Daerah D dibatasi kurva y = f (x) dengan f (x) 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. D = {(x,y) a x b, 0 y f (x)} Luas daerah D adalah  Ú.

001

y

Dx

f

0 a x b x

Daerah D dibatasi kurva y= f(x) dengan f(x)≥0, garis x=a, garis x=b, dan sumbu x.

D={(x,y)|a£x£b,0£y£f(x)} Luas daerah D adalah

1 || || 0 lim n ( ) b ( ) i _a P L ₌ f x x f x dx Æ =

Â

D =

Ú

. y Dx f g 0 a x b x

Daerah D dibatasi kurva y=f(x), kurva y=g(x),

dengan f(x)≥g(x), garis x=a, dan garis x=b. D={(x,y)|a£x£b,g(x)£y£f(x)}. Luas daerah D adalah

(

)

(

)

1 || || 0 lim n ( ) ( ) b ( ) ( ) i _a P L ₌ f x g x x f x g x dx Æ =

Â

- D =

Ú

- .

Contoh Hitunglah luas daerah D={(x,y)|0£x£ 1

2p ,0£y£sin2x}. y Dx 1 y=sin2x 0 1 4p x 1 2p x

Luas daerah D adalah

(

)

(

)

/ 2 1 ₀ || || 0 / 2 _{/ 2} 1 1 0 2 ₀ 2 1 2

lim sin 2 sin 2

sin 2 (2 ) cos 2 1 1 1. n i P L x x x dx x d x x p p _p = Æ = D = = = -= - - - -=

Â

_Ú

Ú

D D D

Contoh Hitunglah luas daerah D={(x,y)|1£x£4,0£y£4x-x2}. y Dx 4 3 y=4x-x2 2 1 D 0 1 2 x 4 x

Daerah D dibatasi parabol y=4x-x2, garis x=1, dan sumbu x.

Luas daerah D adalah

(

)

4 2 2 1 ₁ || || 0 4 1 64 1 2 3 3 ₁ 3 3 lim (4 ) (4 ) 2 32 2 9. n i P L x x x x x dx x x = Æ = - D = -= - = - - + =

Â

_Ú

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y=cosx dan y=sinx

dengan x terletak di antara dua titik potong yang berturutan.

y Dx 1 y=sinx y=cosx p 2p 0 1₄p 1₂p 5₄p 3₂p x -1 Dx

Fungsiy=cosx dany=sinx mempu-nyai periode 2p. Pada selang [0,2p] kedua kurva ini berpotongan di titik

(

1 1

)

4p,2 2 dan

(

)

1 1 4 2 1 p,- 2 . Pada selang 1 5 4 ,4

[

p p

]

kurva y = sin x

terletak di atas kurva y=cosx. Luas daerah D adalah

(

)

(

)

(

)

5 / 4 1 _{/ 4} || || 0 5 / 4 1 1 1 1 / 4 2 2 2 2

lim sin cos sin cos

cos sin 2 2 2 2 2 2. n i P L x x x x x dx x x p p p p = Æ = - D = -= - - = + + + =

Â

Ú

Contoh Hitunglahluas daerahDyangdibatasikurvay= x, sumbu x, dan garis y=x-2. y 2 y= x (4,2) y Dy D y=x+2 0 1 2 3 4 x

Integralkan dalam peubah y: y= x x, ≥0 ¤ x=y2

dan y=x-2 ¤ x=y+2. Luas daerah D adalah

(

)

2 2 2 1 ₀ || || 0 2 1 2 1 3 2 1 lim ( 2 ) ( 2 ) 2 2 4 2 3 . n i P L y y y y y dy y y y = Æ = + - D = + -= + - = + - =

Â

_Ú

D D x D

0 a x c x b x

f

Dx

1

|| ||P Æ0

Â

i=

Ú

a

Pada gambar di samping,

(

( )

)

( ) c b a c L=

Ú

-f x dx+

Ú

f x dx y Dx Dx g f f g 0 a x c x b x

Daerah D dibatasi kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x=a, dan garis x=b. Luas daerah D adalah

1 || ||lim0 | ( ) ( )| | ( ) ( )| b n i _a P L ₌ f x g x x f x g x dx Æ =

Â

- D =

Ú

- .

