PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN

Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra

Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

Indah Emilia Wijayanti

Departemen Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada

Yogyakarta Indonesia

Latar Belakang

Hal-hal yang sudah diketahui mahasiswa sebelum mempelajari ring:

Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma.

Contoh-contoh grup adalah (Z, +), (Q, +), (R, +), dan (M_2×2(R), +).

Perhatikan bahwa dalam Z dijumpai juga operasi lain, yaitu operasi perkalian bilangan-bilangan bulat.

Sifat-sifat operasi perkalian dalam Z

operasi perkalian di Z bersifat assosiatif, yaitu (n₁· n₂) · n₃ = n₁· (n₂· n₃), untuk setiap n₁, n₂, n₃ ∈ Z;

operasi penjumlahan dan perkalian bersifat distributif kiri dan distributif kanan, yaitu

n₁· (n₂+ n₃) = (n₁· n₂) + (n₁· n₃) dan

(n₁+ n₂) · n₃ = (n₁· n₃) + (n₂· n₃),

Apakah Z dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam Z:

Operasi perkalian dalam Z komutatif.

Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian.

Tetapi ada bilangan bulat yang tidak mempunyai invers, misalnya 2 dan 3.

Jadi (Z, ·) bukan grup, melainkan semigrup.

Definisi

Himpunan tak kosong (S , ∗) disebut semigrup jika operasi biner ∗ bersifat asosiatif.

Apakah Q dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam Q:

Operasi perkalian dalam Q komutatif.

Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian.

Bilangan rasional yang tidak mempunyai invers adalah 0.

Jadi (Q, ·) bukan grup.

Apakah M

_2×2

(R) dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam M_2×2(R):

Operasi perkalian dalam M_2×2(R) tidak komutatif.

Ada matriks identitas I yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian.

Banyak matriks yang tidak mempunyai invers, yaitu matriks dengan determinan 0.

Jadi (M2×2(R), ·) bukan grup.

Apakah 2Z dengan operasi perkalian juga grup?

Beberapa fakta dalam 2Z:

Operasi perkalian dalam 2Z komutatif.

Tidak ada bilangan genap yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian.

Jadi (2Z, ·) bukan grup.

Pengertian Ring

Himpunan tak kosong R yang dilengkapi dua operasi biner ⊕ dan ∗ disebut ring jika memenuhi sifat:

1. (R, ⊕) merupakan grup komutatif;

2. operasi ∗ di R bersifat assosiatif, yaitu

∀r₁, r2, r3∈ R, (r₁∗ r₂) ∗ r3= r1∗ (r₂∗ r₃).

3. operasi penjumlahan dan perkalian di R bersifat:

a. distributif kiri:

∀r₁, r₂, r₃∈ R, r₁∗ (r₂⊕ r₃) = (r₁∗ r₂) ⊕ (r₁∗ r₃), b. distributif kanan:

∀r₁, r2, r3∈ R, (r₁⊕ r₂) ∗ r3 = (r1∗ r₃) ⊕ (r2∗ r₃).

Gambaran proses abstraksi

(Z, +, ·) 99K99K99K (R, ⊕, ∗)

Setelah proses abstraksi dicari contoh-contoh ring yang lain.

Bagaimana cara mencari contoh yang lain?

Bagaimana dengan contoh-contoh grup yang sudah diketahui, yaitu (Q, +), (R, +), (M2×2(R), +).

Apakah mereka juga ring?

Mengembangkan contoh (1)

1. Himpunan matriks berukuran 2 × 2 yaitu (M2×2(R), +, ·), adalah ring.

2. Himpunan matriks berukuran 3 × 3 yaitu (M3×3(R), +, ·), adalah ring.

3. Himpunan matriks berukuran n × n yaitu (Mn×n(R), +, ·), adalah ring.

Mengembangkan contoh (2)

1. Himpunan semua bilangan bulat (Z, +, ·) adalah ring.

2. Himpunan hasil kali Cartes semua bilangan bulat

(Z × Z, +, ·) adalah ring, dengan operasi sebagai berikut:

(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ), (a, b) · (c, d ) = (a · c, b · d ).

3. Bagaimana dengan Z × Z × Z × · · · × Z ?

Contoh Ring

Perhatikan grup komutatif (R, +). Dibentuk himpunan semua fungsi dari R ke R, yaitu

Fun(R) = {f : R → R | f homomorfisma grup}.

Dengan operasi penjumlahan berikut

(f + g )(x ) = f (x ) + g (x ),

(Fun(R), +) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi ◦ pada Fun(R) berikut:

(f ◦ g )(x ) = f (g (x )), untuk setiap x ∈ G .

Sifat distributif

((f + g ) ◦ h)(x ) = (f + g )(h(x )) = (f ◦ h)(x ) + (g ◦ h)(x ) (h ◦ (f + g ))(x ) = h(f (x ) + g (x )) = (h ◦ f )(x ) + (h ◦ g )(x ).

Jadi (Fun(R), +, ◦) merupakan ring.

Contoh Ring Melalui Absraksi

Diberikan grup komutatif (G , +). Dibentuk himpunan semua endomorfisma dari G ke G , yaitu

End(G ) = {f : G → G | f homomorfisma grup}.

