INTEGER LINEAR PROGRAMMING

(1)

PENELITIAN OPERASIONAL I

(TIN 4109)

Lecture 9

INTEGER LINEAR

PROGRAMMING

Lecture 9 (Part 1)

• Outline:

– Integer Linear Programming: Introduction

• References:

– Frederick Hillier and Gerald J. Lieberman. Introduction to

Operations Research. 7th ed. The McGraw-Hill Companies,

Inc, 2001.

– Hamdy A. Taha. Operations Research: An Introduction. 8th

Edition. Prentice-Hall, Inc

, 2007.

– Sriram, Sankaranarayanan. Computer Science, University

of Colorado, Boulder. Http/www.coursera.org.

– Winston, Wayne L. Operations Research: Applications and

Algorithms. 3rd edition. Wadsworth Inc.1994.

INTRODUCTION

INTEGER PROGRAMMING

Integer Linear Programming

(ILP)

• Untuk permasalahan optimasi dengan beberapa

atau semua variabel keputusan bernilai bulat

(integer).

• Tidak dapat diselesaikan langsung dengan

metode simpleks karena adanya beberapa atau

semua variable yang berupa bilangan bulat

melanggar salah satu asumsi metode simpleks

(semua variable keputusan adalah bilangan real /

tidak harus bulat).

Integer Linear Programming

Feasible Region: Z-Polyhedron (n dimensional) Integrality

Constraint Integrality Constraint

(2)

Integer Linear Program

• Feasibility of ILP:

– Integer feasible solution.

• Unbounded ILP:

– Integer feasible solutions

can achieve arbitrarily

large values for the objective.

Linear Programming Relaxation

Q: What happens to the answer if we take away the integrality constraints?

Feasible Regions

ILP feasible region LP feasible region

Case-1: Both LP and ILP are feasible.

Opt. Solution of ILP

Opt. Solution of LP relaxation

Case-I

Optimal Objective of ILP ≤ Optimal solution of LP

relaxation.

Opt. Solution of ILP

Case-II: LP relaxation is feasible, ILP is

infeasible.

0 1

0.3 0.5 ILP is infeasible.

(3)

Case III: ILP is infeasible, LP is

unbounded.

Example:

0.3 0.5 ILP is infeasible. LP relaxation is unbounded

ILP outcomes vs. LP relaxation

outcomes

Infeasible

Unbounded Optimal

Infeasible

Possible

Impossible

Unbounded

Possible

Possible (*)

Optimal

Possible

Impossible

Possible

Integer Linear Program (ILP)

LP Relaxation

(*) Impossible if ILP has rational coefficients (*) Impossible if ILP has

rational coefficients

Klasifikasi ILP

Integer programming dapat diklasifikasikan menjadi empat

(berdasarkan banyaknya variable keputusan yang bernilai bulat):

1)

Pure Integer Programming

semua variable keputusan harus bernilai bilangan bulat

2)

Mixed Integer Programming (MIP)

tidak semua variable keputusan berupa bilangan bulat

3)

Binary Integer Programming (BIP)

semua variable keputusan memiliki nilai berupa bilangan biner

(0 atau 1).

4)

Mixed Binary Integer Programming (MBIP)

Jika beberapa variable keputusan memiliki nilai biner,

beberapa variable keputusan memiliki nilai integer dan

sisanya memiliki nilai real (boleh pecahan).

Integer linear Programming

Permasalahan yang mengharuskan variabel keputusan bernilai integer

diantaranya adalah

 Investasi

 Multiperiode Budgeting  Routing

 Knapsack  Vehicle Loading  Set Covering  Scheduling  Mixed Product  Location  Distribution  Assignment  Transportasi  ….

Penjadwalan Pekerja (Scheduling)

• Bank Swasta buka mulai jam 9 pagi sampai dengan jam 5 sore. Banyaknya

konsumen yang datang ke bank cukup bervariasi sehingga banyaknya teller yang diperlukan pada setiap jam juga berbeda. Teller merupakan tenaga outsourcing, pihak bank bisa menentukan pada jam berapa teller tersebut harus mulai bekerja. Setiap teller bekerja selama 5 jam sehari. Tentukan banyaknya setiap teller yang harus masuk pada setiap jam supaya biaya yang dikeluarkan bank minimal !