Pada gambar di samping,

(

( ) ( )

)

(

( ) ( )

)

c b

a c

L=

Ú

f x -g x dx+

Ú

g x -f x dx.

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y=cos2x, 0£x£ 3 4p dan sumbu x. y Dx 1 y=-cos2x 0 x 1₄p 3₄p x y=cos2x -1 Dx

Kurvay=cos2x memotong sumbu x di titik 0, 1 4p, dan 3 4p. Pada selang 1 4

[0,

p

]

kurva terletak di atas sumbu x dan padaselang 1 3

4 ,4

[

p p

]

kurva ter-letak di bawah sumbu x.

Luas daerah D adalah

(

) (

)

(

)

3 /4 1 ₀ || || 0 /4 3 /4 0 /4 /4 3 /4 1 1 1 1 1 1 2 ₀ 2 _/4 2 2 2 2

lim |cos 2 | |cos 2 | cos 2 ( cos 2 ) sin 2 sin 2 1 . n i P L x x x dx x dx x dx x x p p p p p p p = Æ = D = = + -= - = - - - =

Â

_Ú

Ú

Ú

D D D x 1 2p D D

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi parabol y =x2, -2£ x£2, garis y=x+2, -2£x£2, dan sumbu x.

y Dx Dx 4 (2,4) y=x2 y=x+2 y=x2 1 -2 x -1 0 x 2 x

Parabol y=x2 dan garis y=x+2 pada selang [-2,2]berpotongandititik(-1,1)dan (2,4). Pada selang [-2,-1] parabol terletak di atas

garis dan pada selang [-1,2] parabol terletak di bawah garis.

Luas daerah D adalah

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

2 2 2 1 ₂ || || 0 1 ₂ 2 ₂ 2 1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 3 2 ₂ 2 3 ₁ 1 1 8 8 1 1 3 2 3 3 2 3 5 1 1 6 2 3 lim | ( 2)| | ( 2)| ( 2) ( 2) 2 2 2 4 2 4 2 1 4 6 . n i P L x x x x x dx x x dx x x dx x x x x x x = -Æ -- -- -= - + D = - + = - + + + -= - - + + = + + + + + -= + =

Â

_Ú

Ú

Ú

y 9 (-1,8) y=9-x2 (-2,5) (2,5) -3 -2 -1 0 1 2 3 x

Ilustrasi Perhatikan daerah D1, D2, D3, dan D4 beserta parabol dan garis pembatasnya. Jika luas daerah Di adalah Li, i = 1, 2, 3, 4, maka

L1= 2

(

2

)

1 (9 x ) (7 x dx) - -

-Ú

L2= 1

(

2

)

2

(

)

2 (9 x ) 5 dx 1 (7 x) 5 dx - - - + -

-Ú

Ú

L3= 2

(

2

)

2

(

)

3 (9 x ) (4 x dx) 2 5 (4 x dx) -- - - + + - - +

Ú

Ú

L4 =

( )

2 3 ₂ 4 x dx

(

9 x

)

dx - + +

-Ú

Ú

D1 D2 D4 y=7-x D3 y=5 7 5 3 y=x+3 D D (-1,1)

y

Dx

f

0 a x b x

D ={(x,y) | a £ x £ b, 0£ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.

y cakram lingkaran f tinggi Dx, jari-jari f(x) Dx Dx 0 x sb putar Dx volum cakram D =V_i pf2( )x D x

Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D={(x,y)|a£x£b,0£y£f(x)} dipu-tar terhadap sumbu x, maka volum benda pudipu-tar yang terjadi adalah

2 2 1 || ||lim0 ( ) ( ) b n i _a P V ₌ p f x x p f x dx Æ =

Â

D =

Ú

.

Contoh Jika daerah D =

{

( , ) : 0x y £ £x p,0£ £y sinx

}

diputar terhadap sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y Dx 1 y=sinx 0 x p x y y=sinx 0 x p x

Volum benda putar yang terjadi bilamana da-erah D diputar terhadap sumbu x adalah

(

)

(

)

2 1 || || 0 2 0 1 1 2 2 0 1 1 2 4 ₀ 1 1 2 2 2 lim sin sin cos 2 sin 2 . n i P V x x x dx x dx x x p p p p p p p p p p = Æ = D = = -= -= ◊ =

Â

Ú

Ú

D f (x) _{f (x)} a x b D

Contoh Buktikan volum bola berjari-jari a > 0 adalah 4 3 3 . V = pr y Dx 2 2 y= a -x -a 0 x a x y a _{y= a}2_-x2 -a 0 x a x -a

Suatu cara untuk memperoleh bola berjari-jari a adalah daerah

2 2

{( , )| ,0 }

D = x y - £ £a x a £ £y a -x

diputar terhadap sumbu x.

