IV CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN

(1)

dengan kendala (1) 2700 + 20 − 𝑍1(𝑋) 20 + 𝑑1−− 𝑑1+= 1 (2) 𝑍₂ 𝑋 − 32 − 16 16 + 𝑑2−− 𝑑2+= 1 (3) 𝑎1(𝑋) − 300 + 50 50 + 𝑑3−− 𝑑3+= 1 (4) 300 + 25 − 𝑎₁(𝑋) 25 + 𝑑4−− 𝑑4+= 1 (5) 2680 ≤ 𝑍1 𝑋 ≤ 2720 (6) 16 ≤ 𝑍2(𝑋) ≤ 48 (7) 250 ≤ 𝑎1(𝑋) ≤ 325 (8) 𝑥1≤ 125 𝑥2≤ 100 𝑥3≤ 150 𝑥4≤ 120 (9) 𝑥𝑖, 𝑑𝑖−, 𝑑𝑖+≥ 0; 𝑑𝑖−, 𝑑𝑖+≤ 1; 𝑑𝑖−⋅ 𝑑𝑖+= 0, 𝑖 = 1,2, 3, 4; 𝑗 = 1, 2

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal 𝑥1= 125, 𝑥2= 28, 𝑥3= 139.2, 𝑥4=

0, 𝑑1−= 𝑑2−= 0, 𝑑3−= 0.156, 𝑑4−= 0, 𝑑1+=

𝑑2+= 𝑑3+= 0, 𝑑4+= 0.312 dengan nilai fungsi

objektif sebesar 0.156 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 4).

IV CONTOH KASUS DAN PEMBAHASAN

Bank komersial adalah lembaga dengan

multiproduk. Produk investasi yang ditawarkan bank komersial ada yang berisiko dan ada yang tidak berisiko. Semakin tinggi risiko suatu produk investasi, semakin besar tingkat pendapatan yang diperoleh. Oleh karena itu, bank komersial harus bisa mengalokasikan produk investasi sehingga memaksimumkan profit dan meminimumkan risiko secara bersamaan.

Diasumsikan bahwa setiap bank komersial harus memiliki karakteristik sebagai berikut:

1 Paling sedikit 47% dari giro dan 36% dari deposito berjangka dan tabungan tetap dalam keadaan likuid (liquid part). 2 Paling sedikit 14% dari giro dan 4% dari

deposito berjangka dan tabungan dialokasikan dalam kategori kas.

3 Paling sedikit 5% dari total sumber dana diinvestasikan ke setiap kategori investasi. 4 Paling sedikit 40% dari total sumber dana

diinvestasikan ke pinjaman komersial. (Gupta dan Bhattacharya 2010b) Selanjutnya akan digunakan tiga fungsi objektif, yaitu memaksimumkan profit, meminimumkan kecukupan modal, dan meminimumkan rasio aset berisiko (jumlah investasi yang berisiko/modal). Fungsi objektif profit diperoleh dari penjumlahan tingkat pendapatan setiap kategori investasi. Fungsi objektif kecukupan modal diperoleh dari rasio modal wajib untuk memenuhi kebutuhan investasi (dapat dilihat pada Tabel

1 kolom kecukupan modal) dengan modal sebenarnya (dana sendiri). Fungsi objektif risiko diperoleh dari rasio jumlah investasi yang berisiko terhadap dana sendiri.

Rasio aset berisiko yang rendah mengindikasikan bahwa suatu lembaga keuangan dalam keadaan aman. Kecukupan modal yang rendah mengindikasikan risiko yang minimum, karena kecukupan modal yang rendah memberikan makna bahwa selisih antara dana yang dibutuhkan untuk investasi dan dana sebenarnya (modal sendiri) juga rendah sehingga mengakibatkan risiko yang minimum.

Dalam karya ilmiah ini, akan digunakan contoh kasus dari bank fiktif yang disebut sebagai “Bank AXN”. Perencanaan pengoptimalan investasi pada bank tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan metode goal programming dan fuzzy goal

programming.

4.1 Contoh Kasus Bank AXN

Misalkan sumber dana Bank AXN berasal dari dana sendiri dan dana dari pihak ketiga. Sumber dana sendiri sebesar 250 juta rupiah, sumber dana dari pihak ketiga terdiri atas giro sebesar 125000 juta rupiah, dan deposito berjangka dan tabungan sebesar 225000 juta rupiah. Dana tersebut akan diinvestasikan ke dalam berbagai kategori investasi dengan tingkat pendapatan, bagian likuid, kecukupan modal, dan risiko aset, seperti yang terlihat dalam Tabel 1.

(2)

Tabel 1 Kategori investasi Bank AXN 𝑗 Kategori Investasi Tingkat Pendapatan (%) Bagian Likuid (%) Kecukupan Modal (%) Aset Berisiko? (Ya/Tidak) 1 Kas 0 100 0 Tidak

2 Investasi jangka pendek 4 99.5 1 Tidak

3 Surat berharga pemerintah

jangka waktu 1 sampai 5 tahun 3.5 96 5 Tidak

4 Surat berharga pemerintah

jangka waktu 5 sampai 10 tahun 7 90 6 Tidak

5 Pinjaman angsuran 11.5 0 17 Ya

6 Kredit tunai 12 0 19 Ya

7 Pinjaman komersial 10.5 0 11 Ya

4.2 Model Pemrograman Linear dengan Multiobjektif dari Kasus Bank AXN

Keputusan investasi dari Bank AXN dapat dimodelkan dengan variabel keputusan untuk setiap kategori investasi yang ada dalam Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1 dan asumsi-asumsi yang diberikan, maka model pemrograman linear dengan multiobjektif atau

multiobjective linear programming (MLP)

dapat diformulasikan menjadi: Misalkan

𝑥𝑗 = banyaknya uang (dalam jutaan rupiah)

yang akan diinvestasikan ke dalam kategori investasi ke-𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 7. Formulasi pemrograman linear multiobjektif adalah sebagai berikut:

(1) Minimumkan (aset berisiko) 𝑍1 𝑋 ≔ 1 250 (𝑥5+ 𝑥6+ 𝑥7) (2) Maksimumkan (profit) 𝑍2 𝑋 ≔ 0.04 𝑥2+ 0.035𝑥3+ 0.07𝑥4 +0.115𝑥5+ 0.12𝑥6+ 0.105𝑥7

(3) Minimumkan (kecukupan modal) 𝑍3 𝑋 ≔

1

250 (0.01𝑥2+ 0.05𝑥3 +0.06𝑥4+ 0.17𝑥5+ 0.19𝑥6+ 0.11𝑥7)

dengan kendala

(1) Semua dana (dana sendiri dan dana pihak ketiga) diinvestasikan ke setiap kategori investasi 𝑥1+ ⋯ + 𝑥7= 350250 (2) Kendala likuiditas 𝑥1+ 0.995𝑥2+ 0.96𝑥3+ 0.9𝑥4≥ 0.47 × 125000 + 0.36 × 225000 (asumsi 1) (3) Kendala diversifikasi 𝑥1≥ 0.14 × 125000 + 0.04 × 225000 (asumsi 2) 𝑥𝑗 ≥ 0.05 × 350250, 𝑗 = 2, … ,7 (asumsi 3)

(4) Kendala untuk aset komersial 𝑥7≥ 0.4 (250 + 125000 + 225000)

(asumsi 4)

(MLP 1) Penyelesaian masalah investasi Bank AXN dengan preemptive goal programming dapat diselesaikan dengan menggunakan

software LINGO 11.0. Tahap pertama untuk

menyelesaikan masalah ini ialah dengan membagi fungsi objektif menjadi tiga bagian sesuai dengan urutan prioritas. Berdasarkan tingkat kepentingan setiap fungsi objektif, maka misalkan prioritas pertama adalah meminimumkan aset berisiko, prioritas kedua adalah memaksimumkan profit, dan prioritas ketiga adalah meminimumkan kecukupan modal.

Prioritas pertama

Minimumkan (aset berisiko) 𝑍1(𝑋) ≔ 1 250 (𝑥5+ 𝑥6+ 𝑥7) dengan kendala (1) 𝑥1+ ⋯ + 𝑥7= 350250 (2) 𝑥1+ 0.995𝑥2+ 0.96𝑥3+ 0.9𝑥4≥ 139750 (3) 𝑥1≥ 26500 𝑥𝑗 ≥ 17512.5, 𝑗 = 2, … ,7 (4) 𝑥7≥ 140100

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal (dalam juta rupiah) 𝑥1=

26500, 𝑥2= 𝑥3= 𝑥5= 𝑥6= 17512.5, 𝑥4 =

113600, 𝑥7= 140100 dengan 𝑍1= 700.5,

𝑍2= 28091.38 juta rupiah dan 𝑍3=

118.329 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 5). Kemudian nilai fungsi objektif risiko 𝑍1≤ 700.5 ditambahkan pada kendala

di prioritas kedua, sehingga modelnya menjadi:

(3)

Prioritas kedua Maksimumkan (profit) 𝑍2 𝑋 ≔ 0.04 𝑥2+ 0.035𝑥3+ 0.07𝑥4 +0.115𝑥5+ 0.12𝑥6+ 0.105𝑥7 dengan kendala (1) 𝑥1+ ⋯ + 𝑥7= 350250 (2) 𝑥1+ 0.995𝑥2+ 0.96𝑥3+ 0.9𝑥4≥ 139750 (3) 𝑥1≥ 26500 𝑥𝑗 ≥ 17512.5, 𝑗 = 2, … ,7 (4) 𝑥7≥ 140100 (5) 𝑍1≤ 700.5

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal (dalam juta rupiah) 𝑥1=

26500, 𝑥2= 𝑥3= 𝑥5= 𝑥6= 17512.5, 𝑥4 =

113600, 𝑥7= 140100 dengan 𝑍1= 700.5,

𝑍2= 28091.38 juta rupiah dan 𝑍3=

118.329 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 6). Kemudian nilai fungsi objektif profit 𝑍2≥ 28091.38 juta rupiah

ditambahkan pada kendala di prioritas ketiga, sehingga modelnya menjadi:

Prioritas ketiga

Minimumkan (kecukupan modal) 𝑍3 𝑋 ≔ 1 250 (0.01𝑥2+ 0.05𝑥3+ 0.06𝑥4 +0.17𝑥5+ 0.19𝑥6+ 0.11𝑥7) dengan kendala (1) 𝑥1+ ⋯ + 𝑥7= 350250 (2) 𝑥1+ 0.995𝑥2+ 0.96𝑥3+ 0.9𝑥4≥ 139750 (3) 𝑥1≥ 26500 𝑥𝑗 ≥ 17512.5, 𝑗 = 2, … ,7 (4) 𝑥7≥ 140100 (5) 𝑍1≤ 700.5 (6) 𝑍2≥ 28091.38

Masalah ini tidak mempunyai solusi fisibel (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 7). Meskipun solusi pada prioritas ketiga tidak fisibel, tetapi tetap diperoleh solusi optimal dengan nilai yang sama dengan solusi optimal yang diperoleh pada prioritas kedua. Hal ini dikarenakan solusi optimal pada prioritas ketiga hampir memenuhi kendala (6), yaitu 𝑍2 = 28091.375 ≅

28091.38.

