BAHAN AJAR
MATEMATIKA EKONOMI
(oleh: Dady Nurpadi)MATERI POKOK PENGAJARAN MATEMATIKA EKONOMI BAGIAN I : KONSEP-KONSEP DASAR MATEMATIKA
1.1 Himpunan
3.1. Limit dan Kesinambungan Fungsi 3.2. Diferensial Fungsi Sederhana
Teori himpunan bersifat sangat mendasar dalam matematika. Ia mendasari hampir semua cabang ilmu hitung moderen. Berkenaan dengan sifat mendasarnya itu, maka pada bagian buku ini terlebih dahulu dibahas hal ikhwal yang berhubungan dengan teori himpunan (set theory)
1.1. PENGERTIAN HIMPUNAN
tertentu, tanam-tanaman tertentu, benda-benda tertentu, buku-buku tertentu, angka-angka tertentu dan sebagainya.
1.4. OPERASI HIMPUNAN : GABUNGAN, IRISAN, SELISIH DAN PELENGKAP
Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A ∪ B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A atau obyek-obyekl milik B.
Irisan (intersection)dari himpunan A dan B, dituliskan dengan notasi A ∩ B adalah himunan yangberanggotakan baik obyek milik A maupun obyek milik B; dengan perkataan lain, beranggotakan obyek-obyek yang dimiliki Adan B secara bersama.
Dalam hal A ∩ B = ∅ , yakni jika A dan B tidak mempunyai satupun anggota yang dimiliki bersama, maka A dn B dikatakan (disjoint).
Selisih himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A – B atau A|B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A yang bukan obyek milik B
1.5. KAIDAH-KAIDAH MATEMATIKA
DALAM PENGOPERASIAN HIMPUNAN
Dalam pengoperasian lebih lanjut teori himpunan, berlaku beberapa kaidah matematika sebagaimana terinci di dalam daftar berikut:
Kaidah-kaidah Matematika dalam pengoperasian Himpunan
Kaidah Idempoten
1a. A ∪ A = A 1b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif
2a. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 2b. (A ∩ B) ∩ C= A ∩ (B ∩ C)
A ∪ B = { x: x ∈ A atau
A ∩ B = { x: x ∈ A dan
Kaidah Komutatif
3a. A ∪ B =B ∪ A 3b. A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif
4a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C 4b. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Kaidah Identitas
5a. A ∪ ∅ = A 5b. A ∩ ∅ = ∅ 6a. A ∪ U = U 6b. A ∩ U = A
Kaidah Kelengkapan
7a. A ∪ A = U 7b. A ∩ A = ∅
8a. (A) = A 8b. U = ∅ , ∅ = U Kaidah De Morgan
9a. (A ∪ B) = A ∩ B 9b. (A ∩ B) = A ∪ B
BAB 2
SISTEM BILANGAN
Dalam matematika, bilangan-bilangan yang ada dapat digolongkan sebagaimana di dalam skema berikut :
Bilangan
Nyata Nyata
Irrasional Irrasional
2.1. OPERASI BILANGAN
Bilangan-bilangan nyata memenuhi kaidah-kaidah tertentu apakah mereka dioperasikan. Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan nyata memenuhi kaidah-kaidah sebagai berikut: 1. Kaidah Komutatif
Dalam menjumlahkan dua bilangan a dan b, perubahan urutan antara keudanya tidak akan mengubah hasil penjumlahan
4 + 6 = 6 + 4
Hal yang sama berlaku juga untuk perkalian, perubahan urutan perkalian antara dua bilangan tidak akan mengubah hasilny.
4 × 6 = 6 × 4 2. Kaidah Asosiatif
Dalam menjumlahkan tiga bilangan a, b dan c −¿ atau lebih −¿ perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tersebut tidak akan mengubah hasil penjumlahan
( 4 + 6 ) + 5 = 4 + ( 6 + 5 ) a + b = b + a
a × b = b × a
Begitu pula dalam perkalian, perubahan cara pengelompokan bilangan-bilangan tidak akan mengubah hasil perkalian.
( 4 × 6 ) × 5 = 4 × ( 6 × 5 ) 3. Kaidah Pembatalan
Jika jumlah a dan c sama dengan jumlah b dan c, maka a sama dengan b; dengan perkataan lain:
Jika hasilkali a dan c sama dengan hasil kali b dan c, dimana c adalah bilangan nyata bukan-nol maka a sama dengan b; jadi:
4. Kaidah Distributif
Dalam pengalian bilangan a terhadap jumlah ( b + c), hasilkalinya adalah sam dengan jumlah hasilkali a b dan hasilkali a . Dengan perkataan lain, hasilkali sebuah bilangan terhadap suatu penjumlahan adalah sama dengan jumlah hasilkalinya.