Volum benda putarnya adalah volum bola yang dicari, yaitu

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 || || 0 2 2 2 2 2 0 1 2 4 2 3 3 3 3 ₀ 3 3 lim 2 2 2 . n i P a a a a V a x x a x dx a x dx a x x a a p p p p p p = Æ -= - D = - = -= - = ◊ =

Â

Ú

Ú

Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £x£ 2, x2£y£ 4} diputar terhadap sum-bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y 4 (2,4) y Dy y=x2 0 2 x y (-2,4) (2,4) y=x2 -2 0 2 x

Notasi D={(x,y)|0£x£2,x2£y£4} berarti bah-wa proyeksi D pada sumbu x adalah selang [0,2], batas bawahnya y=x2 dan batas atasnya y=4. Ubahlah daerah D dengan membuat proyeksinya terhadap sumbu y, diperoleh

D= {(x,y) | 0 £y£ 4, 0 £x£ y }.

Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,2], ba-tas kirinya x=0 dan batas kanannya x= y .

Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah

D diputar terhadap sumbu y adalah

( )

( )

2 4 1 ₀ || || 0 4 1 2 2 ₀ lim (8 0) 8 . n i P V y y y dy y p p p p p = Æ = D = = = - =

Â

_Ú

0 D a 4 D y=4

y Dx f g 0 a x b x D ={(x,y) | a £ x £ b, g(x) £ y £ f (x)} diputar terhadap sumbu x.

y

cincin lingkaran, tinggi Dx, f jari-jari f (x) dan g(x). Dx Dx g 0 x x sb putar Dx volum cakram D =V_i p(f2( )x g x- 2( ))D x

Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D={(x,y)|a£x£b,g(x)£y£f(x)} diputar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah

2 2 2 2 1 || || 0 lim n

(

( ) ( )

)

b

(

( ) ( )

)

i a P V ₌ p f x g x x p f x g x dx Æ =

Â

- D =

Ú

- .

Contoh Jika daerahD={(x,y) | 1 £x£ 4, x£y£2 x }diputarterhadap sum-bu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y 4 (4,4) y=2 x y=x 0 1 x 4 x y 4 (4,4) 0 1 x (-4,4)

Daerah D dibatasi oleh kurva y = 2 x , garis x = 1, dan garis y = x. Kurva y = 2 x dan garis y = x berpotongan di titik (0,0) dan (4,4).

Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D di-putar terhadap sumbu y adalah

(

) (

)

2 2 1 || || 0 4 _{2 2} 4 ₂ 1 1 4 1 64 1 2 3 3 ₁ 3 3 lim 4 2 32 2 9 .

(2

)

(2

)

(

)

(

)

(

)

n i P V x x x x x dx x x dx x x p p p p p p = Æ = - D = - = -= - = - - + =

Â

Ú

Ú

D ( ) ( ) f x g x -a _b ( ) g x ( ) f x D Dx 4

Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran (x-2)2+ £ y2 1 diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y 1 y Dy 0 1 3 x 2 2 1 x= - -y 2 2 1 x= + -y y -3 3 x Bentuk Donat

Cakram lingkaran (x-2)2+ y2 £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, 1 dan batasnya adalah lingkaran(x-2)2+ y2 = . Batas sebelah kirinya ada-1 lah fungsi x = -2 1- y2 dan sebelah kanannya adalah x = +2 1- y2 . Volum benda putar yang terjadi adalah

(

) (

)

(

) (

)

2 2 2 2 1 || || 0 1 _{2 2} 1 2 2 2 1 1 1 _{2 1 2} 4 0 lim 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 16 1 16 4 . n i P V y y y y y dy y dy y dy p p p p p p p = Æ -Ê ˆ = _Á + - - - - _˜D Ë ¯ Ê ˆ = _Á + - - - - _˜ = -Ë ¯ = - = ◊ =

Â

Ú

Ú

Ú

Untuk menghitung 1 2 0 1- y dy

Ú

, buatlah penggantian 1 2 sin ,0 y = t £ £t p .

