PENJADWALAN MATA KULIAH MAYOR-MINOR:
STUDI KASUS DI FMIPA IPB
NUR APRIANDINI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
2
ABSTRAK
NUR APRIANDINI. Penjadwalan Mata Kuliah Mayor-Minor: Studi Kasus di FMIPA IPB.
Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan FARIDA HANUM.
Kurikulum mayor-minor telah diberlakukan selama enam tahun di Institut Pertanian Bogor (IPB). Selama pemberlakuan kurikulum ini, ditemukan beberapa masalah, salah satunya ialah masalah jadwal mata kuliah mayor dan minor yang tumpang tindih. Hal ini menjadi permasalahan utama dalam pengimplementasian kurikulum mayor-minor, sebab mahasiswa dengan mayor tertentu tidak dapat mengambil mata kuliah minor yang dipilihnya, karena ada mata kuliah mayor dan mata kuliah minor (yang harus diambil) dijadwalkan pada waktu yang sama.
Karya ilmiah ini membahas masalah penjadwalan mata kuliah mayor-minor. Permasalahan ini dimodelkan sebagai suatu masalah pemrograman linear integer. Model ini diimplementasikan pada kasus penjadwalan di FMIPA IPB. Dalam membangun model, pada tahap awal diidentifikasi semua persyaratan yang harus dipenuhi dalam penjadwalan mata kuliah mayor-minor. Semua persyaratan ini kemudian diformulasikan menjadi bentuk persamaan dan atau pertidaksamaan linear. Fungsi objektif yang digunakan adalah meminimumkan tingkat penolakan dari dosen terhadap hari dan periode waktu mata kuliah tertentu. Untuk penyederhanaan, model ini menggunakan beberapa asumsi, sebagai contoh, ruang kuliah bersifat homogen (kapasitas, peralatan, dan sebagainya). Model ini dapat dikembangkan kemudian dengan melonggarkan asumsi tersebut. Solusi model ini diperoleh dengan menggunakan software LINGO 11.0.
Penelitian ini menghasilkan sebuah jadwal mata kuliah yang memenuhi syarat-syarat penjadwalan mata kuliah mayor-minor di FMIPA IPB. Jadwal ini meminimumkan tingkat penolakan dosen terkait dengan hari dan periode waktu mata kuliah.
ABSTRACT
NUR APRIANDINI. Scheduling Major-Minor Courses: A Case Study in FMIPA IPB.
Supervised by AMRIL AMAN and FARIDA HANUM.
A curriculum called a major-minor curriculum has been used at Institut Pertanian Bogor (IPB) in the last six years. Several problems have been identified during the implementation of curriculum, one of them is related to the course scheduling. The problem on course scheduling has become a main problem in the implementation of the curriculum, because it has been found that students from a particular major would not be able to take courses from his/her chosen minor, since the courses are scheduled at the same time.
This study addresses the problem on course scheduling for the major-minor curriculum. This problem is modeled as an integer linear program. The model is implemented for scheduling case at FMIPA IPB. The development of the model is initiated by identifying the necessary requirements for the course scheduling. All of these requirements are then formulated as linear equalities and or inequalities. The objective function is to minimize the rejection indicators of lecturers related to the days and time period of courses in the schedule. Several assumptions are used in this model for simplification, one of them, for example all of the classrooms are assumed to be homogen (capacity, equipment, etc.). The model can be improved later by relaxing these assumptions. The solution of the model is obtained using LINGO 11.0.
This study produces a scheduling for the course that fulfills all of the requirements for major-minor curricullum at FMIPA IPB. The scheduling minimizes the rejection indicators of lecturers related to the days and time period of courses in the schedule.
4
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
PENJADWALAN MATA KULIAH MAYOR-MINOR:
STUDI KASUS DI FMIPA IPB
NUR APRIANDINI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penjadwalan Mata Kuliah Mayor-Minor: Studi Kasus di FMIPA
IPB
Nama
: Nur Apriandini
NIM
: G54080005
Menyetujui
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc.
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP. 19570330 198103 1 001
NIP. 19651019 199103 2 002
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
6
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT atas berkat, rahmat, nikmat, dan kasih sayang-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat dan salam penulis sampaikan kepada Nabi Muhammad SAW yang menjadi panutan umatnya hingga akhir zaman.
Selama penulisan karya ilmiah ini, penulis mengalami banyak kendala dan masalah. Penulis bisa menyelesaikan karya ilmiah ini karena banyak orang yang membantu dan berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Allah SWT atas rahmat dan nikmat-Nya yang tak terhitung banyaknya;
2. keluarga tercinta, Mama dan Bapak sebagai pemberi motivasi, semangat, dan doa, Desti, Wildan, dan Adlina yang memberi dukungan dan doa, Mbah Uti, Mbah Kakung, dan Bulik yang memberikan dukungan dan doa;
3. Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran selama bimbingan serta memberi motivasi, ilmu, inspirasi, dan dukungan;
4. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing II yang telah meluangkan waktu dan memberikan ilmu, motivasi, semangat, serta dukungan;
5. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom selaku dosen penguji yang telah meluangkan waktu dan memberikan ilmu, saran, serta dukungan;
6. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan; 7. staf Departemen Matematika: Bu Susi, Pak Yono, Pak Hery, Pak Deni, dan Bu Ade yang
telah memberi semangat dan bantuan administrasi;
8. Novaria Yusri, teman sekamar, teman seperjuangan, terima kasih atas dukungan, bantuan, semangat, dan doa;
9. Regita, Meidina, Nova, Kak Razon, teman-teman seperjuangan yang tak lelah berjuang bersama, tetap semangat dan segera menyusul;
10. Ari Wahyu Wijaksana dan Ibu yang memberikan motivasi, semangat, dan doa;
11. Maya Widyastiti yang selalu siap menjawab pertanyaan-pertanyaan saya, memberi dukungan, dan semangat;
12. Roni Wijaya, Rika Putra, Kak Iput, Kak Imam, Kak Ima, Kak Lili, dan Lutfia yang telah membantu dalam penulisan karya ilmiah ini;
13. teman-teman kos Wisma Nabila Cempaka B; kamar 1: Annisa Amelia Umboro yang siap sedia membantu, memberi dukungan, semangat, dan doa, Viranti Mandasari yang memberi semangat dan doa; kamar 2: Wita, kamar 4: Cici, kamar 5: Adisty Risnawati, kamar 6: Uwi yang memberi dukungan, semangat, dan doa; kamar 7: Lutfia NF yang membantu penulisan, memberi dukungan, semangat, dan doa;
14. Pipin Urip Kurniasih yang memberikan semangat, dukungan, dan doa;
15. teman-teman Matematika 45: Aisyah, Fenny, Hardono, Mega, Fuka, Haya, Bram, Mia, Agustina, Isna, Vivi, Rini, Chastro, Prama, Arbi, Hendri, Ana, Tiwi, Putri, Fitri, Khafidz, Herlan, Edy, Tika, Ade, Haryanto, Anggun, Annisaa, Ari, Aci, Rian, Dimas, Ijun, Ito, Beni, Rahma, Irwan, Yunda, Fina, Dewi, Santi, Fikri, Rianiko, Kunedi, Heru, James, Tia, dan Devita;
16. adik-adik Matematika 46: Evy, Fitri, Suzi, Feni, Andri, Sevira, Aisiyah, dan yang lainnya; 17. Nurul, Ami, Icha, Achi, Ayu, Dennis, Alfi, Sally, dan sahabat-sahabat saya yang lainnya; 18. kakak-kakak Matematika 44: Kak Iam, Kak Ruhiyat, Kak Abe, dan Kak Lingga;
19. Nicil, Gina, Tiska, Rini, Kak Asih, Kak Tuti, dan Rani;
20. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi untuk penelitian selanjutnya.
Bogor, Maret 2013
RIWAYAT HIDUP
Nur Apriandini dilahirkan di Cilacap pada tanggal 20 April 1990. Penulis merupakan anak pertama dari pasangan Judi dan Supriyatin yang bertempat tinggal di Perumahan Alfalaah III Blok N29 Pamulang, Tangerang Selatan 15416.
