mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x

BAB 4.

PENGGUNAAN INTEGRAL 4.1. Luas area datar

Perhatikan daerah di bawah kurva y= f(x) di antara dua garis tegak x = a

dan x = b di atas sumbu x , dengan f fungsi kontinu. Seperti pada saa mendefinisikan integral tertentu, kita bagi interval [a,b] menjadi n sub interval dengan lebar sama dan selanjutnya kita hampiri sub interval ke- I dengan persegi panjang dengan lebar ∆x=(b−a)/n dan tinggi f(x*_i ) (lihat gambar, kita boleh saja

mengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni x_i* =x_i). Dengan demikian

jumlah Riemann

∑

= ∆ n i i i x x f 1 ) ( *

merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y= f(x) tersebut. y y= f( x)

0 ax_i−1x*_i x_i b x

Hampiran akan semakin baik, mendekati luas sesungguhnya, jika n→∞. Oleh karena itu luas daerah di bawah kurva y= f(x) di antara dua garis tegak x = a dan x = b di atas sumbu x didefinisikan sebagai nilai limi dari jumlah luas persegi panjang tersebut, yaitu

∫

∑

∆ = = = ∞ → b a n i i i n dx x f x x f L lim ( *) ( ) 1 .

Contoh 1 : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = 2x ,sumbu x, x = 1 dan x = 3 Penyelesaian. y y=2x 0 1 3 x Luasnya adalah

∫

3 1 2 dxx = x2

]

₁3 =8satuan luas

Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva y₁ = f(x) dan y₂ =g(x) di antara dua garis tegak x = a dan x = b dengan f dan g kontinu dan f(x)≤g(x) untuk semua x pada [a,b] luasnya adalah

∫

∑

− ∆ = − = = ∞ → b a n i i i n dx x f x g x x f x g L lim [ ( *) ( *)] [ ( ) ( )] 1 . y y2 = g(x) L =

∫

b a (y2 – y1) dx L y1 = f(x) atau 0 a b x L =

∫

b a [g(x) – f(x)] dx

Contoh 2 : Gambarlah dan tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = sin x pada kuadran I.

Jawab :

L =

∫

π

Contoh 3 : Gambarlah dan tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 _{dan y} = x

Jawab :

y y = x2 _{y = x}

cari titik potong kedua kurva : x2 _{= x}

0 1 x x2 _{– x = 0}

x = 0 dan x = 1 Jadi luasnya adalah

L =

∫

1 0 (x - x 2_{) dx =} 1 0 3 2 3 1 2 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− x} x = 6 1 satuan luas. Soal latihan 4.1:

Tentukan luas daerah yang dibatasi : 2. y = x2 _{+ 1 dan y = 3x +1} 3. y = 3x3 _{+ 3x}2 _{dan y = 4x}

4. y = x2 _{– 4x + 3 , sumbu x dan garis x = 5}

5. Segitiga dengan titik-titik sudut A(3,4), B(2,-3), dan C(1,0) 6. y2 _{= x dan y = x + 2}

7. y2 _{= x dan y = 2-x pada kuadran I} 8. y = x3 _{dan y = x}

1. Tunjukkan bahwa jika daerah yang dibatasi oleh kura y = f(x) dan y =

g(x), x = a , dan x = b ( lihat gambar ) diputar terhadap sumbu y adalah

y y = f(x) V bx

[

f x g x

]

dx a y =2π

∫

( )− ( ) y = g(x) 0 a b x

4.2. Volume Benda Putar Metode cakram

(i). Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x pada [a,b] diputar terhadap sumbu x, adalah

Volume = Luas alas x tinggi = π r2 _t y ∆ V_i x = π [f(x*i )]2 ∆ x i 0 a b x

∑

= n i 1 i ∆ Vx =

∑

= n i 1 π[f( * i x )]2 ∆ x _i ∆ x i Volume sebenarnya ; =

∑

π

[ ]

∆ =π

∫

[

]

= ∞ → b a n i i i n x f x x f x dx V 2 1 2 ) ( ) ( lim * .

(ii). Daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu y pada [c,d], diputar terhadap sumbu y, maka

[

]

∫

π = d c y g y dy V ( )2 .

(iii). Daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 dan y2 , maka f2(x) y f1(x) Vx = π

∫

b a [y2 2 _{– y} 12 ] dx = π

∫

b a [f2 2 _{(x) – f} 12 (x) ] dx

Dan secara sama akan dipunyai Vy = π

∫

b a [x2 2 _{– x} 12 ] dy = π

∫

b a [g2 2 _{(y) – g} 12 (y) ] dy

Contoh 1 : Tentukan vulome yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{+ 1 , sumbu x dari x = 0 sampai x = 2 diputar}

terhadap sumbu x. Penyelesaian : y y = x2 _{+ 1} 1 0 2 x Vx = π

∫

2 0 (x 2 _{+ 1)}2 _dx = π 2 0 3 5 3 2 5 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ +} x x x = π 15 206 satuan volume Contoh 2 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang

dibatasi oleh y = x dan y = x2 _{diputar terhadap sumbu x .} Penyelesaian :

Dari contoh 3 bagian 4.1, maka Vx =

∫

1 0 [x 2 _{– (x}2₎2_{] dx} =

[

]

1 0 5 3 5 1 3 1 x x − = 15 2 satuan volume Metode Kulit

(i). Daerah Yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan x = b, sera sumbu x, diputar terhadap sumbu y. Maka volume benda yang dihasilkan dapat dihitung sebagai berikut :

a b x xi-1 xi Interval [a.b] dibagi menjadi n bagian sub interval yaitu ; a = x0, x1, x2, … , xn= b yang masing-masing panjangnya ∆ x = xi i – xi-1. Maka jika luasan pada [xi-1, xi] diputar

mengelilingi sumbu y, maka diperoleh tabung Vi , yang volumenya adalah Vi = π xi2 f(ti) - π xi-12 f(ti), dengan ti ∈[xi-1, xi] = π(xi2 – xi-12) f(ti)

dan jika diambil ti = 2 1 i i x x₋ + , maka Vi = π (xi2 – xi-12) f(ti) = π (xi – xi-1) (xi + xi-1) f ( 2 1 i i x x₋ + ) = 2π (xi – xi-1) ( 2 1 i i x x₋ + ) f ( 2 1 i i x x₋ + ) = 2π(∆ x) (ti i) f(ti) Sehingga diperoleh

∑

= n i 1 Vi = 2π

∑

= n i 1 (ti) f(ti) (∆ x) i

Sedangkan volume sesungguhnya adalah Vy= ∞ → nlim

∑

₌ n i 1 (ti) f(ti) (∆ x) i atau Vy = 2π

∫

b a x f(x) dx

(ii). Daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada [a,b]diputar terhadap sumbu y adalah :

[

]

∫

− π = b a y x f x g x dx V 2 ( ) ( ) .

Contoh 3 : Tentukan volume yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 _{– 4x + 4 dan y = 2x – 1 diputar terhadap sumbu y.}

Penyelesaian :

Titik potong kedua kurva adalah x2 _{– 4x + 4 = 2x – 1} x2 _{– 4x + 4 – 2x + 1 = 0} x2 _{– 6x + 5 = 0}

(x – 5) ( x – 1) = 0

Jadi titik potongnya (1,1) dan (5,9). Volumenya adalah Vy = 2

∫

5 1 π x [(2x – 1) – (x2 _{– 4x + 4 )] dx} = 2

∫

5 1 π [– x3 _{+ 6x}2 _{– 5x] dx} = 2 π 5 1 2 3 4 2 5 2 4 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡_{− + −} x x x = 2 π _⎢⎣⎡ − + − − − + − .1}_⎥⎦⎤ 2 5 1 . 2 1 . 4 1 { } 5 . 2 5 5 . 2 5 . 4 1 { 4 3 2 4 3 2 = 64π satuan volume

Soal Latihan 4.2 :

Selanjutnya untuk 2 – 5, tentukan volume benda putar yang dihasilkan jika daerah yang ditentukan berikut diputar terhadap sumbu atau garis yang diberikan; 2. A diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin. 3. B diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin. 4. C diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin. 5. B diputar terhadap garis y = 1 dengan metode cakram dan cincin.

Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh 6. y = x2 _{+ 2 dan y = 3x +2 diputar terhadap sumbu x, sumbu y.} 7. y2 _{= 1 – x}2 _{dan y = 1 – x pada kuadran I diputar terhadap sumbu x.} 8. y = x2 _{dan y = 1 dan x =2 diputar terhadap garis y = -3.}

9. 2y = x2 _{dan y}2 _{= 10 x diputar terhadap sumbu y.}

10. y = x2 _{dari x = 0 s.d x = 2 diputar terhadap sumbu x ; sumbu y.}

11. Segitiga dengan titik sudut (2,-2) , (5,1), dan (-1,4) diputar terhadap sumbu x ; sumbu y.

Pada gambar , A menyatakan daerah

x

y2 = , dan y = 1, B menyatakan daerah

yang dibatasi oleh kurva y= x2, dan x

y2 = , dan C daerah yang dibatasi oleh

kurva _{y =x}2_{, sumbu x ,dan x = 1.} 1. Tentukan luas masing-masing

daerah A, B, dan C.

yang dibatasi oleh sumbu y , kurva y 1 (1,1) A B C 0 1 x

4.3 Panjang Busur

Akan dihitung panjang busur AB dari kurva y = f(x) pada [a,b]

y= f(x) P1 Pi-1 Pi B = Pn

A=P0 0 a x1 …xi-1 xi b x

Diambil partisi P={a = x0, x1, x2, … , xn = b } pada [a,b], sehingga terdapat titik A=P0 P1, … , Pn = B yang terletak pada kurva. Panjang busur AB didekati oleh jumlah panjang n buah tali busur P0 , P1, … ,Pn-1 , Pn , yaitu :

∑

= n i 1 2 2 ) ( ) (∆_ix + ∆_iy atau

∑

= n i 1 2 2 ) ( ) ( 1 x y i i ∆ ∆ + . x∆ i

Untuk P →0 atau n → ∞ diperoleh Panjang busur AB adalah :

S = ∞ → n lim

∑

= n i 1 2 2 ) ( ) ( 1 x y i i ∆ ∆ + ∆ _ix atau S =

∫

b a 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx dy dx

Secara sama untuk kurva x = g(y) pada [c,d], dapat dicari S =

∫

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + d c _dy dx 2 1 dy

Contoh 1 : Tentukan panjang busur kurva y = x + 2 dari x = 1 sampai x = 4 Penyelesaian :

S =

∫

4 + 1 2 1 1 dx =

[ ]

2 x14 = 3 2 satuan panjang. Soal Latihan 4.3 :

1. Tentukan panjang busur y = ½ x2 _{pada [1,3]}

2. Tentukan keliling daerah yang dibatasi oleh kurva y2 _{= x dan y = ½ x.}

3. Dengan menggunakan integral tentukan panjang sisi-sisi segitiga yang titik-titik sudutnya(-2,2), (3,4), dan (2,-3).

4.4 Nilai rata-rata fungsi

Nilai rata-rata dari sebanyak n bilangan y₁,y₂,...,y_n adalah

n y y

y

y = 1+ 2+...+ n .

Tetapi bagaimana jika ingin menghitung nilai rata-rata fungsi y= f(x),a≤x≤b.

Untuk mengetaahui nilai rata-rata fungsi tersebut, kita bagi [a,b] menjadi n selang bagian, yaitu [x₀,x₁],[x₁,x₂],...[x_n−1,x_n] dengan panjang setiap selang bagian ke-i sama, yaitu ∆x=(b−a)/n. Misalkan titik sampel x_i*∈[x_i−1,x_i], maka rata-rata

bilangan f(x₁*),f(x*₂),...,f(x_n*) adalah n x f x f x f( ₁*)+ ( *₂)+...+ ( _n*) . Karena n a b x=( − )/

∆ , maka dapat kita tulis n=(b−a)∆x sehingga nilai rata-rata menjadi

[

f x x f x x f x x

]

a b x a b x f x f x f n n _{∆ + ∆ + + ∆} − = ∆ − + + + ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( * * * _{* * *} 2 1 2 1 1 =

∑

= ∆ − n i i x x f a b ₁ 1 ) ( *

Selanjutnya nilai rata-rata f pada interval [a,b] didefinisikan sebagai

∞ → = n f lim

∑

∫

− = ∆ − ₌ b a n i i f x dx a b x x f a b ( ) ( ) * 1 1 1 .

Contoh 1: Tentukan nilai rata-rata fungsi f(x)= x2 +1pada interval [1,3]. Penyelesaian :

∫

∫

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = + − = − = 3 1 3 1 3 2 3 16 3 2 1 1 1 3 1 1 x x dx x dx x f a b f b a ) ( ) ( .

Diperoleh teorema berikut.

Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral. Jika f fungsi kontinu pada [a,b] maka

terdapat sebuah bilangan c pada [a,b] sedemikian sehingga f(x)dx f(c)(b a)

b

a

− =

∫

.

Contoh 2 : Karena f(x)= x2 +1kontinu pada interval [1,3], maka terdapat c pada

[1,3] sedemikian sehingga

∫

+ = −

3 1

2 _{1) ( )(3 1)}

(x dx f c .

Pada kasus ini, c dapat ditemukan secara eksplisit. Dari contoh 1 kita ketahui bahwa

f(c) = frata-rata = 3 16 . Jadi c2 _{+ 1 =} 3 16 atau c2 ₌ 3

13 . Dengan demikian c yang memenuhi teorema nilai rata-rata untuk integral adalah c =

3 13 .