Akibatnya dy = cost dt dan 1- y2 = 1 sin- 2t = cos2t = cost. Batas

in-tegralnya berubah, 1

2

1

y = ¤ =t p dan y = ¤ = . Dari sini diperoleh 0 t 0

(

)

(

)

1 ₂ / 2 _{/ 2 1 1} 2 2 0 0 0 / 2 1 1 1 1 1 1

1 cos cos cos 2

sin 2 0 . y dy t t dt t dt t t p p p p p - = ◊ = -= - = ◊ - ◊ =

Ú

Ú

Ú

-1 0 1 2 D

y f Dx 0 a x b x sumbu putar y -b b x sumbu putar y kulit tabung -x x x Metode kulit tabung:

DV = 2p x f (x) Dx

Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D={(x,y)|a£x£b,0£y£f(x)} dipu-tar terhadap sumbu y, maka volum benda pudipu-tar yang terjadi adalah

1 || || 0 lim n 2 ( ) 2 b ( ) i _a P V ₌ p x f x x p x f x dx Æ =

Â

D =

Ú

.

Catatan Metode kulit tabung dapat digunakan untuk daerah D yang diba-tasi kurva f dan g yang kontinu pada [a,b]. Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D={(x,y)|a£x£b,g(x)£y£f(x)} diputar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah

(

)

(

)

1 || || 0 lim n 2 ( ) ( ) 2 b ( ) ( ) i _a P V ₌ px f x g x x p x f x g x dx Æ =

Â

- D =

Ú

-Contoh Jika daerahD={(x,y) | 1 £x£ 4, x£y£2 x }diputarterhadap sum-bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y

4 (4,4) y=2 x

y=x 0 1 x 4 x

Volum benda putar yang terjadi adalah

(

)

(

)

(

) (

)

4 ₂ 1 ₁ || || 0 4 4 2 1 3 3 1 4 1 3 5 3 ₁ 5 3 5 3 5 lim 2 2 2 2 2 2 25 21 7 . n i P V x x x x x x x dx x x x p p p p p = Æ = - D = -= - = - - + =

Â

_Ú

D Dx

Contoh Jika daerah D = {(x,y) | 0 £x£ 2, x2£y£ 4} diputar terhadap sumbu

y, hitunglah volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung.

y 4 (2,4) y=x2 0 x 2 x y (-2,4) (2,4) y=x2 -2 0 2 x

Volum benda putar yang terjadi ada-lah

(

)

2 1 || || 0 2 2 _{3 2 1 4} 4 0 0 lim 2 4 2 4 2 2 2 (8 4) 8 .

(

)

(

)

n i P V x x x x x dx x x p p p p p = Æ = - D = - = -= - =

Â

Ú

Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran (x-2)2+ £ y2 1 diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y Dx 1 _{y= - -1 (x 2)}2 0 1 3 x _{y=- - -1 (x 2)}2 y -3 3 x

Cakram lingkaran (x-2)2+ y2 £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan, 1 dan batasnya adalah lingkaran(x-2)2+ y2= . Batas sebelah atasnya ada-1 lah fungsiy= 1 (- -x 2)2 dan sebelah bawahnya adalah y= - - -1 (x 2) .2 Volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung adalah

(

)

(

)

3 2 2 2 1 ₁ || || 0 1 ₂ 1 1 ₂ 1 ₂ 1 _{2 1 2} 4 1 1 0 lim 2 1 ( 2) 1 ( 2) 4 1 ( 2) 4 2 1 ; 2, , 2, 1 3 1 1 4 1 8 1 0 16 1 16 4 . n i P V x x x x x x dx u u du u x du dx x u x u u u du u du u du p p p p p p p p p = Æ -- -= - - + - - D = -= + - = - = = + £ £ ¤- £ £ = - + - = + - = ◊ =

Â

_Ú

Ú

Ú

Ú

Ú

berdasarkan sifat integral tentu fungsi ganjil dan hasil sebelumnya.

