7. APLIKASI INTEGRAL. 7.1 Menghitung Luas Daerah. a.misalkan daerah D = {( x, Luas D =? f(x) Langkah : Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh

(1)

MA1114 KALKULUS I 1

7. APLIKASI INTEGRAL

MA1114 KALKULUS I 2

7.1 Menghitung Luas Daerah

a.Misalkan daerah D=

{

(x,y)|a≤x≤b,0≤y≤f(x)

}

a b f(x) D Luas D = ?

x

∆

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar)∆x

x x f

A≈ ∆

∆ ( )

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

∫

b a

dx

x

f

(

)

Luas D = A =

Contoh :Hitung luas daerah yang dibatasi oleh

kurva sumbu

x

, dan

x

= 2.

3 8 3 1 2 0 3 2 0 2 ₌ ⎥⎦ ⎤ = =

_∫

xdx x A

,

2

x

y

=

2 x y= 2 Luas irisan x ∆ 2

x

A

≈

∆

2 Luas daerah

(2)

MA1114 KALKULUS I 4 b) Misalkan daerahD=

{

(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)

}

x ∆

x

g

x

h

A

≈

−

∆

(

)

(

))

h(x) g(x) a b Luas D = ? Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar) x

∆

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: Luas D = A =

∫

−

b a

dx

x

g

x

h

(

)

(

))

(

D _h(x)-g(x) MA1114 KALKULUS I 5 Contoh :Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4

dan parabola _y₌_x2₋2

2

4 ₌

2

₋

+

x

2 2₋ =x y 2

₋

₆

₌

₀

x

0 )

2 )(

3 (

x

−

x

+

=

Titik potong antara garis dan parabola y=x+4 -2 3 x = -2, x = 3 x ∆ ) 2 ( ) 4 (_x₊ ₋_x2₋ Luas irisan

x

A

≈

+

−

∆

((

4 )

(

2

2 ))

MA1114 KALKULUS I 6

∫

− − + + − = − − + =3 2 3 2 2 2 ₂₎₎ ₍ ₆₎ ( ) 4 ((x x dx x x dx A 6 125 6 2 1 3 1 3 2 2 3 ₌ ⎥⎦ ⎤ + + − = − x x x

Sehingga luas daerah :

Ctt :

Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang berada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih

(3)

MA1114 KALKULUS I 7 Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,

2

x

y

=

dan y = -x + 2 Jawab Titik potong 2 2₌₋ ₊ x x 2 x y= 0 2 2₊_x₋ ₌ x

x

A

≈

∆

2 1 2 0 ) 1 )( 2 (x+ x− = x = -2, x = 1 y=-x+2 1

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi dua bagian

x ∆ x ∆

x

A

≈

−

+

∆

2

(

2 )

Luas irisan I Luas irisan II MA1114 KALKULUS I 8

∫

=

1 0 1 0 3 3 1 2 1

3

1 |

x

dx

x

A

Luas daerah I Luas daerah II 2 1 2 2 1 2 1 2

x

2 dx

x

2 x

|

A

=

∫

−

+

=

−

+

2

1 )

2 (

)

4

2 (

−

+

−

1₂

+

=

Sehingga luas daerah

6 5 2 1 3 1 2 1+ = + = =A A A c). Misalkan daerah

D

=

{

(

x

,

y

)

|

c

≤

y

≤

d

,

g

(

y

)

≤

x

≤

h

(

y

)

}

y ∆

∫

− d c dy y g y h( ) ( )) ( h(y) g(y) c d D Luas D = ? Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar)∆y

y

g

y

h

A

≈

−

∆

(

)

(

))

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

y ∆

Luas D = A = h(y)-g(y)

(4)

MA1114 KALKULUS I 10 2 3 y x= − 2 3 1 y y+ = − 0 2 2₊ ₋ ₌ y y 2

3 y

x

=

−

Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh dan

y

=

x

−

1

Jawab : Titik potong antara garis dan

parabola 0 ) 1 )( 2 (y+ y− = y = -2 dany = 1 1 − =x y -2 1 y ∆ ) 1 ( ) 3 (₋_y2₋_y₊ Luas irisan y y y A= − − + ∆ ∆ ((3 2) ( 1)) MA1114 KALKULUS I 11 Sehingga luas daerah :