4 (6 + 5) = (4 ×6¿ + ( 4 ×5 ) BAB 3
PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA 3.1. PANGKAT
Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian yang sama secara berurutan. Notasi Xa berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali. Notasi pemangkatan sangat berfaedah untuk merumuskan penulisan bentuk perkalian secara ringkas.
3.2. AKAR
Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya.
Berdasarkan konsep pemangkatan kita mengetahui, bahwa jika bilangn-bilangan yang sama (misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu sebanyak xa ; x disebut basis dan a disebut pangkat. 3.3. LOGARITMA
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau pengakaran. Ia dapat dipakai untuk menyederhanakan operasi-operasi perkalian, pembagian, pencarian pangkat dan penarikan akar. Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut
BAB 4 DERET
Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada “pola perubahan” bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya. Berdasarkan jumlah suku yang membentuknya, deret dapat digolongkan atas:
a. Deret berhingga, yaitu deret yang jumlah suku-sukunya teretentu.
b. Deret tak berhingga, yaitu deret yang jumlah suku-sukunya tidak terbatas
Berdasarkan dari segi pola perubahan bilanagn pada suku-sukunya, deret dibedakan menjadi: deret hitung, deret ukur, dan deret harmoni.
Contoh: 1) 7, 12, 17, 22, 27,32 (pembeda b= 5) perkembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkan pada bulan kelima? berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?
Jawab: a = 3.000 b = 500 n = 5
S5 = 3.000 + (5-1) 500 = 5.000 J5 = 5/2 ( 3.000 + 5.000) = 20.000
Jadi jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 buah, sedangkan jumlah seluruh genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut adalah 20.000 buah
Besarnya penerimaan PT Cemerlang dari hasil penjualan barngnya Rp. 720 juta pada tahun kelima, dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaan per tahun ? berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 juta/
Jawab; (dalam jutaan) : S7 = 980 a + 6 b = 980 S5 = 720 a + 4 b = 720
2 b = 260 b = 130 perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp. 130 juta
a + 4 b = 720 a = 720 - 4 b = 720 - (4(130) = 200 Penerimaan pada tahun pertama sebesar Rp. 200 juta Sn = a + (n – 1) b 460 = 200 + (n-1) 130
460 = 200 + 130 n – 130 390 = 130 n n = 3
Penerimaan sebesar Rp. 460 juta diterima pada tahun ketiga
2. Model Bunga Majemuk
Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan pinjam dan kasus investasi. dengan model ini deapat dihitung, misalnya besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.
Jika modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat I, maka jumlah akumulasif modal tersebut dim as datang setelah n tahun (Fn) dapat dihitung sebgai berikut:
F1 = P + P.i = P (1 + i)
F2 = P (1 +i) + P (1 + i)I = P (1 + I )2 F3 = P (1 + I ) 2 + P (1 + I )2 i = P (1 + I )3 Fn = P ( 1 + i ) n P: jumlah sekarang
Apabila bunga diperhitungkan dibayarkan lebih dari satu kali (misalnya m kali, masing-masing i/m per termin dalam setahun, maka jumlah di masa datang menjadi:
Fn = P (1 + i/m) mn
Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang teretntu di masa datang adalah: P = 1 / (1 + I )n . F atau P = 1 / (1 + i/m)mn. F
Kasus 3.
seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan? Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus ia kembalikan?
Jawab: P = 5.000.000 n = 3 i= 2 % = 0,2 dibayarkan tiap semester, m = 2 , maka:
Fn = P (1 + i/m)mn F3 = 5.000.000 (1 + 0,01) 6 = 5.000.000 (1,06152) = 5.307.600
Jumlah yang harus dikembalikan menjadi lebih besar Rp. 5.307.600,00
3. Model Pertumbuhan Penduduk
Menurut Sir TR. Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
P t = P1 R t-1 ; dimana R = 1 + r
P1 = jumlah pada thun pertama (basis0 Pt = jumlah pada tahun ke-t
Kasus 5;
penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006, berap jumlahnya 11 tahun kemudian?
