BAB 8 DIFERENSIAL. , dengan. x adalah. Contoh: Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat P adalah. Y.

43 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

BAB 8

DIFERENSIAL

TIPE 1:

Contoh:

Turunan pertama dari

 

2 3 5 4    x x x f adalah f'

 

x .... A.





2 2 3 3 5   x x B.





2 2 3 3 3   x x C.





2 2 3 7   x D.



3 2



2 5   x E.



3 2



2 23  x Solusi 1: [E] v u y  ' ' ₂ ' v u v v u y  2 3 5 4 ) (    x x x f 



 







2 2 3 5 4 3 2 3 4 ) ( '      x x x x f





2 2 3 23   x Solusi 2: Care 2 3 5 4 ) (    x x x f 

 

 





2 2 3 3 5 2 4 '       x x f





2 2 3 23   x

TIPE 2:

Contoh:

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat P adalah …. A.

 

2,3 B.

 

4,3 C.

 

3,2 D.       2 , 3 4

Turunan pertama fungsi

 

d cx b ax x f    , dengan c d x adalah kuadrat penyebut koefisien determinan , yaitu

 





2 ' d cx bc ad x f    .

Jika luas segi empat yang diarsir maksimum, maka 1. Koorinat T adalah       2 , 2 b a

2. Luas segi empat yang diarsir maksimum = 2 1 × luas segitiga O T(x,y) Y X a b O P(x,y) Y X 4 6

44 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika E.       2 3 , 1 Solusi 1: [A]

Persamaan garis yang melalui titik (4,0) dan (0,6) adalah 6x4y24atau y x

2 3 6  Koordinat titik T(x,y) = 

     _ x x T 2 3 6 ,

Luas daerah yang diarsir: 2

2 3 6 2 3 6 ) (x x x x x L          x x L'( )63

Nilai stasioner dicapai jika L'(x)0, maka 0 3 6 x 2  x 2  x  y x 2 3 6 

 

2 3 2 3 6  

Jadi, koordinat T adalah

 

2,3 . Solusi 2: Care Koordinat

 

2,3 2 6 , 2 4 2 , 2 T T b a T             

TIPE 3:

Contoh:

Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga siku-siku PTU. Jika PS = 12 dan PQ = 5, maka luas minimum PTU adalah….

A. 360 B. 180 C. 120 D. 80 E. 60 Solusi 1: [C] Ambillah PT x dan PU y. Perhatikan PTU ~ QTR QT PT PS PU  5 12 x x y

Jika persegi panjang PQRS terletak pada  PTU siku-siku di P, dengan PQ dan PS diketahui, maka luas minimum PTU

= 2 × luas segi empat PQRS.

5 U T Q P R S 12 a U T P R S b Q

45 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika 5 12   x x y Luas PTU = L xy 2 1  5 12 2 1    x x x 5 6 2   x x

 





2 2 5 6 1 ) 5 ( 12 '     x x x x L





2 2 5 60 6    x x x

Nilai stasioner dicapai jika L'0, maka



5



0 60 6 2 2    x x x 0 ) 10 ( 6x x  0 

x (ditolak) atau x10(diterima) 10  x  5 12   x x y 24 5 10 10 12 _   

Luas minimum PTU = 10 24 120 2 1 2 1 _{   } xy Solusi 2: Care

Luas minimum PTU = 2 × luas segi empat 2



512



120

TIPE 4:

Contoh:

Persegi panjang PQRS terletak pada ABC. Jika PS = 8 dan PQ = 15, maka luas minimum ABC

adalah…. A. 360 B. 180 C. 120 D. 80 E. 60 Solusi 1: [A] Misalnya ABx dan CT y. CT AB

Perhatikan ABC ~ SRC sehingga CU CT SR AB:  : ) 12 ( : 15 : y y x 15 12   x x y Luas ABC = L xy 2 1  15 12 2 1    x x x 15 6 2   x x