∫

− + − − =1 2 2 )) 1 ( ) 3 (( y y dy L

∫

−

+

−

=

1 2 2

)

2 (

y

dy

. 2 9 2 2 1 3 1 1 2 2 3 ₌ ⎥⎦ ⎤ + − − = − y y y Ctt :

Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri. Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih

MA1114 KALKULUS I 12

7.2 Menghitung volume benda putar

7.2.1 Metoda Cakram

{

(x,y)|a x b,0 y f(x)

}

D= ≤ ≤ ≤ ≤

a.Daerah diputar terhadap sumbu x

a b

f(x) D

Benda putar Daerah D

(5)

MA1114 KALKULUS I 13 a b f(x) D

x

∆

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan jari-jari f(x). ∆x x ∆

x

f

V

≈

∆

π

2

(

)

∫

=

b a

dx

x

f

V

_π

2

(

)

sehingga x ∆ f(x) MA1114 KALKULUS I 14

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbux

2 x y= 2 x y= 2 x ∆ 2 x

Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari

dan tebal 2

x

∆x Sehingga

x

V

≈

∆

=

∆

2 2 4

)

(

π

Volume benda putar

∫

=

2 0 2 0 5 4

5

32 |

5 π

π

x

dx

x

V

x ∆ 2 x

{

(

x

,

y

)

|

c

y

d

,

0 x

g

(

y

)

}

D

=

≤

b.Daerah

diputar terhadap sumbu y

c d

x=g(y) D

Daerah D Benda putar

? Volume benda putar

c d

(6)

MA1114 KALKULUS I 16 Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

c d x=g(y) D y ∆

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan Jari-jari g(y). y ∆ y ∆ y ∆ ) (y g sehingga y y g V≈ ∆ ∆ π 2( )

∫

= d c dy y g V

_π

2( ) MA1114 KALKULUS I 17

Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y

2 x y= 2 x y= 4 y ∆

Jika irisan dengan tinggi dan tebal diputar terhadap sumbu y akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal y y ∆y y ∆y y y ∆ Sehingga

y

V

=

∆

=

∆

π

₍

₎

2

π

Volume benda putar

∫

=

4 0 4 0 2

8 |

2 π

π

ydy

y

V

y x= ⇔ MA1114 KALKULUS I 18

7.2.2 Metoda Cincin

{

(

x

,

y

)

|

a

x

b

,

g

(

x

)

y

h

(

x

)

}

D

=

≤

a.Daerah

diputar terhadap sumbu x h(x) g(x) a b D Daerah D Benda putar

(7)

MA1114 KALKULUS I 19

h(x)

g(x)

a ∆x b

D

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).

x ∆ x ∆ x ∆ sehingga

x

g

x

h

V

≈

−

∆

π

(

2

(

)

2

(

))

∫

−

=

b a

dx

x

g

x

h

V

π

(

2

(

)

2

(

))

h(x) g(x) MA1114 KALKULUS I 20 Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika

daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1

2 x y= 2 x y= x ∆ 2 y=-1 1 2 1+x D

Jika irisan diputar terhadap garis y=1 Akan diperoleh suatu cincin dengan Jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 2

1+x Sehingga

x

V

=

+

−

∆

π

((

2

1 )

2

1

2

)

x

+

−

∆

=

π

(

4

2

1

1 )

x

+

∆

=

_π

(

4

2

)

∫

+

=

+

=

+

=

2 0 15 186 3 16 5 32 2 0 3 3 2 5 5 1 2 4

₂

π

₍

_|

₎

π

₍

₎

π

x

dx

x

V

Volume benda putar :

{

(x,y)|a x b,0 y f(x)

}

D= ≤ ≤ ≤ ≤

7.2.3 Metoda Kulit Tabung Diketahui

f(x)

a b

D

Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

Daerah D Benda putar

(8)

MA1114 KALKULUS I 22 Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan

Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

f(x) a b D x ∆ x ∆ x ∆

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal x f(x) x x ∆ sehingga

x

f

x

V

≈

∆

2 π

(

)

∫

=

b a

dx

x

xf

V

2 π

(

)

MA1114 KALKULUS I 23 Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika

daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y

2 x y= 2 x y= x ∆ 2 2 x D x x ∆ Jika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jari jari x 2 x 2 x ∆x Sehingga x x x x x V= ∆ = ∆ ∆ 2 3 2 2π π

