Contoh Hitunglah luas daerah D

Contoh Hitunglah luas daerah D={(x,y)|1£x£4,0£y£4x-x2}.

dengan x terletak di antara dua titik potong yang berturutan.

y

kedua kurva ini berpotongan di titik

Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi parabol y=x2, -2£ x£2,

garis dan pada selang [-1,2] parabol terletak

di bawah garis.

y

tar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah

2 2

sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

Contoh _{Buktikan volum bola berjari-jari} a > 0 adalah V = 4₃pr3.

Suatu cara untuk memperoleh bola berjari-jari a

adalah daerah

2 2

{( , )| ,0 }

D = x y - £ £a x a £ £y a -x

diputar terhadap sumbu x.

Volum benda putarnya adalah volum bola yang dicari, yaitu

bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y

Ubahlah daerah D dengan membuat proyeksinya

terhadap sumbu y, diperoleh

D={(x,y)|0£y£4,0£x£ y}.

Proyeksi D pada sumbu y adalah selang [0,2],

ba-tas kirinya x=0 dan batas kanannya x= y .

Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah

y

diputar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah

2 2 2 2

bu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y

Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D

di-putar terhadap sumbu y adalah

Contoh _{Jika daerah} D yang berbentuk cakram lingkaran (x-2)2+ £y2 1

diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y

Volum benda putar yang terjadi adalah

y

tar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah

1

Catatan Metode kulit tabung dapat digunakan untuk daerah D yang diba-tasi kurva f dan g yang kontinu pada [a,b]. Jika f, g kontinu pada [a,b], dan

bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

Contoh Jika daerah D={(x,y)|0£x£2,x2£y£4} diputar terhadap sumbu

y, hitunglah volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung.

y

diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.

y

Volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung adalah

(

)

berdasarkan sifat integral tentu fungsi ganjil dan hasil sebelumnya.

Metode Cakram

Pada metode cakram, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang

te-gak lurus sumbu x selalu berbentuk cakram lingkaran. Untuk x Π[a,b]

luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu D =L L x( ) =p f 2( )x .

Padametodecincin,irisansejajar benda putar dengan bidang yang tegak

lurussumbu x selaluberbentuk cincinlingkaran.Untuk x Œ[a,b]luasnya

merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu D =L L x( )=p

(

f 2( )x - g x2( )

)

. Volum benda putar untuk kedua metode ini adalah

1 Gagasan metode irisan sejajar adalah perumuman kedua metode ini

un-tuk benda padat di antara dua bidang yang tegak lurus sumbu x.

Luas irisan sejajar

Metode irisan sejajar Suatu benda padat

terle-takantara duabidang yangtegak lurus sumbu-x

Contoh Alas suatu benda padat adalah cakram lingkaran berjari-jari a>0.

Jika irisan sejajar antara bidang yang tegak lurus garis tengah tetap selalu berbentuk persegi, hitunglah volum benda padat tersebut.

benda padat

Irisan bendapadatdenganbidangyangtegak

lurus sumbu x pada selang [-a,a] berbentuk

Jikairisan sejajardengan bidangyangtegaklurussumbu y selaluberbentuk

cakram setengah lingkaran, tentukan volum benda padat tersebut.

y

lingkaran untuk y di antara 0 dan 1 berdiameter

2 1-y, sehingga jari-jarinya 1-y . Luas

ca-kramnya adalah L y( )= 1₂p

(

1-y

)

2= ₂1p(1- y).

Karena L kontinu pada [0,1], maka volum

Pusat Massa Batang

Dxi

m2 m3 O m1 mi mn O L

x2 x3 x1 xi xn x0 xi-1cixi xn x

Sistem partikel pada suatu garis terdiri dari n partikel dengan massa m₁,

m₂,º,mn yang terletak di titik x1,x2,º,xn. Massa, momen terhadap

ti-tik asal O, dan pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

hMassa adalah M=m1 +m2 +º+mn

hMomen terhadap O adalah M0 =m1x1 +m2x2 +º+mnxn

hTitik pusat massa adalah x = M_M0 .

Sebuah batang horisontal tak homogen panjangnya L terletak di antara

x=0 dan x= L. Jika rapat massa di setiap titik pada batang adalah r(x),

dengan r kontinu pada [0,L], akan ditentukan pusat massa batang.

Buatlah partisi untuk [0,L] dengan [xi-1,xi] selang bagian ke-i dan

pan-jangnya Dxi. Jika ci adalah titik tengah [xi-1,xi] dan rapat massanya pada

selang bagian ini konstan sebesar r(ci), maka massanya Dmi = r(ci) Dxi

danpusatmassanya di ci. Batang ini dipandang sebagai sistem n partikel

dengan massa Dm₁,Dm₂,º,Dmn di c1,c2,º,cn yang massa, momen

ter-hadap titik O, dan pusat massanya ditentukan seperti di atas.

Untukbatang tak homogen yang panjangnya L dengan rapat massa r(x),

r kontinu pada [0,L], pusat massanya ditentukan sebagai berikut.

hMassa batang adalah ₁

0

|| ||lim0 ( ) ( )

L n

i i i

P

M ₌ r c x r x dx

Æ

=

Â

D =

Ú

.

hMomen terhadap O adalah ₀

1 0

|| ||lim0 ( ) ( )

L n

i i i i

P

M ₌ c r c x xr x dx

Æ

=

Â

D =

Ú

.

hTitik pusat massa batang adalah M0

M

Contoh _{Tentukan pusatmassa batangtakhomogenyangpanjangnya4 sa-}

tuan dan rapat massa di setiap titik x yang jaraknya x satuan dari ujung kiri

batang adalah r(x) = 6x+ 4.