4 D y=4 -1 0 1 2 D x

Metode Cakram y irisan sejajar ^ sb-x f -f bidang yang ^ sb-x Metode Cincin y f irisan sejajar ^ sb-x g -g -f bidang yang ^ sb-x

Pada metode cakram, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang te-gak lurus sumbu x selalu berbentuk cakram lingkaran. Untuk x Π[a,b] luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu D =L L x( )=p f 2( )x . Padametodecincin,irisansejajar benda putar dengan bidang yang tegak

lurussumbu xselaluberbentuk cincinlingkaran.Untuk xŒ[a,b]luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu D =L L x( )=p

(

f 2( )x - g x2( )

)

. Volum benda putar untuk kedua metode ini adalah

1 || ||lim0 ( ) ( ) b n i _a P V ₌ L x x L x dx Æ =

Â

D =

Ú

,

dengan penampangnya L x( ) =p f 2( )x atau L x( )=p

(

f 2( )x - g x2( )

)

. Gagasan metode irisan sejajar adalah perumuman kedua metode ini

un-tuk benda padat di antara dua bidang yang tegak lurus sumbu x.

Luas irisan sejajar adalah L(x) bidang ^ sb-x sb-x a x=a x = b

Metode irisan sejajar Suatu benda padat

terle-takantara duabidang yangtegak lurus sumbu-x dariakeb.Jika luasirisansejajarbendadengan bidang tegak lurus sumbu x adalah L(x) dan L kontinu pada [a,b], maka volume benda padat tersebut adalah 1 || || 0 lim n ( ) b ( ) i a P V ₌ L x x L x dx Æ =

Â

D =

Ú

. 0 a x b x 0 a x b x b x L(x)

Contoh Alas suatu benda padat adalah cakram lingkaran berjari-jari a>0.

Jika irisan sejajar antara bidang yang tegak lurus garis tengah tetap selalu berbentuk persegi, hitunglah volum benda padat tersebut.

benda padat C y x =-a x =0 x = a x y a B(x,y) y= a2-x2 -a a x A(x,-y) -a

Persamaan lingkarannya adalah x2+ =y2 a2. Irisan bendapadatdenganbidangyangtegak lurus sumbu x pada selang [-a,a] berbentuk persegi ABCD.JikaA(x,-y)danB(x,y),maka sisi persegi adalah AB= =2y 2 a2 - x2, se-hingga luas ABCD adalah L(x) = 4(a2-x2). Karena L kontinu pada [-a,a], maka volum benda padatnya adalah

(

)

(

)

2 2 2 2 1 || || 0 1 2 2 2 3 3 0 1 1 3 3 3 3 3 lim 4( ) 4( ) 8 ( ) 8 8 5 . a n i _a P a a a V a x x a x dx a x dx a x x a a a = -Æ -= - D = -= - = -= - =

Â

_Ú

Ú

Contoh Alas suatu benda padat adalah D={( , ) |0x y £ £y 1,0£ £x 2 1- . y} Jikairisan sejajardengan bidangyangtegaklurussumbuyselaluberbentuk cakram setengah lingkaran, tentukan volum benda padat tersebut.

y 1 x=2 1-y y diameter lingkaran 0 2 x y benda padat 1 0 cakram 2 x setengah lingkaran

Irisan sejajar yang berbentuk cakram setengah lingkaran untuk y di antara 0 dan 1 berdiameter 2 1 y- , sehingga jari-jarinya 1 y- . Luas ca-kramnya adalah 1

(

)

2 1

2 2

( ) 1 (1 )

L y = p -y = p - . y

Karena L kontinu pada [0,1], maka volum ben-da paben-datnya aben-dalah

(

)

( )

1 1 1 1 2 2 ₀ || || 0 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 4 lim (1 ) (1 ) 1 . n i P V y y y dy y y p p p p p = Æ = - D = -= - = - =

Â

_Ú

A(x,-y) B(x,y) D 0 x

Pusat Massa Batang

Dxi

m2 m3 O m1 mi mn O L x2 x3 x1 xi xn x0 xi-1ci xi xn x

Sistem partikel pada suatu garis terdiri dari n partikel dengan massa m1,

m2,º,mn yang terletak di titik x1,x2,º,xn. Massa, momen terhadap ti-tik asal O, dan pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

h Massa adalah M =m1 +m2 +º+mn

h Momen terhadap O adalah M0 =m1x1 +m2x2 +º+mnxn

h Titik pusat massa adalah M0

M

x = .

Sebuah batang horisontal tak homogen panjangnya L terletak di antara

x=0 dan x= L. Jika rapat massa di setiap titik pada batang adalah r(x),

dengan r kontinu pada [0,L], akan ditentukan pusat massa batang.

Buatlah partisi untuk [0,L] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i dan pan-jangnya Dxi. Jika ci adalah titik tengah [xi-1,xi] dan rapat massanya pada selang bagian ini konstan sebesar r(ci), maka massanya Dmi = r(ci) Dxi danpusatmassanya di ci. Batang ini dipandang sebagai sistem n partikel dengan massa Dm1,Dm2,º,Dmn di c1,c2,º,cn yang massa, momen ter-hadap titik O, dan pusat massanya ditentukan seperti di atas.

Untukbatang tak homogen yang panjangnya L dengan rapat massa r(x),

r kontinu pada [0,L], pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

h Massa batang adalah

1 ₀ || || 0 lim n ( )_{i i} L ( ) i P M ₌ r c x r x dx Æ =

Â

D =

Ú

.

h Momen terhadap O adalah ₀

1 ₀ || ||lim0 ( ) ( ) L n i i i i P M ₌ c r c x xr x dx Æ =

Â

D =

Ú

.

h Titik pusat massa batang adalah M0

M

Contoh Tentukan pusatmassa batangtakhomogenyangpanjangnya4 sa- tuan dan rapat massa di setiap titik x yang jaraknya x satuan dari ujung kiri

batang adalah r(x) = 6x + 4.

Massa batang adalah

(

)

4

(

)

(

₂

)

4 1 _{0 0} || ||lim0 6 4 6 4 3 4 48 16 64 n i i i P M ₌ c x x dx x x Æ =

Â

+ D =

Ú

+ = + = + = .

Momen terhadap O adalah

(

)

(

)

(

)

(

)

4 4 ₂ 0 ₁ 0 0 || || 0 4 3 2 0 lim 6 4 6 4 6 4 2 2 128 32 160. n i i i i P M c c x x x dx x x dx x x = Æ = + D = + = + = + = + =

Â

_Ú

_Ú

Titik pusat massa batang adalah 0 1

2 160 64 2 M M x = = = .

Jadi titik pusat massa batang terletak 1

2

2 satuan dari ujung kiri batang.

Pusat Massa Keping Datar

y m2 (x2,y2) y1 m1 m3 (x1,y1) (x3,y3) 0 x1 x m4 mn (x4,y4) mi (xn,yn) (xi,yi)

Sistempartikelpada suatu bidang terdiri dari

n partikel dengan massa m1,m2,º,mn yang

terletakdititik (x1,y1),(x2,y2),º,(xn,yn).

Massa,momenterhadap titik asal O, dan

pu-sat massanya ditentukan sebagai berikut.

h Massa adalah M=m1 +m2 +º+mn

h Momen terhadap sumbu x adalah Mx =m1y1 +m2y2 +º+mnyn

h Momen terhadap sumbu y adalah My =m1x1 +m2x2 +º+mnxn.

h Pusat massa sistem adalah

( )

x y, , dengan My

M

x = dan Mx

M

y = .

Gagasaniniakandigunakanuntukmenentukanpusatmassa suatu keping datar homogen dengan rapat massa konstan r(x) = k yang berbentuk

da-erah

g 0 a b x y f g 0 a xi-1 xi b x ci

setiap (x,y) ΠD adalah r(x) = k. Akan ditentukan

pusat massa keping D.

Buatlah partisi untuk [a,b] dengan [xi_-1,xi] selang bagian ke-i, yang menghasilkan n persegi panjang

dengan alas Dxi=xi-xi-1 dan tinggi f(ci)-g(ci), ci titik tengah selang [x_i-1,xi].