Volume benda putar

∫

=

2 0 2 0 4 3

8 |

2

2 π

x

dx

π

x

π

V

MA1114 KALKULUS I 24 Catatan : -Metoda cakram/cincin

Irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar -Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap

a. Garis y = 4 b. Garis x = 3

2

x y=

(9)

MA1114 KALKULUS I 25 a. Sumbu putar y = 4

(i) Metoda cincin

2 x y= 2 D y=4 x ∆

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam = (4 2) x rd= − ) 4 (₋_x2 Jari-jari luar = 4 rl=4 Sehingga x x V≈ − − ∆ ∆

_π

((4)2 (4 2)2) x x x − ∆ =

_π

(8 2 4) Volume benda putar

∫

−

=

−

=

−

=

2 0 15 224 5 32 3 64 2 0 5 5 1 3 3 8 4 2

)

(

|

)

(

)

8 (

π

x

dx

x

V

MA1114 KALKULUS I 26 (ii) Metoda kulit tabung

2 x y= 2 D y=4 y ∆ y

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan

Jari-jari = r = y − 4 y − 4 y − 2 Tinggi = h = 2− y Tebal = ∆y Sehingga

y

V

≈

−

∆

2 π

(

4 )(

2 )

y y y y y− + ∆ − =2

π

(8 4 2 ) Volume benda putar

∫

− − + = 4 0 ) 2 4 8 ( 2 y y y ydy V π 4 0 2 / 5 5 2 2 2 / 3 3 8

₎

_|

8 (

2 y

−

y

−

y

+

y

=

π

=

224₁₅

π

b. Sumbu putar x=3 (i) Metoda cincin

2 x y= 2 D y ∆

x=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh cincin dengan

Jari-jari dalam = 1 1 = d r Jari-jari luar = 3 y 3− y y rl=3− Sehingga y y V≈ − − ∆ ∆ _π((3 )2 (1)2) y y y+ ∆ − =π(8 6 ) Volume benda putar

dy y y V=

∫

− + 4 0 ) 6 8 ( π π(8 4 8|4) 8π 0 2 / 3 ₊ ₌ − = y y

(10)

MA1114 KALKULUS I 28 (ii) Metoda kulit tabung

2 x y= 2 D x ∆ x=3 x

Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan

Tinggi = h = 2 x 2 x Jari-jari = r = 3 3-x 3-x Tebal = ∆x Sehingga x x x V≈ − ∆ ∆ 2 ) 3 ( 2

π

x x x − ∆ =2

π

(3 2 3) Volume benda putar

∫

− = 2 0 3 2 ) 3 ( 2 x x dx V

π

2π( )|2 2π(8 4) 8π 0 4 4 1 3₋ ₌ ₋ ₌ = x x MA1114 KALKULUS I 29

7.3 Panjang Kurva

Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t)

y = g(t) ,a≤t≤b

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva.

Definisi: Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika

(1)

(i) f' dan g' kontinu pada [a,b] Kurva tidak berubah sekonyong-konyong (ii)f' dan g' tidak secara bersamaan nol pada (a,b)

MA1114 KALKULUS I 30 Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva

Langkah

1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

b

t

a

=

o

<

1

<

2

<

...

<

n

=

a●t₁ t●i−1t●i t●n−1b Partisi pada [a,b]

Paritisi pada kurva

● 1 Q ● ● ● ● o Q 1 − i Q Qi Q_n

(11)

MA1114 KALKULUS I 31 2. Hampiri panjang kurva

1 − i Q i Q i s ∆ i w ∆ i s ∆ panjang busur Qi−1Qi i w

∆ panjang tali busurQi−1Qi

i i

w

s

≈

∆

Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur

i x ∆ i y ∆ 2 2 ₍ ₎ ) (∆xi +∆yi = 2 1 2 1)] [ ( ) ( )] ( ) ( [ − ₋ + − ₋ = f ti f ti gti gti

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan, terdapat tˆ_i,t_i∈(t_i₋₁,t_i)sehingga

t t f t f t f(i)− (i−1)= '(i)∆ t t g t g t g(i)− (i−1)= '(ˆi)∆ MA1114 KALKULUS I 32 dengan ∆ti=ti−ti−1 sehingga 2 2 ] ) ˆ ( ' [ ] ) ( ' [ i i i i i f t t g t t w= ∆ + ∆ ∆ i i i g t t t f + ∆ = 2 2 )] ˆ ( ' [ )] ( ' [

Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur

∑

= ∆ + ≈ n i i i i g t t t f L 1 2 2 _[ _'₍_ˆ_)] )] ( ' [

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh dt t g t f L b a

∫

+ = 2 2 )] ( ' [ )] ( ' [ Ctt:

Jika persamaan kurva y=f(x),a≤x≤b dt t g t f L b a

∫

+ = 2 2 )] ( ' [ )] ( ' [ dt dt dy dt dx b a

∫

+ = 2 2 ] [ ] [ dt t g t f L d c

∫

+ = _[ _'₍_)]2 _[_'₍_)]2 dx dx dy dt dx dy dt dx b a b a

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 2 1 ) 1 ( ) (

Jika persamaan kurva x=g(y),c≤y≤d

dt dt dy dt dx d c

∫

+ = 2 2 ] [ ] [ dx dx dy dt dx dy dt dx d c d c

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2 2 1 1 ) (

(12)

MA1114 KALKULUS I 34 Contoh : Hitung panjang kurva

4

0 ;

,

2 3

₌

_≤

=

t

y

t

x

1. 2

3 )

(

'

t

x

=

,

y

'

(

t

)

=

2 t

dt

t

L

=

∫

+

4 0 2 2 2

)

2 (

)

3 (

Panjang kurva dt t t

∫

+ =4 0 2 4 ₄ 9 =

∫

+ 4 0 2 2₍₉_t ₄₎_dt t

∫

+ = 4 0 2 4 9t dt t =

∫

+ + 4 0 2 2 / 1 2 18 ) 4 9 ( ) 4 9 ( t t d t t 4 0 2 / 3 2 3 2 18 1

₍

₉

+

₄

₎

_|

=

t

=271(40 40−8)=271(80 10−8) MA1114 KALKULUS I 35 2. 3/2

2 x

y

=

antara x =1/3 dan x=7 Jawab : 2 / 1 3x dx dy₌

(

)

∫

+ =

∫

+ = 7 3 / 1 7 3 / 1 2 2 / 1 9 1 3 1 x dx xdx L (1 9 ) (1 9 ) 7 3 / 1 2 / 1 9 1 ₊ _x _d ₊ _x =

_∫

3 1 27 2 7 3 / 1 2 / 3 27 2₍₁+₉ ₎ _| = ₍₅₁₂−₈₎=₃₇ = x MA1114 KALKULUS I 36 Soal Latihan

A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh

2 dan

2

₌

₊

=

x

y

x

y

1.

8 dan

,

3

₌

₋

₌

=

x

y

x

y

2. 3.

y

=

x

,

y

= 4

x

,

y

= -

x

+2 4.

y

= sin

x

,

y

= cos

x

,

x

= 0 ,

x

= 2π.

(13)

MA1114 KALKULUS I 37 B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di

batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbux 1.

₌

3

,

₌

0 ,

dan

₌

2 x

y

x

y

2.

₌

9 ₋

2

dan

₌

0 y

x

y

3.

y

₌

x

2

dan

y

₌

4 x

4.

y

= sin

x

,

y

= cos

x

,

x

= 0 ,

x

= π/4

1 kuadran

di

,

dan

3

x

y

x

y

=

5. MA1114 KALKULUS I 38 C. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y.

Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :y= x

(1) sumbu x (4) sumbu y

(2) garis x = -1 (5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4 D. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4.

Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

2

4x x

y= −

(1) sumbu x (3) sumbu y

(2) garis x = 6 (4) garis y = -1

E. Hitung panjang kurva berikut

1 0 , ) 2 ( 3 1 2₊ 3/2 _≤ _≤ = x x y 4 2 , 4 ln 2 2 ≤ ≤ − =x x x y 2 / 1 0 ), 1 ln(₋ 2 _≤ _≤ = x x y 9 0 ), 3 ( 3 1 ≤ ≤ − = yy y x 4 1 ; 2 / 1 2 , 2 32₊ ₌ 3₋ _≤ _≤ = t y t t x

π

≤ ≤ − = = t y t t x 4sin, 4cos 5;0 1. 2. 3. 4. 5. 6.