1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis x + y = 6 adalah …satuan luas. a. 54 b. 32 c. 6 5 20 d. 18 e. 3 2 10
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
Kurva y = x2 dan garis x + y = 6 ( y = 6 – x )
Substikan nilai y pada y = x2 sehingga didapat : 6 – x = x2 6 – x = x2
x2 + x – 6 = 0 ( a = 1, b = 1, c = –6 )
Untuk mencari luas pada soal diatas lebih mudah jika dikerjakan menggunakan rumus luas yang menggunakan
bantuan diskriminan. 2 6a D D L . D = b2 – 4ac = 12 – 4 (1) (–6) = 1 + 24 = 25
6
5
20
6
125
6
)
5
.(
25
1
.
6
25
25
6
2
2
a
D
D
L
2. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
a. 2/3 b. 3 c. 3 1 5 d. 3 2 6 e. 9
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potog kedua kurva. y = x2 – 4x + 3 dan y = –x2 + 6x – 5 x2 – 4x + 3 = –x2 + 6x – 5 x2 – 4x + 3 + x2 – 6x + 5 = 0 2x2 – 10x + 8 = 0 2 ( x2 – 5x + 4 ) = 0 2 ( x – 4 ) ( x – 1 ) = 0 x – 4 = 0 atau x – 1 = 0 x = 4 atau x = 1
Untuk menghitung luas kita gunakan aturan : L =
b ax
g
x
f
(
)
(
)
dx
L =
3 1 2 2)
3
4
(
)
5
6
(
x
x
x
x
dx
=
3 1 2 23
4
5
6
x
x
x
dx
x
=
3 1 28
10
2
x
x
dx
=1
3
8
5
3
2
3 2x
x
x
= (1) 5(1) 8(1)} 3 2 { )} 3 ( 8 ) 3 ( 5 ) 3 ( 3 2 { 3 2 3 2 = 5 8} 3 2 { } 24 45 18 { = 5 8 3 2 24 45 18 =3
2
6
3. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah …satuan luas.
a. 2 1 4 b. 6 1 5 c. 6 5 5 d. 6 1 13 e. 6 1 30
Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004
a. 5 b. 3 2 7 c. 8 d. 3 1 9 e. 3 1 10
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
Untuk soal diatas cari terlebih dahulu titiik potog kedua kurva. Substitusikan y = 2x pada y = 8 – x2 2x = 8 – x2 x2 + 2x – 8 = 0 ( x + 4 ) ( x – 2 ) = 0 x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 x = –4 atau x = 2 L =
b ax
g
x
f
(
)
(
)
dx
=
2 0 2dx
)
2
(
)
8
(
x
x
=
2 0 2dx
2
8
x
x
=0
2
3
1
8
x
x
3
x
2 = (0) (0) } 3 1 ) 0 ( 8 { } ) 2 ( ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 8 { 3 2 3 2 = 4 3 8 16 = 3 1 95. Jika f(x) = ( x – 2 )2 – 4 dan g(x) = –f (x) , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah … satuan luas. a. 3 2 10 b. 3 1 21 c. 3 2 22
d. 3 2 42 e. 3 1 45
Soal Ujian Nasional Tahun 2003 f(x) = ( x – 2 )2 – 4
= x2 – 4x + 4 – 4
= x2 – 4x ( terbuka keatas ) –f(x) = 4x – x 2 ( terbuka kebawah )
Note : Untuk mengetahui bentuk sebuah kurva dapat dilihat pada koefisien x2, jika positif maka kurva terbuka keatas, dan jika negatif terbuka kebawah.
