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga maka dikatakan bahwa ring R mempunyai karakteristik . Jika tidak ada bilangan positif demikian maka dikatakan bahwa ring R mempunyai karakteristik nol atau tak berhingga.
Contoh
i. { } adalah suatu ring dengan penjumlahan modulo 7 dan perkalian modulo 7. Elemen identitas terhadap penjumlahan modulo 7 adalah 0. Untuk setiap , Misalnya
dan sebagainya. Dan ring tidak ada bilangan bulat positif , sehingga . Jadi Ring B mempunyai karakteristik 7.
ii. Misalkan { } adalah suatu Ring. Operasi penjumlahan pada M didefinisikan sebagai berikut :
+ a b c d a b c d c d a b d c b a a b c d b a d c
Berdasarkan tabel di atas, elemen identitas terhadap penjumlahan (elemen nol) dari M adalah c. Karena a + a = b + b = c + c = d + d = c. Maka ring M mempunyai karakteristik 2.