Pada tahun 2002 penulis bersekolah di SMP Al Muslim Tambun Selatan yang kemudian pada tahun 2005 penulis melanjutkan sekolahnya di SMAN 1 Tambun Selatan, Bekasi. Pada tahun 2008 penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan penulis pernah menjadi asisten dosen pada mata kuliah Kalkulus II (2010) dan Pemrograman Linear (2011). Penulis juga pernah menjadi pengajar Pengantar Matematika di bimbingan belajar KAMMI SMART pada tahun 2009. Penulis aktif dalam keanggotaan himpunan profesi matematika yang dikenal dengan nama GUMATIKA sebagai anggota Divisi Keilmuan pada periode 2009/2010. Selama menjadi anggota, penulis juga aktif mengajar Pengantar Matematika dan Kalkulus pada bimbingan belajar GUMATIKA. Penulis juga pernah menjadi anggota Tim Khusus dalam acara Matematika Ria pada tahun 2010. Pada akhir-akhir masa perkuliahan, penulis mendapatkan beasiswa PPA selama setahun.
8
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL ... ix DAFTAR LAMPIRAN ... ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan Penelitian ... 1 1.3 Manfaat Penelitian ... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Kurikulum Mayor-Minor ... 2 2.2 Pemrograman Linear ... 22.3 Pemrograman Linear Integer ... 3
2.4 Metode Branch and Bound ... 3
III MASALAH PENJADWALAN MATA KULIAH MAYOR-MINOR 3.1 Perumusan Masalah ... 5
3.2 Formulasi Masalah dalam Model Matematika ... 5
IV STUDI KASUS PENJADWALAN MATA KULIAH MAYOR-MINOR 4.1 Deskripsi Masalah Penjadwalan Mayor-Minor ... 7
4.2 Formulasi Model Matematika Penjadwalan Mayor-Minor ... 10
V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ... 17
5.2 Saran ... 17
DAFTAR PUSTAKA ... 17
LAMPIRAN ... 18
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Mata kuliah mayor-minor semester 4 Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika,
dan Fisika ... 8
2 Mata kuliah minor di semester 4 ... 9
3 Ruangan ... 9
4 Periode waktu ... 10
5 Pilihan jadwal pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi ... 10
6 Pasangan mata kuliah, nilai n, dan nilai r ... 10
7 Koefisien tingkat penolakan pada hari ke i untuk mata kuliah k ... 11
8 Koefisien tingkat penolakan pada periode waktu ke j untuk mata kuliah k ... 12
9 Mata kuliah yang terjadwalkan dengan tingkat penolakan terhadap hari i ... 15
10 Mata kuliah yang terjadwalkan dengan tingkat penolakan terhadap periode waktu j ... 15
11 Jadwal perkuliahan mayor-minor Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika semester 4 ... 16
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Sintaks program LINGO 11.0 untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear pada Contoh 1 dengan metode branch and bound beserta hasil yang diperoleh ... 192 Program untuk menyelesaikan masalah penjadwalan mata kuliah mayor-minor di Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika dengan menggunakan LINGO 11.0 ... 22
I PENDAHULUAN
Pada bagian awal bab ini akan dijelaskanlatar belakang dan tujuan penelitian yang dilakukan. Sementara itu pada bagian akhir bab ini akan dipaparkan manfaat penelitian ini
bagi Departemen Matematika, Ilmu
Komputer, Statistika, dan Fisika Institut Pertanian Bogor.
1.1 Latar Belakang
Institut Pertanian Bogor (IPB) merupakan salah satu lembaga pendidikan tinggi di Indonesia yang mempunyai moto “Mencari dan Memberi yang Terbaik”. Selain mencari lulusan siswa-siswa SMA terbaik dari berbagai daerah di Indonesia, IPB juga
senantiasa berusaha untuk selalu
meningkatkan mutu pendidikannya agar lulusannya kelak dapat memenuhi kriteria dari motonya tersebut. Berbagai usaha telah dilakukan IPB untuk menghasilkan lulusan terbaik yang mampu bersaing dan juga bermanfaat di lingkungannya. Salah satu
usaha yang dilakukan IPB untuk
meningkatkan mutu pendidikannya yaitu dengan menerapkan Kurikulum Mayor-Minor yang dimulai sejak tahun ajaran 2005/2006 yang menjadikan IPB sebagai universitas pertama di Indonesia yang menerapkan kurikulum sistem mayor-minor.
Kurikulum mayor-minor telah
diberlakukan selama enam tahun hingga sekarang. Kurikulum tersebut mempunyai keunggulan dan kelemahan. Pada tahun 2009, Dicky Pratama Yendra dalam karya ilmiahnya
yang berjudul “Evaluasi Pelaksanaan
Kurikulum Sistem Mayor-Minor Program Pendidikan Sarjana (S1) Institut Pertanian Bogor” telah menjelaskan keunggulan dan
kelemahan dari kurikulum tersebut.
Keunggulannya antara lain, mahasiswa
mendapat tambahan pengetahuan, mahasiswa dapat memilih mayor dan minor sesuai dengan keinginan dan kemampuannya, dan
mahasiswa memiliki kesempatan untuk
memilih mayor ganda ataupun minor ganda sesuai dengan ketentuan yang berlaku.
Namun, salah satu kelemahannya yaitu masalah jadwal yang sering tumpang tindih
menjadi permasalahan utama dalam
pengimplementasian kurikulum ini. Dengan demikian perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui model yang tepat agar masalah jadwal yang sering tumpang tindih dapat teratasi dan tidak terjadi lagi pada tahun-tahun berikutnya.
Pada karya ilmiah ini akan dibahas salah satu model penjadwalan mata kuliah pada kurikulum mayor-minor yang meminimumkan tingkat penolakan dosen terhadap hari dan periode waktu tertentu untuk suatu mata kuliah agar semua mata kuliah dapat dijadwalkan tanpa ada jadwal yang tumpang tindih. Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan pemrograman linear integer. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang berjudul An integer programming formulation
for a case study in university timetabling yang
ditulis oleh S Daskalaki, T Birbas, dan E Housos pada tahun 2004.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini ialah
menentukan jadwal perkuliahan mata kuliah mayor-minor di Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika IPB agar diperoleh tingkat penolakan dosen terhadap hari dan periode waktu tertentu yang minimum.
1.3 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat
memberikan gambaran penjadwalan mata kuliah mayor-minor yang dapat digunakan
oleh Departemen Matematika, Ilmu
Komputer, Statistika, dan Fisika IPB guna memberikan kenyamanan kepada mahasiswa dalam melaksanakan kurikulum mayor-minor ini. Selain itu, penelitian ini juga bisa menjadi masukan bagi Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika IPB dalam menjadwalkan mata kuliah mayor-minor.
II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dijelaskan beberapaistilah yang digunakan dalam karya ilmiah ini. Pertama akan dijelaskan tentang kurikulum mayor-minor yang menjadi topik utama dalam karya ilmiah ini. Salah satu masalah yang terjadi dalam pelaksanaan kurikulum
mayor-minor ialah masalah penjadwalan mata kuliah mayor-minor. Pada bab ini juga akan dijelaskan mengenai pemrograman linear, pemrograman linear integer, dan metode
untuk menjadwalkan mata kuliah mayor-minor.
2.1 Kurikulum Mayor-Minor
Kurikulum mayor-minor adalah kurikulum
berbasis kompetensi di mana setiap
mahasiswa mengikuti pendidikan dalam salah
satu mayor sebagai bidang keahlian
(kompetensi) utama dan dapat mengikuti pendidikan dalam salah satu bidang minor
sebagai bidang keahlian (kompetensi)
pelengkap atau memilih secara bebas mata kuliah sebagai penunjang (supporting course) bagi keahliannya. Mayor merupakan bidang keahlian berdasarkan disiplin (keilmuan) utamanya pada suatu departemen atau
fakultas, di mana mahasiswa dapat
memperdalam kompetensinya (ilmu
pengetahuan, keterampilan, dan perilaku) tertentu dalam suatu paket mata kuliah. Minor merupakan bidang keahlian pelengkap yang diambil oleh mahasiswa yang berasal dari departemen lain di luar departemen utamanya (mayor).