Batas atas dan bawah didapat dari akar – akar x2 – 4x. x2 – 4x = 0 x ( x – 4 ) = 0 x = 0 atau x – 4 = 0 x = 0 atau x = 4 L =
b ax
g
x
f
(
)
(
)
dx
=
4 0 2 2dx
)
4
(
)
4
(
x
x
x
x
=
4 0 2 2dx
4
4
x
x
x
x
=
4 0 2dx
2
8
x
x
=0
4
3
2
4
x
2
x
3 = (0) } 3 2 ) 0 ( 4 { } ) 4 ( 3 2 ) 4 ( 4 { 2 3 2 3 =3
128
64
=3
1
21
3
128
64
6. Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola y = x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis y = 4 adalah …satuan luas a. 6 1 4 b. 5 c. 6 d. 6 1 6 e. 2 1 7
Soal Ujian Nasional Tahun 2002
Luas Daerah yang dicari adalah yang berwarna merah dan biru, sengaja diberi warna berbeda ( karena memiliki batas yang berbeda ) agar lebih jelas dalam mencari perhitungan
Luas 1 ( daerah berwarna merah ) Fungsi ke – 1 yaitu y = f(x) = 4 Fungsi ke – 2 yaitu y = f(x) = –x + 2 Luas 1 ( daerah berwarna biru ) Fungsi ke – 1 yaitu y = f(x) = 4 Fungsi ke – 2 yaitu y = f(x) = x2
Dari gambar batas antara luas 1 ( merah) dengan luas 2 ( biru ) adalah 1. Ini bisa didapat dari perpotongan antara fungsi y = x2 dan y = –x + 2 x2 = –x + 2 x2 + x – 2 = 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0 x + 2 = 0 atau x – 1 = 0 x = –2 atau x = 1 L1 =
b ax
g
x
f
(
)
(
)
dx
=
1 0dx
)
2
(
4
x
=
1 0dx
2
4
x
=
1 0dx
2
x
=0
1
2
1
2
x
x
2 = 2(1) + ½ (1) = 2+– ½ = 2½ L2 =
b ax
g
x
f
(
)
(
)
dx
=
2 1 2dx
4
x
=1
2
3
1
4
x
x
3 ( batas atas 2 diperoleh dari perpotongan y = 4 dan y = x2 )= (1) } 3 1 ) 1 ( 4 { } ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 4 { 3 3
=
3
2
1
3
7
4
3
1
4
3
8
8
3
1
4
3
8
8
L = L1 + L2 = 6 1 4 3 2 1 2 1 2 7. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3 – 1, sumbu x , x = –1 , dan x = 2 adalah … satuan luas. a. 4 3 b. 2 c. 4 3 2 d. 4 1 3 e. 4 3 4
Soal Ujian Nasional Tahun 2000
L = L1 + L2
L1 =
1 1 3dx
1
x
=
1
1
4
1
4
x
x
=
( 1) ( 1)} 4 1 { )} 1 ( ) 1 ( 4 1 { 4 4 =
1 4 1 1 4 1 = 2
L2 =
2 1 3dx
1
x
=
1
2
4
1
4x
x
=
=
(1) (1)} 4 1 { )} 2 ( ) 2 ( 4 1 { 4 4 =
1 4 1 2 4 =
4 3 2L =
4
3
4
4
3
2
2
Materi pokok : Volume Benda Putar
8. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = – x2 + 4 dan y = – 2x + 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu y adalah … satuan volume.
a. 8
b.
2 13
d. 3 8 e. 4 5
Soal Ujian Nasional Tahun 2007
Cat : Gambar diatas kemudian diputar 3600 terhadap sumbu y( kasih masukkan ya, kalau anda tahu cara menggambar kurva dengan putaran 3600 )
Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari : y = – x2 + 4
y = – 2x + 4
Substitusikan nilai y, didapat : – 2x + 4 + x2 – 4 = 0
x2 – 2x = 0 x ( x – 2 ) = 0 x = 0 atau x = 2
Untuk nilai y, substitusikan nilai x pada y = – 2x + 4 x = 0 y = – 2(0) + 4 = 4
x = 2 y = – 2(2) + 4 = 0
Karena beda diputar terhadap sumbu y, maka terlebih dahulu rubah fungsi y = f(x) menjadi x = f(y).
y = – x2 + 4 y = – 2x + 4 y – 4 = – x2 y – 4 = – 2x 4 – y = x2 2 – ½ y = x x =
4
y
V =
b ay
g
y
f
2(
)
2(
)
dx
=
4 0 2 2dy
)
2
1
2
(
)
4
(
y
y
=
4 0 2dy
)
4
1
2
4
(
)
4
(
y
y
y
=
4 0 2dy
y
4
1
y
=
0
4
2
1
12
1
3 2y
y
=
3
8
)
8
3
16
(
}
)
4
(
2
1
)
4
(
12
1
{
3
2
9. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu x adalah …satuan volum.
a. 5 67 b. 5 107 c. 5 117 d. 5 133 e. 5 183
Soal Ujian Nasional Tahun 2006
Dari gambar sebenarya terlihat titik potong kedua kurva. Kalau melalui perhitungan didapat dari : y = x2 + 1
y = x + 3
Substitusikan nilai y, didapat : x2 + 1 = x + 3 x2 + 1 – x – 3 = 0 x2 – x – 2 = 0 ( x – 2 ) ( x + 1 ) = 0 x = 2 atau x = – 1 V =
b ax
g
x
f
2(
)
2(
)
dx
=
2 1 2 2 2dx
)
1
(
)
3
(
x
x
=
2 1 2 4 2dx
)
1
2
(
)
9
6
(
x
x
x
x
=
2 1 2 4 2dx
)
1
2
9
6
x
x
x
x
=
2 1 2 4dx
8
6x
x
x
=1
2
)
8
3
3
1
5
1
(
5 3 2
x
x
x
x
= ( 1) 3( 1) 8( 1)) 3 1 ) 1 ( 5 1 ( ) 2 ( 8 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 5 1 ( 5 3 2 5 3 2
= 3 8) 3 1 5 1 ( ) 16 12 3 8 5 32 (
= 33) 3 9 5 33 (
= 30) 5 33 (
=30
)
5
3
6
(
=
5
2
23
=
5
117
10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 1
2x , garis y = x
2
1 dan garis x = 4
diputar 3600 terhadap sumbu x adalah ….satuan volume.
a. 3 1 23 b. 3 2 24 c. 3 2 26 d. 3 1 27 e. 3 2 27
Soal Ujian Nasional Tahun 2005
11. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan x + y – 2 = 0, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Volume benda putar yang terjadi adalah …satuan volum.
a. 3 2 15 b. 5 2 15 c. 5 3 14 d. 5 2 14 e. 5 3 10
Soal Ujian Nasional Tahun 2004
y = x2 dan x + y – 2 = 0 ( y = 2 – x )
Substitusi kedua persamaan untuk mendapat titik potongnya. x2 = 2– x x2 + x – 2 = 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) = 0 x = – 2 atau x = 1 V =
b ax
g
x
f
2(
)
2(
)
dx
=
1 2 2 2 2dx
)
(
)
2
(
x
x
=
1 2 4 2dx
4
4
x
x
x
=2
1
)
5
1
3
1
2
4
(
2 3 5
x
x
x
x
= ( 2) )} 5 1 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 4 ( ) ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 {( 2 3 5 2 3 5
= )} 5 32 3 8 8 8 ( ) 5 1 3 1 2 4 {(
= ) 5 32 3 8 16 5 1 3 1 2 (
= )
5 3 6 21 ( =
5
2
14
12. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x
2+ 1, x = 1 , sumbu x, dan sumbu
y diputar 360
0mengelilingi sumbu x adalah … satuan volum.
a.
15 12
c. 15 27 d. 15 47 e. 4
Soal Ujian Nasional Tahun 2003
V =
b ax
g
x
f
2(
)
2(
)
dx
V =
1 0 2 2 2dx
)
0
(
)
1
2
( x
V =
1 0 2 4dx
1
4
4
x
x
=0
1
3
4
5
4
5 3
x
x
x
= 1 ) 1 ( 3 4 ) 1 ( 5 4 5 3
=
15 47 15 15 20 12 1 3 4 5 4 13. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x
2dan y = 5 diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360
0adalah ….
a. 4 b. 3 16 c. 8 d. 16 e. 3 92
Soal Ujian Nasional Tahun 2002
14. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x
2– 1 dan sumbu x dari x=1,
x = –1, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360
0adalah ….
a. 15 4 b. 15 8 c. 15 16 d. 15 24 e. 15 32
15. Volume benda putar yang terjadi bila daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva
4 1 2 x y ,
sumbu x, sumbu y diputar mengelilingi sumbu x adalah … satuan volume.
a. 15 52 b. 12 16 c. 15 16 d. e. 15 12
Soal Ujian Nasional Tahun 2000