Sebagai contoh, ellips yang terletak pada bidang koordinat jika diputar dengan sumbu putarnya adalah sumbu Z maka tidak akan menghasilkan luasan putaran

BAB VII

ELLIPSOIDA, HIPERBOLOIDA, DAN PARABOLOIDA

Pada bab ini akan dipelajari luasan putaran yang terjadi dari suatu ellips, hiperbola, dan parabola yang diputar mengelilingi garis lurus. Selanjutnya akan dipelajari juga luasan yang terjadi dari suatu ellips, hiperbola, dan parabola yang letak dan besarnya berubah menurut aturan tertentu.

A. Luasan Putaran

Diberikan suatu ellips, hiperbola, atau parabola yang terletak pada suatu bidang koordinat dengan pusatnya adalah titik asal. Jika salah satu bangun tersebut diputar dengan suatu sumbu koordinat sebagai sumbu putar maka akan terjadi luasan putaran. Namun perlu ditegaskan bahwa, hal tersebut jika mungkin dilakukan. Sebagai contoh, ellips yang terletak pada bidang koordinat jika diputar dengan sumbu putarnya adalah sumbu Z maka tidak akan menghasilkan luasan putaran. Hal seperti itu, tidak termasuk dalam bahasan bab ini.

Akan dibahas berturut-turut luasan yang terjadi dari ketiga bangun yang terletak pada bidang XOY, terletak pada bidang XOZ, dan terletak pada bidang YOZ.

a. Ellips, hiperbola, atau parabola pada bidang XOY

Persamaan ellips, hiperbola, atau parabola pada bidang XOY dapat ditulis sebagai : z = 0, f(x,y) = 0. Selanjutnya bangun tersebut diputar mengelilingi sumbu X. Langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan luasan putaran adalah sebagai berikut :

1. Ambil titik T



^x₀^,y₀^,z₀



pada bangun tersebut sehingga dipenuhi :

0 0

z  ... (a)



0, 0



0

f x y  ... (b)

2. Jika diputar mengelilingi sumbu X maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh titik T adalah :

x0

x  ... (c)

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      ... (d)

3. Persamaan luasan diperoleh dengan mengeliminasi x₀, y₀, dan z₀ dari persamaan (a), (b), (c), dan (d).

Jika bangun tersebut diputar mengelilingi sumbu Y. Langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan luasan putaran adalah sebagai berikut :

1. Ambil titik T



x₀,y₀,z₀



pada bangun tersebut sehingga dipenuhi :

0 0

z  ... (a)



0, 0



0

f x y  ... (b)

2. Jika diputar mengelilingi sumbu Y maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh titik T adalah :

y0

y ... (c)

2 0 2 0 2 0 2 2

2 y z x y z

x      ... (d)

3. Persamaan luasan diperoleh dengan mengeliminasi x₀, y₀, dan z₀ dari persamaan (a), (b), (c), dan (d).

b. Ellips, hiperbola, atau parabola pada bidang XOZ

Persamaan ellips, hiperbola, atau parabola pada bidang XOZ dapat ditulis sebagai : y = 0, f(x,z) = 0. Selanjutnya bangun tersebut diputar mengelilingi sumbu X. Langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan luasan putaran adalah sebagai berikut :

1. Ambil titik T



x₀,y₀,z₀



pada bangun tersebut sehingga dipenuhi :

0 0

y  ... (a)



0, 0



0

f x z  ... (b)

2. Jika diputar mengelilingi sumbu X maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh titik T adalah :

x0

x  ... (c)

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      ... (d)

3. Persamaan luasan diperoleh dengan mengeliminasi x₀, y₀, dan z₀ dari persamaan (a), (b), (c), dan (d).

Jika bangun tersebut diputar mengelilingi sumbu Z. Langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan luasan putaran adalah sebagai berikut :

1. Ambil titik T



x₀,y₀,z₀



pada bangun tersebut sehingga dipenuhi :

0 0

y  ... (a)



^{x ,z}



⁰

f _{0 0}  ... (b)

2. Jika diputar mengelilingi sumbu Z maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh titik T adalah :

z0

z  ... (c)

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      ... (d)

3. Persamaan luasan diperoleh dengan mengeliminasi x₀, y₀, dan z₀ dari persamaan (a), (b), (c), dan (d).

c. Ellips, hiperbola, atau parabola pada bidang YOZ

Persamaan ellips, hiperbola, atau parabola pada bidang YOZ dapat ditulis sebagai : x = 0, f(y,z) = 0. Selanjutnya bangun tersebut diputar mengelilingi sumbu Y. Langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan luasan putaran adalah sebagai berikut :