Titik pusat massa batang adalah 0 1

2

Jadi titik pusat massa batang terletak 1

2

2 satuan dari ujung kiri batang.

Pusat Massa Keping Datar

Sistempartikelpada suatu bidang terdiri dari

n partikel dengan massa m₁,m₂,º,mn yang

terletakdititik (x₁,y₁),(x₂,y₂),º,(xn,yn).

Massa,momenterhadap titik asal O, dan

pu-sat massanya ditentukan sebagai berikut.

Gagasaniniakandigunakanuntukmenentukanpusatmassa suatu keping

datar homogen dengan rapat massa konstan r(x) = k yang berbentuk

da-erah

g

bagian ke-i, yang menghasilkan n persegi panjang

dengan alas Dxi=xi-xi-1 dan tinggi f(ci)-g(ci), ci

1,2,º,n. Jadi diperoleh sistem partikel pada bidang dengan n partikel

Contoh _{Tentukanpusatdaerah} D={(x,y)|0£x£2,x2£y£4}.

Teorema Pappus (Kaitan volum benda putar dan pusat daerah)

sumbu putar garis g _{Jika daerah D yang terletak pada salah satu sisi dari}

garis g diputar terhadap garis g, maka volum benda

putarnya adalah luas D dikalikan jarak tempuh

pu-sat daerahnya.

Ilustrasi (Solusi soal sebelumnya dengan teorema Pappus)

Daerah D di atas luasnya 1

3

5

M = dan pusatnya

( )

3 2

4,25 .

Jika D diputarterhadapsumbu y,makajaraktempuh

Suatu objek bergerak sejauh D sepanjang sebuah garis dipengaruhi gaya tetap F yangsearahgeraknya.Kerjadari F untukmemindahkanobjekitu

sejauh D adalah gaya dikalikan perpindahannya, yaitu W= F◊D.

Suatuobjekbergeraksepanjang sumbu x dari a ke b dipengaruhi gaya

ti-dak tetap sebesar F(x) di titik x, F kontinu pada [a,b]. Akan ditentukan

kerja dari F untuk memindahkan objek itu dari a ke b.

Buatlah partisi untuk [a,b], maka dengan asumsi sepanjang [xi-1,xi]

be-kerja gaya tetap sebesar F(ci), besarnya kerja untuk memindahkan objek

dari x ke x+Dxi adalah DWi = F(ci)Dxi.

Dengan menggunakan hampiran dan limit jumlah, besarnya kerja dari F

untuk memindahkan objek itu dari a ke b adalah

1

|| ||lim0 ( ) ( )

b n

i i

i _a

P

W ₌ F c x F x dx

Æ

=

Â

D =

Ú

.

Contoh Panjang asal sebuah pegas adalah 40 cm dan untuk meregangnya sehingga menjadi 50 cm diperlukan gaya sebesar 2 kg. Tentukan kerja un-tuk meregang pegas itu dari 40 cm menjadi 60 cm.

panjang pegas asal panjang setelah diregang x

0 1 2 3 4 x (dm) 0 1 x2 3 4 x (dm)

Tempatkanpegassecarahorisontal dengan titik ujung pegas di 0. Berda-

sarkan hukum Hooke, besarnya gaya untuk meregang pegas sebanding dengan regangannya.

Jika gaya untuk meregang pegas sejauh x m adalah F(x) kg, maka F(x)=

kx. Karena untuk meregang pegas 0,1 m diperlukan gaya sebesar 2 kg,

maka F(0,1)=0,1k=2, sehingga k=20. Akibatnya F(x)=20x kg.

Kerja untuk meregang pegas sejauh 0,2 m (dari 40 cm menjadi 60 cm) adalah

( )

0,2

0,2 ₂

1 _{0 0}

|| ||lim0 20 20 10 0,4

n

i i i

P

W ₌ c x x dx x

Æ

y

Sebuah tangki tingginya h meter berisi zat cair yang

berat jenisnya tetap sebesar w kg/m3 sampai pada

ketinggian b m dari alasnya. Akan ditentukan kerja

untuk memompa zat cair dari y=a sampai y=b.

Untuk mengangkat suatu benda harus melawan ga-ya gravitasi, sehingga kerja ga-yang diperlukan adalah hasilkali berat benda dengan jarak terangkatnya.

Buatlah partisi untuk [a,b] dan asumsikan pada ketinggian dj Π[yj-1,yj]

berat zat cairnya wA(dj)Dyj dengan A(dj) luas bidang irisan sejajarnya, A

kontinu pada [a,b]. Kerja untuk memompa zat cair pada selang [yj-1,yj]

sejauh h-dj adalah DWj = (h-dj)wA(dj)Dyj = w(h-dj)A(dj)Dyj.

Kerja untuk memompa zat cair keluar tangki dari a sampai b adalah

1

Contoh _{Sebuah tangki setengah bola berjari-jari 10 m berisi zat cair yang}

beratnya w kg/m3 sampai pada ketinggian 8 m. Tentukan kerja untuk

me-mompa zat cair keluar tangki sehingga ketinggiannya menjadi 6 meter.

y

Pada ketinggian dj luas bidang irisan

sejajar-nya adalah cakram lingkaran berjari-jari r> 0,

dengan r = 100 (10- -d_j)2 = 20d_j -d2_j .

(10-dj). Kerja untuk mengangkatnya adalah

DWj =

(

wp (20d_j -d2_j)Dy_j

)

(10-d_j)

Jadi kerja untukmemompa zat cairkeluar dari