Sudah diketahui bahwa (End(G ), +) merupakan grup komutatif.

Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi ◦ pada End(G ) berikut:

(f ◦ g )(x ) = f (g (x )),

untuk setiap x ∈ G . Dapat ditunjukkan bahwa (End(G ), +, ◦) merupakan ring.

Jenis-jenis Ring

1. Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadap perkalian, yaitu untuk setiap r , s ∈ R berlaku rs = sr . 2. Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika R

mempunyai elemen satuan terhadap perkalian, yaitu terdapat 1R ∈ R sehingga untuk setiap r ∈ R berlaku r 1_R = 1Rr = r . 3. Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika R

mempunyai elemen satuan dan setiap elemen tak nol di R mempunyai invers terhadap perkalian, yaitu untuk setiap elemen tak nol r di R, terdapat r⁻¹ di R sehingga rr⁻¹ = r⁻¹r = 1R.

Contoh Jenis-jenis Ring

1. Ring (2Z, +, ·) merupakan ring komutatif, namun tidak mempunyai elemen satuan.

2. Ring matriks (M_2×2(R), +, ·) merupakan ring dengan elemen satuan berupa matriks identitas I2. Ring matriks M2×2(R) bukan ring komutatif.

3. Ring (Z, +, ·), (R, +, ·), (Q, +, ·), dan (C, , +, ·)

masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan.

4. Ring (R, +, ·), (Q, +, ·), dan (C, , +, ·) masing-masing merupakan contoh lapangan.

Bagaimana mengenalkan subring?

1. Apa motivasinya?

2. Bagaimana mengabstraksikan ide sehingga sampai pada definisi?

3. Bagaimana menemukan contoh-contoh lain?

Fakta : ada ring di dalam ring

2Z adalah ring di dalam Z.

M₂(2Z) adalah ring di dalam M2(Z).

Himpunan semua bilangan ganjil

1 + 2Z = {1 + 2n | n ∈ Z},

merupakan himpunan bagian tak kosong dari Z tetapi bukan merupakan ring.

Pengertian subring

Definisi

Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari ring (R,+,·).

Himpunan S disebut subring R jika S juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ring R.

Apakah setiap kali akan membuktikan subring harus mengecek semua aksiomanya?

Bagaimana kita memanfaatkan fakta bahwa subring adalah ring di dalam ring?

Mengamati syarat subring di dalam ring

Diketahui S adalah himpunan bagian tak kosong di R.

Adakah sifat R yang diwariskan ke S ? Asosiatif dan distributif.

Untuk menjadi ring, syarat apa yang harus dipenuhi S ? (S , +, ·) harus merupakan ring terhadap operasi yang sama dengan operasi di R.

(S , +) harus merupakan subgrup di R dan (S , ·) harus merupakan subsemigrup di R.

Syarat apa saja yang perlu dicek?

Operasi + dan · harus tertutup di S . Proposisi

Diberikan himpunan tak kosong S di dalam ring (R, +, ·).

Himpunan S merupakan subring dari R jika dan hanya jika untuk setiap s₁, s₂∈ S berlaku sifat:

(i). s1− s₂ ∈ S;

(ii). s₁· s₂∈ S.

Contoh Subring

Himpunan matriks segitiga atas T_2×2(R) =



A =a₁₁ a₁₂ 0 a₂₂



| a₁₁, a₁₂, a₂₂∈ R



merupakan subring dalam (M2×2(R), +, ·).

Contoh-contoh subring

Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Pembentukan Ring Faktor

Diberikan R ring dan S subring. Dari teori grup sudah diketahui grup faktor (R/S , +
juga merupakan grup komutatif, dengan

R/S = {r | r ∈ R} = {r + S | r ∈ R}.

Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasi perkalian · pada R/S , yaitu:

· : R/S × R/S → R/S, sedemikian hingga (R/S , +, ·
juga merupakan ring.

Latar Belakang Definisi Ideal

Akan dicek apakah operasi · tersebut well-defined atau tidak.

Misalkan r1, r2, r₁⁰, r₂⁰ ∈ R/S dengan r₁ = r₁⁰, dan r2= r₂⁰. Akan dicek apakah r1· r₂ = r₁⁰ · r₂⁰, yang artinya r1r2= r₁⁰r₂⁰. Ekuivalen dengan mengecek

r₁− r₁⁰ ∈ S dan r₂− r₂⁰ ∈ S ⇒ r₁r₂− r₁⁰r₂⁰ ∈ S.

Ekuivalen dengan menunjukkan apakah jika r1− r₁⁰ = s1 dan r₂− r₂⁰ = s₂ untuk suatu s₁, s₂ ∈ S, maka akan berakibat r1r2− r₁⁰r₂⁰ = s3 untuk suatu s3 ∈ S.

Dengan demikian akan diperoleh

r₁r₂− r₁⁰r₂⁰ = (s₁+ r₁⁰)(s₂+ r₂⁰) − r₁⁰r₂⁰

= (s₁s₂+ s₁r₂⁰ + r₁⁰s₂+ r₁⁰r₂⁰) − r₁⁰r₂⁰

= s₁s₂+ s₁r₂⁰ + r₁⁰s₂.