1. Ambil titik T



^x₀^,y₀^,z₀



pada bangun tersebut sehingga dipenuhi :

0 0

x  ... (a)



0, 0



0

f y z  ... (b)

2. Jika diputar mengelilingi sumbu Y maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh titik T adalah :

y0

y  ... (c)

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      ... (d)

3. Persamaan luasan diperoleh dengan mengeliminasi x₀, y₀, dan z₀ dari persamaan (a), (b), (c), dan (d).

Jika bangun tersebut diputar mengelilingi sumbu Z. Langkah-langkah untuk mendapatkan persamaan luasan putaran adalah sebagai berikut :

1. Ambil titik T



^x₀^,y₀^,z₀



pada bangun tersebut sehingga dipenuhi :

0 0

x  ... (a)



0, 0



0

f y z  ... (b)

2. Jika diputar mengelilingi sumbu Z maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh titik T adalah :

z0

z  ... (c)

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      ... (d)

3. Persamaan luasan diperoleh dengan mengeliminasi x₀, y₀, dan z₀ dari persamaan (a), (b), (c), dan (d).

Dari uraian di atas bahwa, luasan yang terjadi dari ellips disebut ellipsoida dan luasan yang terjadi dari parabola disebut paraboloida. Untuk luasan yang terjadi dari hiperbola dirinci sebagai berikut :

i. Hiperbola pada bidang XOY, sumbu transvers berimpit dengan sumbu X.

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu X maka luasan yang terjadi disebut hiperboloida berdaun dua, sedangkan jika diputar mengelilingi sumbu Y maka luasan yang terjadi disebut hiperboloida berdaun satu.

ii. Hiperbola pada bidang XOZ, sumbu transvers berimpit dengan sumbu Z.

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu Z maka luasan yang terjadi disebut hiperboloida berdaun dua, sedangkan jika diputar mengelilingi sumbu X maka luasan yang terjadi disebut hiperboloida berdaun satu.

iii. Hiperbola pada bidang YOZ, sumbu transvers berimpit dengan sumbu Y.

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka luasan yang terjadi disebut hiperboloida berdaun dua, sedangkan jika diputar mengelilingi

sumbu Z maka luasan yang terjadi disebut hiperboloida berdaun satu.

B. Luasan Derajat Dua

Berturut-turut akan dibahas luasan yang terjadi dari ellips dan hiperbola yang digerakkan menurut aturan tertentu.

a. Luasan yang terjadi dari ellips

Diberikan ellips pada bidang XOY dan ellips pada bidang XOZ masing- masing dengan persamaan :

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



dan

2 2

2 2

0

1 y

x z

a c

 



  



Ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan : i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari pucaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang XOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



digerakkan digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu-sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu Y. Sesuai

aturan i, ii, dan iii maka titik



x₀,0,



terletak pada ellips

2 2

2 2

0

1 y

x z

a c

 



  



sehingga

2 2

0

2 2 1

x

a c

  atau

2

2 2

0 1 2

x a

c



 

   

 . Sesuai aturan i, ii, dan iv maka

b a y x

0

0  , sehingga

2 2 02 02

b a y

x  atau ₀²

2 2 2

0 x

a y  b

= 









 

























 

2 2 2

2 2 2

2 2

c 1 b c

1 a a

b  

.

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z tersebut adalah :



















2 1

0 2 02

2

y y x x

z

atau



























 















 







1 1

1 2

2 2 2

2 2 2

2

c b

y

c a

x

z

Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :

2 1

2 2 2 2

2   

c z b

y a

x .

Diperoleh persamaan ellipsoida dengan titik pusat O(0,0) dan sumbu- sumbunya berimpit dengan sumbu koordinat.

Diberikan ellips pada bidang XOY dan hiperbola pada bidang XOZ masing-masing dengan persamaan :

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



dan

2 2

2 2

0

1 y

x z

a c

 



  



Ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan : i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari pucaknya selalu terletak pada hiperbola yang terletak pada bidang XOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



digerakkan digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu-sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu y dan sumbu Y. Sesuai aturan i, ii, dan iii maka titik



x₀,0,



terletak pada ellips

2 2

2 2

0

1 y

x z

a c

 



  



sehingga 1

2 2 2

02   c a

x atau 









 



 ² ₂²

02 1 c a

x .

Sesuai aturan i, ii, dan iv maka

b a y x

0

0  , sehingga

2 2 02 02

b a y

x  atau ₀²

2 2 2

0 x

a y  b

= 









 

























 ₂^{2 2} ₂²

2 2 2

1 1

c b

c a

a

b .