Periode Jumlah teller yang diperlukan 9 – 10 10 10 – 11 12 11 – 12 14 12 – 1 16 1 – 2 18 2 - 3 17 3 – 4 15 X5 X4 X3 X2 X1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Xi: banyaknya teller yang mulai masuk kerja pada jam ke i

(4)

Penjadwalan Pekerja (Scheduling)

• Pengelola obyek wisata pantai sedang merencanakan untuk melakukan perekrutan

lifeguard. Lifeguard bertugas untuk membantu pengunjung obyek wisata yang mengalami kesulitan misalnya kecelakan yang membahayakan jiwa, menjadi korban tindak kejahatan, kehilangan barang, terpisah dari keluarga dan lain-lain. Pada hari-hari libur pantai selalu ramai dikunjungi oleh wisatawan sedangkan pada hari-hari kerja pantai realtif tidak ramai. Hal ini menyebabkan banyaknya lifeguard yang diperlukan juga berbeda.

• Lifeguard bekerja lima hari dalam seminggu • Tentukanlah banyaknya lifeguard yang harus direkrut!

senin Selasa rabu Kamis Jumat sabtu Minggu

5 4 4 6 6 9 12

Capital Budgeting

• Punya uang utk investasi Rp 14.000.000.

• Ada 4 jenis kesempatan investasi :

– Investasi 1 : butuh Rp 5.000.000 , akan berkembang mjd Rp 8.000.000 – Investasi 2 : butuh Rp 7.000.000 , akan berkembang mjd Rp

11.000.000

– Investasi 3 : butuh Rp 4.000.000 , akan berkembang mjd Rp 6.000.000 – Investasi 4 : butuh Rp 3.000.000 , akan berkembang mjd Rp 4.000.000

Capital Budgeting

Model ILP :

x

i

= investasi ke i , i=1,2,3,4

x

i

= 0 jika tidak mengambil investasi i

= 1 jika mengambil investasi i

Maksimasi :

Z = 8x

1

+ 11x

2

+ 6x

3

+ 4x

4

Kendala :

5x

1

+ 7x

2

+ 4x

3

+ 3x

4

≤ 14

x

i

 {0,1} , i = 1,2,3,4

Capital Budgeting

• Apabila ditambah kendala :

– Kita hanya dapat membuat paling banyak dua investasi – Jika investasi 2 diambil, maka investasi 4 juga diambil – Jika investasi 1 diambil, maka investasi 3 tidak dapat diambil

• Model matematikanya :

Maksimasi : Z = 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4 Kendala : 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14 x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2 x2 – x4 ≤ 0 x1 + x3 ≤ 1 xi  {0,1} , i = 1,2,3,4

Multiperiod Capital Budgeting

• Terdapat 4 pilihan investasi yaitu investasi 1,2,3 dan 4. Dana yang

dibutuhkan dan laba yang dihasilkan oleh masing-masing investasi adalah sebagai berikut:

• Dana yang dimiliki oleh perusahaan dalam tiga periode ke depan adalah 30,35 dan 40

.

• Investasi manakan yang seharusnya dipilih?

Dana yang dibutuhkan

Investasi A B C D Periode 1 7 8 7 4 Periode 2 5 11 4 4 Periode 3 6 6 4 4 Total Laba 15 20 13 12

Knapsack Problem

• Terdapat 7 jenis barang, setiap jenis barang mempunyai

ukuran dan keuntungan yang berbeda sbb :

• Alat angkut hanya mampu mengangkut 40 m

3

_{, barang}

manakah yang seharusnya diangkut?

Barang

ke- 1 2 3 4 5 6 7

Ukuran 5 7 4 3 4 3 7

(5)

Vehicle Loading

• Alat angkut (truck) memiliki batas maksimal muatan yang bisa diangkut. Batas maksimal muatan dibatasi oleh volume dan berat. Jika truck digunakan mengangkut benda dengan berat jenis yang relatif kecil maka batas angkutan akan ditentukan oleh volume dan sebaliknya.

• Berat maksimal yang bisa diangkut oleh truck adalah 2000 kg dan volume 1000 m3

• Tentukan produk mana yang seharusnya diangkut oleh truck supaya mendapatkan laba maksimal!

Item

1 2 3 4 5 6 Laba $15,500 $14,400 $10,350 $14,525 $13,000 $9,625 Berat(kg) 500 450 300 350 400 350 Volume(m3) 125 64 144 218 280 180

Pemilihan Lokasi Pabrik

• Perusahaan berencana untuk mendirikan satu atau beberapa pabrik untuk memenuhi permintaan produk pada berbagai daerah (pasar). Terdapat 4 lokasi dimana pabrik dapat dibangun dan terdapat 12 pasar yang harus dipenuhi oleh perusahaan. Produk akan langsung dikirim dari pabrik ke pasar.

• Biaya untuk mendirikan pabrik dan kapasitas pabrik di masing-masing lokasi adalah sebagai berikut:

• Biaya untuk mengirim barang dari suatu pabrik ke pasar adalah sebagai berikut

• Tentukan dimanakah pabrik harus dibangun dan berapa pabrik yang harus dibangun??

A B C D Biaya Investasi 1000 1500 700 400 Kapasitas 2000 4000 1000 900 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 3 4 1 2 3 5 5 2 3 4 5 5 B 6 6 4 5 7 3 4 1 2 4 4 4 C 4 2 3 5 4 5 4 3 6 5 4 3 D 5 5 2 3 4 5 5 6 2 3 5 5 Permintaan 500 200 400 100 600 400 200 250 200 300 220 100

Diet

Kebutuhan : energy(2000kcal), protein(55g), calcium(800mg)

Food Serving size Energy (kcal) Protein (g) Calcium (mg) Price per serving (cents) Max serving allowed Oatmeal 28g 110 4 2 3 4 Chicken 100g 205 32 12 24 3 Eggs 2 large 160 13 54 13 2 Wholemilk 237cc 160 8 285 9 8 Cherry pie 170g 420 4 22 20 2 Pork with beans 260g 260 14 80 19 2

Formulasi

6 5 4 3 2 1

24

13

9

20

19

3 :

Minimisasi

x



x



x



x



x



x

Pembatas: 2 0 2 0 8 0 2 0 3 0 4 0 6 5 4 3 2 1             x x x x x x 800 80 22 285 54 12 2 55 14 4 8 13 32 4 2000 260 420 160 160 205 110 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1                  x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Blending

• Perusahaan eaglefood akan memproduksi cereal dalam kemasan sebesar 2 pound. Cereal yang diproduksi harus memenuhi kebutuhan gizi dalam sehari. Kebutuhan gizi dalam sehari dapat dilihat dalam tabel berikut ini:

• Terdapat tiga alternatif bahan baku yang dapat digunakan, bahan baku tersebut bisa dicampur untuk memproduksi cereal.

• Tentukan bagaimana perbandingan(komposisi) bahan baku A, B dan C dalam cereal sehingga biaya untuk memproduksi cereal minimum!

Grain

Minimum Daily Requirement A B C

Harga per pound 3300 4700 3800 Protein per pound 22 28 21 3 Riboflavin per pound 16 14 25 2 Phosphorus per pound 8 7 9 1 Magnesium per pound 5 0 6 0.425

• Perusahaan Dorian automotif memproduksi 3 tipe model mobil yaitu ; compact (kecil), midsize (menengah), dan large (besar).

• Ada 6 ton baja dan 60,000 jam kerja tersedia

• Jika suatu tipe mobil diproduksi, maka mobil itu harus diproduksi paling sedikit 1,000 unit mobil

• Data produksi seperti terlihat di tabel bawah ini:

• Formulasikan permasalahan perencanaan produksi tersebut untuk

memaksimumkan profit.

Compact Midsize Large

Kebutuhan baja 1.5 ton 3 ton 5 ton

Kebutuhan jam tenaga kerja 30 jam 25 jam 40 jam

Profit $2000 $3000 $4000

(6)

Model

Variabel keputusan

• xi = jumlah mobil tipe ke-i yang diproduksi • yi = 1 jika mobil tipe ke-i diproduksi, dan yi=0 jika tidak Formulasi : Maks z = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 Subject to: x1 ≤ M y1 x2 ≤ M y2 x3 ≤ M y3 1000 – x1 ≤ M (1 – y1) 1000 – x2 ≤ M (1 – y2) 1000 – x3 ≤ M (1 – y3) 1.5 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 6000 30 x1 + 25 x2 + 40 x3 ≤ 60000 x1, x2, x3 ≥ 0 dan integer y1, y2, y3 = 0 atau 1

Set Covering

• Propinsi sukolilo mempunyai 6 kota

• Pemerintah berencana untuk membangun kantor pusat pemadam kebakaran. Pada kantor pusat pemadam kebakaran akan ditempatkan kendaraan pemadam kebakaran, peralatan pemadam kebakaran dan personelnya, sehingga jika ada kebakaran maka petugas akan berangkat dari kantor pusat pemadam kebakaran menuju lokasi kebakaran.

• Petugas tidak boleh mencapai lokasi kebakaran lebih dari 15 menit (waktu tempuh) dari stasiun pemadam kebakaran.

• Waktu yang dibutuhkan dari kota yang satu ke kota yang lain adalah sebagai berikut.

• Tentukan dimanakah kantor pusat pemadam kebakaran harus dibangun supaya banyaknya kantor yang harus dibangun tidak banyak(minimal) sehingga dana APBD bisa dihemat untuk dialokasikan pada bidang lain? Kota ke- 1 2 3 4 5 6 1 0 10 20 30 30 20 2 10 0 25 35 20 10 3 20 25 0 15 30 20 4 30 35 15 0 15 25 5 30 20 30 15 0 14 6 20 10 20 25 14 0

Set Covering

• Sebuah kota dapat dicover oleh stasiun pemadam kebakaran jika jarak tempuhnya tidak lebih dari 15 menit

• Covering set untuk setiap kota Kota Covering sets (15 menit)

1 1,2 2 1,2,6 3 3,4 4 3,4,5 5 4,5,6 6 2,5,6

Set Covering

Variabel keputusan :

xi = 1 jika dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i

= 0 jika TIDAK dibangun stasiun pemadam kebakaran pada kota-i Fungsi tujuan : Minimum Z= x1+ x2+ x3+ x4+ x5 + x6 Fungsi pembatas: x1+x2≥ 1 x1+x2 + x6 ≥ 1 x3+x4 ≥ 1 x3+x4+x5 ≥ 1 x4+x5+x6 ≥ 1 x2+x5+x6 ≥ 1

Pak Ali harus menugaskan stafnya untuk mengerjakan tugas-tugas pada divisinya. Pak Ali memiliki 5 staf yaitu Rita, Tari, Rani, Nira, Tara. Divisi pak ALi harus menyelesaikan 5 tugas. Pak Ali menemui kesulitan dalam menugaskan kelima stafnya karena Rita tidak mempunyai keahlian dalam mengerjakan tugas 2 sedangkan Tari tidak mampu mengerjakan tugas 1. Biaya menugaskan setiap staff adalah berbeda beda karena untuk bisa menyelesaikan tugas dengan baik, staff seringkali harus mendapatkan pelatihan dan biaya akomodasi yang berbeda beda. Biaya menugaskan setiap staff untuk mengerjakan satu tugas adalah sebagai berikut:

Bagaimanakah cara menugaskan kelima staff tersebut supaya biaya yang harus dikeluarkan perusahaan minimal? Staff Tugas 1 2 3 4 5 Rita 4 10 6 5 Tari 5 1 5 10 Rani 3 5 8 4 7 Nira 4 2 7 1 10 Tara 8 8 2 10 5

Assignment (Penugasan)

• PT. Jaya Selalu membeli tiga buah mesin baru. Tiga mesin tersebut dapat ditempatkan pada empat lokasi yang tersedia dalam pabrik. Penempatan mesin-mesin tersebut harus mempertimbangkan workflow (aliran produk dalam proses pengerjaan) mesin-mesin tersebut dengan stasiun kerja lain. Sebagai manajer produksi anda harus menentukan penempatan mesin-mesin tersebut yang bisa meminimalkan biaya material handling. Biaya penempatan masing-masing mesin pada setiap lokasi adalah sebagai berikut.

• Mesin 2 tidak boleh ditempatkan pada lokasi 2, karena lokasi 2 dengan tangki bahan bakar dan mesin dua merupakan mesin Oven yang selalu bersuhu tinggi.

Lokasi 1 2 3 4 Assignee (Mesin) 1 13 16 12 11 2 15 - 13 20 3 5 7 10 6

(7)

Cutting Stock(1)

PT. Kayubagus menjual kayu batangan untuk berbagai keperluan. Kayu batangan yang dijual oleh PT.Kayubagus memiliki panjang 4 meter, 6 meter dan 8 meter. Perusahaan yang memasok kayu ke PT.Kayubagus mengirimkan kayu dengan panjang 18 meter sehingga sebelum dijual kayu-kayu tersebut harus dipotong terlebih dahulu. Dalam memotong kayu-kayu tersebut PT.Kayubagus menetapkan 7 pola pemotongan sebagai berikut:

Jika misalnya PT.kayubagus menerima satu order saja dan order tersebut meminta 100 batang kayu dengan panjang 6 meter maka PT.Kayubagus akan memotong persediaan kayunya yang memiliki panjang 18 meter dengan pola pemotongan 6 sehingga tidak ada limbah sama sekali (tidak ada sisa kayu yang harus dibuang).

Pola Pemotongan 4 meter 6 meter 8 meter Sisa (limbah) 1 4 0 0 2 2 3 1 0 0 3 2 0 1 2 4 1 2 0 2 5 1 1 1 0 6 0 3 0 0 7 0 0 2 2

Cutting Stock(2)

PT.Kayubagus menerima order dari berbagai konsumen dengan panjang dan jumlah yang berbeda-beda, misalnya jika PT.kayubagus menerima order 100 batang dengan panjang 4 meter, 50 batang dengan panjang 6 meter, dan 25 batang dengan panjang 8 meter. Berapa banyaknya batangan kayu (yang memiliki panjang 18 meter) yang harus dipotong dengan pola pemotongan 1? Pola pemotongan 2? Pola pemotongan 3? dan seterusnya supaya banyaknya sisa pemotongan(limbah) sesedikit mungkin.

Pemilihan kombinasi pola pemotongan akan menentukan banyaknya sisa pemotongan(limbah kayu) yang dibuang atau dengan kata lain pola pemotongan harus dipilih sedemikian rupa sehingga sisa pemotongan (limbah kayu) menjadi sesedikit mungkin.

Distribusi

• Sebuah perusahaan Air Cargo memiliki 8 pesawat tipe 1, 15 pesawat tipe 2, dan sebelas pesawat tipe 3. Pesawat tipe 1 mampu mengangkut barang seberat 45 ton, pesawat tipe 2 mampu mengangkut barang seberat 7 ton dan pesawat tipe 3 hanya mampu mengangkut 5 ton.

• Hari ini perusahaan harus mengirim barang seberat 20 ton ke kota A dan 28 ton ke kota B. Setiap pesawat hanya bisa terbang sekali dalam sehari. • Biaya menerbangkan pesawat dari terminal (bandara) ke kota A dan B

adalah sebagai berikut:

• Pesawat manakah yang harus terbang? Dan kemanakah tujuannya?

Pesawat 1 Pesawat 2 Pesawat 3

Kota A 23 15 2

Kota B 58 20 3

Latihan 1

Perusahaan A adalah perusahaan yang bergerak pada bisnis rumah makan cepat saji

(fast food). Perusahaan ini berkembang dengan pesat sehingga berencana untuk

membuka cabang baru di beberapa kota besar di Indonesia termasuk Surabaya. Di kota Surabaya terdapat delapan lokasi potensial yang dapat dipilih oleh perusahaan. Lokasi cabang yang dipilih harus bisa memastikan bahwa jika ada konsumen yang memesan maka pesanan harus sudah sampai ke konsumen tidak lebih dari 30 menit setelah pesanan diterima.Diperlukan 10 menit untuk menyiapkan pesanan konsumen. Perusahaan berusaha untuk membuka cabang sesedikit mungkin namun bisa mengcover semua permintaan di kota Surabaya. Berikut data lokasi dan waktu tempuh ke setiap daerah.

ke- 1 2 3 4 5 6 7 1 0 10 20 12 20 15 14 2 10 0 25 35 20 10 23 3 20 25 0 15 15 20 17 4 12 35 15 0 15 25 20 5 20 20 15 15 0 14 25 6 15 10 20 25 14 0 24 7 14 23 17 20 25 24 0

Modelkan masalah tersebut!

Latihan 2

Selain waktu tempuh, perusahaan juga memilih lokasi berdasarkan besarnya kapasitas cabang dan besarnya permintaan pada setiap lokasi. Kapasitas cabang yang bisa didirikan disetiap daerah dan permintaan adalah sebagai berikut: Lokasi Kapasitas Permintaan

1 2000 4000 2 1500 3000 3 3000 1000 4 2000 1000 5 2500 1500 6 2000 2000 7 1000 1000

a) Modifikasi model anda!

b) Tentukan nilai-nilai parameter yang bisa anda coba untuk melakukan validasi! c) Tentukan solusi dari nilai-nilai parameter yang anda cobakan tadi berdasarkan