Dalam kasus ini, solusi optimal dengan menggunakan metode preemptive goal

programming hanya diperoleh sampai

prioritas kedua, yaitu 𝑥1= 26500, 𝑥2= 𝑥3=

𝑥5= 𝑥6= 17512.5, 𝑥4= 113600, dan 𝑥7=

140100 (masing-masing dalam juta rupiah). Selanjutnya dilakukan substitusi dari solusi optimal tersebut ke dalam fungsi

objektif aset berisiko, profit, dan kecukupan modal, maka diperoleh total aset berisiko sebesar 700.5, total profit sebesar 28091.38 juta rupiah, dan total kecukupan modal sebesar 118.329.

Solusi optimal menunjukkan bahwa Bank AXN akan memperoleh profit sebesar 28091.38 juta rupiah dengan total risiko 700.5 dan kecukupan modal sebesar 118.329 jika menginvestasikan dana sebesar 26500 juta rupiah untuk kategori kas, sebesar 17512.5 juta rupiah untuk masing-masing kategori investasi jangka pendek, surat berharga pemerintah jangka waktu 1 sampai 5 tahun, pinjaman angsuran, dan kredit tunai, sebesar 113600 juta rupiah untuk kategori investasi surat berharga pemerintah jangka waktu 5 sampai 10 tahun, dan sebesar 140100 juta rupiah untuk kategori investasi pinjaman komersial.

Selanjutnya akan digunakan metode goal

programming dengan menetapkan secara

subjektif tiga level aspirasi dari fungsi objektif aset berisiko, profit, dan kecukupan modal, yaitu 𝑔1= 700, 𝑔2= 28100 juta rupiah, dan

𝑔3= 118. Penetapan level aspirasi tersebut

didasarkan pada solusi nilai fungsi objektif yang diperoleh dari metode preemptive goal

programming.

4.3 Model Goal Programming

Berdasarkan formulasi (MLP 1) dan dengan mengasumsikan bahwa ada tiga tujuan yang ingin dicapai, yaitu tujuan pertama adalah meminimumkan aset berisiko, tujuan kedua adalah memaksimumkan profit, dan tujuan ketiga adalah meminimumkan kecukupan modal, maka dengan menambahkan variabel deviasi untuk setiap fungsi tujuan, model (MLP 1) dapat diubah menjadi model goal programming seperti berikut: Tentukan 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥7) yang meminimumkan 𝑑1++ 𝑑2−+ 𝑑3+ dengan kendala

(1) Kendala aset berisiko 𝑍1(𝑋) + 𝑑1−− 𝑑1+= 700

(2) Kendala profit

𝑍2(𝑋) + 𝑑2−− 𝑑2+= 28100

(3) Kendala kecukupan modal 𝑍3 𝑋 + 𝑑3−− 𝑑3+= 118 (4) 𝑥1+ ⋯ + 𝑥7= 350250 (5) 𝑥1+ 0.995𝑥2+ 0.96𝑥3+ 0.9𝑥4≥ 139750 (6) 𝑥1≥ 26500 𝑥𝑗 ≥ 17512.5, 𝑗 = 2, … ,7

(4)

(7) 𝑥7≥ 140100

(8) 𝑑𝑘−, 𝑑𝑘+≥ 0, 𝑑𝑘+∙ 𝑑𝑘−= 0, 𝑘 = 1, 2, 3

dengan

𝑑𝑘+= nilai yang menampung deviasi yang

berada di atas tujuan ke-𝑘,

𝑑𝑘−= nilai yang menampung deviasi yang

berada di bawah tujuan ke-𝑘, 𝑘 = 1,2,3

Penyelesaian masalah ini menghasilkan solusi optimal (dalam juta rupiah), yaitu 𝑥1= 26500, 𝑥2= 𝑥3= 𝑥5= 17512.5, 𝑥4=

113427.5, 𝑥6 = 17685, 𝑥7 = 140100, 𝑑1−=

𝑑2−= 𝑑3−= 0, 𝑑1+ = 1.19, 𝑑2+= 0, 𝑑3+=

0.4187 (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 8). Karena 𝑑1+≠ 0 dan 𝑑3+≠ 0,

maka tujuan aset berisiko dan tujuan kecukupan modal tidak berhasil dicapai.

Misalkan dipilih 𝑔1= 700, 𝑔2= 28100

juta rupiah dan 𝑔3= 80, maka diperoleh

solusi optimal (dalam juta rupiah), 𝑥1=

26500, 𝑥2 = 𝑥3 = 𝑥5= 17512.5, 𝑥4 =

113427.5, 𝑥6= 17685, 𝑥7= 140100, 𝑑1−=

𝑑2−= 𝑑3−= 0, 𝑑1+= 1.19, 𝑑2+= 0, dan

𝑑3+= 38.4187 (detail penghitungan dapat

dilihat di Lampiran 9). Karena 𝑑1+≠ 0 dan

𝑑3+≠ 0, maka tujuan aset berisiko dan tujuan

kecukupan modal tidak berhasil dicapai. Dalam kasus ini, dengan menggunakan metode goal programming, tidak semua tujuan berhasil dicapai. Hal ini berkaitan dengan pemilihan level aspirasi untuk setiap fungsi objektif. Pada umumnya fungsi objektif profit (memaksimumkan) berbanding lurus dengan fungsi objektif risiko (meminimumkan) dan kecukupan modal (meminimumkan) artinya jika profit mengalami kenaikan, maka risiko dan kecukupan modal juga akan naik begitu pula sebaliknya. Oleh karena itu, penggunaan metode goal programming yang mengharuskan memilih nilai aspirasi fungsi objektif 𝑔1< 700.5, 𝑔2> 28091.38, dan

𝑔3< 118.329 tidak akan terpenuhi.

Selanjutnya akan digunakan metode fuzzy

goal programming untuk menyelesaikan

masalah investasi Bank AXN.

4.4 Formulasi Fuzzy Goal Linear Programming

Misalkan diberikan level aspirasi 𝑔1= 700, 𝑔2= 28100 juta rupiah, dan

𝑔3= 118 berturut-turut untuk fungsi objektif

aset berisiko (𝑍1(𝑋)), fungsi objektif profit

(𝑍2 𝑋 ), dan fungsi objektif kecukupan modal

𝑍3 𝑥 , maka akan diperoleh model fuzzy

goal programming untuk masalah alokasi

investasi Bank AXN sebagai berikut: Tentukan

𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥7)

sehingga memenuhi fungsi objektif (1) 𝑍1(𝑋) ≲ 700 (2) 𝑍2(𝑋) ≳ 28100 (3) 𝑍3(𝑋) ≲ 118 terhadap kendala (1) 𝑥1+ ⋯ + 𝑥7≅ 350250 (2) 𝑥1+ 0.995𝑥2+ 0.96𝑥3+ 0.9𝑥4≳ 139750 (3) 𝑥1≥ 26500 𝑥𝑗 ≥ 17512.5, 𝑗 = 2, … ,7 (4) 𝑥7≥ 140100

Diasumsikan bahwa fungsi objektif (1), (2), dan (3) merupakan fungsi objektif fuzzy, kendala (1) dan (2) merupakan fungsi kendala

fuzzy.

Misalkan 𝑝1, 𝑝2, dan 𝑝3 berturut-turut

merupakan batas toleransi untuk fungsi keanggotaan dari 𝑍1 𝑋 , 𝑍2(𝑋 ), dan 𝑍3 𝑥

dan 𝑞11, 𝑞12, 𝑞2 merupakan batas toleransi

untuk fungsi keanggotaan dari fungsi kendala

fuzzy 𝑎𝑙 𝑋 , 𝑙 = 1, 2, maka fungsi

keanggotaan untuk setiap tujuan dan kendala

fuzzy menjadi:

1) Fungsi keanggotaan untuk tujuan fuzzy aset berisiko (fungsi objektif pertama)

1 (Z (X))   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, jika 700 ( ) 700 (700 ) ( ) , jika 700 ( ) 700 0, jika ( ) 700 p Z X p Z X Z X p p Z X p          











2) Fungsi keanggotaan untuk tujuan fuzzy profit (fungsi objektif kedua)

2 (Z (X))   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, jika ( ) 28100 ( ) (28100 ) , jika 28100 ( ) 28100 1, jika 28100 ( ) 28100 Z X p Z X p p Z X p Z X p          











3) Fungsi keanggotaan untuk tujuan fuzzy kecukupan modal (fungsi objektif ketiga)

(5)

3 (Z (X))   3 3 3 3 3 3 3 3 3 1, jika 118 ( ) 118 (118 ) ( ) , jika 118 ( ) 118 0, jika ( ) 118 p Z X p Z X Z X p p Z X p          











4) Fungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy 𝑎1(𝑋) (kendala pertama) 1 (a X( ))   1 11 1 12 1 11 11 1 11 1 12 1 1 12 12 jika ( ) 350250 0, atau ( ) 350250 ( ) (350250 ) , jika 350250 ( ) 350250 1, jika ( ) 350250 350250 ( ) , jika 350250 ( ) 350250 a X q a X q a X q q a X q a X q a X a X q q               











5) Fungsi keanggotaan untuk kendala fuzzy 𝑎2(𝑋) (kendala kedua) 2 (a (X))   2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, jika ( ) 139750 ( ) 139750 , jika 139750 ( ) 139750 1, jika 139750 ( ) 139750 a X q a X q q a X q a X q          