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z tersebut adalah :



















2 1

0 2 02

2

y y x x

z

atau



























 













 





1 1

1 2

2 2 2

2 2 2

2

c b

y

c a

x

z

Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :

2 1

2 2 2 2

2   

c z b

y a

x .

Diperoleh persamaan hiperboloida berdaun satu dengan titik pusat O(0,0) dan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu koordinat.

Diberikan ellips pada bidang XOY dan hiperbola pada bidang XOZ masing-masing dengan persamaan :

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



dan

2 2

2 2

0

1 y

z x

c a

 



  



Ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan : i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari pucaknya selalu terletak pada hiperbola yang terletak pada bidang XOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



digerakkan digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu-sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu Y. Sesuai

aturan i, ii, dan iii maka titik



x₀,0,



terletak pada ellips

2 2

2 2

0

1 y

z x

c a

 



  



sehingga 1

2 02 2

2 

 a x c

atau 









 

 ₂ 1

2 2 02

c a

x .

Sesuai aturan i, ii, dan iv maka

b a y x

0

0  , sehingga

2 2 02 02

b a y

x  atau ₀²

2 2 2

0 x

a y  b

= 









 

























 

1

1 2

2 2 2

2 2 2 2

c b c

a a

b .

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z tersebut adalah :



















2 1

0 2 02

2

y y x x

z

atau



























 













 





1 1

1 2

2 2 2

2 2 2

2

c b

y

c a

x

z

Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :

2 1

2 2 2 2

2  



c z b

y a

x .

Diperoleh persamaan hiperboloida berdaun dua titik pusat O(0,0) dan sumbunya adalah sumbu Z.

Diberikan ellips pada bidang XOY dan parabola pada bidang XOZ masing-masing dengan persamaan :















1 b y a x

0 z

2 2 2

2 dan











pz 2 x

0 y

2

Ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan : i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari pucaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada bidang XOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu















1 b

y a x

0 z

2 2 2 2

digerakkan digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu-sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu Y. Sesuai

aturan i, ii, dan iii maka titik



x₀,0,



memenuhi













p x

y

2 0

02

.

Sesuai aturan i, ii, dan iv maka

b a y x

0

0  , sehingga

2 2 02 02

b a y

x  atau ₀²

2 2 2

0 x

a y  b

= p

a b 2

2 2

.

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z tersebut adalah :



















2 1

0 2 02

2

y y x x

z

atau

























1 2 2

2 2

2 2

p a b

y p

x z

Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan : z

a p b

y a x

2 2 2 2

2 2



 .

Diperoleh persamaan paraboloida ellips titik puncak O(0,0).

Hasil di atas dapat pula diperoleh jika ellips yang diberikan digerakkan dengan aturan yang sama pada ellips, hiperbola, dan parabola pada bidang YOZ. Demikian pula jika ellips yang diberikan terletak pada bidang koordinat yang lain, digerakkan dengan aturan yang sama pada ellips, hiperbola, dan parabola pada bidang dimana memungkinkan terjadi luasan.

b. Luasan yang terjadi dari hiperbola

Diberikan hiperbola pada bidang XOY dan ellips pada bidang XOZ masing-masing dengan persamaan :

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



dan

2 2

2 2

0

1 y

x z

a c

 



  



Hiperbola yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan : i. Bidangnya selalu sejajar bidang XOY.

ii. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu Z.

iii. Hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula.

iv. Titik-titik puncaknya selalu terletak pada ellips.

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan hiperbola pada bidang XOY yang diberikan, yaitu

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu- sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu Y. Sesuai aturan i,

ii, dan iii maka titik



x₀,0,



terletak pada ellips

2 2

2 2

0

1 y

x z

a c

 



  



sehingga

1 c a x

2 2 2

02  

atau 









 

 2

2 2 02

c 1 a

x 

.

Sesuai aturan i, ii, dan iv maka

b a y x

0

0  , sehingga

2 2 02 02

b a y

x  atau ₀²

2 2 2

0 x

a y  b

= 









 

























 

2 2 2

2 2 2

2 2

c 1 b c

1 a a

b  

.

Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z  tersebut adalah :

















2 1

2 2 2

b y a x

z

atau



























 













 





1 1

1 ₂

2 2 2

2 2 2

2

c b

y

c a

x

z

Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :

2 1

2 2 2 2

2   

c z b y a

x .

Diperoleh persamaan hiperbola berdaun satu.

Diberikan hiperbola pada bidang XOY dan hiperbola pada pada bidang XOZ masing-masing dengan persamaan :

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



dan

2 2

2 2

0

1 y

z x

c a

 



  



Hiperbola yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan : i. Bidangnya selalu sejajar bidang XOY.

ii. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu Z.

iii. Hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula.

iv. Titik-titik puncaknya selalu terletak pada hiperbola yang terletak pada bidang XOZ.

