Bahan Ajar Matematika Dasar 1A Untuk Perguruan
Tinggi
OLEH
Nurina Yasin, ST,. MT.
UNIVERSITAS GUNADARMA
JAKARTA
2020
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat, taufik, dan hidayah-Nya, sehingga setelah melalui proses akhirnya penyusunan bahan ajar matematika dasar 1A untuk perguruan tinggi ini dapat terselesaikan.
Penyusunan bahan ajar ini berdasarkan rujukan buku “Matematika Dasar Untuk Pergurungan Tinggi”, penulis Yusuf Yahya dkk. Bahan ajar ini nantinya akan digunakan sebagai penunjang perkuliahan mahasiswa Fakultas Ilmu Komputer dan Teknologi Industri.
Meskipun bahan ajar ini telah diselesaikan, penulis menyadari bahwa bahan ajar ini masih jauh dari kesempurnaan, sehingga penulis mengharapkan teguran, kritik dan saran yang membangun dari para pembaca. Akhir kata penulis berharap semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pihak dan penulis mendo’akan kepada pihak – pihak yang telah membantu, semoga Allah SWT membalasnya dengan pahala dan kebaikan, karena sebaik-baiknya pembalas adalah Allah swt.
Depok, April 2020
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
KATA PENGANTAR ... ii
DAFTAR ISI ... iii
DAFTAR GAMBAR ... v
BAB 1 HIMPUNAN BILANGAN 1.1 HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA ... 1
1.1.1 Himpunan Bilangan ... 1
1.1.2 Skema Bilangan ... 3
1.2 BILANGAN BULAN DAN BILANGAN RIIL ... 3
1.2.1 Soal dan Pembahasan ... 4
1.3 PERTIDAKSAMAAN ... 4
1.3.1 Soal dan Pembahasan ... 4
1.4 HARGA MUTLAK ... 5
1.4.1 Soal dan Pembahasan ... 5
BAB 2 PERMUTASI DAN KOMBINASI 2.1 DEFINISI FAKTORIAL n ... 7
iv BAB 3 BILANGAN KOMPLEKS
3.1 BENTUK PERSEGI ... 9
3.2 BENTUK POLAR ... 10
3.3 OPERASI ARITMATIKA ... 10
3.4 BENTUK KONVERSI ... 12
v
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1 Skema Bilangan ... 3 Gambar 1 Kurva Rectangular ... 9
1
BAB 1
HIMPUNAN BILANGAN
TIU: Mahasiswa memahami konsep himpunan bilangan; mampu mencari himpunan yang memenuhi sebuah pertidaksamaan; mampu menggunakan induksi lengkap untuk membuktikan sebuah pernyataan.
TIK:
1. Mahasiswa mengenal klasifikasi bilangan ke dalam himpunan bilangan 2. Mahasiswa memahami skema himpunan bilangan.
3. Mahasiswa mampu mencari hasil operasi himpunan yang diterapkan pada himpunan bilangan
4. Mahasiswa mengenal bilangan bulat dan bilangan riil serta sifat-sifatnya 5. Mahasiswa mengenal sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat dan
bilangan riil
6. Mahasiswa memahami pertidaksamaan
7. Mahasiswa mampu menentukan himpunan bilangan yang memenuhi sebuah pertidaksamaan
8. Mahasiswa memahami harga mutlak dan sifat-sifat harga mutlak.
9. Mahasiswa mampu menggunakan induksi lengkap untuk membuktikan pernyataan.
1.1 HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA 1.1.1 Himpunan Bilangan
Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{….}”. Sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y dansebagainya. Perlu diperhatikan bahwa penulisan anggota dalam suatu himpunan hanya sekali saja, tidak boleh kita menuliskan himpunan sebagai {1,a,b,8,b}. Demikian pula kita tidak boleh menyatakan himpunan sebagai
2
{bunga, kambing, sapi, kerbau, sapi, tumbuhan}. Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “E” (baca: anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “E” (baca: bukan anggota). Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :
1. Mendaftarkan semua anggotanya. Contoh:
a) A = {a,e,i,o,u}
b) B = {2,3,5,7,11,13,17,19}
2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya Contoh:
a) A = Himpunan vokal dalam abjad latin
b) B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
3. Menyatakan sifat dengan pola Contoh:
a) P = {0,2,4,8,10,…,48} b) Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}
4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan Contoh:
a) P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15} (Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})
b) Q = { t | t biangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} c) R = { s | s² -1=0, s bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})
3 1.1.2 Skema Bilangan
Gambar 1 Skema Bilangan Sumber: Yahya dkk, 2005
1.2 BILANGAN BULAT DAN BILANGAN RIIL
Bilangan real dapat disebut sebagai bilangan nyata. Dikatakan sebagai bilangan yang nyata (real) karena suatu bilangan tersebut dapat digunakan dalam operasi bilangan seperti yang dilakukan biasanya. Bilangan real dilambangkan dengan simbol R. Beberapa contoh bilangan sesuai dengan klasifikasi sistem bilangan yaitu sebagai berikut.
