UNIT KEGIATAN BELAJAR MANDIRI FUNGSI EKSPONENSIAL

UNIT KEGIATAN BELAJAR

UNIT KEGIATAN BELAJAR MANDIRI

FUNGSI EKSPONENSIAL

1. Identitas

a. Nama Mata Pelajaran

: Matematika Peminatan

b. Semester

: 1

c. MateriPokok

: Penerapan Fungsi Logaritma

d. AlokasiWaktu

: 2 x 3 jam pelajaran

e. Kompetensi Dasar

:

f. TujuanPembelajaran:

UKBM MTKP-3.1/4.1/1

3.1 Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan

fungsi

logaritma

menggunakan

masalah

kontekstual,

serta

keberkaitannya

4.1 Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi

eksponensial dan fungsi logaritma

Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran

Problem Based Learning dan metode diskusi, tanya jawab, penugasan dan

presentasi, kalian dapat menjelaskan konsep logaritma berkaitan dengan

konsep eksponen, merubah bentuk eksponen menjadi bentuk logaritma dan

sebaliknya, menggunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan

bentuk-bentuk logaritma, menghitung nilai fungsi logaritma, menjelaskan

karakteristik grafik fungsi logaritma, menyelesaikan masalah berkaitan dengan

persamaan logaritma, menyelesaikan masalah berkaitan dengan pertidaksamaan

logaritma Menggambar grafik fungsi logaritma, mengidentifikasikan masalah

yang berkaitan dengan fungsi logaritma, menyajikan masalah yang berkaitan

dengan fungsi logaritma, menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi

logaritma dengan mengembangkan sikap religius, penuh tanggung jawab,

bekerja keras, serta dapat mengembangkan kemampuan berpikir kritis,

g.

Peta Konsep

h. Materi Pokok : Penerapan Fungsi Logaritma i. Alokasi Waktu : 6 JP ( 6 x 45 menit )

j. Pertemuan Ke : 1 dan 2

k. Materi Pembelajaran Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = ax_{, dengan a> 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi} korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a> 1) pada gambar di bawah ini. Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma

dengan basis a dan didefinisikan

dengan f(x) = a_{log x.}

Eksponensial

Fungsi Eksponensial

Aplikasi Fungsi Eksponensial

Persamaan Eksponensial

Pertidaksamaan Eksponensial

Dari gambar di samping dapat dipahami bahwa y = f(x) sehingga f-1_{(y) = x atau f}-1_{(x) = y. Definisi}

ini membawa kita kepada definisi fungsi logaritma sebagai berikut : Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1, maka Fungsi

logaritma dengan basis a,

didefinisikan dengan

f(x) =

a

log x

Sehingga

a

log x merupakan

2. Kegiatan Pembelajaran

a. Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan anda membaca dan memahami cerita di bawah ini.

Sejarah penemuan Sinar Radioaktif

Di alam terdapat zat-zat yang bersifat radioaktif. Hal ini diyakinikeberadaannya berkat penemuan zat radioaktif oleh W.C. Rontgen, ahli fisika dari jerman pada tahun 1895. Rontgen menemukan pancaran radiasi yang mengakibatkan fluoresensi ketika arus elektron (katode) menumbuk suatu partikel tertentu. Rontgen menamai radiasi tersebut sebagai sinar X.

Setahun kemudian, pada tahun 1896 Antonie Henry Becquerel, kimiawan dari Prancis menemukan garam kalium uranil sulfar (K2OU2(So4)2). Garam ini dapat mengeluarkan radiasi secara spontan. Penemuan ini mengungkapkan tentang adanya radioaktivitas. Radioaktivitas adalah gejala pemancaran radiasi zat radioaktif secara spontan. Sementara itu, sinar radiasi yang dipancarkan disebut sinar radioaktif. Pada tahun 1898, suami istri Marie Curie dan Pierre Curie Marie Curie merasa tertarik dengan temuan Becquerel, selanjutnya dengan bantuan suaminya Piere Curie berhasil memisahkan sejumlah kecil unsur baru dari beberapa ton bijih uranium. Unsur tersebut diberi nama radium. Pasangan Currie melanjutkan penelitiannya dan menemukan bahwa unsur baru yang ditemukannya tersebut telah terurai menjadi unsur-unsur lain dengan melepaskan energi yang kuat yang disebut radioaktif.Pada tahun 1903, Ernest Rutherford, fisikawan dari selandia menjelaskan bahwa inti atom yang tidak stabil (radionuklida) meng-alami peluruhan radioaktif. Partikel-partikel kecil dengan kecepatan tinggi dan sinar-sinar menyebar dari inti atom ke segala arah. Para ahli kimia memisahkan sinar-sinar tersebut ke dalam aliran yang berbeda dengan menggunakan medan magnet. Dan ternyata ditemukan tiga tipe radiasi nuklir yang berbeda yaitu sinar alfa, beta, dan gamma. Semua radionuklida secara alami memancarkan salah satu atau lebih dari ketiga jenis radiasi tersebut

Dalam proses peluruhan dari suatu zat radioaktif memerlukan waktu yang

disebut dengan waktu paruh, yaitu waktu yang diperlukan bagi zat

radioaktifuntuk berkurang menjadi separuh dari jumlah semula. Setiap unsur

radioaktif mempunyai waktu paruh yang sudah tertentu.

Berdasarkan data waktu paruh untuk suatu radioisotop dapat dihitung jumlah

radioisotop tersebut yang masih tersisa dalam selang waktu tertentu ( waktu

paruh ) yaitu sebagai berikut :

Keterangan :

N

t

= jumlah zat yang tersisa setelah waktu peluruhan

N

o

= jumlah zat mula-mula

T = waktu peluruhan

t

= waktu paruh

Sumber : http://unsur-unsur-radioaktif.blogspot.co.id/

Secara kontektual perhatikan contoh berikut :

Seorang peneliti fosil menemukan kandungan karbon radioaktif pada fosil

kayu yang ditelitinya. Unsur radioaktif tersebut tersisa kira-kira 1/16 dari

asalnya. Jika diketahui waktu paruh karbon radioaktif tersebut adalah 5600

tahun, dapatkah anda menentukan berapa tahun usia fosil kayu tersebut.

b. Kegiatan Inti

1)

Petunjuk Umum UKB

a) Baca dan pahami materi yang ada dalam UKB ini;

b) Setelah memahami isi materidalam bacaan berlatihlah untuk berfikir

tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja

sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya;

c) Kerjakan UKB ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan;

d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjutmelalui kegiatan ayo

berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan

permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar1kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes

formatifagar kalian dapat belajar ke UKB berikutnya.

2)

Kegiatan Belajar

Ayo! ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi. Anda pasti bisa !

Kegiatan Belajar 1

Perhatikan grafik di bawah ini !

Grafik di atas menggambarkan proses peluruhan suatu zat radiaoktf, sebagai contoh dalam menggambarkan Fungsi Logaritma. Untuk mengetahui sisa zat radioaktif tersebut setelah sekian periode waktu paruh, dapat ditentukan dengan rumus yang sudah dikenal pada bidang kimia seperti pada bagian pendahuluan di atas yaitu :

Pada grafik peluruhan di atas sisa zat radioaktif setelah peluruhan ditentukan dengan rumus :

Sehingga sisa zat setelah peluruhan ( Nt ) ditentukan waktu peluruhan ( T )

dengan waktu paruh 2 satuan waktu, seperti pada tabel di bawah ini :

Fungsi di atas merupakan bentuk Fungsi Eksponen seperti yang anda pelajari pada UKB sebelumnya. Jika kita akan menentukan waktu peluruhan dengan diketahui sisa zat radioaktif, maka dapat kita lakukan dengan menentukan invers Fungsi Eksponen tersebut menjadi Fungsi Logaritma sebagai berikut :

Keterangan :

N

t

= jumlah zat yang tersisa setelah waktu peluruhan

N

o

= jumlah zat mula-mula

T = waktu peluruhan

t

= waktu paruh

Sehingga waktu peluruhan pada grafik di atas dapat ditentukan dengan rumus

jika sisa zat radioaktif diketahui, seperti pada tabel di bawah ini :

Nt 4 2 1 ½ ¼ 1/8 1/16 1/32 …

No 4 4 4 4 4 4 4 4 …

t 2 2 2 2 2 2 2 2 …

T 0 2 4 6 8 10 12 14 …

Tabel ini menunjukkan hitungan waktu peluruhan jika sisa zat radioaktif diketahui.

Jadi bentuk fungsi waktu peluruhan di atas merupakan bentuk identik Fungsi Logaritma : f(x) = a_{Log x , dengan 0< a < 1}

Masalah peluruhan zat radioaktif di atas merupakan salah satu contoh pene-rapan Fungsi Logaritma. Penepene-rapan pada bidang-bidang lain cukup banyak kita dapatkan seperti pada bidang Biologi. Pada bidang Biologi, Logaritma digunakan salah satunya adalah untuk menghitung waktu pada laju pertumbuhan penduduk. Pada bidang Ekonomi, anda akan menggunakan Logaritma ketika anda mempelajari tentang bunga majemuk.

Ayoo berlatih!

Setelah kalian memahamiuraian singkat materi dan contoh di atas, maka untuk memperkuat kompetensi anda, maka selesaikan soal latihan berikut :

1) Tentukan nilai Fungsi Logaritma di bawah ini untuk nilai x yang diberikan: a. f(x) = 2x _{untuk x = 3}

b. f(x) = 3-x _{untuk nilai x = 2}

c. f(x) = (¼)x _{untuk nilai x = -2}

d. f(x) = 3-x _{untuk nilai x = ½}

2) Tentukan nilai x jika diberikan nilai Fungsi Logaritma di bawah ini ! a. f(x) = (½)-x _{jika f(x) = 16}

T 0 2 4 6 8 10 12 14 …

Jadi usia fosil kayu adalah 22400 Tahun

b. f(x) = 3-x _{jika f(x) = 27}

c. f(x) = (1/5)x_{jika f(x) = 125}

d. f(x) = 4x _{jika f(x) = 32}

Apabila andatelah mampu menyelesaikan masalah terkait Fungsi Logaritma, maka anda dapat melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

Kegiatan Belajar 2

Setelah anda belajar tentang penyelesaian Fungsi Logaritma pada contoh kegiatan belajar 1, sekarang perhatikan uraian pembelajaran berikut!

Bacalah dan pelajari secara seksama, Jika sudah memahami, lanjutkan pada kegiatan ayo berlatih berikutnya.

Perhatikan contoh (1) masalah kontekstual yang ada pada pendahuluan UKB ini dan mari kita berikan penyelesaiannya.

Seorang peneliti fosil menemukan kandungan karbon radioaktif pada fosil kayu

yang ditelitinya. Unsur radioaktif tersebut tersisa kira-kira 1/16 dari asalnya.

Jika diketahui waktu paruh karbon radioaktif tersebut adalah 5600 tahun,

dapatkah anda menentukan berapa tahun usia fosil kayu tersebut

Sebelum kita menyelesaikan permasalahan tersebut, kita perlu menerjemahkannya kedalam model matematika dalam bentuk Fungsi Logaritma. Diketahui :

- Sisa Zat radioaktif ( Nt ) : 1/16 dari semula

- Waktu paruh Karbon ( t ) : 5600 tahuin - Ditanya usia fosil / waktu peluruhan : T

Penyelesaian :

Ayo berlatih!!

Setelah memahamicontoh di atas, maka selesaikanlah soal latihan berikutdengan topik yang berbeda dengan contoh di atas, di buku kerja anda !

Soal Latihan 1.

Pak Andi menabung uang di bank sebesar Rp. 2.000.000,00 dan mendapatkan bunga majemuk 20 % per tahun. Pada saat pak Andi meninggal dunia tidak mewasiatkan adanya tabungan tersebut kepada anak-anaknya dan hanya

meninggalkan kartu ATM beserta pinnya. Suatu ketika anaknya memeriksa saldo ATM dari tabungan pak Andi tersebut dan menunjukkan jumlah tabungannya sekarang sebesar Rp. 4.976.640,00. Dengan bantuan Fungsi Logaritma, dapatkah anda mengetahui sudah berapa lama pak Andi menabung uang tersebut.

Soal Latihan 2.

Kekuatan gempa bumi paling besar di abad moderen terjadi di Chilli pada tanggal 22 Mei 1960 dan diukur 9.5 pada skala Reichter. Sementara itu gempa bumi yang melanda Sumatra Utara pada tanggal 28 Maret diukur 8.7 pada skala Reichter. Dapatkah anda menghitung berpa kali lebih kuat gempa bumi yang terjadi di Chilli dan Sumatra Utara tersebut? ( Petunjuk Intensitas Gempa dihitung dengan :

c. Penutup

Bagaimana kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1 dan 2, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah anda telah dapat menjelaskan tentang Fungsi _{Logaritma ?} 2. Dapatkah anda menentukan penyelesaian _{permasalahan terkait Fungsi Logaritma ?}

3. Dapatkah anda menyajikan masalah kontekstual ke _{dalam bentuk Fungsi Logaritma ?} 4. Dapatkah anda menyelesaikan masalah kontektual _{yang berkaitan dengan konsep Fungsi Logaritma ?}

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar terkait, yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!.Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

Dimana posisimu?

Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Penerapan Fungsi Logaritma dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Penerapan Fungsi Logaritma,lanjutkan kegaitan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!. Setelah menyelesaikan soal-soal di atas dan mengikuti kegiatan belajar1 dan 2,danpenyelesaian permasalahan kontekstual yang ada dalam IKB ini,Silahkan anda berdiskusi dengan teman sebangku atau teman lain. Kemudian tuliskan permasalahan anda yang belum terselesaikan untuk didiskusikan dengan Guru atau teman anda di buku kerja anda.

Ini adalah bagian akhir dari UKB materi Penerapan Fungsi Logaritma, mintalah tes formatif kepada Guru sebelum belajar keUKB berikutnya.