(IPB 2011)
2.2 Pemrograman Linear
Konsep dasar yang harus dipahami sebelum mendefinisikan pemrograman linear ialah fungsi linear, persamaan linear, dan pertidaksamaan linear.
Definisi 1 (Fungsi Linear)
Sebuah fungsi dalam
variabel-variabel adalah suatu
fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu
himpunan konstanta , fungsi
dapat dituliskan sebagai
.
(Winston 2004)
Sebagai contoh,
merupakan fungsi linear dari variabel dan
, sementara bukan fungsi
linear dari variabel dan .
Definisi 2 (Persamaan dan Pertidaksamaan Linear)
Untuk sembarang fungsi linear
n dan sembarang bilangan b,
suatu persamaan
merupakan persamaan linear sedangkan
pertidaksamaan dan
merupakan pertidaksamaan
linear.
(Winston 2004)
Sebagai contoh, merupakan
persamaan linear sedangkan dan
merupakan pertidaksamaan
linear.
Definisi 3 (Pemrograman Linear)
Pemrograman linear (PL) adalah suatu masalah optimasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut:
a) tujuan masalah tersebut ialah
memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel
keputusan. Fungsi yang akan
dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif,
b) nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear,
c) ada pembatasan tanda untuk setiap
variabel dalam masalah ini. Untuk
sembarang variabel , pembatasan tanda
menentukan harus taknegatif ( )
atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted
in sign).
(Winston 2004) Bentuk umum pemrograman linear adalah: maksimumkan (atau minimumkan)
terhadap kendala: (1)
dengan merupakan fungsi
objektif dari pemrograman linear dan
merupakan kendala
pemrograman linear dengan
merupakan fungsi linear.
(Winston 2004)
Definisi 4 (Daerah Fisibel Pemrograman Linear)
Daerah fisibel untuk pemrograman linear
(1) adalah himpunan dari nilai-nilai
yang memenuhi sejumlah m
kendala di (1). Sebuah nilai di dalam daerah fisibel adalah nilai fisibel, dan sebuah nilai di luar daerah fisibel disebut nilai takfisibel.
(Winston 2004)
Definisi 5 (Nilai Optimum Pemrograman Linear)
Untuk masalah maksimisasi, nilai
optimum dari suatu persamaan linear
3
daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif yang terbesar. Dan untuk masalah minimisasi, nilai optimum dari suatu persamaan linear merupakan suatu nilai yang berada dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif yang terkecil.
(Winston 2004)
2.3 Pemrograman Linear Integer
Pemrograman linear integer atau disebut juga sebagai integer programming (IP) merupakan suatu pemrograman linear yang sebagian atau semua variabel yang digunakan merupakan integer taknegatif. Jika suatu IP menggunakan semua variabel yang berupa
integer, maka IP tersebut disebut pure integer programming (PIP). Jika suatu IP menggunakan sebagian variabel saja yang berupa integer, maka IP tersebut disebut
mixed integer programming (MIP). Jika suatu
IP menggunakan semua variabel yang bernilai 0 atau 1, maka IP tersebut disebut 0-1 IP.
(Winston 2004)
Definisi 6 (Pemrograman Linear Relaksasi)
Pemrograman linear relaksasi atau disebut
juga PL-relaksasi merupakan suatu
pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP yang dihilangkan kendala integer atau kendala 0-1 untuk semua variabelnya. Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum suatu fungsi objektif PL-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif IP, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum suatu fungsi objektif PL-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif IP.
(Winston 2004)
2.4 Metode Branch and Bound
Dalam penulisan karya ilmiah ini
digunakan software LINGO 11.0 untuk memperoleh solusi optimum dari masalah IP. LINGO 11.0 merupakan sebuah program yang didesain untuk menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer dengan mudah dan efisien. Program ini menggunakan metode branch dan bound untuk menyelesaikan masalah IP.
Prinsip dasar metode branch and bound adalah mencari nilai optimum dari suatu IP secara efisien dengan memecah daerah fisibel menjadi subproblem-subproblem.
Misal diberikan Subproblem n dari suatu
IP, anggap merupakan bilangan pecahan
yang merupakan solusi suatu PL-relaksasi dan
bernilai di antara s dan dengan s suatu
bilangan bulat. Karena merupakan bilangan
pecahan maka nilai yang berada di daerah
dari daerah fisibel Subproblem n
tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer, sehingga diperlukan dua subproblem baru yaitu:
Subproblem n + 1: Subproblem n +
kendala ( )
Subproblem n + 2: Subproblem n +
kendala ( )
Suatu subproblem tidak memerlukan cabang subproblem baru jika memenuhi minimal satu dari situasi sebagai berikut: 1. subproblem tersebut tidak fisibel, sehingga
tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk IP,
2. subproblem tersebut menghasilkan solusi optimum dengan semua variabel bernilai
integer; jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas
atas (dalam masalah minimisasi);
subproblem tersebut dimungkinkan
menghasilkan solusi optimum masalah IP, 3. solusi optimum subproblem tersebut lebih
kecil daripada batas bawah yang diperoleh sebelumnya (dalam masalah maksimisasi).
(Winston 2004)
Contoh 1
Misalkan diberikan IP berikut:
Maksimumkan
terhadap
integer (2)
Metode branch and bound dimulai dengan menentukan solusi PL-relaksasi (Subproblem 1). Solusi PL-relaksasi untuk masalah tersebut
adalah . . dan
. (detail penghitungan dapat dilihat di Lampiran 1). Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Oleh karena itu, harus dibuat subproblem yang baru dengan memilih variabel yang tidak memenuhi
kendala integer. Dengan memilih
. , maka daerah pada
Subproblem 1 tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala
integer. Subproblem yang baru adalah sebagai
berikut:
Subproblem 2: Subproblem 1 + kendala
Subproblem 3: Subproblem 1 + kendala ( )
Solusi optimal dari Subproblem 2 adalah
. dan . yang dapat
dilihat pada Lampiran 1. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Oleh karena itu, harus dibuat subproblem yang baru dengan memilih variabel yang tidak memenuhi
kendala integer. Dengan memilih . ,
maka daerah pada Subproblem 2
tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer. Subproblem yang baru adalah sebagai berikut:
Subproblem 4: Subproblem 2 + kendala
( )
Subproblem 5: Subproblem 2 + kendala
( )
Solusi optimal dari Subproblem 4 adalah
dan yang dapat dilihat
pada Lampiran 1. Karena semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala
integer), maka tidak perlu membuat
subproblem baru dan solusi tersebut
merupakan solusi fisibel yang merupakan kandidat solusi optimal IP (2) dengan dijadikan sebagai batas bawah.
Solusi optimal dari Subproblem 5 adalah
dan yang dapat dilihat
pada Lampiran 1. Karena semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala
integer), maka tidak perlu membuat
subproblem baru dan solusi tersebut
merupakan solusi fisibel yang merupakan kandidat solusi optimal IP (2) dengan .
Nilai z pada Subproblem 5 lebih besar dari nilai z pada Subproblem 4, sehingga batas
bawah diganti menjadi dan nilai z pada
Subproblem 4 sudah tidak diperlukan lagi. Subproblem 3 mempunyai solusi optimal
. dan . yang
dapat dilihat pada Lampiran 1. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Oleh karena itu, harus dibuat subproblem yang baru
dengan memilih variabel yang tidak
memenuhi kendala integer. Dengan memilih . , maka diperoleh subproblem yang baru adalah sebagai berikut:
Subproblem 6: Subproblem 3 + kendala
( )
Subproblem 7: Subproblem 3 + kendala
( )
Solusi optimal dari Subproblem 6 adalah
. dan . yang dapat
dilihat pada Lampiran 1. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Nilai z pada Subproblem 6 lebih kecil daripada batas bawah pada Subproblem 5, sehingga tidak perlu membuat subproblem yang baru dan iterasi dihentikan. Subproblem 7 ternyata tidak memiliki solusi fisibel yang dapat dilihat
pada Lampiran 1. Oleh karena itu,
Subproblem 7 tidak dapat dijadikan sebagai solusi optimal IP (2).
Solusi optimal dari Subproblem 5 menjadi solusi optimal IP (2) dengan
dan . Bagan dari penyelesaian IP (2)
dengan algoritme branch and bound
ditunjukkan pada Gambar 1.
Subproblem 4 dan BB = 21 Subproblem 3 . dan . Subproblem 5 dan BB = 25 Subproblem 6 . dan . BB = 25 Subproblem 7 Tidak Fisibel Subproblem 1 . . dan . Subproblem 2 . dan .
Gambar 1 Bagan dari penyelesaian IP (2) dengan algoritme branch and bound. Keterangan : BB = Batas Bawah; t = Iterasi; X = Berhenti
t t t X t X t t X t X
III MASALAH PENJADWALAN MATA KULIAH MAYOR-MINOR
Bab ini akan membahas deskripsi masalahpenjadwalan mata kuliah kurikulum mayor-minor, batasan masalah, dan asumsi yang digunakan dalam karya ilmiah ini, kemudian dilanjutkan dengan formulasi matematika terhadap permalahan tersebut.
3.1 Perumusan Masalah
Kurikulum mayor-minor yang diterapkan IPB telah menginjak tahun ke enam. Pelaksanaan kurikulum ini dikelola oleh departemen dan Direktorat Administrasi Pendidikan, namun dalam pelaksanaannya masih ada beberapa masalah, antara lain terdapat jadwal kuliah/responsi mayor-minor yang tumpang tindih.
Masalah jadwal perkuliahan mayor-minor
yang tumpang tindih menyebabkan
mahasiswa tidak nyaman dalam memilih mata kuliah yang akan diikuti pada suatu semester.
Masalah tersebut sering dialami oleh
mahasiswa setiap awal semester perkuliahan. Oleh karena itu, penulis akan menjadwalkan mata kuliah mayor-minor guna memberikan kenyamanan bagi semua pihak yang terkait dengan kurikulum ini.
Penjadwalan ini dibuat menggunakan sejumlah mata kuliah yang akan dijadwalkan pada suatu semester, sejumlah ruangan yang dapat digunakan, sejumlah hari dalam seminggu, dan sejumlah periode waktu dalam sehari. Penjadwalan dilakukan sedemikian
sehingga dapat memenuhi syarat-syarat
sebagai berikut:
1. semua mata kuliah mayor-minor dapat dijadwalkan tanpa ada mata kuliah yang tumpang tindih dalam semester yang sama, 2. untuk mata kuliah yang beresponsi, jadwal
kuliah dan jadwal responsi harus
dijadwalkan pada hari yang berbeda dan kuliah dijadwalkan sebelum responsi, 3. setiap mata kuliah dijadwalkan tepat
dalam satu ruangan, satu hari, dan suatu periode waktu tertentu,
4. setiap mata kuliah dengan waktu tatap muka dua, tiga, atau empat jam harus dijadwalkan dalam satu hari dengan periode waktu yang berurutan,
5. setiap mata kuliah harus terjadwalkan sesuai dengan waktu tatap mukanya, 6. setiap mata kuliah dijadwalkan tepat satu
kali dalam seminggu,
7. tidak ada jadwal kuliah atau responsi pada pukul 12.00-13.00 setiap harinya,
8. tidak ada jadwal kuliah atau responsi pada hari Jumat pukul 11.00-12.00,
9. perkuliahan dijadwalkan dari hari Senin sampai hari Jumat,
10. jika diperlukan penjadwalan di hari Sabtu, maka mata kuliah yang berjenis kuliah tanpa responsi tidak boleh dijadwalkan pada hari Sabtu dan dibatasi sampai periode waktu tertentu.
Untuk membatasi masalah penjadwalan mata kuliah mayor-minor ini, maka digunakan beberapa asumsi antara lain:
1. setiap mata kuliah dijadwalkan sesuai dengan yang tertera pada buku Panduan Program Sarjana Institut Pertanian Bogor edisi 2011 tanpa mempertimbangkan mahasiswa yang tidak mengambil mata kuliah pada semester yang tertera pada
buku panduan, mahasiswa yang
mengulang, dan juga mahasiswa yang pernah mengambil cuti,
2. mata kuliah yang dijadwalkan terdiri atas mata kuliah mayor dan mata kuliah minor dan mata kuliah minor merupakan bagian dari mata kuliah mayor yang bersesuaian, 3. mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa
dari mayor yang berbeda boleh
dijadwalkan secara bersamaan,
4. ada sejumlah ruangan yang bisa digunakan kapan saja,
5. semua dosen dan asisten bisa mengajar kapan saja.
3.2 Formulasi Masalah dalam Model Matematika
Berdasarkan data dan analisis yang didapatkan, maka dapat dibuat formulasi
masalah tersebut ke dalam bentuk
pemrograman linear integer. Bentuk formulasi masalah tersebut yaitu:
Indeks
= hari;
Jika D = 6, maka hari ke 1 ialah Senin, hari ke 2 ialah Selasa, hari ke 3 ialah Rabu, hari ke 4 ialah Kamis, hari ke 5 ialah Jumat, dan hari ke 6 ialah Sabtu.
̂ = hari yang tidak boleh ada jadwal
perkuliahan
̅ = hari dijadwalkan mata kuliah berjenis
kuliah; ̅ D – 1
̿ = hari dijadwalkan mata kuliah berjenis
responsi; ̿ D
= periode waktu;
̂ = periode waktu yang tidak boleh ada
jadwal perkuliahan
̅ = mata kuliah berjenis kuliah ̿ = mata kuliah berjenis responsi = ruangan;
t = waktu tatap muka; t
= pilihan dijadwalkannya setiap pasangan
mata kuliah berjenis kuliah dan
responsi; , dengan Q =
kombinasi ( ). m = 1 berlaku untuk
setiap pasangan mata kuliah berjenis
kuliah dan responsi yang akan
dijadwalkan pada hari Senin (kuliah) dan Selasa (responsi). m = 2 berlaku untuk setiap pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi yang akan dijadwalkan pada hari Senin (kuliah) dan Rabu (responsi), dan seterusnya.
= urutan pasangan mata kuliah berjenis
kuliah dan responsi;
= pilihan dijadwalkannya semua
pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi;
–
Misalkan D = 6 dan S = 3, maka Q = kombinasi ( ) = 15, m = 1,2,...,15, serta r = 1,2,...,45. Untuk n = 1 (pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi urutan pertama), maka r = 1,2,...,15. Untuk n = 2 (pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi urutan kedua), maka r = 16,17,...,30. Untuk n = 3 (pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi urutan ketiga), maka r = 31,32,...,45.
Himpunan
̂ = himpunan mata kuliah mayor ̌ = himpunan mata kuliah minor
A = himpunan pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi; A = ( ̅ ̿)
B = himpunan pasangan hari untuk
dijadwalkan pasangan mata kuliah
berjenis kuliah dan responsi; B = ( ̅ ̿)
Parameter
= waktu tatap muka mata kuliah M = bilangan yang cukup besar nilainya
= koefisien yang menggambarkan tingkat
penolakan pada hari ke i untuk mata kuliah k
= koefisien yang menggambarkan tingkat
penolakan pada periode waktu ke j untuk mata kuliah k
Variabel Keputusan
{
jika mata kuliah k dijadwalkan pada hari ke i periode waktu ke j dalam ruangan l
lainnya.
{
jika mata kuliah k dijadwalkan pada hari ke i dalam ruangan l
lainnya.
{ jika pilihan ke r tidak dipilih lainnya.
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan tingkat penolakan dosen yang diperoleh dari perkalian antara tingkat penolakan dosen terhadap hari dan mata kuliah tertentu dan variabel keputusan yang menyatakan mata kuliah tersebut dijadwalkan pada hari dan ruangan tertentu ditambah dengan perkalian antara tingkat penolakan dosen terhadap periode waktu dan mata kuliah
tertentu dan variabel keputusan yang
menyatakan mata kuliah tersebut dijadwalkan pada periode waktu dan ruangan tertentu.
min∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut:
1. Setiap hari dalam periode waktu yang sama hanya ada satu mata kuliah mayor-minor yang dijadwalkan.
∑ ∑
dengan ̂ ̌
2. Setiap ruangan dalam satu hari dan periode waktu tertentu hanya digunakan untuk satu mata kuliah.
∑
3. Setiap mata kuliah harus dijadwalkan sesuai dengan waktu tatap mukanya.
∑ ∑ ∑
4. Setiap mata kuliah harus dijadwalkan sesuai dengan waktu tatap mukanya pada satu hari dan ruangan tertentu.
∑
5. Setiap mata kuliah harus dijadwalkan sesuai dengan waktu tatap mukanya secara berurutan pada hari dan ruangan tertentu. a) Jika mata kuliah k dijadwalkan mulai
pada periode waktu pertama maka mata kuliah tersebut dilaksanakan
selama periode waktu.
t t ..
b) Jika mata kuliah k dijadwalkan selesai pada periode waktu terakhir T maka mata kuliah tersebut harus dimulai – periode waktu sebelum periode waktu ke .
–t
t .. – c) Jika mata kuliah k dijadwalkan mulai
pada periode waktu ke j maka mata kuliah tersebut harus dilaksanakan
selama periode waktu.
t
t t ..
6. Setiap mata kuliah harus tepat satu kali dijadwalkan dalam seminggu.
∑ ∑
7. Kuliah dan responsi harus dilakukan pada hari yang berbeda dan kuliah dijadwalkan sebelum responsi. ∑ ̅ ̅ ̿ ̿ – M – dengan ∑ – –
Karena – maka untuk
1,2,..., dan untuk setiap n , kendala tersebut dapat diganti dengan:
∑ –
dengan merupakan banyaknya
kombinasi dari D hari yang berbeda jika dipilih sebanyak dua hari untuk kuliah dan responsi.
8. Untuk semua hari, semua mata kuliah, dan semua ruangan pada periode waktu
tertentu tidak boleh ada jadwal
perkuliahan.
̂ ̂
9. Untuk semua mata kuliah dan semua ruangan pada hari dan periode waktu
tertentu tidak boleh ada jadwal
perkuliahan.
̂ ̂ ̂ ̂
10. Jika diperlukan penjadwalan di hari Sabtu, maka mata kuliah yang berjenis kuliah tanpa responsi tidak boleh dijadwalkan pada hari Sabtu.
̅
11. Jika diperlukan penjadwalan di hari Sabtu, maka penjadwalan dibatasi sampai periode waktu tertentu.
̂ ̂
12. Semua variabel keputusan adalah integer nol atau satu.
{ } { }
{ }
IV STUDI KASUS PENJADWALAN MATA KULIAH MAYOR-MINOR
4.1 Deskripsi Masalah Penjadwalan Mayor-Minor
Masalah yang akan diuraikan pada bab ini adalah masalah penjadwalan mata kuliah mayor-minor pada Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika FMIPA
IPB. Diasumsikan mahasiswa mayor
Matematika hanya dapat memilih minor Sistem Informasi, Statistika Terapan, atau Fisika Komputasi. Mahasiswa mayor Ilmu Komputer hanya dapat memilih minor Riset Operasi, mahasiswa mayor Statistika hanya dapat memilih minor Matematika Keuangan dan Aktuaria, serta mahasiswa mayor Fisika
hanya dapat memilih minor Pemodelan Sistem Dinamik. Setiap mata kuliah mayor-minor yang akan dijadwalkan pada semester 4 memiliki waktu tatap muka yang berbeda-beda, yaitu dua atau tiga periode waktu. Suatu mata kuliah bisa diikuti oleh mahasiswa mayor dan mahasiswa minor. Sejumlah mata kuliah yang akan dijadwalkan tertera pada Tabel 1 yang dilengkapi dengan informasi waktu tatap muka tiap mata kuliah, jenis (kuliah atau responsi), dan peserta yang mengikuti mata kuliah tersebut. Mata kuliah minor yang akan dijadwalkan tertera pada Tabel 2.
Tabel 1 Mata kuliah mayor-minor semester 4 Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika
Indeks Mata Kuliah Waktu Tatap
Muka (Periode) Jenis
PESERTA Mayor Minor
1 Pemrograman Linear 2 K MAT 4 KOM 4
2 Pemrograman Linear 2 R MAT 4 KOM 4
3 Graf Algoritmik 3 K MAT 4 KOM 4
4 Matematika Keuangan 3 K MAT 4 STK 4
5 Persamaan Diferensial Parsial 2 K MAT 4 FIS 4
6 Persamaan Diferensial Parsial 3 R MAT 4 FIS 4
7 Pengantar Teori Peluang 2 K MAT 4 STK 4
8 Pengantar Teori Peluang 2 R MAT 4 STK 4
9 Kalkulus III 2 K STK 4 FIS 4
10 Kalkulus III 2 R STK 4 FIS 4
11 Pengantar Hitung Peluang 3 K KOM 4
12 Algoritma dan Pemrograman 2 K KOM 4 MAT 4
13 Algoritma dan Pemrograman 3 R KOM 4 MAT 4
14 Bahasa Pemrograman 2 K KOM 4
15 Bahasa Pemrograman 3 R KOM 4
16 Basis Data 2 K KOM 4 MAT 4
17 Basis Data 3 R KOM 4 MAT 4
18 Organisasi Komputer 2 K KOM 4
19 Organisasi Komputer 3 R KOM 4
20 Struktur Data 2 K KOM 4
21 Struktur Data 3 R KOM 4
22 Teori Bahasa dan Otomata 3 K KOM 4
23 Pemrograman Linear 2 K STK 4 24 Pemrograman Linear 3 R STK 4 25 Basis Data 2 K STK 4 26 Basis Data 3 R STK 4 27 Metode Statistika 2 K STK 4 28 Metode Statistika 2 R STK 4 29 Teori Statistika I 3 K STK 4
30 Metode Penarikan Contoh 2 K STK 4 MAT 4
31 Metode Penarikan Contoh 2 R STK 4 MAT 4
32 Perancangan Percobaan 2 K STK 4 MAT 4
33 Perancangan Percobaan 2 R STK 4 MAT 4
34 Mekanika II 2 K FIS4
35 Termodinamika 2 K FIS4
36 Termodinamika 2 R FIS4
37 Gelombang 2 K FIS4
9
Tabel 1 Mata kuliah mayor-minor semester 4 Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika (lanjutan)
Indeks Mata Kuliah Waktu Tatap
Muka (Periode) Jenis
PESERTA Mayor Minor
39 Listrik Magnet I 2 K FIS4
40 Listrik Magnet I 2 R FIS 4
41 Fisika Matematika II 2 K FIS 4 MAT 4
42 Fisika Matematika II 2 R FIS 4 MAT 4
43 Elektronika Lanjut 3 K FIS 4
44 Elektronika Lanjut 3 R FIS 4
K untuk jenis kuliah dan R untuk jenis responsi Tabel 2 Mata kuliah minor di semester 4
Indeks Minor Mata Kuliah Waktu Tatap
Muka (Periode) Jenis
1 Riset Operasi Pemrograman Linear 2 K 2 Pemrograman Linear 2 R 3 Graf Algoritmik 3 K 4 Matematika Keuangan dan Aktuaria Matematika Keuangan 3 K
7 Pengantar Teori Peluang 2 K
8 Pengantar Teori Peluang 2 R
9 Kalkulus III 2 K
10 Kalkulus III 2 R
5
Pemodelan Sistem Dinamik
Persamaan Diferensial Parsial 2 K
6 Persamaan Diferensial Parsial 3 R
9 Kalkulus III 2 K
10 Kalkulus III 2 R
12
Sistem Informasi
Algoritma dan Pemrograman 2 K
13 Algoritma dan Pemrograman 3 R
16 Basis Data 2 K
17 Basis Data 3 R
30
Statistika Terapan
Metode Penarikan Contoh 2 K
31 Metode Penarikan Contoh 2 R
32 Perancangan Percobaan 2 K
33 Perancangan Percobaan 2 R
41
Fisika Komputasi Fisika Matematika II 2 K
42 Fisika Matematika II 2 R
K untuk jenis kuliah dan R untuk jenis responsi Ruangan yang dapat digunakan pada semester 4 tertera pada Tabel 3. Periode waktu perkuliahan yang digunakan adalah sebanyak 10 periode dengan rincian yang tertera pada Tabel 4.
Tabel 3 Ruangan
Ruangan ke Nama Ruangan
1 16 Fak 401 A
2 16 Fak 401 B
3 16 Fak 401 C
Tabel 4 Periode waktu
Periode Waktu ke Rentang Waktu
1 7.00-8.00 2 8.00-9.00 3 9.00-10.00 4 10.00-11.00 5 11.00-12.00 6 12.00-13.00 7 13.00-14.00 8 14.00-15.00 9 15.00-16.00 10 16.00-17.00
4.2 Formulasi Model Matematika Penjadwalan Mayor-Minor
Berdasarkan permasalahan dalam studi kasus pada subbab 4.1, dapat dimodelkan permasalahannya sebagai berikut:
Indeks
Dalam studi kasus ini, banyaknya hari yang bisa dijadwalkan sebanyak 6 hari, periode waktu sebanyak 10 periode, mata kuliah yang akan dijadwalkan sebanyak 44 mata kuliah dengan waktu tatap muka dua atau tiga periode, dan ruangan yang dapat digunakan sebanyak 4 ruangan.
= hari;
̂ = hari yang tidak boleh ada jadwal
perkuliahan; ̂= 5
̅ = hari dijadwalkan mata kuliah berjenis
kuliah; ̅
̿ = hari dijadwalkan mata kuliah berjenis
responsi; ̿
= periode waktu;
̂ = periode waktu yang tidak boleh ada
jadwal perkuliahan; ̂ ..
= mata kuliah;
̅ = mata kuliah berjenis kuliah dengan
rincian yang terdapat pada Tabel 1
̿ = mata kuliah berjenis responsi dengan
rincian yang terdapat pada Tabel 1
= ruangan;
t = waktu tatap muka; t
= pilihan dijadwalkannya setiap pasangan
kuliah dan responsi;
dengan rincian terdapat pada Tabel 5
= urutan pasangan mata kuliah berjenis
kuliah dan responsi;
dengan rincian terdapat pada Tabel 6
= pilihan dijadwalkannya semua
pasangan kuliah dan responsi;
– dengan
rincian terdapat pada Tabel 6
Tabel 5 Pilihan jadwal pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi
m Jadwal Kuliah Responsi 1 Senin Selasa 2 Senin Rabu 3 Senin Kamis 4 Senin Jumat 5 Senin Sabtu 6 Selasa Rabu 7 Selasa Kamis 8 Selasa Jumat 9 Selasa Sabtu 10 Rabu Kamis 11 Rabu Jumat 12 Rabu Sabtu 13 Kamis Jumat 14 Kamis Sabtu 15 Jumat Sabtu
Tabel 6 Pasangan mata kuliah, nilai n, dan nilai r n ( ̅ ̿ r 1 (1,2) 1,2,...,15 2 (5,6) 16,17,...,30 3 (7,8) 31,32,...,45 4 (9,10) 46,47,...,60 5 (12,13) 61,62,...,75 6 (14,15) 76,77,...,90 7 (16,17) 91,92,...,105 8 (18,19) 106,107,...,120 9 (20,21) 121,122,...,135 10 (23,24) 136,137,...,150 11 (25,26) 161,162,...,165 12 (27,28) 166,167,...,180 13 (30,31) 181,182,...,195 14 (32,33) 196,197,...,210 15 (35,36) 211,212,...,225 16 (37,38) 226,227,...,240 17 (39,40) 241,242,...,255 18 (41,42) 256,257,...,270 19 (43,44) 271,272,...,285 Himpunan
̂ dan ̌ yang merupakan himpunan mata kuliah mayor dan minor telah diuraikan pada
Tabel 1. Sedangkan diuraikan sebagai
berikut:
a) mata kuliah mayor Matematika minor Sistem Informasi semester 4,
11
b) mata kuliah mayor Matematika minor Statistika Terapan semester 4,
c) mata kuliah mayor Matematika minor Fisika Komputasi semester 4,
d) mata kuliah mayor Ilmu Komputer minor Riset Operasi semester 4,
e) mata kuliah mayor Statistika minor
Matematika Keuangan dan Aktuaria
semester 4,
f) mata kuliah mayor Fisika minor
Pemodelan Sistem Dinamik semester 4,
A adalah himpunan pasangan terurut dari pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi,
A = {( ̅ ̿)} dengan ̅ adalah mata kuliah ke 1,5,7,9,12,14,16,18,20,23,25,27,30,32,35,3 7,39,41,43 dan ̿ adalah mata kuliah ke 2,6,810,13,15,17,19,21,24,26,28,31,33,36,3 8,40,42,44.
B adalah himpunan pasangan terurut dari pasangan hari untuk dijadwalkan pasangan mata kuliah berjenis kuliah dan responsi B = {( ̅ ̿)} dengan ̅ adalah hari ke 1,2,3,4,5
dan ̿ adalah hari ke 2,3,4,5,6
Parameter
tersajikan pada Tabel 1. Sedangkan M untuk kasus ini dipilih M = 1000.
diuraikan pada Tabel 7 dan diuraikan pada
Tabel 8.
Tabel 7 Koefisien tingkat penolakan pada hari ke i untuk mata kuliah k
Hari ke Mata Kuliah ke
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 3 1 1 10 10 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 4 1 1 20 20 1 1 1 1 1 1 20 1 1 1 1 5 1 1 30 30 1 1 1 1 1 1 30 1 1 1 1 6 1 1 1000 1000 1 1 1 1 1 1 1000 1 1 1 1
Tabel 7 Koefisien tingkat penolakan pada hari ke i untuk mata kuliah k (lanjutan)
Hari ke Mata Kuliah ke
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5 1 3 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 10 1 4 1 1 1 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1 20 1 5 1 1 1 1 1 1 30 1 1 1 1 1 1 30 1 6 1 1 1 1 1 1 1000 1 1 1 1 1 1 1000 1
Tabel 7 Koefisien tingkat penolakan pada hari ke i untuk mata kuliah k (lanjutan)
Hari ke Mata Kuliah ke
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tabel 8 Koefisien tingkat penolakan pada periode waktu ke j untuk mata kuliah k Periode Waktu ke Mata Kuliah ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 30 30 1 1 1 1 1 1 30 1 1 1 1 8 1 1 30 30 1 1 1 1 1 1 30 1 1 1 1 9 1 1 50 50 1 1 1 1 1 1 50 1 1 1 1 10 1 1 50 50 1 1 1 1 1 1 50 1 1 1 1
Tabel 8 Koefisien tingkat penolakan pada periode waktu ke j untuk mata kuliah k (lanjutan) Periode Waktu ke Mata Kuliah ke 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 30 1 1 1 1 1 1 30 1 8 1 1 1 1 1 1 30 1 1 1 1 1 1 30 1 9 1 1 1 1 1 1 50 1 1 1 1 1 1 50 1 10 1 1 1 1 1 1 50 1 1 1 1 1 1 50 1
Tabel 8 Koefisien tingkat penolakan pada periode waktu ke j untuk mata kuliah k (lanjutan) Periode Waktu ke Mata Kuliah ke 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Variabel Keputusan {
jika mata kuliah k dijadwalkan pada hari ke i periode waktu ke j dalam ruangan l
lainnya.
{
jika mata kuliah k dijadwalkan pada hari ke i dalam ruangan l
lainnya.
{ jika pilihan ke r tidak dipilih lainnya.
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan tingkat penolakan dosen yang diperoleh dari perkalian antara tingkat penolakan dosen terhadap hari dan mata
13
kuliah tertentu dan variabel keputusan yang menyatakan mata kuliah tersebut dijadwalkan pada hari dan ruangan tertentu ditambah dengan perkalian antara tingkat penolakan dosen terhadap periode waktu dan mata kuliah
tertentu dan variabel keputusan yang
menyatakan mata kuliah tersebut dijadwalkan pada periode waktu dan ruangan tertentu.
min∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut:
1. Setiap hari dalam periode waktu yang sama hanya ada satu mata kuliah mayor-minor yang dijadwalkan.
a) Mayor Matematika minor Sistem Informasi semester 4 ∑ (∑ ∑ ∑ )
b) Mata kuliah mayor Matematika minor Statistika Terapan semester 4
∑ (∑ ∑ ) c) Mata kuliah mayor Matematika minor
Fisika Komputasi semester 4
∑ (∑ ∑ ) d) Mata kuliah mayor Ilmu Komputer
minor Riset Operasi semester 4
∑ (∑ ∑ ) e) Mata kuliah mayor Statistika minor
Matematika Keuangan dan Aktuaria semester 4 ∑ (∑ ∑ ∑ ∑ ) f) Mata kuliah mayor Fisika minor
Pemodelan Sistem Dinamik semester 4
∑ (∑ ∑ ∑ )
2. Setiap ruangan dalam satu hari dan periode waktu tertentu hanya digunakan untuk satu mata kuliah.
∑
3. Setiap mata kuliah harus dijadwalkan sesuai dengan waktu tatap mukanya.
∑ ∑ ∑
4. Setiap mata kuliah harus dijadwalkan sesuai dengan waktu tatap mukanya pada satu hari dan ruangan tertentu.
∑
5. Setiap mata kuliah harus dijadwalkan sesuai dengan waktu tatap mukanya secara berurutan pada hari dan ruangan tertentu. a) Jika mata kuliah k dijadwalkan mulai
pada periode waktu pertama maka mata kuliah tersebut dilaksanakan
selama periode waktu.
t t ..
b) Jika mata kuliah k dijadwalkan selesai pada periode waktu terakhir (ke sepuluh) maka mata kuliah tersebut
harus dimulai – periode waktu
sebelum periode waktu ke sepuluh.
–t
t .. – c) Jika mata kuliah k dijadwalkan mulai pada periode waktu ke j maka mata kuliah tersebut harus dilaksanakan
selama periode waktu.
t
t t ..
6. Setiap mata kuliah harus tepat satu kali dijadwalkan dalam seminggu.
∑ ∑
7. Kuliah dan responsi harus dilakukan pada hari yang berbeda dan kuliah dijadwalkan
sebelum responsi. Dengan pilihan
a) kuliah dilakukan pada hari Senin dan responsi pada hari Selasa,
∑ ̅ ̿
– – b) kuliah dilakukan pada hari Senin dan
responsi pada hari Rabu, ∑ ̅ ̿
– – c) kuliah dilakukan pada hari Senin dan
responsi pada hari Kamis, ∑ ̅ ̿
– – d) kuliah dilakukan pada hari Senin dan
responsi pada hari Jumat, ∑ ̅ ̿
– – e) kuliah dilakukan pada hari Senin dan
responsi pada hari Sabtu, ∑ ̅ ̿
– – f) kuliah dilakukan pada hari Selasa dan
responsi pada hari Rabu, ∑ ̅ ̿
– – g) Kuliah dilakukan pada hari Selasa dan
responsi pada hari Kamis, ∑ ̅ ̿
– – h) kuliah dilakukan pada hari Selasa dan
responsi pada hari Jumat, ∑ ̅ ̿
– – i) kuliah dilakukan pada hari Selasa dan
responsi pada hari Sabtu, ∑ ̅ ̿
– – j) kuliah dilakukan pada hari Rabu dan
responsi pada hari Kamis, ∑ ̅ ̿
– – k) kuliah dilakukan pada hari Rabu dan
responsi pada hari Jumat, ∑ ̅ ̿
– –
l) kuliah dilakukan pada hari Rabu dan responsi pada hari Sabtu,
∑ ̅ ̿
– – m) kuliah dilakukan pada hari Kamis dan
responsi pada hari Jumat, ∑ ̅ ̿
– – n) kuliah dilakukan pada hari Kamis dan
responsi pada hari Sabtu, ∑ ̅ ̿
– – o) kuliah dilakukan pada hari Jumat dan
responsi pada hari Sabtu. ∑ ̅ ̿
– – Pasangan mata kuliah jenis kuliah dan responsi ( ̅ ̿ , nilai n, dan nilai r untuk setiap pasangan disajikan pada Tabel 6 berikut: dengan ∑ –
untuk setiap pasangan ( ̅ ̿ pada Tabel 6.
Karena – maka untuk
dan untuk setiap n seperti pada Tabel 6 kendala tersebut dapat diganti dengan: ∑ ∑ ∑
8. Untuk semua hari, semua mata kuliah, dan semua ruangan pada periode waktu ke enam tidak boleh ada jadwal perkuliahan.
9. Untuk semua mata kuliah dan semua ruangan pada hari Jumat dan periode waktu ke lima tidak boleh ada jadwal perkuliahan.
10. Mata kuliah yang berjenis kuliah tanpa responsi tidak boleh dijadwalkan pada hari ke enam.
15
̅ ̅
11. Untuk periode waktu tertentu pada hari ke enam tidak boleh ada jadwal perkuliahan.
̂ ̂
12. Semua variabel keputusan adalah integer nol atau satu.
{ } { }
{ }
Pemrograman linear integer tersebut
kemudian diselesaikan dengan LINGO 11.0 yang dapat dilihat pada Lampiran 2 beserta hasil yang diperoleh. Nilai fungsi objektif yang diperoleh adalah 164 yang diperoleh pada iterasi ke 1527922. Makna nilai fungsi
objektif tersebut dijelaskan pada Tabel 9 dan Tabel 10 dengan ∑ ∑ ∑ dan ∑ ∑ ∑ ∑
Nilai tersebut berarti bahwa ada mata kuliah dengan tingkat penolakan terhadap hari i cukup tinggi yang masih terjadwalkan yaitu mata kuliah ke 3, 11, dan 29, tetapi tidak ada mata kuliah yang terjadwalkan dengan tingkat penolakan terhadap periode waktu j yang tinggi. Jadwal perkuliahan yang terbentuk tersajikan pada Tabel 11.