Selanjutnya permasalahan ini akan diselesaikan dengan metode min sum fuzzy

goal programming yang dapat diformulasikan

sebagai berikut: Tentukan 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥7) yang meminimumkan 𝑑1−+ 𝑑2−+ 𝑑3−+ 𝑑4−+ 𝑑5−+ 𝑑6− dengan kendala (1) 700 + 𝑝₁ − 𝑍₁(𝑋) 𝑝1 + 𝑑1 −_{− 𝑑} 1+= 1 (2) 𝑍2 𝑋 − (28100 − 𝑝2) 𝑝2 + 𝑑2 −_{− 𝑑} 2 +_{= 1} (3) 118 + 𝑝3 − 𝑍3 𝑋 𝑝3 + 𝑑3 −_{− 𝑑} 3 +_{= 1} (4) 𝑎1 𝑋 − 350250 − 𝑞11 𝑞11 + 𝑑4 −_{− 𝑑} 4+ = 1 350250 + 𝑞12 − 𝑎1 𝑋 𝑞12 + 𝑑5 −_{− 𝑑} 5 + = 1 (5) 𝑎2 𝑋 − 139750 − 𝑞2 𝑞2 + 𝑑6 −_{− 𝑑} 6 +_{= 1} (6) 700 − 𝑝1≤ 𝑍1 𝑋 ≤ 700 + 𝑝1 (7) 28100 − 𝑝2≤ 𝑍2 𝑋 ≤ 28100 + 𝑝2 (8) 118 − 𝑝3≤ 𝑍3 𝑋 ≤ 118 + 𝑝3 (9) 350250 − 𝑞11≤ 𝑎1 𝑋 ≤ 350250 + 𝑞12 (10) 139750 − 𝑞2≤ 𝑎2 𝑋 ≤ 139750 + 𝑞2 (11) 𝑥1≥ 26500 𝑥𝑗 ≥ 17512.5, 𝑗 = 2, … ,7 (12) 𝑥7≥ 140100 (13) 𝑑𝑘−, 𝑑𝑘+≥ 0, 𝑝𝑖, 𝑞11, 𝑞12, 𝑞2> 0, 𝑑𝑘−, 𝑑𝑘+≤ 1, 𝑑𝑘+∙ 𝑑𝑘−= 0, 𝑘 = 1, 2, … , 6, 𝑖 = 1, 2, 3

Selanjutnya akan ditentukan minimum nilai toleransi untuk setiap fungsi tujuan fuzzy dan kendala fuzzy sehingga solusi optimal yang diperoleh memenuhi kepuasan pembuat keputusan. Pembuat keputusan akan merasa puas jika berhasil meminimumkan total aset berisiko, memaksimumkan profit, dan meminimumkan total kecukupan modal dengan asumsi bahwa total profit berbanding lurus dengan total aset berisiko dan total kecukupan modal. Tahapan dalam penentuan nilai toleransi dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:

1) Misalkan nilai toleransi 𝑝1 selalu berubah

dan nilai toleransi 𝑝2, 𝑝3, 𝑞11, 𝑞12, dan 𝑞2

konstan, yaitu 𝑝1= 700𝑟; 𝑟 ∈ 0.05, 1 ;

𝑝2= 0.05 × 28100; 𝑝3= 0.05 × 118;

𝑞11= 𝑞12= 0.05 × 350250; 𝑞2=

0.05 × 139750, maka diperoleh grafik fungsi objektif, aset berisiko, profit, dan kecukupan modal sebagai berikut:

Gambar 10 Grafik perubahan nilai fungsi objektif terhadap 𝑝1. 0 0.5 1 1.5 2 35 ₁₀₅ ₁₇₅ ₂₄₅ ₃₁₅ ₃₈₅ ₄₅₅ ₅₂₅ ₅₉₅ ₆₆₅ n il a i fu n g si o b je k ti f p1

Grafik perubahan nilai fungsi objektif

(6)

Gambar 11 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap 𝑝1.

Gambar 12 Grafik perubahan total profit terhadap 𝑝1.

Gambar 13 Grafik total kecukupan modal terhadap 𝑝1.

(detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 10).

Dari Gambar 10 dapat dilihat bahwa semakin besar nilai 𝑝1, maka nilai fungsi

objektif semakin mendekati nol. Gambar 11 dan Gambar 12 menunjukkan bahwa total aset berisiko dan total profit mulai konstan saat nilai 𝑝1= 105, yaitu total aset berisiko

sebesar 781.88 dan total profit sebesar 28100 juta rupiah, sedangkan total kecukupan modal tidak terpengaruh dengan perubahan nilai 𝑝1.

Oleh karena itu, dipilih nilai toleransi 𝑝1= 105 sehingga total aset berisiko ada

dalam selang 595, 805 .

2) Misalkan nilai toleransi 𝑝2 selalu berubah

konstan, yaitu 𝑝1= 105; 𝑝2= 28100𝑟;

𝑟 ∈ 0.05, 1 ; 𝑝3= 0.05 × 118; 𝑞11=

𝑞12= 0.05 × 350250; 𝑞2= 0.05 ×

139750, maka diperoleh grafik fungsi objektif, aset berisiko, profit, dan kecukupan modal sebagai berikut:

Gambar 14 Grafik perubahan nilai fungsi objektif terhadap 𝑝2.

Gambar 15 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap 𝑝2. 710.00 720.00 730.00 740.00 750.00 760.00 770.00 780.00 790.00 35 ₁₀₅ ₁₇₅ ₂₄₅ ₃₁₅ ₃₈₅ ₄₅₅ ₅₂₅ ₅₉₅ ₆₆₅ r is ik o p1

Grafik perubahan total aset berisiko

27500.00 27600.00 27700.00 27800.00 27900.00 28000.00 28100.00 28200.00 35 105 175 245 315 385 455 525 595 665 p r o fi t p1

Grafik perubahan total profit

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 35 ₁₀₅ ₁₇₅ ₂₄₅ ₃₁₅ ₃₈₅ ₄₅₅ ₅₂₅ ₅₉₅ ₆₆₅ m o d a l p1

Grafik perubahan total kecukupan modal 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1405 4215 7025 9835 12645 15455 18265 21075 23885 26695 n il a i fu n g si o b je k ti f p2

Grafik perubahan nilai fungsi objektif 0.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 1405 4215 7025 9835 ₁₂₆₄₅ ₁₅₄₅₅ ₁₈₂₆₅ ₂₁₀₇₅ ₂₃₈₈₅ ₂₆₆₉₅ r is ik o p2

Grafik perubahan total aset berisiko

(7)

Gambar 16 Grafik perubahan total profit terhadap 𝑝2.

Gambar 17 Grafik perubahan total kecukupan modal terhadap 𝑝2.

Dari Gambar 14, Gambar 15, Gambar 16, dan Gambar 17 dapat dilihat bahwa perubahan nilai 𝑝2 tidak memengaruhi nilai fungsi

objektif, total aset berisiko, total profit, dan total kecukupan modal, maka dipilih nilai toleransi terkecil, yaitu 𝑝2= 1405 sehingga

total profit ada dalam selang 26695, 29505 . 3) Misalkan nilai toleransi 𝑝3 selalu berubah

konstan, yaitu 𝑝1= 105; 𝑝2= 1405;

𝑝3= 118𝑟; 𝑟 ∈ 0.05, 1 ; 𝑞11= 𝑞12=

0.05 × 350250; 𝑞2= 0.05 × 139750,

maka diperoleh grafik fungsi objektif, aset berisiko, profit, dan kecukupan modal sebagai berikut:

Gambar 18 Grafik perubahan nilai fungsi objektif terhadap 𝑝3.

Gambar 19 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap 𝑝3.

Gambar 20 Grafik perubahan total profit terhadap 𝑝3. 0.00 5000.00 10000.00 15000.00 20000.00 25000.00 30000.00 1405 4215 7025 9835 ₁₂₆₄₅ ₁₅₄₅₅ ₁₈₂₆₅ ₂₁₀₇₅ ₂₃₈₈₅ ₂₆₆₉₅ p r o fi t p2

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 1405 4215 7025 9835 ₁₂₆₄₅ ₁₅₄₅₅ ₁₈₂₆₅ ₂₁₀₇₅ ₂₃₈₈₅ ₂₆₆₉₅ m o d a l p2

Grafik perubahan total kecukupan modal 0.69 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 5 .9 1 7 .7 2 9 .5 4 1 .3 5 3 .1 6 4 .9 7 6 .7 8 8 .5 1 0 0 .3 1 1 2 .1 n il a i fu n g si o b je k ti f p3

Grafik perubahan nilai fungsi objektif 768.00 770.00 772.00 774.00 776.00 778.00 780.00 782.00 784.00 5 .9 1 7 .7 2 9 .5 4 1 .3 5 3 .1 6 4 .9 7 6 .7 8 8 .5 1 0 0 .3 1 1 2 .1 r is ik o p3

Grafik perubahan nilai aset berisiko

27700.00 27800.00 27900.00 28000.00 28100.00 28200.00 28300.00 28400.00 28500.00 28600.00 28700.00 28800.00 5 .9 1 7 .7 2 9 .5 4 1 .3 5 3 .1 6 4 .9 7 6 .7 8 8 .5 1 0 0 .3 1 1 2 .1 p r o fi t p3

(8)

Gambar 21 Grafik perubahan total kecukupan modal terhadap 𝑝3.

Dari Gambar 18 dapat dilihat bahwa semakin besar nilai 𝑝3, maka nilai fungsi

objektif semakin turun. Pada Gambar 19, Gambar 20, dan Gambar 21 dapat dilihat bahwa pada saat nilai 𝑝3∈ 5.9, 35.4 , total

aset berisiko sebesar 781.88, total profit sebesar 28100 juta rupiah, dan total kecukupan modal sebesar 118. Pada saat nilai 𝑝3∈ [41.3, 47.2], total aset berisiko turun

menjadi 776.86, total profit tetap, dan total kecukupan modal turun menjadi 119.89. Pada saat 𝑝3= 53.1, total aset berisiko turun

menjadi 772.68, sedangkan total profit dan total kecukupan modal berturut-turut naik menjadi 28722.91 juta rupiah, dan 121.94. Oleh karena itu, dipilih nilai toleransi 𝑝3= 53.1 sehingga total kecukupan modal

ada dalam selang 64.9, 171.5 .

4) Misalkan nilai toleransi 𝑞11 selalu

berubah dan nilai toleransi 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑞12,

dan 𝑞2 konstan, yaitu 𝑝1= 105; 𝑝2=

1405; 𝑝3= 53.1; 𝑞11= 350250𝑟; 𝑟 ∈

0.05, 1 ; 𝑞12= 0.05 × 350250; 𝑞2=

0.05 × 139750, maka diperoleh grafik fungsi objektif, aset berisiko, profit, dan kecukupan modal sebagai berikut:

Gambar 22 Grafik perubahan nilai fungsi objektif terhadap 𝑞11.

Gambar 23 Grafik perubahan nilai aset berisiko terhadap 𝑞11.

Gambar 24 Grafik perubahan total profit terhadap 𝑞11. 116.00 117.00 118.00 119.00 120.00 121.00 122.00 123.00 5 .9 1 7 .7 2 9 .5 4 1 .3 5 3 .1 6 4 .9 7 6 .7 8 8 .5 1 0 0 .3 1 1 2 .1 m o d a l p3

Grafik perubahan total kecukupan modal 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 n il a i fu n g si o b je k ti f q11

Grafik perubahan nilai fungsi objektif 725.00 730.00 735.00 740.00 745.00 750.00 755.00 760.00 765.00 770.00 775.00 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 r is ik o q11

27600.00 27800.00 28000.00 28200.00 28400.00 28600.00 28800.00 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 p r o fi t q11

(9)

Gambar 25 Grafik perubahan total kecukupan modal terhadap 𝑞11.

Dari Gambar 22 dapat dilihat bahwa semakin besar nilai 𝑞11, maka nilai fungsi

objektif semakin turun. Pada Gambar 23, Gambar 24, dan Gambar 25 dapat dilihat bahwa saat 𝑞11= 35025, total aset berisiko,

profit, dan kecukupan modal berturut-turut turun menjadi 748.95, 28100 juta rupiah, dan 119.33. Oleh karena itu, dipilih 𝑞11= 35025

sehingga kendala fuzzy pertama ada pada selang 315225, 367762.5 .

5) Misalkan nilai toleransi 𝑞12 selalu

berubah dan nilai toleransi 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑞11,

dan 𝑞2 konstan, yaitu 𝑝1= 105; 𝑝2=

1405; 𝑝3= 53.1; 𝑞11= 35025; 𝑞12=

350250𝑟; 𝑟 ∈ 0.05, 1 ; 𝑞2= 0.05 ×

139750, maka diperoleh grafik fungsi objektif, aset berisiko, profit, dan kecukupan modal sebagai berikut:

Gambar 28 Grafik perubahan total profit terhadap 𝑞12.

Dari Gambar 26, Gambar 27, Gambar 28, dan Gambar 29 dapat dilihat bahwa perubahan nilai 𝑞12 tidak memengaruhi nilai fungsi

117.50 118.00 118.50 119.00 119.50 120.00 120.50 121.00 121.50 122.00 122.50 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 m o d a l q11

Grafik perubahan total kecukupan modal 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 n il a i fu n g si o b je k ti f q12

Grafik perubahan nilai fungsi objektif 0.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 r is ik o q12

Grafik perubahan total aset berisiko 0.00 5000.00 10000.00 15000.00 20000.00 25000.00 30000.00 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 p r o fi t q12

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 1 7 5 1 2 .5 5 2 5 3 7 .5 8 7 5 6 2 .5 1 2 2 5 8 7 .5 1 5 7 6 1 2 .5 1 9 2 6 3 7 .5 2 2 7 6 6 2 .5 2 6 2 6 8 7 .5 2 9 7 7 1 2 .5 3 3 2 7 3 7 .5 m o d a l q12

Grafik perubahan total kecukupan modal

(10)

objektif, total aset berisiko, total profit, dan total kecukupan modal, maka dipilih nilai toleransi terkecil, yaitu 𝑞12= 17512.5

sehingga total kendala fuzzy pertama ada dalam selang 315225, 367762.5 .

6) Misalkan nilai toleransi 𝑞2 selalu berubah

dan nilai toleransi 𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, 𝑞11, dan 𝑞12

konstan, yaitu 𝑝1= 105; 𝑝2= 1405;

𝑝3= 53.1; 𝑞11= 35025; 𝑞12= 17512.5;

𝑞2= 139750𝑟; 𝑟 ∈ 0.05, 1 , maka

diperoleh grafik fungsi objektif, aset berisiko, profit, dan kecukupan modal sebagai berikut:

Gambar 32 Grafik perubahan total profit terhadap 𝑞2.

(detail penghitungan dapat diilihat di Lampiran 15).

Dari Gambar 30 dapat dilihat bahwa semakin besar nilai 𝑞2, maka nilai fungsi

objektif semakin mendekati nol. Pada Gambar 31, Gambar 32, dan Gambar 33 menunjukkan bahwa saat nilai 𝑞2∈ [6987.5, 20962.5]

nilai aset berisiko dan kecukupan modal turun, sedangkan total profit tetap, yaitu 28100 juta rupiah. Oleh karena itu dipilih nilai toleransi 𝑞2= 20962.5 sehingga kendala fuzzy kedua

ada dalam selang 118787.5, 160712.5 . Dari keenam tahapan tersebut diperoleh nilai toleransi 𝑝1= 105, 𝑝2= 1405, 𝑝3=

53.1, 𝑞11= 35025, 𝑞12= 17512.5, dan

𝑞2= 20962.5 sehingga diperoleh solusi

optimal (dalam juta rupiah) 𝑥1= 26500, 𝑥2=

𝑥3= 𝑥5= 𝑥6= 17512.5, 𝑥4= 111084, 𝑥7= 670.00 680.00 690.00 700.00 710.00 720.00 730.00 740.00 750.00 760.00 6 9 8 7 .5 2 0 9 6 2 .5 3 4 9 3 7 .5 4 8 9 1 2 .5 6 2 8 8 7 .5 7 6 8 6 2 .5 9 0 8 3 7 .5 1 0 4 8 1 2 .5 1 1 8 7 8 7 .5 1 3 2 7 6 2 .5 r is ik o q2

