PENENTUAN MATRIKS IMPEDANSI REL JALA-JALA (NETWORN DENGAN METODE LANGSUNG

(1)

PENENTUAN MATRIKS IMPEDANSI

_REL

JALA-JALA

(NETWORN

DENGAN METODE LANGSUNG

Oleh :

Abdul Hafid, Efendi Muchtar & Tri Artono Jurusan Teknik Elektro Politeknik Negeri Padang

ABSTRACT

The most widely used method to look for bus impedance matrix in network power systems is inverse method (from inverse matrix bus admittance by using Gauss-Jordan and Court factorization

methods).

This paper discusses an alternative method for look for bus impedance matrix (direct method). A step by step illustration of direct method is given. Observation show that this method performs - well.

Keywords: Bus impedance matrix, direct method

1. Pendahuluan

Dalam analisis sistem tenaga listrik, matriks

impedansi

rel

(bus)

didefinisikan sebagai kebalikan dari matriks admitansi rel.

I Zr"r _I_{= [Yr.,l}'1 _(1.1)

Teknik pembalikan matriks Y,u; dapat dilakukan

dengan

berbagai

metode

yaitu

dapat

menggunakan

metode

Gauss Jordan

dan

metode faktorisasi

Crout.

Meskipun dalam

perhitungan analisis

sistem

tenaga, matriks

admitansi rel lebih banyak dipakai akan tetapi

pada kasus

tertentu

misalnya

dalam

perhitungan hubung _' singkat maka diperlukan

'il r

matriks impeilansi

rel.

Salah satu

cara menentukan

matriks

impedansi

rel

tanpa proses inversi matriks admitansi

rel

adalah

dengan perumusan 2rc1 S€c?t? bertahap dari

diagram impedansi. Beberapa metode yang sering digunakan

orang

untuk menentukan matriks impedansi rel adalah :

Dengan proses

pembalikan

matriks

admitansirel

Dengan metode langsung

Kedua metode yang disebutkan di atas memiliki

perbedaan mendasar,

yaitu

:

pada

metode

yang disebutkan pertama, matriks admitanSi rel

dari suatu jala-jala- _{terlebih dahulu}_ditentukan

kemudian dilakukan

proses invers.

Pada metode

yang

kedua matriks

impedansi rel

ditentukan secara langsung.

Oleh

sebab itu

metode kedua sangat cocok diterapkan pada

komputer.

2. Teori

Gambar 1.1. Diagram reaktansi

(2)

Gambar 1.1 memperlihatkan diagram satu garis dan diagram reaktansi suatu sistem tenaga listrik dengan dua rel. Ada empat tahapan yang dilakukan untuk menentukan matriks impedansi rel, yaitu :

a. Kasus penambahan rel baru ke rel pedoman dengan impedansi zb

[Zrel ] = zb (1.1)

b. Menambahkan zb dari rel j yang baru ke rel

i yang sudah ada. Pada kasus ini jika Zasli

adalah matriks berukuran n x n

Zasli = nn n2 n1 2n 22 21 1n 12 11

z

...

z

...

....

z

..

z

..

z

(1.2) Maka Zrel menjadi

Zrel = (1.3)

M

L

K

Z

_asli

Dimana L dan K masing-masing adalah

perluasan baris dan kolom dari Zasli, L = [

], K =L 1 n

z

b

z

2 n

z

n,n1 T , dan M =

z

_n,_n



.

Misal Zasli berukuran 2 x 2 (atau n = 2) maka L

dan K masing masing adalah baris dan kolom ketiga dari Zrel, L = [ z21 z22], dan K = LT, dan

M = z22 + zb.

c. Menghubungkan rel j yang sudah ada dengan impedansi zb ke rel pedoman.

Pada kasus ini Zasli ditambahkan 1 baris

dan 1 kolom untuk perluasan seperti pada persamaan (1.3) dan Zasli yang telah

diperluas adalah

Z

_aslib =

M

L

K

Z

asli dan

)

,

(

))

,

(

)..

,

(

)

,

(

)

,

(

n

Z

n

i

Z

n

j

Z

j

i

Z

j

i

Z

_b asli b asli b asli b asli rel





untuk i, j = 1, 2, ..n-1 (1.4)

Misal Zasli berukuran 2 x 2 maka L dan K

masing masing adalah baris dan kolom ketiga

dari

Z

_aslib , L = [ z21 z22], dan K = L T

, dan M =

z22 + zb. Dimana zb adalah impedansi

rangkaian antara rel j dengan rel pedom .

asli

Z

berukuran 3 x 3, dan n pada persamaan

(1.4) adalah 3, i =1, 2 dan j =1, 2. Z an b

rel pada

persamaan (1.4) mereduksi

Z

menjadi menjadi Z

b asli

rel berukuran 2 x2.

d. Menghubungkan rel j yang sudah ada dengan impedansi zb ke rel k yang sudah

ada. Pada kasus ini Zasli ditambahkan 1

baris dan 1 kolom untuk perluasan seperti pada persamaan (1.3) dan Zasli yang telah

diperluas adalah

Z

_aslib =

M1

1 L

K1

Z

_asli

dimana K1 = [Z1m Z2m …. Zn, m-1 ], L1 = K1 T , dimana elemen dari K1 adalah

)

,

(

)

,

(

,

Z

n

j

Z

n

k

Z

b asli b asli m n





(1.5)

(3)

Dimana n = 1,2, … (jumlah kolom atau baris dari Zasli), dan m = n +1. Unsur M1 dihitung

dengan persamaan (1.6)

)

,

(

2 )

,

(

)

,

(

,

z

Z

j

Z

k

Z

j

k

Z

_m_m



_b



_aslib



_aslib



_aslib

Dimana j, dan k masing adalah nomor rel yang saling dihubungkan.

Misal Zasli berukuran 4 x 4 maka L1 dan K1

masing masing adalah baris dan kolom 5 dari

, elemen K1 dihitung pakai persamaan

(1.5), pada persamaan (1.4) m = 5, dan n = 1, 2, 3, dan 4. Jika z

b asli

Z

b adalah impedansi rangkaian

antara rel 1 dengan rel 4 yang dihubungkan maka dalam persamaam (1.6) j =1, dan k = 4,

dan didapat Z55. Zasli yag telah diperluas, ,

untuk kasus n = 4 akan mempunyai dimensi 5

x 5, dan selanjutnya direduksi menjadi

matriks Z b asli

Z

b asli

Z

rel 4 x 4 dengan persamaan berikut :

)

,

(

Z

))

,

(

Z

)..

,

(

(.Z

)

,

(

Z

)

,

(

_b asli b asli b asli b asli

m

i

m

j

i

j

i

Z

_rel





(1.7)

Pada persamaan (1.7) nilai m = 5, dan i, j = 1, 2, 3, 4

3. Perhitungan dan analisa

Tinjau sistem tenaga listrik yang diperlihatkan pada gambar 1.1. Untuk mencari Zrel sistem

gambar 1.1, mula-mula ditempatkan rel 1 (sebagai rel baru) ke rel pedoman sehingga Zrel yang ada adalah zb, Zrel = zb, dimana zb

adalah impedansi rangkaian antara rel 1 dengan rel pedoman .

Langkah selanjutnya adalah membangun rel baru (rel 2) dengan impedansi zb ke rel 1 (ke rel

yang sudah ada). Langkah ketiga adalah menghubungkan rel 2 (rel yang sudah ada) ke rel pedoman dengan impedansi zb, dimana zb

sekarang adalah impedansi rangkaian antara rel 2 dengan rel pedoman. Langkah terakhir adalah menghubungkan rel 2 (rel yang sudah ada) dengan impedansi zb ke rel 1 (rel yang

sudah ada).

Mula –mula dilakukan penambahan rel baru tanpa hubungan ke rel lain dengan impedansi j1,15 ke rel pedoman, diperoleh Zrel - 1 = j1,15.

Kemudian penambahan j 0,4 dari rel 1

ke rel 2 baru, maka menurut persamaan (1.3) Zrei-1 diperluas satu baris dan satu kolom,

menjadi



12 rel

Z

j0,4)

1,15

(j

j1,15



=

1,55)

(j

j1,15

Selanjutnya penambahan j1,15 dari rel 2 yang sudah ada ke rel pedoman. Menurut persamaan (1.4) maka Zrel-12 perlu diperluas

satu baris dan satu kolom menjadi



 b rel

Z

₁₂₀

j1,55

j1,15

j1,55

j1,15

j1,15)

(j1,55

j1,55

j1,15



=

j2,7

j1,55

j1,15

j1,55

j1,15

selanjutnya dengan persamaan (1.4)

menjadi b rel

Z

_₁₂₀ = 120  rel

Z

j0,4898

j0,6602

j0,4898

(4)

Elemen

Z

_rel_₁₂₀ (1,1) dicari sebagai berikut : untuk i =1, j = 1, n =3

)

3 ,

3 (

)

3 ,

1 (

)..

3 ,

1 (

)

1 ,

1 (

)

1 ,

1 (

120 120 120 120 120 b rel b rel b rel b rel rel

Z

    





=

7 ,

2

15 ,

1

15 ,

1

15 ,

1 j

j



= j0,6602

dan (1,2) dicari sebagai berikut : untuk

i= 1, j = 2, dan n =3 120  rel

Z

)

3 ,

3 (

)

3 ,

1 (

)..

3 ,

2 (

)

2 ,

1 (

)

2 ,

1 (

120 120 120 120 120 b rel b rel b rel b rel rel

Z

    





=

7 ,

2

15 ,

1

55 ,

1

15 ,

1 j

j



= j0,4898.

untuk elemen (2,1) dan (2,2)

dicari dengan cara yang serupa. Selanjutnya impedansi j1,25 dihubungkan dari rel 1 (yang sudah ada) ke rel 2 (yang sudah ada). Berdasarkan persamaan (1.5) dan (1.6) maka

harus diperluas lagi satu baris dan satu

kolom dengan elemen tambahan sebagai berikut : 120  rel

Z

_rel_₁₂₀ 120  rel

Z

,



Z

(

n

,

1 )



Z

(

n

,

m



1 )

b asli b asli m n dan n =1,2, dan m = 3 dan untuk n =1, diperoleh

Z

_relb

(

1 ,

3 )



Z

_rel_₁₂₀

(

1 ,

1 )



Z

_rel_₁₂₀

(

1 ,

2 )

=

j

0 ,

6602



j

0 ,

4898

= j0,1704 untuk n = 2

)

2 ,

2 (

)

1 ,

2 (

)

3 ,

2 (



_rel_₁₂₀



_rel_₁₂₀ b rel

Z

=

j

0 ,

4898



j

0 ,

6602

= -j0,1704 dan untuk m =3, I =1, j =1 ) 2 , 1 ( 2 ) 2 , 2 ( ) 1 , 1 ( 25 , 1 ) 3 , 3

(   rel₁₂₀  rel₁₂₀  rel₁₂₀

b rel j Z Z Z Z = j 1,25 + j0,6602 + j0,6620 – (2 . j 0,4898) = j1,5908 jadi

Z

_relb =

j1,5908

0,1704

j

0,1704

j

j0,1704

0,6602

j

0,4898

j

j0,1704

j0,4898

0,6602

j

Selanjutnya direduksi menjadi matriks 2

kali 2 dengan persamaan 1.7, yaitu : b rel

Z

_rel = (1.8)

0,6419

j0,5081

0,6419

j

Admitansi rel, Yrel untuk sistem gambar 1.1 adalah Yrel = (1.9)

j4,1696

j3,3000

j3.3000

4,1696

j

dan invers dari Yrel adalah matriks impedansi

rel, dan untuk sistem yang diperlihatkan pada gambar 1.1 Zrel nya adalah

Zrel = [Yrel] –1 = (1.10)

0,6419

j0,5081

0,6419

j

Pada hasil diatas, diperoleh nilai Zrel yang

sama (ditentukan dengan metode langsung dan dengan metode invers). Perbedaannya, pada metode invers persamaan (1.9) harus

(5)

ditentukan terlebih dahulu kemudian dilakukan invers dengan bantuan program komputer. Pada metode langsung tidak demikian, metodenya langsung dapat diterapkan di komputer.

Kita tinjau sistem tenaga listrik diperlihatkan pada gambar 1.2 dimana impedansi dinyatakan dalam persatuan. Ada dua cara untuk mencari Zrel jika menggunakan metode langsung, yaitu :

a. Cara I : Pertama menempatkan rel 1 ke rel pedoman, kedua membentuk rel 2 baru, ketiga membentuk rel 3 baru, keempat menghubungkan j0,3 antara rel 1 dengan rel 3, dan yang terakhir menghubungkan rel 3 ke rel pedoman

Gambar 1.2. diagram satu garis dan diagram reaktansi

b. Cara II : Pertama menempatkan rel 1 ke rel pedoman, kedua membentuk rel 2 baru, ketiga membentuk rel 3 baru, keempat menghubungkan rel 3 ke rel pedoman, dan yang terakhir menghubungkan j0,3 antara

rel 1 yang sudah ada dengan rel 3 yang sudah ada

Hasil

z_rel_cara_I =

0,6968i 0,6581i 0,6290i 0,6581i 0,7548i 0,6774i 0,6290i 0,6774i 0,7137i

z_rel_cara_II =

0,6968i 0,6581i 0,6290i 0,6581i 0,7548i 0,6774i 0,6290i 0,6774i 0,7137i

z_rel_yang_dicari_dari_invers_Yrel =

0,6968i 0,6581i 0,6290i

1 2 3

j0,3

j0,2 j0,15

j1,2 j1,5

Rel pedoman

0,6581i 0,7548i 0,6774i 0,6290i 0,6774i 0,7137i

Dari hasil ( dengan bantuan program komputer ) diperoleh hasil bahwa Zrel yang dicari dengan

cara I untuk sistem gambar 1.2 sama dengan Zrel yang dicari dengan cara II, dan juga sama

jika dicari dengan invers Yrel

4. Kesimpulan

a. Impedansi rel suatu jala-jala dapat dicari dengan proses invers dari matriks admitansi rel

b. Impedansi rel suatu jala-jala juga dapat dicari dengan cara perumusan langsung, dan metode ini sangat cocok di

(6)

implementasikan pada komputer dengan pertimbangan jala-jala sistem tenaga listrik seringkali mengalami perubahan seiring dengan perkembangan bebannya.

DAFTAR PUSTAKA

1. M. E. El-Hawary, 1983, Electrical Power Systems : Design and Analysis, Reston Publising Company

2. MathWorks. Inc., 1985, The Student Edition of MATLAB Version 4.0, Prentice Hall, 1995 3. W. D. Stevenson, Jr., 1984, Analisis Sistem Tenaga Listrik, Edisi keempat, Erlangga

4. Hafid Abdul., 2007, Dasar Teknik Komputasi Untuk Sistem Tenaga Listrik, Diktak Kuliah DIV