Pt = 1 juta r = 0,04 R= 1,04 P tahun2006 P16 = 1 juta (1,04)15
= 1 juta (1,800943) = 1.800.943 jiwa
P1 = 1.800.943 r = 0,025 R = 1,025
P11 tahun kemudian = P11 P11 = 1.800.943 (1,025 )10 = 2.305.359 jiwa
atau dengan memanfaatkan kaidah logaritma: P 11 = 1.800.943 (1,025) 10
log P11 = log 1.800.943 (1,025)10 log P11 = log 1.800.943 + 10 log 1,025 log P11 = 6,255499 = 0,107239
HUBUNGAN FUNGSIONAL BAB 5
FUNGSI
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variable dengan variable lain.
unsure-unsur pembentuk fungsi adalah variable, koefisien, dan konstanta
Variabel adalah unsure pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili factor tertrentu, dilambangkan(berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf Latin. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variable, yaitu variable bebas dan variable terikat. Variabel bebas (independent variable) ialah variable yang nilainya tidak tergantung pada variable lain; sedangkan variable terikat (dependent variable) ialah variable yang nilainya tergantung pada variable lain. Koefisien dan Konstanta.
Koefisien adalah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variable dalam sebuah fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau angka yang kadang-kadang turut membentuk sebuah fungsi tetai berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variable tertentu
Jenis-jenis Fungsi
a. Fungsi aljabar
b. Fungsi non-aljabar (transenden) Fungsi Aljabar terdiri dari:
Fungsi rasional terdiri atas: f. polinom ; f. linear; f. kuadrat; f.kubik; f. bikuadrat dan f. pangkat
Adapun fungsi non aljabar (transenden) seperti: f. eksponensial; f. logaritmaik; f trigonometric; dan fungsi hiperbolik
Fungsi polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variable bebasnya. Bentuk umum umum persamaan polinom adalah:
Y = a0 + a1X + a2 X2 + ---- + an Xn
Fungsi Linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. bentuk umu m persaman linear adalah :
Y = a0 + a1X ; dimana a1 tidak boleh sama dengan 1
HUBUNGAN LINEAR:
PENGGAMBARAN FUNGIS LINEAR
Setiap fungsi – yang terbentuk eksplisit, atau bis dieksplisitkan - dapat disajikan secara grafik pada bidang sepasang sumbu silang (sistem koordinat). Gambar yang dihasilkannya mungkin berupa garis lurus atau berupa kurva, tergantung pada jenis dan fungsi yang bersangkutan. Gambar dari sebuah fungsi dapat dihasilkan dengan cara menghitung koordinat titik-titik yang memenuhi persnamaannya, dan kemudian memindahkan pasangan-pasangan titik tersebut ke sistem sumbu silang. Dalam menggambarkan suatu fungsi terdapat kebiasaan meletakkan variabel bebas pada sumbu horizontal (absis) dan variabel terikat pada sumbu vertical (ordinat).
PENGGAMBARAN FUNGSI NON-LINEAR
Masing-masing fungsi non-linear mempunyai bentuk khas mengenai kurvanya, sehingga harus diamati kasusdemi kasus.
BAB 6
HUBUNGAN LINEAR
Hubungan sebab-akibat antara berbagai variable ekonomi – misalnya antara permintaa barang dan harga, antara investasi dan tingkat bunga – dapat dengan mudah dinyatakan serta diterangkan dalam bentuk fungsi. Di antara berbagai macam hubungan fungsional yang ada, hubungan linear merupakan bentuk yang paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi.
PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS
Fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai dengan namanya, setiap persamaan linear apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis, tegasnya garis lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx; dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu-vertikal – y, sedangkan b adalah koefisien arah atau lereng garis yang bersangkutan. Penggal a mencerminkan nilai y pada kedudukan x = 0. Adapun lereng b mencerminkan besarnya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x, juga mencerminkan besranya tambahan nilai y untuk setiap tambahan satu unit x, juga mencerminkan tangent dari sudut yang dibentuk oleh garis – y dan sumbu – x.Satu hal yang penting untuk dicatat adalah bahwa lereng dari suatu fungsi linear suatu konstan, untuk setiap x.
PEMBENTUK PERSAMAAN LINEAR
Sebuah persamaan linear dapat dibentuk melalui beberapa macam cara terrgantung pada data yang tersedia. Pada prinsipnya sebuah persmaan linear bisa dibentuk berdasarkan dua unsure. Unsur tersebut dapat berupa penggal garisnya, lereng garisnya, atau koordinat titik-titik yang memenuhi persamaannya.