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan hiperbola pada bidang XOY yang diberikan, yaitu

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu- sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu Y. Sesuai aturan i,

ii, dan iii maka titik



x₀,0,



terletak pada hiperbola

2 2

2 2

0

1 y

z x

c a

 



  



sehingga

2 1

02 2

2 

 a x c

atau 









 

 ₂ 1

2 2 02

c a

x .

Sesuai aturan i, ii, dan iv maka

b a y x

0

0  , sehingga

2 2 02 02

b a y

x  atau ₀²

2 2 2

0 x

a y  b

= 









 

























 

1

1 2

2 2 2

2 2 2 2

c b c

a a

b .

Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z  tersebut adalah :

















2 1

2 2 2

b y a x

z

atau



























 













 





1 1

1 2

2 2 2

2 2 2

2

c b

y

c a

x

z

Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :

2 1

2 2 2 2

2  



c z b y a

x .

Diperoleh persamaan hiperbola berdaun satu.

Diberikan hiperbola pada bidang XOY dan ellips pada bidang XOZ masing-masing dengan persamaan :

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



dan

2

0 2 y

x pz

 



 



Hiperbola yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan : i. Bidangnya selalu sejajar bidang XOY.

ii. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu Z.

iii. Hiperbolanya selalu tetap sebangun dengan hiperbola semula.

iv. Titik-titik puncaknya selalu terletak pada parabola.

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan hiperbola pada bidang XOY yang diberikan, yaitu

2 2

2 2

0

1 z

x y

a b

 



  



digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu- sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu Y. Sesuai aturan i,

ii, dan iii maka titik



x₀,0,



terletak pada parabola

2

0 2 y

x pz

 



 



sehingga



 p

x₀² 2 .Sesuai aturan i, ii, dan iv maka

b a y x

0

0  , sehingga

2 2 02 02

b a y

x  atau

02 2 2 2

0 x

a

y  b = p

a b 2

2 2

.

Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z  tersebut adalah :



















2 1

0 2 02

2

y y x x

z

atau

























1 2 2

2 2

2 2

p a b

y p

x z

Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan : z

a p b

y a x

2 2 2 2

2 2



 .

Diperoleh paraboloida hiperbolis berdaun satu.

Selanjutnya, perhatikan contoh-contoh berikut :

1. Diberikan persamaan ellips pada bidang XOY :

2 2

0

16 9 1 z

x y

 



  



. Tentukan

persamaan luasan yang terjadi jika ellips tersebut diputar mengelilingi sumbu X !

Penyelesaian :

Ambil titik ^T



^x₀,^y₀,^z₀



pada ellips. Oleh karena itu, dipenuhi :

0

2 2

0 0

0

16 9 1 z

x y

 



  



………….. (a)

Jika ellips diputar mengelilingi sumbu X maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh T adalah :

x0

x

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      …….. (b)

Dengan mengeliminasi x ,₀ y₀, dan z₀ dalam persamaan (a) dan (b) diperoleh persamaan luasan :

2 2 2

16 9 1

x  y z  .

2. Diberikan persamaan hiperbola pada bidang XOZ :

2 2

0

36 25 1 y

x z

 



  



. Tentukan

persamaan luasan yang terjadi jika hiperbola tersebut diputar mengelilingi sumbu Z !

Penyelesaian :

Ambil titik ^T



^x₀,^y₀,^z₀



pada hiperbola. Oleh karena itu, dipenuhi :

0

2 2

0 0

0

36 25 1 y

x z

 



  



………….. (a)

Jika hiperbola diputar mengelilingi sumbu Z maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh T adalah :

zz0

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      …….. (b)

Dengan mengeliminasi x ,₀ y₀, dan z₀ dalam persamaan (a) dan (b) diperoleh persamaan luasan :

2 2 2

36 25 1 x y  z  .

3. Diberikan persamaan parabola pada bidang YOZ :

2

0 10 x

z y

 



 



. Tentukan

persamaan luasan yang terjadi jika parabola tersebut diputar mengelilingi sumbu Y !

Penyelesaian :

Ambil titik T



x₀,y₀,z₀



pada ellips. Oleh karena itu, dipenuhi :

0

2

0 0

0 10 x

z y

 



 



………….. (a)

Jika parabola diputar mengelilingi sumbu Y maka persamaan lingkaran yang dilalui oleh T adalah :

y y0

02 02 02 2 2

2 y z x y z

x      …….. (b)

Dengan mengeliminasi x ,₀ y₀, dan z₀ dalam persamaan (a) dan (b) diperoleh persamaan luasan : x²z²10y.

4. Diberikan ellips pada bidang XOY dan ellips pada bidang XOZ masing- masing dengan persamaan :

2 2

0

16 9 1 z

x y

 



  



dan

2 2

0

16 4 1 y

x z

 



  



Tentukan persamaan luasan yang terjadi jika ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari pucaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang XOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Penyelesaian :

Luasan yang terjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu

2 2

0

16 9 1 z

x y

 



  



digerakkan digerakkan sehingga terletak pada bidang z  dan setengah sumbu-sumbunya adalah x₀ sejajar sumbu X dan y₀ sejajar sumbu Y. Sesuai

aturan i, ii, dan iii maka titik



x0, 0,



terletak pada ellips

2 2

0

16 4 1 y

x z

 



  



sehingga

2 2

0 1

16 4

x 

  atau

2 2

0 16 1

x  4 

   

 . Sesuai aturan i, ii, dan iv maka ⁰

0

4 3 x

y  , sehingga

2 0 2 0

16 9 x

y  atau ₀² 9 ₀² y 16 x

=

2 2

9 16 1 9 1

16 4 4

 

    

  

    

    

  .

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z tersebut adalah :

2 2

2 2

0 0

1 z

x y

x y



 



  



atau ^{2 2}

2 2 1

16 1 9 1

4 4

z

x y



 

 



  

    

      

    



Dengan mengeliminasi  pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :

2 2 2

16 9 4 1

x y z

   .

Soal Latihan :

1. Diberikan ellips dengan persamaan

2 2

0

9 16 144 0

z

x y

 



   



. Tentukan

persamaan luasan, bila ellips tersebut diputar mengelilingi sumbu X !

2. Diberikan hiperbola dengan persamaan

2 2

0

144 25 1 x

z y

 



  



. Tentukan persamaan

luasan, bila hiperbola tersebut diputar mengelilingi sumbu Z !

3. Diberikan parabola dengan persamaan

2

0 16 0 z

x

 



  



. Tentukan persamaan

luasan, bila parabola tersebut diputar mengelilingi sumbu Y !

4. Diberikan dua ellips masing-masing dengan persamaan

2 2

0

25 16 1 z

x y

 



  



dan

2 2

0

16 9 1 x

y z

 



  



. Tentukan luasan yang terjadi bila ellips tersebut digerakkan

dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang YOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

5. Diberikan ellips dengan persamaan

2 2

0

16 9 1 z

x y

 



  



dan hiperbola dengan

persamaan

2 2

0

9 4 1 x

y z

 



  



. Tentukan luasan yang terjadi bila ellips tersebut

digerakkan dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari puncaknya selalu terletak pada hiperbola yang terletak pada bidang YOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

6. Diberikan ellips dengan persamaan

2 2

0

16 9 1 z

x y

 



  



dan hiperbola dengan

persamaan

2 2

0

9 4 1 x

y z

 



   



. Tentukan luasan yang terjadi bila ellips tersebut

digerakkan dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang YOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

7. Diberikan ellips dengan persamaan

2 2

0

25 16 1 z

x y

 



  



dan parabola dengan

persamaan

2

0 16 x

y z

 



 



. Tentukan luasan yang terjadi bila ellips tersebut

digerakkan dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada bidang YOZ.

iv. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

8. Diberikan hiperbola dengan persamaan

2 2

0

16 9 1 x

y z

 



  



dan ellips dengan

persamaan

2 2

0

25 16 1 z

x y

 



  



. Tentukan luasan yang terjadi bila hiperbola tersebut

digerakkan dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu X.

iii. Dua dari puncaknya selalu terletak pada ellips yang terletak pada bidang XOY.

iv. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan.

9. Diberikan dua hiperbola masing-masing dengan persamaan

2 2

0

16 9 1 x

y z

 



  



dan

2 2

0

25 16 1 z

x y

 



  



. Tentukan luasan yang terjadi bila hiperbola

2 2

0

16 9 1 x

y z

 



  



digerakkan dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu X.

iii. Dua dari puncaknya selalu terletak pada hiperbola yang terletak pada bidang XOY.

iv. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan.

10. Diberikan hiperbola dengan persamaan

2 2

0

9 16 1 z

x y

 



   



dan parabola dengan

2

0 8 x

y z

 



 



. Tentukan luasan yang terjadi bila hiperbola

2 2

0

9 16 1 z

x y

 



   



digerakkan dengan aturan :

i. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

ii. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z.

iii. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada bidang YOZ.

iv. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan.