Matematika Teknik Dasar-2 11 Aplikasi Integral - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2

11 – Aplikasi Integral - 2

Sebrian Mirdeklis Beselly Putra

Momen Inersia

Energi yang dimiliki benda karena pergerakannya disebut Energi Kinetik Dengan persamaan sebagai berikut 𝐸𝐾 = 1

2 𝑚𝑣 2

Dalam bidang teknik banyak terapan benda yang berotasi: roda, bubungan (cam), poros, poros dynamo (armature), dsb.

Momen Inersia

Diperhatikan sebuah partikel P dengan massa m yang berputar mengelilingi sumbu-x dengan kecepatan sudut konstan  radian per detik.

Berarti bahwa sudut  di pusat lingkaran bertambah dengan kecepatan  radian per detik.

Maka disimpulkan kecepatan linear P, v cm/s, bergantung pada dua kuantitas a. Kecepatan sudut ( rad/s)

Momen Inersia

Untuk mendapatkan sudut 1 radian dalam satu detik. P harus bergerak pada lingkaran dengan jarak yang sama dengan panjan 1 jari-jari, sebesar r (cm)

Jika  bertambah dengan kecepatan 1 rad/s, P bergerak dengan kecepatan r cm/s

Jika  bertambah dengan kecepatan 2 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 2r cm/s

Jika  bertambah dengan kecepatan 3 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 3r cm/s

Momen Inersia

Maka dari maksud slide sebelumnya bisa disimpulkan bahwa kecepatan sudut P adalah  rad/s, maka kecepatan linear,  dari P adalah

 = r

Dari sebelumnya didapatkan 𝐸𝐾 = 1

2 𝑚𝑣 2 𝐸𝐾 = 1 2 𝑚 𝜔𝑟 2 𝐸𝐾 = 1 2 𝜔 2_{. 𝑚𝑟}2

Momen Inersia

Ada sebuah sistem yang tersusun dari partikel-partikel yang berotasi terhadap sumbu XX dengan kecepatan sudut sama sebesar  rad/s, maka tiap partikel

menyumbangkan energinya: 𝐸𝐾₁ = 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 1𝑟12 𝐸𝐾₂ = 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 2𝑟22 𝐸𝐾₃ = 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 3𝑟32 𝐸𝐾₄ = 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 4𝑟42

Momen Inersia

EK = EK₁ + EK₂ + EK₃ + EK₄ + ... EK = 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 1𝑟12 + 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 2𝑟22 + 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 3𝑟32 + 1 2 𝜔 2_{. 𝑚} 4𝑟42 + ... EK = σ 1 2 𝜔

2_{. 𝑚𝑟}2 _{(jumlah seluruh partikel)} EK =1

2 𝜔

Momen Inersia

EK =1 2 𝜔

2 _{σ. 𝑚𝑟}2

Dapat disimpulkan dua faktor berbeda:

a.

1

2 𝜔

2 _{dapat diubah-ubah dengan mempercepat atau memperlambat} laju rotasi

b.

σ. 𝑚𝑟2 adalah difat benda yang berotasi. Ini adalah sifat fisik dari benda dan disebut momen kedua dari massa, atau momen inersia (dinyatakan dengan simbol I)

Momen Inersia

𝐼 = σ 𝑚𝑟2 (untuk seluruh partikel) I = 2.32 _{+ 1.1}2 _{+ 3.2}2 _{+ 4.2}2

Jari-Jari Girasi

Jika dimisalkan massa total M berjarak k dari sumbu Maka EK dari M akan sama dengan σ 𝐸𝐾

1 2 𝜔 2_{. 𝑀𝑘}2₌ 1 2 𝜔 2 _{σ. 𝑚𝑟}2 𝑀𝑘2= σ 𝑚𝑟2

k disebut sebagai jari-jari girasi sebuah benda terhadap sumbu rotasi

tertentu.

Contoh -1

Cari momen inersia (I) dan jari-jari girasi (k) dari sebuah batang tipis homogen terhadap sebuah sumbu yang melalui salah satu ujung yang tegak lurus terhadap panjang batang tersebut.

Misal  = massa per satuan panjang batang massa dari elemen PQ = .x

Momen kedua dari massa PQ terhadap XX = massa x (jarak)2 = .x.x2 _{= x}2_.x

Contoh -1

Tanda aproksimasi () dipakai karena x adalah jarak sampai ke sisi kiri dari elemen PQ

Jika x  0, maka menjadi: 𝐼 = න 0 𝑎 𝜌𝑥2. 𝑑𝑥 = 𝜌 𝑥 3 3 0 𝑎 = 𝜌𝑎 3 3

Digunakan Mk2_{=I digunakan untuk mencari k. Awal mula ditentukan massa}

total M.

Contoh -1

𝐼 = 𝜌𝑎 3 3 𝑀 = 𝑎𝜌 Mk2 _{= I ∴ 𝑎𝜌. 𝑘}2 ₌ 𝜌𝑎3 3 k2 ₌ 𝑎2 3 ∴ 𝑘 = 𝑎 3 I = 𝜌𝑎3 3

Contoh -2

Carilah I untuk sebuah pelat empat-persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisi.

Misal  = massa per satuan luas dari pelat Massa dari potongan PQ = b.x.

Momen kedua massa dari massa potongan terhadap XX  bx. (massa x jarak2₎

Momen kedua total untuk seluruh potongan 𝐼 = σ_𝑥=𝑑/2𝑥=𝑑/2 𝑏𝜌𝑥2. 𝛿𝑥

Contoh -2

Jika x  0 𝐼 = න −𝑑/2 −𝑑/2 𝑏𝜌𝑥2. 𝛿𝑥 = 𝑏𝜌 𝑥 3 3 −𝑑/2 𝑑/2 𝐼 = 𝑏𝜌 𝑑 3 24 − − 𝑑3 24 = 𝑏𝜌𝑑3 12 Massa total M=bd, I=𝑀𝑑2 12 𝐼 = 𝑏𝜌𝑑3 12 = 𝑀𝑑2 12 dan 𝑘 = 𝑑 12 = 𝑑 2 3

Contoh - 3

Carilah I untuk sebuah pelat emapt-persegi-panjang,

20cm x 10cm, dengan massa 2kg. Terhadap sumbu yang berjarak 5cm dari sisi yang panjangnya 20cm.

Jawaban:

Diambil sebuah potongan sejajar dengan sumbu. Diperhatikan pada contoh ini:

𝜌 = 2

10.20 =

2

200 = 0,01 Maka  = 0,01 kg/cm2

Contoh - 3

= 0,01 kg/cm2

Luas potongan = 20.x

Massa potongan = 20.x.

Momen kedua dari massa potongan terhadap XX  20.x..x2

Momen kedua total dari masssa= 𝐼 ׬_𝑥=5𝑥=15 20𝜌𝑥2. 𝑑𝑥 Jika x  0, 𝐼 = ׬₅15 20𝜌𝑥2. 𝑑𝑥 = 20𝜌 𝑥3 3 5 15 =20𝜌 3 3375 − 125 = 217 kg.cm 2

Contoh - 3

Nilai k

Mk2_{=I dan M=2kg}

2k2 _{= 217 k}2_=108,5

Kesimpulan

Tahapan mencari nilai I

▪ Ambil sebuah potongan yang sejajar sumbu rotasi pada jarak x dari sumbu tersebut

▪ Bentuklah sebuah pernyataan untuk momen kedua dari massa terhadap sumbu

▪ Jumlahkan seluruh potongan

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

▪ Jika I terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massa

sebuah benda diketahui, maka dengan mudah menuliskan nilai

I terhadap sumbu lain yang sejajar dan diketahui jaraknya dari

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

Misalkan G adalah pusat massa Misalkan m = massa potongan PQ

𝐼_𝐺 = ෍ 𝑚𝑥2

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

∴ 𝐼_𝐴𝐵 = ෍ 𝑚 𝑥2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙2 𝐼_𝐴𝐵 = ෍ 𝑚𝑥2 + ෍ 2𝑚𝑥𝑙 + ෍ 𝑚𝑙2 𝐼_𝐴𝐵 = ෍ 𝑚𝑥2 + 2𝑙 ෍ 𝑚𝑥 + 𝑙2 ෍ 𝑚 σ 𝑚𝑥2 = 𝐼_𝐺; σ 𝑚 = 𝑀 I_AB = I_G + Ml2

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

∴ 𝐼_𝐴𝐵 = ෍ 𝑚 𝑥2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙2 𝐼_𝐴𝐵 = ෍ 𝑚𝑥2 + ෍ 2𝑚𝑥𝑙 + ෍ 𝑚𝑙2 𝐼_𝐴𝐵 = ෍ 𝑚𝑥2 + 2𝑙 ෍ 𝑚𝑥 + 𝑙2 ෍ 𝑚 σ 𝑚𝑥2 = 𝐼_𝐺; σ 𝑚 = 𝑀 I_AB = I_G + Ml2

Contoh - 4

Dicari I untuk terhadap sumbu AB untuk pelat empat-persegi-panjang di bawah ini:

Contoh - 4

Jawaban: 𝐼_𝐺 = 𝑀𝑑 2 12 = 3.16 12 = 4 𝑘𝑔. 𝑐𝑚 2 𝐼_𝐴𝐵 = 𝐼_𝐺 + 𝑀𝑙2 𝐼_𝐴𝐵 = 4 + 3.25 𝐼_𝐴𝐵 = 4 + 75 = 79 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2

Contoh - 5

Sebuah pintu terbuat dari logam, 40cm x 60cm, mempunyai massa 8kg dan diberi engsel pada salah satu sisi dengan panjang 60cm.

Hitunglah:

a. I terhadap XX, yaitu sumbu yang melalui pusat massa b. I terhadap garis yang melalui engsel, AB

Contoh - 5

Jawaban: Soal a 𝐼_𝐺 = 𝑀𝑑2 12 = 8.40 12 = 3200 12 =1067 kg cm 2 Soal b 𝐼_𝐴𝐵 = 𝐼_𝐺 + 𝑀𝑙2= 1067 + 8.202 _{= 1067 + 3200 = 4267 kg cm}2 Soal c Mk2 = I_AB ; 8k2=4267 ; k2 = 533,4 ; k=23,1 cm

Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)

Misalkan m adalah suatu massa kecil di P Maka I_X  σ 𝛿𝑚. 𝑦2

dan I_y  σ 𝛿𝑚. 𝑥2

Misalkan ZZ adalah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu XX dan YY

I_z = σ 𝛿𝑚. 𝑂𝑃 2

I_z = σ 𝛿𝑚. 𝑥2 + 𝑦2 2

I_z = σ 𝛿𝑚. 𝑦2 + σ 𝛿𝑚. 𝑥2 I_z = I_x + I_y

Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)

Dicari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu Ditetapkan bahwa 𝐼_𝑧 = 𝜋𝑟4𝜌

2 =

𝑀.𝑟2 2

Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang saling tegak lurus

Diketahui bahwa I_x + I_y = I_z = 𝑀.𝑟2

2

Dengan seluruh diameter identik  I_X = I_Y 2I_X = 𝑀.𝑟2

2 IX =

𝑀.𝑟2 4

Contoh - 6

Carilah I untuk sebuah cakram lingkaran berdiameter 40cm dan massa 12 kg

a. Terhadap sumbu normal (z)

b. Terhadap diameter sebagai sumbu

Contoh - 6

a. 𝐼_𝑧 = 𝑀.𝑟2 2 = 12.202 2 = 2400 kg cm 2 b. 𝐼_𝑋 = 𝑀.𝑟2 4 = 12.202 4 = 1200 kg cm 2 c. I_X = 1200 kg cm2

Dengan teorema sumbu sejjar I_T = I_{X +} Ml2

I_T = 1200 + 12.202

Kesimpulan - 1

1. 𝐼 = σ 𝑚𝑟2; Mk2_=I

2. Pelat empat-persegi-panjang ( = massa/ satuan luas) 𝐼_𝐺 = 𝑏𝑑3𝜌

12 =

𝑀𝑑2 12

Kesimpulan - 1

3. Cakram lingkaran 𝐼_𝑧 = 𝜋𝑟4𝜌 2 = 𝑀.𝑟2 2 𝐼_𝑥 = 𝜋𝑟4𝜌 4 = 𝑀.𝑟2 4

Kesimpulan - 1

4. Teorema sumbu-sumbu sejajar

Kesimpulan - 1

5. Teorema sumbu-sumbu tegak-lurus

Contoh - 7

Carilah I untuk batang berongga terhadap sumbu utamanya jika massa jenis benda adalah 0,008 kg.cm-3

Diperhatikan potongan dari batang, dengan jarak x dari sumbu Massa kulit  2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌 (kg)

Momen kedua terhadap XX ≈ 2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌. 𝑥2 ≈ 80𝜋𝜌𝑥3. 𝛿𝑥

Contoh - 7

Momen kedua total = σ_𝑥=4𝑥=8 80𝜋𝜌𝑥3. 𝛿𝑥

Jika x  0, 𝐼 = 80𝜋𝜌 ׬₄8 𝑥3 𝑑𝑥 = 80𝜋𝜌 𝑥4 4 4 8 𝐼 = 80𝜋𝜌 4 64 2 _{− 16}2 I = 20.48.80 = 20.48.80.0,008 I = 614,4 = 1930 kg.cm2

Pusat Tekanan

Tekanan pada sebuah titik P dengan kedalaman z di bawah permukaan suatu cairan

Sebuah cairan yang sempurna, tekanan di P, atau gaya dorong pada luas satuan P disebabkan

berat dari kolom cairan yang terletak setinggi z di atasnya

Tekanan P adalah p=wz, dengan w=berat dari volume satuan cairan. Dan tekanan P sama besar ke segala arah

Pusat Tekanan

dalam pembahasan ini tekanan atmosfer yang bekerja pada permukaan cairan diabaikan.

Maka, tekanan pada sembarang titik dalam cairan sebanding dengan kedalaman titik di bawah

Pusat Tekanan

Gaya dorong total pada sebuah pelat vertikal yang dicelupkan ke dalam cairan

Diperhatikan sebuah potongan tipis pada kedalaman z di bawah permukaan cairan

Tekanan pada P=wz

Gaya dorong pada potongan PQ  wz (luas potongan)

Pusat Tekanan

Total gaya dorong di seluruh pelat

≈ ෍ 𝑧=𝑑₁ 𝑧=𝑑₂

𝑎𝑤𝑧𝛿𝑧

Jika z  0, gaya dorong total = ׬_𝑑

1 𝑑₂ 𝑎𝑤𝑧𝑑𝑧 = 𝑎𝑤 𝑧2 2 𝑑₁ 𝑑₂ = 𝑎𝑤 2 𝑑2 2 _{− 𝑑} 12 Gaya dorong total = 𝑎𝑤

2 𝑑2 − 𝑑1 𝑑2 + 𝑑1 = 𝑤𝑎 𝑑₂ − 𝑑₁ 𝑑2+𝑑1

Pusat Tekanan

Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑₂ − 𝑑₁ 𝑑2+𝑑1 2 𝑑₂+𝑑₁

2 dinyatakan sebagai ҧ𝑧

Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑₂ − 𝑑₁ ҧ𝑧 = 𝑎 𝑑₂ − 𝑑₁ 𝑤 ҧ𝑧 𝑎 𝑑₂ − 𝑑₁ adalah luas total pelat, maka

Contoh - 8

Jika w adalah berat per volume satuan dari cairan, hitunglah gaya dorong total pada pelat a dan b berikut ini:

Contoh - 8

Pelat a

Luas = 6 x 8 = 48cm2

Tekanan di G = 7w

Contoh - 8

Pelat b

Luas = (10 x 6)/2 = 30 cm2

Tekanan di G = 6w

Pusat Tekanan

Jika pelat membentuk sudut  terhadap bidang horizontal, maka:

Kedalaman dari G = 𝑑₁ + 𝑏 2 sin 30 0 _{= 𝑑} 1 + 𝑏 4

Pusat Tekanan

Tekanan di G = 𝑑₁ + 𝑏

4 𝑤

Luas total = ab

Gaya Dorong Total = ab 𝑑₁ + 𝑏

4 𝑤

Bisa disimpulkan

Kedalaman Pusat Tekanan

Tekanan pada sebuah pelat yang dicelupkan bertambah terhadap kedalaman

Resultan gaya-gaya yang bekerja adalah sebuah gaya dengan magnitudo yang sama dengan gaya dorong total T, dan bekerja pada sebuah titik Z yang disebut pusat tekanan pelat.