Tabel 9 Mata kuliah yang terjadwalkan dengan tingkat penolakan terhadap hari i Tingkat Penolakan
terhadap Hari i
Jumlah Mata Kuliah
yang Terjadwalkan Mata Kuliah ke ∑ ∑ ∑
1000 - - - 30 - - - 20 - - - 10 1 11 10 5 2 3 dan 29 10 1 41 Selain 3, 11, dan 29 41
Tabel 10 Mata kuliah yang terjadwalkan dengan tingkat penolakan terhadap periode waktu j Tingkat Penolakan terhadap Periode Waktu j Jumlah Mata Kuliah yang Terjadwalkan Mata Kuliah ke Jumlah Periode Waktu yang Terjadwalkan ∑ ∑ ∑ ∑ 50 - - - - 30 - - - - 5 - - - - 1 44 Semua mata kuliah 103 103
Tabel 11 Jadwal perkuliahan mayor-minor Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika semester 4
Hari Periode
Waktu Mata Kuliah Jenis
PESERTA Tempat
Mayor Minor
Senin
07.00-09.00 Listrik Magnet I K FIS4 16 Fak 401 A
08-00-11.00 Matematika Keuangan K MAT 4 STK 4 16 Fak 401 C
08-00-11.00 Teori Bahasa dan Otomata K KOM 4 16 Fak 401 D
09.00-11.00 Mekanika II K FIS4 16 Fak 401 A
13.00-15.00 Persamaan Diferensial Parsial K MAT 4 FIS 4 16 Fak 401 A
13.00-15.00 Bahasa Pemrograman K KOM 4 16 Fak 401 C
15.00-17.00 Algoritma dan Pemrograman K KOM 4 MAT 4 16 Fak 401 C
15.00-17.00 Metode Penarikan Contoh K STK 4 MAT 4 16 Fak 401 A
Selasa
07.00-09.00 Kalkulus III K STK 4 FIS 4 16 Fak 401 C
07.00-09.00 Organisasi Komputer K KOM 4 16 Fak 401 A
09.00-12.00 Graf Algoritmik K MAT 4 KOM 4 16 Fak 401 A
09.00-12.00 Teori Statistika I K STK 4 16 Fak 401 D
10.00-12.00 Termodinamika K FIS4 16 Fak 401 B
13.00-15.00 Pengantar Teori Peluang K MAT 4 STK 4 16 Fak 401 B
13.00-15.00 Struktur Data K KOM 4 16 Fak 401 C
13.00-16.00 Elektronika Lanjut K FIS4 16 Fak 401 D
15.00-17.00 Pemrograman Linear K MAT 4 KOM 4 16 Fak 401 A
15.00-17.00 Basis Data K STK 4 16 Fak 401 C
Rabu
07.00-09.00 Basis Data K KOM 4 MAT 4 16 Fak 401 B
07.00-09.00 Metode Penarikan Contoh R STK 4 MAT 4 16 Fak 401 D
07.00-09.00 Gelombang K FIS4 16 Fak 401 C
09.00-12.00 Pengantar Hitung Peluang K KOM 4 16 Fak 401 D
09.00-12.00 Elektronika Lanjut R FIS4 16 Fak 401 C
10.00-12.00 Perancangan Percobaan K STK 4 MAT 4 16 Fak 401 B
13.00-15.00 Kalkulus III R STK 4 FIS 4 16 Fak 401 B
13.00-16.00 Organisasi Komputer R KOM 4 16 Fak 401 D
15.00-17.00 Pemrograman Linear K STK 4 16 Fak 401 B
15.00-17.00 Fisika Matematika II K FIS4 MAT4 16 Fak 401 A
Kamis
07.00-09.00 Pengantar Teori Peluang R MAT 4 STK 4 16 Fak 401 C
07.00-10.00 Bahasa Pemrograman R KOM 4 16 Fak 401 A
09.00-11.00 Metode Statistika K STK 4 16 Fak 401 D
09.00-11.00 Gelombang R FIS4 16 Fak 401 C
10.00-12.00 Pemrograman Linear R MAT 4 KOM 4 16 Fak 401 B
13.00-16.00 Struktur Data R KOM 4 16 Fak 401 A
14.00-17.00 Persamaan Diferensial Parsial R MAT 4 FIS 4 16 Fak 401 D
14.00-17.00 Pemrograman Linear R STK 4 16 Fak 401 B
Jumat
07.00-09.00 Perancangan Percobaan R STK 4 MAT 4 16 Fak 401 C
08.00-11.00 Basis Data R KOM 4 MAT 4 16 Fak 401 B
08.00-10.00 Listrik Magnet I R FIS4 16 Fak 401 A
13.00-15.00 Fisika Matematika II R FIS4 MAT4 16 Fak 401 C
14.00-16.00 Metode Statistika R STK 4 16 Fak 401 D
Sabtu
07.00-10.00 Algoritma dan Pemrograman R KOM 4 MAT 4 16 Fak 401 C
07.00-10.00 Basis Data R STK 4 16 Fak 401 B
07.00-09.00 Termodinamika R FIS4 16 Fak 401 A
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dalam karya ilmiah ini telah
dipaparkan bahwa masalah penjadwalan mayor-minor di Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika dapat dipandang sebagai suatu pemrograman linear
integer. Masalah ini dapat diselesaikan
dengan metode branch and bound
menggunakan software LINGO 11.0.
Dengan software tersebut diperoleh jadwal perkuliahan mayor-minor yang memenuhi semua kendala yang ada. Mata kuliah dengan tingkat penolakan terhadap hari tertentu cukup tinggi masih ada yang terjadwalkan, tetapi tidak ada mata kuliah yang terjadwalkan dengan tingkat penolakan terhadap periode waktu tertentu yang tinggi. Oleh karena itu, jadwal perkuliahan mayor-minor tersebut memiliki tingkat penolakan terhadap hari dan perode waktu tertentu yang minimum.
5.2 Saran
Karya ilmiah ini telah membahas
penjadwalan mata kuliah mayor-minor untuk suatu semester di Departemen Matematika, Ilmu Komputer, Statistika, dan Fisika. Saran untuk penulisan karya ilmiah selanjutnya adalah penjadwalan mata kuliah mayor-mayor di departemen yang sama namun dengan sistem semester ganjil dan genap yang
memungkinkan mahasiswa susulan dan
mengulang dapat mengambil mata kuliah yang bersangkutan tanpa ada jadwal yang tumpang tindih, misalnya mahasiswa semester 6 bisa mengambil beberapa mata kuliah yang seharusnya diambil pada semester 4 tanpa ada jadwal yang tumpang tindih.
DAFTAR PUSTAKA
Daskalaki S, Birbas T, Housos E. 2004. AnInteger Programming Formulation for a Case Study in University Timetabling.
European Journal of Operational Research. 153: 117-135.
Yendra DP. 2009. Evaluasi Pelaksanaan
Kurikulum Sistem Mayor-Minor
Program Pendidikan Sarjana (S1) Institut
Pertanian Bogor [skripsi]. Bogor:
Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Winston WL. 2004. Operations Research
Applications and Algorithms. Ed ke-4.
Duxbury: New York.
[IPB] Institut Pertanian Bogor. 2011. Panduan
Program Sarjana Edisi 2011. Bogor:
19
Lampiran 1 Sintaks program LINGO 11.0 untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear pada Contoh 1 dengan metode branch and bound beserta hasil yang diperoleh 1. PL-relaksasi dari IP pada Contoh 1
Maksimumkan
terhadap
Syntax program pada LINGO 11.0:
!Fungsi Objektif; max=3*x1+7*x2; !Kendala; 4*x1+3*x2<=33; x1+5*x2<=11; x1>=0;x2>=0; Hasil yang diperoleh:
Global optimal solution found. Objective value: 27.82353 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 7.764706 0.000000 X2 0.6470588 0.000000 2. Subproblem 2 Maksimumkan terhadap
Syntax program pada LINGO 11.0:
!Fungsi Objektif; max=3*x1+7*x2; !Kendala; 4*x1+3*x2<=33; x1+5*x2<=11; x1<=7; x1>=0;x2>=0; Hasil yang diperoleh:
Global optimal solution found. Objective value: 26.60000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost
X1 7.000000 0.000000 X2 0.800000 0.000000 3. Subproblem 3 Maksimumkan terhadap
Syntax program pada LINGO 11.0:
!Fungsi Objektif; max=3*x1+7*x2; !Kendala; 4*x1+3*x2<=33;
x1+5*x2<=11; x1>=8;
x1>=0;x2>=0; Hasil yang diperoleh:
Global optimal solution found. Objective value: 26.33333 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 1
Variable Value Reduced Cost
X1 8.000000 0.000000 X2 0.333333 0.000000 4. Subproblem 4 Maksimumkan terhadap
Syntax program pada LINGO 11.0:
!Fungsi Objektif; max=3*x1+7*x2; !Kendala; 4*x1+3*x2<=33; x1+5*x2<=11; x1<=7;x2<=0; x1>=0;x2>=0; Hasil yang diperoleh:
Global optimal solution found. Objective value: 21.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 7.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 5. Subproblem 5 Maksimumkan terhadap
Syntax program pada LINGO 11.0:
!Fungsi Objektif; max=3*x1+7*x2; !Kendala; 4*x1+3*x2<=33; x1+5*x2<=11; x1<=7;x2>=1; x1>=0;x2>=0; Hasil yang diperoleh:
Global optimal solution found. Objective value: 25.00000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3
Variable Value Reduced Cost
X1 6.000000 0.000000