Hampiranmassakepingadalahmassapersegi pan-jang ke-i, yaitu Dmi=k

(

f(ci)-g(ci)

)

, i=1,2,º,n. Karena rapat massanya konstan dan ci titik tengah [xi-1,xi], maka pusat

massa persegi panjang ke-i terletak di titik

(

1

(

)

)

2

, ( ) ( )

i i i i

P = c f c +g c , i =

1,2,º, n. Jadi diperoleh sistem partikel pada bidang dengan n partikel

yang massanya Dm1, Dm2, º , Dmn dan terletak di titik P1, P2, º , Pn. Untuk keping datar homogen D = {(x,y) | a£x£b, g(x)£y£f(x)}dengan

rapat massa r(x) = k pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

h Massa keping:

(

)

(

)

1 || ||lim0 ( ) ( ) ( ) ( ) b n i i i i _a P M ₌ k f c g c x k f x g x dx Æ =

Â

- D =

Ú

-h Momen terhadap sumbu x:

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

1 1 2 || || 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 || || 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) . n x _i i i i i i P b n i i i i _a P M k f c g c x f c g c k f c g c x k f x g x dx = Æ = Æ = - D -= - D =

-Â

Â

_Ú

h Momen terhadap sumbu y:

(

)

(

)

( )

(

)

1 || || 0 lim n ( ) ( ) b ( ) ( ) y _i i i i i _a P M ₌ k f c g c x c k x f x g x dx Æ =

Â

- D =

Ú

- .

h Pusat massa keping D adalah

( )

x y, , dengan My

M

x = dan Mx

M

y = .

Untuk k=1, pusat massa∫pusat daerah (centroid) D, dengan M=luasD.

i P

Contoh Tentukanpusatdaerah D = {(x,y) | 0 £x£ 2, x2£y£ 4}. y 4 y=x2 3 2 1 0 1 ci 2 x

Luas daerah D adalah

( )

(

)

2

2 _{2 1 3 2 1}

3 3 3

0 4 4 ₀ 8 2 5

M =

Ú

-x dx = x- x = - = .

Momen daerah D terhadap sumbu x adalah

(

)

(

)

2 2 1 4 1 1 5 1 4 2 ₀ 16 2 16 5 ₀ 16 35 125 x M =

Ú

-x dx = x- x = - = .

Momen daerah D terhadap sumbu x adalah

( )

(

)

(

)

2 2 ₂ 2 _{3 2 1 4} 4 0 4 0 4 2 ₀ 8 4 4 y M =

Ú

x -x dx =

Ú

x x- dx = x - x = - = . Pusat daerah D adalah

( )

x y , , 1

3 3 4 4 5 y M M x = = = dan 4 5 1 3 2 5 12 5 2 x M M y = = = .

Jadi pusat daerah D adalah

( )

3 2

4, 25 .

Teorema Pappus (Kaitan volum benda putar dan pusat daerah)

sumbu putar garis g _{Jika daerah D yang terletak pada salah satu sisi dari}

garis g diputar terhadap garis g, maka volum benda putarnya adalah luas D dikalikan jarak tempuh pu-sat daerahnya.

2

V = pdA , d=jarak(pm,g) dan A =luas D.

y 4 y=x2 3 2 1 0 1 ci 2 x

Ilustrasi (Solusi soal sebelumnya dengan teorema Pappus)

Daerah D di atas luasnya 1

3

5

M = dan pusatnya

( )

3 2

4, 25 .

JikaDdiputarterhadapsumbuy,makajaraktempuh pu-satnya adalah p= 3 3

4 4

2p◊ = p. Jadi volum benda putarnya adalah V=Mp= 1 3

3 2

5 ◊ p =8p .

y

Daerah D={(x,y)|(x-2)2+ £ } diputar terhadap y2 1 sumbu y, luasnya M = p, dan pusatnya (2,0). Jarak tempuh pusatnya adalah p = 2p ◊2 = 4p. Jadi volum benda putarnya adalah V=Mp=p◊4p= 4p2.

D y=4 p.m

( )

1 2 2 4+ci d D pm g D y=4 p.m

( )

1 2 2 4+ci D -2 -1 0 1 2pm3 x

Suatu objek bergerak sejauh D sepanjang sebuah garis dipengaruhi gaya tetapFyangsearahgeraknya.KerjadariFuntukmemindahkanobjekitu sejauh D adalah gaya dikalikan perpindahannya, yaitu W = F◊D.

Suatuobjekbergeraksepanjang sumbuxdari a ke b dipengaruhi gaya ti-dak tetap sebesar F(x) di titik x, F kontinu pada [a,b]. Akan ditentukan

kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b.

Buatlah partisi untuk [a,b], maka dengan asumsi sepanjang [xi_-1,xi] be-kerja gaya tetap sebesar F(ci), besarnya kerja untuk memindahkan objek dari x ke x+Dxi adalah DWi = F(ci)Dxi.

Dengan menggunakan hampiran dan limit jumlah, besarnya kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b adalah

1 || || 0 lim n ( )_{i i} b ( ) i _a P W ₌ F c x F x dx Æ =

Â

D =

Ú

.

Contoh Panjang asal sebuah pegas adalah 40 cm dan untuk meregangnya sehingga menjadi 50 cm diperlukan gaya sebesar 2 kg. Tentukan kerja un-tuk meregang pegas itu dari 40 cm menjadi 60 cm.

panjang pegas asal panjang setelah diregang x

0 1 2 3 4 x (dm) 0 1 x 2 3 4 x (dm)

Tempatkanpegassecarahorisontal dengan titik ujung pegas di 0. Berda- sarkan hukum Hooke, besarnya gaya untuk meregang pegas sebanding dengan regangannya.

Jika gaya untuk meregang pegas sejauh x m adalah F(x) kg, maka F(x)=

kx. Karena untuk meregang pegas 0,1 m diperlukan gaya sebesar 2 kg,

maka F(0,1)=0,1k=2, sehingga k=20. Akibatnya F(x)=20x kg.

Kerja untuk meregang pegas sejauh 0,2 m (dari 40 cm menjadi 60 cm) adalah

( )

0,2 0,2 ₂ 1 0 0 || || 0 lim n 20 _{i i} 20 10 0, 4 i P W ₌ c x x dx x Æ =

Â

D =

Ú

= = kgm.

y h b h-dj yj yj-1 a 0 x

Sebuahtangki tingginyahmeter berisi zat cair yang berat jenisnya tetap sebesar w kg/m3 sampai pada ketinggian b m dari alasnya. Akan ditentukan kerja untuk memompa zat cair dari y=a sampai y=b.

Untuk mengangkat suatu benda harus melawan ga-ya gravitasi, sehingga kerja ga-yang diperlukan adalah hasilkali berat benda dengan jarak terangkatnya. Buatlah partisi untuk [a,b] dan asumsikan pada ketinggian dj Π[yj-1,yj]

berat zat cairnya wA(dj) Dyj dengan A(dj) luas bidang irisan sejajarnya, A kontinu pada [a,b]. Kerja untuk memompa zat cair pada selang [y_j-1,yj] sejauh h-dj adalah DWj = (h-dj)wA(dj) Dyj = w(h-dj)A(dj) Dyj.

Kerja untuk memompa zat cair keluar tangki dari a sampai b adalah

1 || || 0 lim n ( _j) ( _j) _j b( ) ( ) i a P W ₌ w h d A d y w h y A y dy Æ =

Â

- D =

Ú

-Contoh Sebuah tangki setengah bola berjari-jari 10 m berisi zat cair yang beratnya w kg/m3 sampai pada ketinggian 8 m. Tentukan kerja untuk me-mompa zat cair keluar tangki sehingga ketinggiannya menjadi 6 meter.

y 10 10 8 0 x y 10 8 10-dj 0 x

Pada ketinggian dj luas bidang irisan sejajar-nya adalah cakram lingkaran berjari-jari r > 0, dengan r = 100 (10- -d_j)2 = 20d_j -d2_j . Berat zat cair pada [y_j-1,yj] adalah B =wpr

2_Dyj

= 2

(20 _{j j})

wp d -d Dyj, dengan jarak terangkat (10-dj). Kerja untuk mengangkatnya adalah

DWj =

(

2

)

(20 _{j j}) _j (10 _j)

wp d -d Dy -d

Jadikerja untukmemompa zat cairkeluar dari tangki sehingga ketinggiannya 6 meter adalah

(

)

8 ₂ 8 _{2 3} 6 6 8 1 2 3 4 (20 )(10 ) (200 30 ) 100 10 (2304 1764) 540 kgm. W w y y y dy w y y y dy w y y y w w p p p p p = - - = - + = - + = - =

Ú

Ú

dj 6 6 10 dj r