Jika persegi panjang PQRS terletak pada ABC, dengan PQ

dan PS diketahui, maka luas minimum ABC = 2 × luas

segi empat PQRS. S P Q B C A R 12 U T S P Q B C A R 15 12 S P Q B C A R

46 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

 





2 2 15 6 1 ) 15 ( 12 '     x x x x L





2 2 15 180 6    x x x

Nilai stasioner dicapai jika L'0, maka



15



0 180 6 2 2    x x x 0 ) 30 ( 6x x  0 

x (ditolak) atau x30(diterima) 30  x  15 12   x x y 24 15 30 30 12 _   

Luas minimum ABC = 30 24 360 2 1 2 1 _{   } xy Solusi 2: Care

Luas minimum ABC = 2 × luas segi empat PQRS 2



1512



360

TIPE 5:

Contoh:

Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga ABC. Jika AB = 15, BC = 13, dan AC = 14, maka luas maksimum segi empat PQRS adalah….

A. 64 B. 54 C. 48 D. 42 E. 32 Solusi 1: [D] Menurut Heron: ) ( 2 1 c b a S   (13 14 15) 21 2 1 _{  }  ) )( )( (s a s b s b s L     21(2113)(2114)(2115)84 AB CT L  2 1 15 2 1 84 CT 5 56  CT

Misalnya PQx dan PSy. CT tegak lurus pada AB. Perhatikan ABC ~ SRC sehingga

Jika persegi panjang PQRS terletak pada ABC, dengan unsur-unsur  ABC diketahui maka luas maksimum segi empat PQRS

ABC ga luassegiti 2 1_  S P Q B C A R S P Q B C A R U T S P Q B C A R

47 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika CU CT SR AB _ y x  _ 5 56 5 56 15 75 56 840 x y 

Luas segi empat PQRS

75 56 840 x x xy    75 56 840x x2  75 112 840 ' x L 

Nilai stasioner dicapai jika L'0, sehingga 0 75 112 840 x _ 5 , 7 112 840_  x 5 , 7  x  75 56 840 x y  5,6 75 5 , 7 56 840  _ 

Luas segi empat PQRS maksimum = xy7,55,642 Solusi 2: Care

Luas segi empat PQRS maksimum luassegitigaABC

2 1   84 42 2 1   

TIPE 6:

Contoh: SPMB Madas Regional I, 2004

Jika ABC siku-siku sama kaki, AC = BC = 20 dan AD = CE, maka luas minimum dari segi empat ABED adalah …. A. 50 B. 100 C. 125 D. 150 E. 200 Solusi 1: [D] Misalnya ADCEx, maka CD20x. Luas segi empat ABED = Luas ABC  luas DCE

2 2 2 1 10 200 ) 20 ( 2 1 20 2 1 x x x x L      

Diketahui ABC siku-siku sama kaki di C. Jika AC = BC dan CD = BE, maka luas segi empat ADEB minimum

ABC    luas 4 3 . E D B C A E D B C A

48 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika

x L'10

Nilai stasioner fungsi L dicapai jika L'0, maka 0 10   x 10  x

Luas minimum dari segi empat ADEB 10 150 2 1 10 10 200    2   Solusi 2: Care

Luas minimum dari segi empat ADEB luassetigaABC

4 3   20 150 2 l 4 3_{ } 2 _ 

SOAL-SOAL LATIHAN

1. UN A35 2012

Sebuah segitiga dibatasi oleh garis x2y4, sumbu X, dan sumbu Y. dari ebuah titik pada garis itu dibuat garis-garis tegak lurus pada sumbu X dan sumbu Y sehingga membentuk sebuah persegi panjang seperti pada gambar berikut. Luas maksimum daerah persegi panjang yang diarsir adalah…. A. 4 1 satuan luas B. 2 1 satuan luas C. 1 satuan luas D. 2 satuan luas E. 3 satuan luas 2. UN 2007 Perhatikan gambar!