Kedalaman Pusat Tekanan

Untuk mencari ҧ𝑧 diambil momen-momen gaya terhadap sumbu dimana bidang pelat memoton permukaan cairan. Dilihat sebuah pelat empat-persegi-panjang.

Kedalaman Pusat Tekanan

Luas potongan PQ = a.z

Tekanan permukaan PQ = zw

Gaya dorong potongan PQ = a.z.z.w

Momen gaya dorong terhadap sumbu pada permukaan adalah =awz.z.z = awz2_.z

Jumlah momen gaya pada seluruh potongan = σ_𝑑

1

𝑑₂

𝑎𝑤𝑧2𝛿𝑧 Jika z  0, jumlah momen = ׬_𝑑

1

𝑑₂

Kedalaman Pusat Tekanan

Gaya dorong total x ҧ𝑧 = jumlah momen dari seluruh gaya dorong න 𝑑₁ 𝑑₂ 𝑎𝑤𝑧 𝑑𝑧 𝑥 ҧ𝑧 = න 𝑑₁ 𝑑₂ 𝑎𝑤𝑧2𝑑𝑧 Gaya dorong total x ҧ𝑧 = w ׬_𝑑

1 𝑑₂ 𝑎𝑧2𝑑𝑧 = wI ҧ𝑧 = 𝑤𝐼 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑜𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑤𝐴𝑘2 𝐴𝑤 ҧ𝑧 Ӗ𝑧 = 𝑘 2 ҧ𝑧

Contoh – 9

Pada sebuah dinding penahan tanah yang memiliki bentuk persegi-panjang vertikal, 40m x 20m, dengan sisi atas dinding sama dengan tinggi

permukaan air. Carilah kedalaman dari pusat tekanan

Dalam soal ini ҧ𝑧 = 10m Mencari k2 _{terhadap AB}

Contoh – 9

Mencari k2 _{terhadap AB} 𝐼_𝐶 = 𝐴𝑑2 12 = 40.20.400 12 = 80000 3 m 4 𝐼_𝐴𝐵 = 𝐼_𝐶 + 𝐴𝑙3 = 80000 3 + 800.100 = 4 3 . 80000 Ak2_{= I ∴ 𝑘}2 ₌ 4 3 80000 800 = 400 3 Ӗ𝑧 = 𝑘2 ҧ 𝑧 = 40 3 = 13,33𝑚

Contoh – 10

Outlet dari sebuah tangki ditutup dengan penutup bundar yang tergantung secara vertikal. Diameter penutup = 1m dan bagian atas penutup berada 2,5m di bawah permukaan cairan. Carilah kedalaman pusat tekanan dari penutup.

a. Kedalaman sentroid = ҧ𝑧 = 3m b. Mendapatkan k2 _{terhadap AB}

Contoh – 10

𝐼_𝐶 = 𝐴𝑟2 4 = 𝜋 1 2 2 . 1 2 2 4 = 𝜋 64 𝐼_𝐴𝐵 = 𝜋 64 + 𝐴. 3 2 𝐼_𝐴𝐵 = 𝜋 64 + 𝜋 1 2 2 . 9 𝐼_𝐴𝐵 = 𝜋 64 + 9𝜋 4 = 145𝜋 4

Untuk tinjauan AB; k2₌𝐼𝐴𝐵

𝐴 = 145𝜋 4 . 4 𝜋 = 145 6 Ӗ𝑧 = 𝑘2 ҧ 𝑧 = 145 6 . 1 3 = 145 18 = 3,02m