(1)

Jelas s1s2∈ S, tetapi s₁r₂⁰ dan r₁⁰s2 belum tentu berada dalam S . Dapat disimpulkan bahwa operasi · pada R/S belum tentu well-defined.

Ideal Suatu Ring

Definisi

Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal dari R jika

1. untuk setiap s₁, s₂ ∈ I , berlaku s₁− s₂ ∈ I ;

2. untuk setiap s1∈ I dan r ∈ R, berlaku s₁r , rs1∈ I .

Contoh Ideal

1. Himpunan 2Z merupakan ideal di ring Z.

2. Secara umum, untuk setiap k ∈ Z^≥0, kZ = {kn | n ∈ Z}

merupakan ideal di ring Z.

3. Himpunan M2×2(2Z) merupakan ideal di ring M2×2(Z).

4. Tetapi Z BUKAN ideal di Q, dan Q BUKAN ideal di R.

Kesimpulan : tidak setiap subring merupakan ideal.

Ring Faktor

Definisi

Jika I merupakan ideal dalam ring R, maka R/I merupakan ring terhadap operasi:

1. penjumlahan + dengan definisi

r1+ r2 = r1+ r2, untuk setiap r1, r1∈ RI ; dan

2. perkalian · dengan definisi

r1· r₂ = r1· r₂,

Contoh Ring Faktor

Misal diambil ring bilangan bulat Z dan ideal 2Z di ring Z. Mudah dipahami bahwa hanya ada dua koset dari ideal 2Z, yaitu koset 0 + 2Z dan 1 + 2Z. Dengan demikian, diperoleh ring faktor

Z/2Z = {0 + 2Z, 1 + 2Z}

dengan

(0 + 2Z) + (0 + 2Z) = (0 + 0) + 2Z = 0 + 2Z (1 + 2Z) + (1 + 2Z) = (1 + 1) + 2Z = 0 + 2Z (0 + 2Z) + (1 + 2Z) = (0 + 1) + 2Z = 1 + 2Z (0 + 2Z) · (0 + 2Z) = (0 · 0) + 2Z = 0 + 2Z (1 + 2Z) · (1 + 2Z) = (1 · 1) + 2Z = 1 + 2Z (0 + 2Z) · (1 + 2Z) = (0 · 1) + 2Z = 0 + 2Z

Ideal Kiri dan Ideal Kanan

Definisi

Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal kiri dari R jika

1. untuk setiap s₁, s₂ ∈ I , berlaku s₁− s₂ ∈ I ; 2. untuk setiap s₁∈ I dan r ∈ R, berlaku rs₁∈ I . Definisi

Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal kanan dari R jika

1. untuk setiap s1, s2 ∈ I , berlaku s₁− s₂ ∈ I ;

Motivasi : Hubungan Z dan Q

Z adalah subring Q.

Struktur Z adalah daerah inegral, Q adalah lapangan.

Sebagai daerah integral, tidak setiap elemen Z mempunyai invers.

Sebagai bagian dari lapangan Q, setiap elemen Z mempunyai invers.

Peristiwa tersebut dinamakan penyisipan Z ke Q. Apakah sebarang daerah integral dapat disisipkan ke dalam suatu lapangan?

Hubungan Z dan Q (lanjutan)

Himpunan Q dapat dinyatakan sebagai:

Q = {a

b | a, b ∈ Z, b 6= 0}

Pandang anggota-anggota Q sebagai pasangan berurutan anggota Z × Z dengan komponen kedua tak nol.

Bagaimana dengan (2, 3) yang merepresentasikan ²₃ dan (4, 6) yang merepresentasikan ⁴₆? Dalam Z × Z keduanya berbeda, tetapi dalam Q keduanya sama.

Dibuat relasi ekuivalensi di dalam Z × Z :

Penerapan ke Daerah Integral

Diberikan daerah intergral R.

Dibentuk himpunan S = R \ {0}.

Dibentuk hasil kali Cartes R × S .

Dibuat relasi ekuivalensi di dalam R × S : (a, b) ' (c, d ) ⇔ ad = bc.

Kelas yang memuat (a, b) dinyatakan dengan ^a_b.

Himpunan kelas-kelas ekuivalensi yang terjadi di dalam R × S dinyatakan sebagai RS.

Struktur R

_S

Didefinisikan operasi berikut:

a b + c

d = ad + bc a bd

b ·c

d = ac

bd untuk setiap _b^a,^c_d ∈ R_S.

Elemen netral di R_S adalah ⁰_b.

Elemen satuan di R_S adalah ^b_b, dengan b 6= 0.

Invers _b^a terhadap penjumlahan adalah −^a_b.

Pengamatan selanjutnya

(R_S, +, ·) merupakan lapangan dan disebut lapangan fraksi yang memuat R.

Terdapat monomorfisma ϕ : R → RS dengan definisi ϕ(r ) = ^r₁.

Apakah pembentukan ring fraksi dapat dilakukan untuk sebarang ring komutatif?

TERIMA KASIH