p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392 MODUL ATAS RING MATRIKS ( )
Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman
[email protected] Ari Wardayani
Universitas Jenderal Soedirman Suroto
Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This paper discusses about the mathematical system that is formed by and ring of matrices ( ) In this case, is a commutative ring with unit element.
The result showed that, is module over ring of matrices ( ) By investigating the existence of torsion element, it is obtained that module over ring of matrices ( ) is a torsion module. By investigating the existence of basis, it is obtained that module over ring of matrices ( )is not free module.
Keywords: ring of matrices, module, torsion module, free module.
ABSTRAK. Artikel ini membahas tentang sistem matematika yang dibentuk dari dan ring matriks ( ). Dalam hal ini, adalah ring komutatif dengan elemen satuan.
Hasil kajian menunjukkan bahwa merupakan modul atas ring matriks ( ) Dengan menyelidiki eksistensi elemen torsi, diperoleh bahwa modul atas ring matriks
( ) merupakan modul torsi. Dengan menyelidiki eksistensi basis, diperoleh bahwa modul atas ring matriks ( ) bukan merupakan modul bebas.
Kata kunci: ring matriks, modul, modul torsi, modul bebas.
1. PENDAHULUAN
Sistem matematika yang dibentuk dari suatu grup Abel dan ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan operasi perkalian skalar dan memenuhi sifat-sifat tertentu disebut modul. Suatu modul dikatakan modul torsi jika setiap elemennya merupakan elemen torsi. Apabila suatu modul memiliki basis, maka modul tersebut dikatakan modul bebas. Menurut Kinanti, dkk (2013), himpunan matriks atas ring komutatif dengan elemen satuan membentuk struktur aljabar modul atas ring komutatif dengan elemen satuan. Sementara itu, himpunan
( ) adalah himpunan matriks berukuran atas dengan adalah ring
komutatif dengan elemen satuan. Menurut Abdurrazzaq (2015), himpunan
( ) yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan ring dengan elemen satuan.
Himpunan matriks yang berukuran atas himpunan bilangan riil merupakan ruang Euclid berdimensi- dan dinotasikan dengan . Pada penelitian ini, diperumum menjadi dengan adalah sembarang ring komutatif dengan elemen satuan. Artikel ini membahas sistem matematika yang dibentuk dari dan ring matriks ( ) beserta sifat-sifatnya. Sistem matematika yang dibahas pada artikel ini terkait modul atas suatu ring. Adapun manfaat dari penelitian ini yaitu sebagai landasan teori untuk penelitian-penelitian yang terkait.
2. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan cara mengkaji buku- buku teks, jurnal dan beberapa artikel ilmiah yang berkaitan dengan materi penelitian. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mendefinisikan dengan memperumum entri-entri pada merupakan elemen pada
2. Membuktikan grup Abel.
3. Membuktikan modul atas ring matriks ( )
4. Membuktikan modul atas ring matriks ( ) adalah modul torsi.
5. Membuktikan modul atas ring matriks ( ) bukan modul bebas.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada hasil dan pembahasan ini diuraikan mengenai struktur modul yang terbentuk dari dan ring matriks ( ). Selanjutnya, pada artikel ini dibahas mengenai modul torsi dan modul bebas dari modul yang terbentuk.
3.1 Ruang- atas Ring Komutatif dengan Elemen Satuan
Misalkan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. Elemen nol pada adalah dan elemen satuannya adalah . Pembahasan diawali dengan mendefinisikan ruang- dengan -tupel merupakan elemen pada ring .
Definisi 3.1 Misalkan adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Himpunan matriks berukuran disebut ruang- atas jika elemen-elemen pada matriks tersebut merupakan elemen pada dan dinotasikan
Menurut Cullen (1998), himpunan matriks dengan elemennya bilangan riil merupakan ruang Euclid dan dinotasikan Pada artikel ini, elemen pada matriks tersebut diperumum menjadi elemen pada Bentuk umum dari adalah
{( ) | }
Operasi penjumlahan standar pada didefinisikan sebagai berikut ( ) ( ) (
)
untuk setiap ( ) ( ) Operasi tersebut terdefinisi dengan baik
pada Diambil sembarang dengan dan dimana
( ) ( ) ( ) ( ) Karena dan , maka
diperoleh dan Dengan demikian, berlaku
( ) ( ) (
) (
) ( ) ( )
Hal ini berarti operasi penjumlahan tersebut terdefinisi dengan baik pada
Berikut diberikan lemma untuk yang disertai dengan operasi penjumlahannya.
Lemma 3.2 Himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan sebuah operasi penjumlahan standar pada merupakan grup Abel.
Bukti. Berikut ditunjukkan bahwa himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan standar merupakan grup Abel.
a) Operasi bersifat tertutup pada karena hasil dari operasi pada
adalah ( ) ( ) (
) untuk setiap ( ) dan
( ) Karena , maka untuk
Sedemikian sehingga diperoleh
b) Sifat asosiatif operasi terpenuhi pada , karena untuk setiap
dengan ( ) ( ) dan ( ) berlaku
( ) [( ) ( )] ( ) (
) ( ) (
)
( ) [( ) ( )] ( )
c) Elemen ( ) pada adalah elemen identitas terhadap operasi ,
dengan merupakan elemen nol pada , sedemikian sehingga untuk setiap ( ) berlaku
( ) ( ) (
) (
) ( )
d) Setiap ( ) elemen (
) adalah invers dari ,
dengan masing-masing merupakan invers dari terhadap operasi penjumlahan pada , sedemikian sehingga berlaku
( ) ( ) (
) (
( ) ( ) ( )
) (
) ( )
Dengan demikian merupakan invers dari terhadap operasi pada
e) Sifat komutatif operasi terpenuhi pada karena untuk setiap ( )
dan ( ) berlaku
( ) ( ) (
) (
) ( ) ( )
Semua aksioma pada grup dan sifat komutatif terpenuhi, maka terbukti bahwa ( ) merupakan grup Abel.
3.2 Modul atas Ring Matriks ( )
Telah dibuktikan bahwa himpunan tak kosong yang dilengkapi sebuah operasi biner penjumlahan standar merupakan grup Abel. Menurut Abdurrazzaq (2015), himpunan matriks berukuran atas yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks merupakan ring dengan elemen satuan dan dinotasikan ( ). Berikut adalah lemma yang membahas sistem matematika yang dibentuk dari dan ring matriks ( ).
Lemma 3.3 Grup Abel merupakan modul atas ring matriks ( ) dan cukup ditulis ( )-modul.
Bukti. Telah diketahui bahwa ( ) merupakan grup Abel dan ( ( ) ) merupakan ring dengan elemen satuan. Berikut ini ditunjukkan bahwa
( ) modul. Operasi perkalian skalarnya didefinisikan sebagai berikut (
) ( )
Untuk setiap (
) ( ) dan ( )
Berikut akan ditunjukkan terpenuhinya aksioma-aksioma pada modul. Diambil
sembarang (
) (
) ( )
dan untuk setiap ( ) ( ) berlaku
a) ( ) (
) [( ) ( )]
(
) (
)
(
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) )
(
)
(
)
(
) (
)
(
) ( ) (
) ( )
b) ( ) [(
) (
)] ( )
(
) ( )
(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
) ( ) (
) ( )
c) ( ) [(
) (
)] ( )
(
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
)
( )
(
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
)
(
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
)
(
)
(
∑
∑
∑
)
(
) (
(
) ( ) ) ( )
d) (
) ( ) ( ) dengan (
)
adalah elemen satuan pada ring ( )
Semua aksioma pada modul terpenuhi, dengan demikian terbukti bahwa
( ) modul.
3.3 Sifat Modul atas Ring Matriks ( )
Berikut dibahas sifat-sifat yang terkait dari ( ) modul yakni modul torsi dan modul bebas. Untuk mengkaji modul torsi, terlebih dahulu diselidiki eksistensi elemen torsi pada ( ) modul.
Teorema 3.4 Suatu ( ) modul adalah modul torsi.
Bukti. Terdapat dua kasus untuk menunjukkan bahwa ( ) modul adalah modul torsi.
Kasus 1. Untuk ( ) selalu dapat ditemukan sembarang elemen tak nol
(
) ( ) sehingga berlaku
(
) ( ) ( )
Jadi, ( ) merupakan elemen torsi pada ( ) modul.
Kasus 2. Untuk setiap ( ) dengan selalu dapat ditemukan
elemen tak nol ( ) yakni (
) dengan adalah
invers dari terhadap operasi penjumlahan pada dan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, maka berlaku
(
) ( ) (
( )
)
(
( ) ) (
( )
) ( )
Jadi, untuk setiap ( ) dengan merupakan elemen torsi pada ( ) modul. Berdasarkan kedua kasus tersebut diperoleh bahwa untuk setiap merupakan elemen torsi. Terbukti bahwa ( ) modul adalah modul torsi.
Selanjutnya, dengan menyelidiki ada atau tidaknya basis modul yang termuat pada ( ) modul diperoleh teorema berikut.
Teorema 3.5 Suatu ( ) modul bukan merupakan modul bebas.
Bukti. Diketahui ( ) modul. Misalkan adalah sembarang subhimpunan tak kosong dari dengan,
{( ) | }
Karena ( ) modul merupakan modul torsi dan maka untuk setiap merupakan elemen torsi pada ( ) modul.
Dengan demikian, persamaan
(1)
dapat dipenuhi oleh ( ) untuk dimana (
) ( ) Dengan kata lain, pada persamaan (1) tidak
hanya dipenuhi oleh untuk Jadi, bukan kombinasi linier secara tunggal dari . Berdasarkan definisi bebas linier pada modul, maka tidak bebas linier. Selanjutnya, karena tidak bebas linier, maka
bukan basis. Secara umum, untuk setiap dengan
( ) modul merupakan modul torsi, maka bukan basis. Hal ini berarti ( ) modul tidak memiliki basis. Dengan demikian menurut definisi modul bebas, terbukti bahwa ( ) modul bukan merupakan modul bebas.
4. KESIMPULAN
Jika adalah ring komutatif dengan elemen satuan, maka himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan standar membentuk sistem matematika grup Abel. Dari dan ring matriks ( ) yang dilengkapi dengan operasi perkalian skalar membentuk ( ) modul. Dari
( ) modul diperoleh bahwa ( ) modul adalah modul torsi, akan tetapi ( ) modul bukan merupakan modul bebas.
DAFTAR PUSTAKA
Abdurrazzaq, A., Ring Matriks Atas Ring Komutatif. Skripsi. Purwokerto:
Universitas Jenderal Soedirman, 2015.
Cullen, C. G., Aljabar Linier dengan Aplikasi : Diterjemahkan oleh Ir. Bambang Sumantri, Gramedia, Jakarta, 1988.
Kinanti, F., Kusumastuti, N., dan Noviani, E., Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif dengan Elemen Satuan, Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster). 2(3) (2013), 183 190.