28086.00 28088.00 28090.00 28092.00 28094.00 28096.00 28098.00 28100.00 28102.00 6 9 8 7 .5 2 0 9 6 2 .5 3 4 9 3 7 .5 4 8 9 1 2 .5 6 2 8 8 7 .5 7 6 8 6 2 .5 9 0 8 3 7 .5 1 0 4 8 1 2 .5 1 1 8 7 8 7 .5 1 3 2 7 6 2 .5 p r o fi t q2

117.80 118.00 118.20 118.40 118.60 118.80 119.00 119.20 119.40 119.60 6 9 8 7 .5 2 0 9 6 2 .5 3 4 9 3 7 .5 4 8 9 1 2 .5 6 2 8 8 7 .5 7 6 8 6 2 .5 9 0 8 3 7 .5 1 0 4 8 1 2 .5 1 1 8 7 8 7 .5 1 3 2 7 6 2 .5 m o d a l q2

Grafik perubahan total kecukupan modal 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 6 9 8 7 .5 2 0 9 6 2 .5 3 4 9 3 7 .5 4 8 9 1 2 .5 6 2 8 8 7 .5 7 6 8 6 2 .5 9 0 8 3 7 .5 1 0 4 8 1 2 .5 1 1 8 7 8 7 .5 1 3 2 7 6 2 .5 n il a i fu n g si o b je k ti f q2

Grafik perubahan nilai fungsi objektif

(11)

141859.5 dengan nilai fungsi objektif sebesar 0.102794 dan total aset berisiko 𝑍1=

707.54, total profit 𝑍2= 28100 juta rupiah,

dan total kecukupan modal 𝑍3= 118.5 (detail

penghitung dapat dilihat di Lampiran 16). Jadi, Bank AXN akan memperoleh profit sebesar 28100 juta rupiah dengan total risiko sebesar 707.54 dan total kecukupan modal sebesar 118.5 jika menginvestasikan dana sebesar 26500 juta rupiah untuk kategori kas,

sebesar 17512.5 juta rupiah untuk masing-masing kategori investasi jangka pendek, surat berharga pemerintah jangka waktu 1 sampai 5 tahun, pinjaman angsuran, dan kredit tunai, sebesar 111084 juta rupiah untuk kategori investasi surat berharga pemerintah jangka waktu 5 sampai 10 tahun, dan sebesar 141859.5 juta rupiah untuk kategori investasi pinjaman komersial.

V SIMPULAN DAN SARAN

5.1 Simpulan

Dalam kasus pengalokasian dana bank pada contoh kasus Bank AXN, metode goal

programming tidak dapat digunakan karena

dengan menggunakan metode goal programming tidak semua tujuan berhasil

dicapai, sedangkan dengan menggunakan metode fuzzy goal programming dapat diperoleh solusi optimal yang disesuaikan dengan keinginan pembuat keputusan, yaitu dengan menentukan secara subjektif level aspirasi dan nilai toleransi untuk setiap tujuan yang ingin dicapai. Penetapan level aspirasi

untuk setiap tujuan disesuaikan dengan nilai fungsi objektif yang diperoleh dari solusi optimal dengan menggunakan metode

preemptive goal programming. 5.2 Saran

Pada karya ilmiah ini data yang digunakan adalah data hipotetik. Saran untuk penulisan dan penelitian selanjutnya adalah dengan menggunkan data pengalokasian dana bank yang sebenarnya.

DAFTAR PUSTAKA

[BI] Bank Indonesia. 2010. Kamus Istilah

Perbankan. [terhubung berkala]. http://www.bi.go.id/web/id/Kamus. [4 Jan 2012].

Chak CK, Feng G, Palaniswani M. 1998. Implementation of Fuzzy System. Di dalam: Leondes Cornelius T. Fuzzy

Logic and Expert Systems Applications.

Volume 2 of Neural Network Systems Techniques and Applications. London: Academic Press.

Dendawijaya L. 2005. Manajemen Perbankan. Bogor: Ghalia Indonesia.

Gupta M, Bhattacharya D. 2010a. Multi objective problem in fuzzy environment where resources are triangular fuzzy number. European Journal of Scientific

Research 46:099-106.

Gupta M, Bhattacharya D. 2010b. Goal programming and fuzzy goal programming techniques in the bank investment plans under the scenario of maximizing profit and minimizing risk

factor: A case study. Advances in Fuzzy

Mathematics 5(2):111-119.

Krugman PR, Obstfeld M. 1999. Ekonomi

Internasional: Teori dan Kebijakan. Ed

ke-2. Penerjemah: Munandar H, Basri FH. Jakarta: PT Raja Grafindo Persada. Terjemahan dari: International

Economic: Theory and Policy. 2𝑛𝑑ed.

Siamat D. 1993. Manajemen Bank Umum. Jakarta: Inter Media.

Sihombing J. 1993. Pengantar Funds

Manajemen untuk Perbankan. Jakarta:

Institut Bankir Indonesia.

Sinungan M. 1992. Manajemen Dana Bank. Jakarta: Rineka Cipta.

Winston WL. 2004. Operations Research

Applications and Algorithms. 4𝑡𝑕 ed.

New York: Duxbury.

Zimmermann. 1991. Fuzzy Set Theory and

Its Applications.2𝑡𝑕 ed. Massachusetts: