A. Homomorfisma
Definisi: Homomorfisma Grup
Diketahui (G, ) dan (G',∗) merupakan grup. Pemetaan ϕ :G →G' disebut homomorfisma dari G ke G' jika dan hanya jika untuk setiap a,b G berlaku ϕ (a b) =ϕ (a)∗ ϕ (b)
Contoh
dengan operasi penjumlahan Modula 4, dan
dengan operasi perkalian modulo 5. dan masing-masing merupakan grup. Table-tabel berikut adalah table operasi biner pada
+ 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 1 4 3 1 2 3 1 2 4
Di bentuk persamaan dan di definisika sebagai
Periksalah bahwa untuk setiap berlaku bahwa
Misalkan :
Contoh:
Misalkan suatu grup, pemetaan di definisikan oleh
untuk setiap x . Untuk a, b maka u dan
sehingga
Jadi suatu homorfisma. Homomorfisma ini adalah homomorfisma trivial, homomorfisma lainya adalah
yang didefinisikan oleh untuk x
Lemma
Diketahui G,G' grup dan ϕ :G →G' merupakan homomorfisma grup, maka keempat
sifat berikut berlaku:
(i). Jika e merupakan elemen identitas di G, maka ϕ (e) merupakan elemen identitas e ' di G'
(ii). Jika a G, maka ϕ (a-1 ) = ϕ (a)-1
(iii). Jika H merupakan subgrup pada G, maka ϕ (H ) merupakan subgrup pada G'
(iv). Jika K ' merupakan subgrup pada G' , maka ϕ −1 (K ') merupakan subgroup pada G.
Teorema 3.11
Misalkan (G; dan( G’; masing-masing adalah grup. Pemetaan ϕ :G →G' merupakan homomorfisma , maka:
(i) ϕ(u), u elemen identitas dalam G dan u’ adalah elemen identitas dalam G (ii)ϕ (x-1)= ϕ(x)-1
untuk setiap x G
ϕ (x)-1 di maksud ϕ(x) -1 yaitu inver’s dari ϕ (x) dalam G bukti:
(i) u’ adalah elemen identitas dalam G’, maka ϕ (x) u’= ϕ (x) untuk x G, x G dan u G maka x u=x, sehingga ϕ (x u) = ϕ (x). jadi ϕ (x) ϕ (u)
ϕ (x) ϕ (u) Karena ϕ homomorfisma u’= ϕ (u)
(ii) u’= ϕ (u)= (x x-1
) untuk setiap x G
maka u’ = ϕ (x) ϕ (x)-1 karena ϕ suatu homomorfisma ϕ (x)-1 u’ = ϕ (x)-1 ϕ (x) ϕ (x)-1
ϕ (x)-1=u’ ϕ (x)-1 ϕ (x)-1= ϕ (x)-1
untuk setiap x dalam G
Contoh 1:
Misalkan grup G dan G’ yang masing-masing mempunyai identitas . paling sedikit terdapat satu homomorfisma : G→ G’ yaitu dengan sifat untuk setiap a . Jelaskan bahwa pemetaan
adalah suatu homomorfisma, sebab jika maka homomofirma ini disebut juga homomorfisma trivial.
Homomorfisma trifial belum dapat memberikan informasi tentang, struktur suatu grup dengan memperhatikan sifat struktur grup yang lain, sekarang perhatikan teorema berikut:
Contoh:2
Misalkan s, grup simetris derajat n, dan didefenisikan n 2 sebagai
0 jika permutasi genap
1 jika permutasi ganjil
Tunjukkan bahwa adalah suatu homomorfisma
Penyelesaian:
Untuk sebarang permutasi di n pasti genap atua ganjil dan tidak mungkin
berlaku keduanya. Sehingga nilai selalu ada dan tuggal di 2. Karena itu
suatu pemetaan. Sekarang tinggal ditunjukkan bahwa ) =
) untuk setiap n. misalkan n sebarang. Akan
ditunjukkan untuk semua kemungkinan kasus untuk .
Kasus dan , keduanya genap atau keduanya ganji.
Jika dan , permutasi genap(ganjil), maka keduanya merupakan hasilkali
sejumlah genap (ganjil) dari transposisi. Akaibatnya merupakan hasilkali sejumlah genap permutasi. Jadi adalah permutasi genap. Karena itu diperoleh.
Dan
permutasi ganjil permutasi ganjil
kasus dan , berturut-turut genap dan ganjil atau ganjil dan genap.
Jika dan beturut-turut permutasi genap dan ganjil (ganjil dan genap),
maka merupakan hasil kali sejumlah genap + ganjil (ganjil +genap), yaitu
sejumlah ganjil dari transposisi. Akibatnya merupakan permutasi ganjil. Karena itu diperoleh.
berturut-turut permutasi genap dan ganjil
permutasi ganjil
Dan
berturut-turut permutasi genap dan ganjil
permutasi ganjil
Dari semua kemungkinan untuk nilai berlaku
, karenanya adalah suatu homomorfisma.
Contoh 3:
Misalkan adalah grup dari semua fungsi dari terhadap operasi
penjumlahan, dengan adalah grup bilangan riil. Untuk , didefenisikan
dengan c : untuk setiap . Ternyata c adalah suatu homomorfisma.
Bukti:
Ingat kembali defenisi penjumlahan dari dua fungsi, yaitu untuk setiap
dan setiap
Misalkan , maka
c c c
Untuk setiap
Defenisi 3.3:(Image,Range,dan Invers)
Misalkan : adalah suatu pemetaan, dan . Image dari A di Y, ditulis dengan adalah himpunan.
{
Himpunan dikatakan juga range dari invers dari B di X ditulis -1 [B] adalah himpunan.
{ x ⎸ . Teorema 1.12
Misalkan adalah suatu homomorfisma grup.
1. Maka sub grup dari maka ) sub grup dari
2. Jika sub grub dari maka -1 ( dari
Akan dibuktikan bagian 1 dari teorema. Misalkan H adalah suatu sub grup dari
, dan misalkan
dan dua elemen sebarang di . Karena adalah homomorfisma maka
) b).
Tinggal ditunjukkan invers dari elemen di ker ) juga berada disana.
Misalkan ker , maka dan . Menggunakan teorema 3.4 dperoleh
-1
) -1] -1
Dengan demikian -1 juga berada di ker . Dengan demikian lengkap bukti
bahwa Ker subgrup di G.
Teorema 1.13 : Misalkan adalah homomorfisma dan
Ker . Jika maka himpunan
-1
Adalah koset kiri ( ) dari yang juga koset kanan dari
Bukti:
Pembuktian ini hanya untuk koset kiri, sedangkan koset kanan dijadikan
sebagai latihan. Misalkan adalah homomorfisma dan . akan dibuktikan bahwa
{
Ambil sembarang yang memenuhi = . Maka
Dimana identitas di . Menurut teorema 3.4 [ ]-1 -1)
sehingga diperoleh -1 . . jadi -1 , yaitu -1
untuk suatu h di H, akibatnya dan . Ini menunjukan bahwa
{ }
Sebaliknya misalkan , maka untuk suatu h di H. sehingga diperoleh
.
Karena maka jelas berada didalam himpunan
{ . Jadi { .
Dengan demikian menjadi lengkap bukti teorema, yaitu
{
Suatu kesimpulan amat penting yang dapat difahami dari Teorema 3.8 adalah,
jika adalah homomorfisma dan Ker dan
untuk ,maka dan . Sifat ini perlu untuk diingat untuk memudahkan dalam menyelesaikan berbagai permasalahan yang menyangkut dan homomorfisma.
Teorema 1.14:
Suatu homomorfisma adalah injektif jika dan hanya jika
Ker .
Bukti:
{ ,
Yaitu koset kiri yang memuat . Ini menunjukkan bahwa untuk setiap
dengan maka , yang menunjukan bahwa
adalah injektif.
Sebaliknya misalkan injektif. Menurut Teorema 3.4 , identitas
di . Karena injektif maka hanya yang memenuhi , sehingga Ker .
Dari teorema di ataa telah diperlihatkan bahwa untuk menunjukkan bahwa
suatu homomorfisma merupakan pemetaan satu-satu ( injektif ) dapat digunakan sifat kornel, yaitu jika Ker . Begitu juga untuk
menunjukkan bahwa adalah pemetaan “pada” surjektif dapat pula
digunakan sifat image yaitu jika
B. Isomorfisma
Definsi (Isomorfisma)
Diketahui G,G' grup dan ϕ :G→G' merupakan homomorfisma grup. Pemetaan ϕ
disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika ϕ merupakan pemetaan bijektif. Istilah yang lainnya:
1. Homomorfisma disebut epimorfisma apabila setiap
ada sehingga dengan kata lain setiap
elemen mempunyai kawan elemen . Dapat pula dikatakan bahwa
homomorfisma dari G atau disingkat homomorfisma onto.
2. Homomorfisma disebut monomorfisma jika suatu
pemetaan satu-satu dari G ke G’. dengan kata lain, jika maka x=y untuk x,y G.
3. Homomorfisma disebut isomorfisma jika sekaligus
epimorfisme dan monomorfisme, yaitu suatu homomorfisma satu-satu dari G ke G’.
Contoh: Diketahui � merupakan grup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat. Maka,
ϕ :→� dengan ϕ (a) = −a , untuk setiap a∈� merupakan homomorfisma grup
Grup G dan grup G’ dikatakan isomorfisma jika ada isomorfisma dari G ke G’. selanjutnya notasi G G’. pada contoh 3.8 G P{ 0,1,2,3} suatu grup dengan operasi penjumlahan modulo 4 dan G’={1,2,3,4} suatu grup dengan operasi perkalian modulo 5, G G’.
Contoh: B={ 0,1,2} yaitu himpunan bilangan bulat modulo 3. B terhadap operasi penjumlahan modulo 3 merupakan suatu grup G={ I,S3,S,S2} yaitu suatu grup operasi simetri dari segitiga samasisi dengan s adalah rotasi terhadap pusat segitiga dengan putar 120o. table opersai pada B dan G adalah sebagai berikut: + 0 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 Tabel ( B;+) Tabel ( G; ) I S S2 I S S I S S2 S S2 I S2 I S
Pemetaan didefinisikan oleh dan 2
2 =
Jadi suatu homomorfisma Nampak bahwa suatu pemetaan satu-satu dan
onto maka suatu isomorfisma. Jadi B G.
Teorema 2.1:
Diketahui ϕ :G→G' homomorfisma grup dengan ker (ϕ ) = H . Maka
pemetaan
μ :G H →ϕ (G) yang didefinisikan μ (aH ) =ϕ (a) untuk setiap aH ∈G H
merupakan isomorfisma grup.
Bukti:
Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa μ merupakan pemetaan. Diambil sebarang
(aH ),(bH )∈G H dengan aH = bH dan akan ditunjukkan bahwa μ (aH ) = μ (bH ).
Karena aH = bH , akibatnya ab−1∈H dan dengan demikian ϕ (ab−1 ) = e ' . Karena
ϕ (ab−1 ) = e ' , maka menurut Teorema E3.3 (ii) diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ' ab a b a b e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ−
− = − = = atau dengan kata lain ϕ (a) =ϕ (b) . Karena
sesuai definisi μ berlaku μ (aH ) =ϕ (a) dan μ (bH ) =ϕ (b) , dengan demikian berlaku
μ (aH ) = μ (bH ). Jadi, μ merupakan pemetaan.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa μ merupakan homomorfisma grup. Diambil
sebarang (aH ),(bH )∈G H , diperhatikan bahwa
μ ((aH )(bH )) = μ ((ab)H ) =ϕ (ab) =ϕ (a)ϕ (b) = μ (aH )μ (bH ) . Jadi, terbukti bahwa μ merupakan homomorfisma grup.
Diambil sebarang y∈ϕ (G) , maka y =ϕ (a) untuk suatu a∈G dan dengan demikian
dapat dipilih x = aH ∈G H sehingga μ ( x) = y . Jadi, μ merupakan pemetaan surjektif.
Diambil sebarang x∈ker (μ ) . Karena ker (μ ) ⊆ G H , maka x =
aH untuk suatu a∈G.
Karena μ (x) = μ (aH ) =ϕ (a) = e ' dan karena ker (ϕ ) = H berakibat a∈H . Karena
a∈H , berakibat aH = H dan dengan demikian x = H . Jadi,
diperoleh ker (μ ) = {H}
dan menurut Lemma E3.6 berakibat μ merupakan pemetaan injektif. Jadi, karena μ merupakan homomorfisma grup yang surjektif sekaligus injektif, maka μ