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat T adalah ….

A.       5 6 , 3 B.       2 3 , 2 5 C.       5 9 , 2 D.       10 21 , 2 3 E.       2 5 , 2 3 3. UN 2004

Turunan pertama dari fungsi yang dinyatakan dengan

5 5 ) (    x x x f adalah f'(x).... A. ₂ ) 5 ( 10   x B.( 5)2 5  x C. ( 5)2 10  x D. ( 5)2 5  x E. ( 5)2 10  x 4. EBTANAS 1995

Fungsi f ditentukan oleh

x x x f 3 2 1 2 ) (    untuk 3 2  

x . f' adalah turunan pertama dari f, maka .... ) 2 ( '  f O T(x,y) Y X 5 3 X O Y

 

x,y 4 2   y x

49 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika A. 64 1 B. 64 4 C. 64 7 D. 8 5 E. 3 2 5. EBTANAS 1994 Diketahui 4 2 5 3 ) (    x x x

f ; x2. Turunan pertama f(x)adalah f' x( ). Nilai dari f'(1)adalah …. A. 11 B. 2 5  C. 1 D. 2 1  E. 1 6. EBTANAS 1993 Diketahui 1 2 3 5 ) (    x x x f ; 2 1  

x . Turunan pertamanya adalah f'(x).... A.





2 1 2 11 20   x x B.





2 1 2 1   x C.



2 1



2 11  x D.



2 1



2 11   x E.



2 1



2 1 20   x x 7. EBTANAS 1990 Turunan dari 7 4 5 3 ) (    x x x f ; 4 3 1   x . Maka f'(x).... A.





2 7 4 41  x B.



4 7



2 41   x C.



4 7



2 31  x D.



4 7



2 31   x E.



4 7



2 1  x 8. EBTANAS 1990 Diketahui 2 1 2 ) (    x x x

f ; x2. Turunan pertamanya adalah f'(x).... A.





2 2 5 4   x x B.





2 2 3 4   x x C.





2 2 3  x D.



2



2 4  x E.



2



2 5  x 9. EBTANAS 1989 Ditentukan 2 ) (   x x x f ; x2. Maka f'(x).... A.





2 2 2   x B.



2



2 2  x C. 2 2  x D. 2 2   x E. 2 2 2   x x

10. UMPTN Madas Rayon C, 1993 Jika xyx2y10, maka .... dx dy A.





2 2 1   x x B.





2 2 1   x x C.





2 2 1   x x D.





2 2 11  x E.



2



2 1   x

11. UMPTN Madas Rayon B, 1993 Jika 2 3 5 2 ) (    x x x f , maka f1(1).... A. 11 B. 3 C. 7 D. 3 2 E. 11 12. Turunan pertama dari

3 2 4 ) (    x x x

f adalah f' x( ). Nilai dari f'(2).... A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4 13. SPMB Madas, Regional III, 2004

Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga siku-siku PTU. Jika PS = 4 dan PQ = 3, maka luas minimum PTU adalah….

50 | Husein Tampomas, Cara Efisien (Care) Menyelesaikan Soal Matematika A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 E. 24

14. Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga ABC. Jika PQ = 14 dan PS = 8, maka luas minimum ABC adalah…. A. 224 B. 114 C. 112 D. 92 E. 72

15. Persegi panjang PQRS terletak pada segitiga ABC. Jika AB = 29, BC = 20, dan AC = 21, maka luas maksimum segi empat PQRS adalah….

A. 210 B. 115 C. 105 D. 85 E. 75 16. SMPB Madas Regional I, 2004

Jika ABC siku-siku sama kaki, AC = BC = 5 dan AD = CE, maka luas minimum dari segi empat ABED adalah …. A. 7,500 B. 9,375 C. 9,750 D. 10,375 E. 12,500 3 U T Q P R S 4 15 12 S P Q B C A R S P Q B C A R E D B C A