1 Bilangan real seperti √2, √5, √8, dan lainnya.
2 Bilangan rasional seperti 2/3, 3/7, 11/23, 17/39, dan lainnya. 3 Bilangan bulat seperti -2, 3, 0, 7, -4, dan lainnya.
4 Bilangan bulat dapat diklasifikasikan dalam beberapa kelompok: 5 Bilangan bulat negatif yaitu . . ., -4, -3, -2, -1
6 Bilangan netral yaitu bilangan 0.
4 1.2.1 Soal dan Pembahasan
1. Tentukan jenis kelompok bilangan dari himpunan bilangan berikut. a) {2, 4, 6, 8, 10, 12}
b) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} c) {1, 3, 5, 7, 9}
Pembahasan
a) {2, 4, 6, 8, 10, 12} = Himpunan bilangan genap positif kurang dari 14. b) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} = Himpunan bilangan prima kurang dari 19. c) {1, 3, 5, 7, 9} = Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10.
(Jawaban mungkin dapat bervariasi dan tidak harus sama dengan jawaban di atas).
1.3 PERTIDAKSAMAAN
Notasi pertidaksamaan meliputi : “ < ” notasi kurang dari
“ > ” notasi lebih dari
“ ≤ ” notasi kurang dari atau sama dengan “ ≥ ” notasi lebih dari atau sama dengan
Bentuk Umum pertidaksamaan kuadrat : ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0
1.3.1 Soal dan Pembahasan
1. Tentukanlah interval penyelesaian pertidaksamaan berikut ini : (a) x2 – 2x + 8 > 0
5 Pembahasan
(a) x2 – 2x + 8 > 0 D = (–2)2 – 4(1)(8) D = –28 < 0
Tidak ada batas interval Jadi x memenuhi semua bilangan real
1.4 HARGA MUTLAK
Nilai mutlak atau modulus adalah nilai suatu bilangan riil tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (–). Misalnya, nilai mutlak dari 2 sama dengan nilai mutlak dari -2 yaitu 2 atau secara umum dapat ditulis dengan |2| = |-2| = 2.
Kemudian, bentuk nilai mutlak secara umum adalah seperti di bawah ini:
Selain bentuk umum, nilai mutlak juga memiliki sifat-sifat seperti berikut ini:
1.4.1 Soal dan Pembahasan
6
7
BAB 2
PERUTASI DAN KOMBINASI
TIU:
Mahasiswa mampu menentukan berhitung menggunakan permutasi dan kombinasi. TIK:
1. Mahasiswa mampu menentukan banyaknya susunan obyek, yang memenuhi aturan tertentu.
2. Mahasiswa mampu menentukan banyaknya susunan k obyek dari n obyek dimana k n.
3. Mahasiswa mengerti arti n! dan dapat menggunakannya.
4. Mahasiswa memahami perbedaan antara susunan dengan memperhatikan urutan (permutasi) dan susunan tanpa memperhatikan urutan (kombinasi). 5. Mahasiswa dapat menentukan banyaknya cara pengurutan dari sejumlah obyek
yang berlainan dengan formula permutasi.
6. Mahasiswa dapat menentukan banyaknya cara pengurutan dari sejumlah obyek yang berlainan dengan formula permutasi
2.1 DEFINISI FAKTORIAL n
Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai
n! dan disebut n faktorial.
Sebagai contoh, 7! adalah bernilai 7×6×5×4×3×2×1 = 5040.
Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:
Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk
8
Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:
Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:
n! = Γ(n + 1)
2.2 PERMUTASI
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.
9
BAB 3
BILANGAN KOMPLEKS
TIU:
Agar mahasiswa memahami bilangan kompleks. TIK:
1. Memahami Operasi Bilangan Kompleks.
2. Memahami Konversi Bilangan Kompleks ke dalam Bentuk yang lain. 3. Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan
imajiner.
4. Bilangan kompleks mempunyai bilangan konjugat yang digunakan pada operasi arimatik pembagian.
5. Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam dua bentuk Bentuk Persegi (Rectangular) dan Bentuk Polar
3.1 BENTUK PERSEGI (RECTANGULAR) Rumus Dasar :
Dimana :
A = bilangan riil
j = tanda operator imajiner B = bilangan imajiner
Gambar 2 Kurva Rectangular C = A + jB
10 3.2 BENTUK POLAR
Format untuk bentuk polar adalah : A = C Dimana : A = C Cosθ + j C Sinθ C = √A 2 + B 2 3.3 OPERASI ARITMATIKA
Arti definisi pada bilangan kompleks j = -1 Konjugasi Kompleks
A. Bentuk Persegi 1. Penambahan
11 B. Bentu Polar
12 3.4 BENTUK KONVERSI
vi
DAFTAR PUSTAKA
Agustian. 2020. Bilangan Real: {egertian, Sistem & Contoh Soal.
https://rumuspintar.com/bilangan-real/ (diakses pada tanggal 23 April
2020).
Nianiamulyani. 2013. Himpunan Bilangan Bulan dan Rill dan Skemanya.
http://matamatakak.blogspot.com/2013/05/himpunan-bilangan-bulat-dan-rill-dan.html (diakses pada tanggal 23 April 2020).
Suworno, Muji. 2017. Pengertian Pertidaksamaan.
https://www.materimatematika.com/2017/10/pengertianpertidaksamaan.h ml (diakses pada tanggal 23 April 2020).
Wisnu. 2020. Himpunan Bilangan Bulan dan Rill dan Skemanya.
https://rumuspintar.com/nilai-mutlak/ (diakses pada tanggal 23 April 2020
Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus Sumin. 1994. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia.