LIMIT. Bilangan L disebut limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati suatu nilai c, ditulis :

52  11  Download (0)

Teks penuh

(1)

LIMIT

A. Pendahuluan

1. Dalam kehidupan sehari-hari pengertian limit sebenarnya sudah sering kita temui, misal seseorang yang akan jatuh ke sungai, dikatakan “hampir saja si A jatuh ke sungai. Atau Rumah si B hampir terbakar, dan lainnya.

Semua itu merupakan hubungan dengan pengertian limit.

2. a) Jika ada suatu garis yang memotong suatu lingkaran tepat satu titik, maka garis tersebut dikatakan menyinggung lingkaran (limit).

b) Jika garis tersebut memotong kurva tepat satu kali, maka belum tentu garis tersebut menyinggung kurva.

c) Jika titik P dan Q pada suatu kurva dalam bidang xy, maka garis PQ adalah garis potong pada kurva tersebut. Jika titik Q digerakkan menuju ke titik P, maka terjdilah garis singgung pada kurva tersebut di titik P. Dikatakan bahwa garis PQ menuju ke posisi limit.

3. Luas pada suatu bidang xy, yang berada dibawah suatu kurva yang sukar menghitungnya, dapat dilakukan dengan cara membuat segiempat-segiempat di bawah kurva tersebut dan menjumlahkannya. Maka hasilnya akan mendekati luas yang sebenarnya dapat dikatakan nilai limit.

B. Definisi Limit.

Bilangan L disebut limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati suatu nilai c, ditulis :

lim

𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = 𝐿

Artinya jika nilai x mendekati nilai c, maka f(x) mendekati L.

Sifat – sifat limit : 1. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑐 𝑥 → 𝑐 = 𝑐 2. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑐𝑓(𝑥) 𝑥 → 𝑐 = 𝑐 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑥)𝑥 → 𝑐 3. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [𝑓 + 𝑔]𝑥 𝑥 → 𝑐 = 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑥)𝑥 → 𝑐 + 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑔(𝑥)𝑥 → 𝑐

(2)

4. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [𝑓. 𝑔](𝑥) 𝑥 → 𝑐 = 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑥)𝑥 → 𝑐 . 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑔(𝑥)𝑥 → 𝑐 5. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [ 𝑓 𝑔](𝑥) 𝑥 → 𝑐 = lim𝑥→𝑐𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑐𝑔(𝑥)

Dimana c adalah bilangan konstan sembarang.

Contoh : 1. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 4𝑥𝑥 → 2 = 4 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑥 𝑥 → 2 = 4 .2 = 8 2. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 (𝑥2+ 4𝑥) 𝑥 → 2 = 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑥 2 𝑥 → 2 + 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 4𝑥 𝑥 → 2 = 22 + 4 . 2 = 4 + 8 = 12

Limit Besar Tak Hingga.

Adalah limit dengan rumus : 1. lim𝑛→∞𝑓 𝑥 = 𝐿 2. lim𝑛→− ∞𝑓 𝑥 = 𝐿

Contoh :

1. lim𝑥→∞1𝑥 = 1 = 0

2. lim𝑥→∞6𝑥+103𝑥−2 = lim𝑥→∞6+10/𝑥3−2/𝑥 = 1/2

Limit Palsu.

Adalah limit dengan bentuk : lim𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = ∞ atau lim𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = − ∞ Contoh : 1. lim𝑥→0𝑥12 = 1 0 = ∞ 2. lim𝑥→1 𝑥 2 𝑥−1 = lim𝑥→1𝑥2 lim𝑥→1𝑥−1 = 1 1−1 = ∞

(3)

C. Derivatif

Definisi : Derivatif fungsi f (ditulis f’ ) adalah fungsi dengan rumus : f’(x) = lim∆𝑥 →0𝑓 𝑥+ ∆𝑥 – 𝑓 ( 𝑥 )∆𝑥

apabila limit ini ada.

Contoh 1 : Cari f’(x) jika f(x) = x2 Jawab : f(x) = x2 - f( 𝑥 + ∆𝑥 ) = ( 𝑥 + ∆𝑥 )2 = x2 + 2 x ( ∆𝑥 ) + ( ∆𝑥 )2 Sehingga f’(x) = lim∆𝑥 →0𝑓 𝑥+ ∆𝑥 – 𝑓 ( 𝑥 )∆𝑥 = lim∆𝑥 →0( 𝑥+ ∆𝑥 ) 2– 𝑥2 ∆𝑥 = lim∆𝑥 →0𝑥 2+ 2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥2 ∆𝑥 = 2x Jadi f(x) = x2 - f’(x) = 2x. Secara umum f(x) = xn - f’(x) = nxn-1 Rumus- Rumus :

1. f(x) = C , maka f’ (x) = 0; atau y = C; maka y’ = 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 2. y = xn , maka y’ = n xn-1 3. Y = f(x) + g(x) ; maka Y’ = f’(x) + g’(x) 4. Y = f(x) . g(x) ; maka Y’ = f(x) . g’(x) + f’(x) . g(x) 5. Y = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ; maka Y’ = 𝑔(𝑥) 𝑓 ′(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) [𝑔 𝑥 ]2 6. Y = [f(x)]n ; maka Y’ = n [f(x)]n-1 . f’(x)

Contoh : Cari y’ jika 1. y = 5; maka y’ = 0 2. y = x5 ; maka y’ = 5 x4

(4)

3. y = [ x5 + 3 ] + [ x2 + 5 ] ; maka y’ = [5x4] + [2x] 4. y = [ x5 + 3 ] . [ x2 + 5 ] ; maka y’ = [ x5 + 3 ] . [ 2x ] + [ 5x4 + 3 ] . [ x2 + 5 ] 5. y = 𝑥5 𝑥+ 33 ; maka y’ = 𝑥 3 [5𝑥4] − [3𝑥2] [𝑥5+3] [𝑥3]2 6. y = [ x5 + 3 ]7 ; maka y’ = 7 [ x5 + 3 ]6 . [ 5x4 ]

D. Nilai Maksimum, Minimum, dan Titik Stasioner

1. f(x0 ) = nilai maksimum jika f pada domain S berlaku f(x0 ) ≥ f(x) untuk setiap x anggota dari S.

2. f(x0 ) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x0 )≤ f(x) untuk setiap x anggota dari S.

3. Misal f(x) = 1𝑥 dan S = [1,3], maka f(1) = 1 adalah nilai maksimum dan f(3) = 13 adalah nilai minimum.

4. Titik Stasioner diperoleh dari f’(x) = 0. Merupakan titik yang akan memberikan f bernilai maksimum atau minimum.

5. Misal f(x) = x2 dan S = [ -1, 3], maka f( -1) = 1, f(3) = 9.

Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x = 0, jadi x = 0, maka f(0) = 0

Sehingga f(x) = x2 , nilai maksimumnya adalah 9 dan nilai minimumnya = 0.

6. Sebuah kapal terhenti di tengah laut di A, berjarak 2 mil ke pantai B, jika yang akan dituju untuk mencari bantuan adalah di C yang berjarak 6 mil dari B. Berapa waktu tercepat jika, berlari di darat kecepatannya 10 mil/jam dan naik sekoci kecepatannya 6 mil/jam.

Jawab :

a). Dari A ke B kemudian ke C

Dari A ke B naik sekoci maka waktu yang diperlukan : W = 𝐾𝐽 = 6 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚2 𝑚𝑖𝑙 = 13 jam = 20 menit

dari B ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = 𝐾𝐽 = 10 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚6 𝑚𝑖𝑙 = 106 jam = 36 menit jadi keseluruhan waktu yang digunakan = 56 menit.

(5)

b) Dari A langsung ke C :

dari A langsung ke C maka waktu yang diperlukan : W = 𝐾𝐽 = 4+36 𝑚𝑖𝑙6 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚 = 6,36 jam = 1,05 jam = 63 menit.

c) Dari A ke D kemudian ke C :

dari A ke D naik sekoci maka waktu yang diperlukan : W = 𝐾𝐽 = 4+ 𝑥6 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚2 𝑚𝑖𝑙 = 4+ 𝑥6 2 jam

dari D ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = 𝐾𝐽 = 10 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚(6−𝑥 ) 𝑚𝑖𝑙 = (6−𝑥 ) 10 jam

jadi keseluruhan waktu yang digunakan : W = { 4+ 𝑥6 2 + (6−𝑥 ) 10 } jam

W = 4+ 𝑥6 2 + (6−𝑥 ) 10 = 16 4 + 𝑥2 + 101 ( 6 – x ) = 16 ( 4 + x2 )1/2 + 101 ( 6 – x ) Maka W’ = 16 . 12 ( 4 + x2 )-1/2 (2x) + 101 ( – 1 ) = 6 ( 4+ 𝑥𝑥 2 - 101 = 10 𝑥−6 ( 4+ 𝑥60 4+ 𝑥2 2

Karena nilai ekstrim dapat dicari dari persamaan W’ = 0 Dari W’ = 10 𝑥−6 ( 4+ 𝑥60 4+ 𝑥2 2 -- 60 4 + 𝑥2 ≠ 0 Jadi 10 x - 6 4 + 𝑥2 = 0

10 x = 6 4 + 𝑥2 100 x2 = 36 ( 4 + x2 ) 100 x2 = 144 + 36 x2

Maka didapat nilai x1 = 3/2 dan x2 = - 3/2 Jadi didapat nilai W = { 4+ 𝑥6 2 + (6−𝑥 ) 10 } jam

(6)

W = { 4+ (32)2 6 + (6−32 ) 10 } jam = { 4+ (94) 6 + (92 ) 10 } jam = { (254) 6 + 9 20 } jam

= { 5/2 6 + 20 9 } jam = { 12 5 + 20 9 } jam = { 25 + 27 } menit = 52 menit.

7. Suatu proyek pemasangan pipa air minum dari sumber air ke suatu lokasi penampungan. Dari sumber air ke penampungan memotong jalan raya dengan lebar 14 meter, jika jarak sumber air ke lokasi penampungan sejauh 100 m. Hitunglah biaya minimum jika pemasangan pipa di bawah aspal jalan raya biayanya 4 juta/meter dan di tepi jalan 2 juta/meter.

Jawab :

a) Jarak dari A ke B = 14 m dan dari B ke C = 100 m

Jika akan dilakukan pemasangan dari A ke B, kemudian dari B ke C, maka biaya yang diperlukan sebesar:

dari A ke B biaya pemasangan yang diperlukan = 14 x 4 = 56 juta dari B ke C biaya pemasangan yang diperlukan = 100 x 2 = 200 juta Jadi keseluruhan biayanya = 256 juta.

b) Biaya pemasangan dari A langsung ke C sebesar = 4 x 142 + 1002 = 4 x 10196 = 4 x 100,97 = 403,9 juta

c) Jika pemasangan dilakukan dengan cara :

dari A ke D biaya yang diperlukan = 4 x 𝑥2 + 142 juta dari D ke C biaya yang diperlukan = 2 x ( 100 – x ) juta

jadi keseluruhan biaya = B = 4 𝑥2 + 142 + 2 ( 100 – x ) = 4 𝑥2 + 196 + 200 – 2x 𝑑𝐵 𝑑𝑥 = 0 4𝑥 𝑥2+ 196 - 2 = 0 4𝑥 𝑥2+ 169 = 2 4x = 2 𝑥2 + 196 16 x2 = 4 ( x2 + 196 ) 16 x2 = 4 x2 + 784 12 x2 = 784

(7)

x2 = 784/12 = 65,3

x1 = 8,08 dan x2 = - (t.m)

jadi keseluruhan biaya = B = 4 8,082 + 196 + 2 ( 100 – 8,08 ) = 248,5 juta

8. Kertas karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi-sisinya berukuran 15 cm. Jika setiap ujung dipotong berbentuk bujur sangkar. Berapa ukuran kotak terbuka dengan volume terbesar yang dapat dibuat dari karton tsb.

Jawab :

Volume kotak terbuka adalah V = luas alas . tinggi = s . s . t = ( 15-2x ) ( 15-2x ) x V = 4x3 – 60x2 + 225x 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = 0 12x2 – 120x + 225 = 0

x1,2 =

−𝑏 + − 𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎

=

120 + 14400−10800 24

=

120 + 3600 24

=

120 + 60 24 x1 = (120+60)/24 = 7,5 ; x1 = (120-60)/24 = 2,5

Jadi volume terbesar jika x = 2,5

Sehingga V = 4(2,5)3 – 60(2,5)2 + 225(2,5) = 62,5-375+562,5 = 250

9. Suatu perusahaan akan menjual barang hasil produksinya dengan harga Rp 5000,-/biji. Serta setiap harinya menjual minimal 1000 satuan. Jika harga barang tersebut harganya dikurangi Rp 100,-/biji maka jumlah yang terjual akan meningkat 100 satuan.

Cari : a) fungsi harga, jika x = banyak barang yang terjual. b) fungsi pendapatan.

c) pendapatan harian maksimum. Jawab :

a) h(x) = 5000 – 100 [ 𝑥−1000100 ] = 6000 – x b) p(x) = x . h(x) = 6000 x – x2

c) 𝑑 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 6000 – 2x = 0, jadi x = 3000.

(8)

INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu.

Definisi : Fungsi F(x) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 disebut integral tak tentu dari fungsi f(x) pada interval tertutup [a,b] jika F’(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b]

Rumus : 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+11 𝑥𝑛+1+ 𝐶 Contoh : 1. 𝑥3 𝑑𝑥 = 14 𝑥4+ 𝐶 2. 𝑥5 𝑑𝑥 = 16 𝑥6+ 𝐶 3. 𝑥 [𝑥2 + 3]7 𝑑𝑥 = ...; misal A = x2 + 3, maka dA = 2x dx = 𝑥 𝐴7 𝑑𝐴2𝑥 = 12 𝐴7 𝑑𝐴 = 161 [ x2 + 3 ]8 + C B. Integral Tertentu ∆ L1 = f(x1 ) . ∆ x1 ∆ L2 = f(x2 ) . ∆ x2 ... ∆ Ln = f(xn ) . ∆ xn --- + L = 𝑛𝑖=1∆ 𝐿𝑖 = 𝑛𝑖=1𝑓( 𝑥𝑖 ) . ∆𝑥𝑖 L = lim∆𝑥𝑖 𝑛𝑖=1𝑓( 𝑥𝑖 ) . ∆𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 Jadi, L= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏

(9)

C. Pengembangan Rumus. 1. L = [ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥𝑎𝑏 2. V = 𝜋 [ 𝑓 𝑥 ]𝑎𝑏 2𝑑𝑥 3. V = 𝜋 { [ 𝑓 𝑥 ]𝑎𝑏 2 – 𝑔 𝑥 ]2 𝑑𝑥 4. P(AB) = 1 + [ 𝑎𝑏 𝑑𝑦𝑑𝑥 ]2 dx 5. L(AB) = 2𝜋 𝑦 1 + [ 𝑎𝑏 𝑑𝑦𝑑𝑥 ]2 dx Contoh :

1. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 ; sumbu x; dan garis tegak x = 2.

Jawab :

L = 𝑥02 2 𝑑𝑥 = [ 13 𝑥3 ]02 = 83

2. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = ex ; dari titik x=0 sampai dengan x = 2.

Jawab :

L = 𝑒02 𝑥 𝑑𝑥 = [ 𝑒𝑥 ]02 = e2 – e0

3. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 dan y = 4. Jawab :

L = [ 4 − 𝑥−22 2 ] 𝑑𝑥 = [ 4𝑥 − 13𝑥3 ]−22 = [8-8/3] – [ -8+8/3] = 32/3

4. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y = x, x = 4, dan sumbu x, kemudian diputar keliling sumbu x.

Jawab :

L = 𝜋 𝑥04 2 𝑑𝑥 = 𝜋[ 13𝑥3 ]04 = 64/3 𝜋

5. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y =

(10)

Jawab :

L = 𝜋 [4016 2− 𝑥 2 ] 𝑑𝑥 = 𝜋[ 16𝑥 − 12 𝑥2 ]160 = 128 𝜋 6. Hitung panjang kurva y = x, dari titik A(1,1) sampai B(4,4).

Jawab : P(AB) = 1 + [ 𝑎𝑏 𝑑𝑦𝑑𝑥 ]2 dx = 1 + 1 14 dx = 3 2

7. Hitung luas luasan busur putar jika kurva y = x, dari titik A(1,1) sampai B(4,4), diputar keliling sumbu x.

Jawab : L(AB) = 2𝜋 𝑦 1 + [ 𝑎𝑏 𝑑𝑦𝑑𝑥 ]2 dx = 2𝜋 𝑥 1 + 1 14 dx = 15 2 𝜋

D. Hubungan Koordinat Kartesius Dan Koordinat Polar (Kutub) P(x,y) = P(r,𝜃 ) dimana x = r cos 𝜃 dan y = r sin 𝜃

Sehingga : Persamaan lingkaran x2 + y2 – 2ax = 0 dalam koordinat polar r = 2a cos 𝜃 Persamaan lingkaran x2 + y2 + 2ax = 0 dalam koordinat polar r = - 2a cos 𝜃 Persamaan lingkaran x2 + y2 – 2ay = 0 dalam koordinat polar r = 2a sin 𝜃 Persamaan lingkaran x2 + y2 + 2ay = 0 dalam koordinat polar r = - 2a sin 𝜃 Cardioda r = a ( 1 – Cos 𝜃 ) Cardioda r = a ( 1 + Cos 𝜃 ) Gambar r = 2a cos 𝜃 𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360 Cos 𝜃 1 0,8 0,7 0,5 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,5 1 r 2a 1,6 1,4a a a 2a Gambar r = 2a sin 𝜃 𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360 Sin 𝜃 0 0,5 0,7 0,8 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,8 0

r 0 a 1,4a 1,6a 2a 1,4a 0

Gambar Cardioda r = a ( 1 – Cos 𝜃 )

𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360

Cos 𝜃 1 0,8 0,7 0,5 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,5 1

(11)

Dalam koordinat kutub L= 𝛼𝛽12 𝑟2 d𝜃

Contoh : Tentukan luas daerah di kuadran I, yang berada diluar lingkaran r = 2 dan didalam lingkaran r = 4 cos 𝜃 ( [cos 𝑥 ]𝑛 𝑑𝑥 = [cos 𝑥 ] 𝑛 −1 . [sin 𝑥 ] 𝑛 + 𝑛−1 𝑛 [cos 𝑥 ]𝑛−2 𝑑𝑥 Jawab : L= 𝛼𝛽21 𝑟2 d𝜃 = 0𝜋/312 { [ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜃] – 4 ] d𝜃 = 0𝜋/312 [ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜃] d𝜃 - 0𝜋/32 d𝜃 = 8 [cos 𝜃 ] [sin 𝜃 ]0 𝜋 /3 2 + 4 𝜋/3 0 d𝜃 - 2 𝜋/3 0 d𝜃 = 4 cos (𝜋/3) .sin (𝜋/3) + 2 (𝜋/3)

E. Integral Lipat Dua

∆ V1 = f(x1 , y1 ) . ∆ L1 ∆ V2 = f(x1 , y1 ) . ∆ L1 ... ∆ Vn = f(xn , yn ) . ∆ Ln --- + V = 𝑛𝑖=1∆ 𝑉𝑖 = 𝑛𝑖=1f(xi , yi ) . ∆ Li V = lim∆𝐿𝑖 f(xi , yi ) . ∆ Li 𝑛 𝑖=1 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅 Contoh :

1. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + y + z = 2 dan bidang-bidang koordinat. Jawab :

V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅 = 𝑥=02 𝑦=02−𝑥 2 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥=02 2 1 𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 8/6 2. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + z = 2 ; y = 5 dan bidang-bidang koordinat.

Jawab :

(12)

3. Sebuah tangki berbentuk kerucut penuh dengan air. Jika tinggi tangki 10 m dan jari-jari 4 m. Maka tentukan daya yang diperlukan untuk memompa air sampai tepi atas tangki. Jawab :

W = F . d ( daya = gaya . jarak )

∆ W = 𝛿𝜋 [ 4𝑦10 ]2 . ∆𝑦 . [10-y] = = 𝛿𝜋 [ 4𝑦10 ]2 . [10-y] . ∆𝑦 = 𝛿𝜋 [ 10016 ] . [10y2 – y3] . ∆𝑦 W = 𝛿 𝜋 [ 010 10016 ] . [10 y2 – y3] dy = 16 𝛿 𝜋100 [ 103 𝑦3− 14 𝑦4 ]100 = 133,3. 𝛿𝜋 F. Luas Permukaan L(P ) = 𝜕𝑧𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑦𝜕𝑧 2+ 1 𝑅 dR

Contoh 1 : Hitung luas permukaan bidang y+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=0, y=0, z=0, dan x = 5.

Jawab :

z=3-y -𝜕𝑧𝜕𝑥 = 0 ; dan 𝜕𝑦𝜕𝑧 = -1

L(P) = 𝑥=05 𝑦=03 0 + 1 + 1 dy dx = 2 [𝑦]𝑥=05 30 dx = 2 𝑥=05 3 dx = 2[3𝑥]05 = 15 2

Contoh 2 : Hitung luas permukaan bidang x+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=0, y=0, z=0, dan y = 5.

Jawab :

z=3-x -𝜕𝑧𝜕𝑥 = -1 ; dan 𝜕𝑦𝜕𝑧 = 0

L(P) = 𝑥=03 𝑦=05 1 + 0 + 1 dy dx = 2 [𝑦]𝑥=03 50 dx = 2 𝑥=05 5 dx = 2[5𝑦]03 = 15 2

G. Transformasi Jacobian

Misal 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅 akan diganti dengan variabel baru U dan V, dimana antara U dan V dengan x dan y terdapat hubungan fungsional x = h(U,V) dan y = g(U,V) serta setiap pasang (U,V) terdapat satu pasang (x,y); Maka

(13)

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅 = 𝑓 𝑕 𝑈, 𝑉 , 𝑔 𝑈, 𝑉 𝐽 𝑑𝑈 𝑑𝑉𝑅 dimana J = 𝜕𝑥 𝜕𝑈 𝜕𝑥 𝜕𝑉 𝜕𝑦 𝜕𝑈 𝜕𝑦 𝜕𝑉

Misal x = r cos 𝜃 dan y = r sin 𝜃 ,

maka 𝜕𝑥𝜕𝑟 = cos 𝜃 ; 𝜕𝑥𝜕𝜃 = - r sin 𝜃 dan 𝜕𝑦𝜕𝑟 = sin 𝜃 ; 𝜕𝑦𝜕𝜃 = r cos 𝜃

sehingga J = 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝜃

= cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃 = r (cos 𝜃)2 + r (sin 𝜃)2 =

= r { (cos 𝜃)2 + (sin 𝜃)2 } = r . 1 = r

Jadi 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅 = 𝑓 𝑟, 𝜃 𝐽 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅 = 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅

Contoh 1 : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x2 + y2; diatas bidang z = 0 dan di dalam tabung x2 + y2 = 2x.

Jawab :

V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅 = [𝑥𝑥 𝑦 2+ 𝑦2 ] 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Dengan transformasi Jacobian :

z = x2 + y2 = r2 ;

x2 + y2 = 2x dirubah menjadi r2 = 2r cos 𝜃 jadi r = 2 cos 𝜃

didapat batas untuk 𝜃 adalah 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2 dan untuk r adalah 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 cos 𝜃 V1 = 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅 = 𝑟2 2 cos 𝜃 𝑟=0 . 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝜋/2 𝜃=0 = 𝑟3 2 cos 𝜃 𝑟=0 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝜋/2 𝜃=0

= 𝜃=0𝜋/2 41 [𝑟4]02 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝜃=0𝜋/2 41 [ 16 (cos 𝜃 )4 𝑑𝜃 = 4 𝜃=0𝜋/2 34 (cos 𝜃 )2 𝑑𝜃 = 3 𝜃=0𝜋/2 12 𝑑𝜃 = [3/2] [ 𝜋/2]

V = 2 V1 = = [3/2][ 𝜋

Contoh 2 : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x2 + y2; diatas bidang z = 0 dan di dalam tabung x2 + y2 = 2y.

(14)

Daftar Pustaka Referensi.

1. Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Kalkulus Dan Geometri Analitis, Penerbit Erlangga, Jakarta.

2. Frank Ayres JR, Differential And Integral Calculus, Schaum’s Outline Series 3. Earl W. Swokowski, Calculus With Analytic Geometry, Marquette University

(15)

INTEGRASI NUMERIK Pendahuluan.

Integral suatu fungsi disajikan dalam bentuk : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏

Integral tersebut digunakan untk menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x, dengan batas x=a dan x=b.

Metode Trapesium.

Metode Trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik, dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x) dianggap garis lurus.

Metode Trapesium 1 pias.

Sehingga untuk menghitung suatu luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x dari x=a sampai x = b, dihitung dengan rumus L = [b-a] 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)2

Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5. Jawab : x1 = 2 → f(𝑥1 ) = 4 ; x2 = 5 → f(𝑥1 ) = 25 ; L = [5-2] 4+25 2 = 87 2 = 43,5

Metode Trapesium n-pias. L= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑥0 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑥𝑥1 0 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥1 +... + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑥𝑛−1 = ∆𝑥𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑎)2 + ∆𝑥𝑓 𝑥1 + 𝑓( 𝑥2 0 ) + ∆𝑥𝑓 𝑥2 + 𝑓( 𝑥2 1 ) + .... ∆𝑥𝑓 𝑏 + 𝑓( 𝑥2 𝑛 −1 ) + = ∆𝑥2 [ f(x0) + f(a) + f(x1) + f(x0) + f(x2) + f(x1) + ... + f(b) + f(xn-1) ] = ∆𝑥2 [ f(a) + f(b) + 2 𝑛−1𝑖=0 f(xi) ] Contoh :

1. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 ; sumbu x; dari x=2 sampai x=5

(16)

Jawab :

Misal ambil pias n=3, maka ∆𝑥 = 𝑏−𝑎𝑛 = 5−23 = 1. Jadi, titik a = 2, b = 5 dan x0 = 3, x1 = 4

f(a) = 4; f(b) = 25 ; f(x0 ) = 9 ; f(x1 ) = 16 L = ∆𝑥2 [ f(a) + f(b) + 2 𝑛−1𝑖=0 f(xi) ] =

1

2 [ 4 + 25 + 2 (9+16) ] = 39,5

2. Diberikan data sebagai berikut :

x 0 1 2 3

f(x) 5 9 17 27

Hitung luasan dibawah f(x) dan diantara x = 0 dan x = 3. Jawab :

Jadi, L = 12 [ 5 + 27 +2(9+17)] = 42

3. Dalam suatu pengamatan pada jumlah kendaraan yang melewati suatu ruas jalan didapat data sebagai berikut :

Hitunglah jumlah kendaraan yang melewati jalan tersebut dalam satu hari. Jawab : No Waktu Kend/mnt f(x) 1 0 3 3 2 120 2 4 No Waktu Kend/mnt 1 0.00 3 2 2.00 2 3 4.00 1 4 6.00 4 5 8.00 12 6 10.00 7 7 12.00 8 8 14.00 9 9 16.00 11 10 18.00 12 11 20.00 9 12 22.00 4 13 24.00 2

(17)

3 240 1 2 4 360 4 8 5 480 12 24 6 600 7 14 7 720 8 16 8 840 9 18 9 960 11 22 10 1080 12 24 11 1200 9 18 12 1320 4 8 13 1440 2 2 163

Jumlah kendaraan dalam 1 hari = (1440/12)/2 * 163 = 9780

Metode Simpson.

Metode Simpson 1/3 dengan 2 pias L = 𝑏−𝑎6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ]

Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5. Jawab :

Ambil 3 titik a = 2, b = 5 dan c = 3,5 ; maka f(a) = 4 ; f(b) = 25 ; dan f(c) = 12,25 L = 𝑏−𝑎6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ] = 5−26 [ 4 + 4 (12,25) + 25 ] = 39

Metode Simpson 1/3 dengan n-pias

L = ∆𝑥3 [ f(a) + f(b) + 4 𝑛−1𝑖=1 𝑓 𝑥𝑖 + 2 𝑛−2𝑖=2 𝑓 𝑥𝑖 ]

Dimana 4 𝑛−1𝑖=1 𝑓 𝑥𝑖 untuk i gasal dan 2 𝑛−2𝑖=2 𝑓 𝑥𝑖 untuk i genap

Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5. Jawab :

(18)

Misal banyak pias n = 4, maka ∆x = 5−24 = 0,75, didapat a=2 ; x1 = 2,75 ; x2 = 3,5 ; x3 = 4,25 ; b = 5

Jadi f(a) = 4 ; f(x1 ) = 7,56 ; f(x2 ) = 12,25 ; f(x3 ) = 18,06 ; f(b) = 25. L = 0,753 [ 4 + 25 + 4( 7,56 + 18,06 ) + 2 ( 12,25) ] = 38,995

AKAR-AKAR PERSAMAAN

Untuk mencari akar-akar persamaan polinomial derajad dua, misal bentuk ax2 + bx + c = 0 dapat dicari dengan rumus x1,2 =

−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎 . Misal : x2 – x – 6 = 0, maka x1,2 = −𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐 2𝑎 = 1 ± 1+24 2 ; jadi x1 = 3 dan x2 = -2

Sedangkan untuk polinomial derajad tiga, empat dapat dilakukan dengan metode sebagai berikut :

Metode Newton Raphson : xi+1 = xi – 𝒇(𝒙𝒊 ) 𝒇′ (𝒙

𝒊 )

Contoh : Cari salah satu akar dari : x3 + x2 -3x – 3 = 0 Jawab : 1) f(x) = x3 + x2 -3x – 3 → f’ (x) = 3x2 + 2x -3 2) ambil x1 = 1 → f(x=1) = -4 dan f’(x=1) = 2 3) x2 = x1 – 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓′ (𝑥𝑖 ) = 1 - −4 2 = 3 4) ambil x2 = 3 → f(x=3) = 24 dan f’(x=3) = 30 5) x3 = x2 – 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓′ (𝑥 𝑖 ) = 3 - 24 30 = 2,2 6) ambil x3 = 2,2 → f(x=2,2) = 5,89 dan f’(x=2,2) = 15,92 7) x4 = x3 – 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓′ (𝑥𝑖 ) = 2,2 – 5,98 15,92 = 1,83 8) ambil x5 = 1,83 → f(x=1,83) = 0,98 dan f’(x=1,83) = 10,71 9) x6 = x5 – 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓′ (𝑥 𝑖 ) = 1,83 – 0,98 10,71 = 1,73 10) ambil x6 = 1,71 → f(x=1,71) = -0,21 dan f’(x=1,71) = 9,19 11) x7 = x6 – 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓′ (𝑥𝑖 ) = 1,71 - −021 9,19 = 1,73

(19)

INTERPOLASI

Intepolasi digunakan untuk mencari suatu nilai dari beberapa nilai yang sudah diketahui. Interpolasi Linier. f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥1− 𝑥0 (x – x0 ) Interpolasi Kuadrat. f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 ) dengan b0 = f(x0 ) ; b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥1− 𝑥0 ; b2 = 𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )𝑥1 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥0

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu. f1 (x) =

𝑥− 𝑥1

𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) + 𝑥− 𝑥0

𝑥1− 𝑥0 f( x1 )

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua. f2 (x) = 𝑥− 𝑥1 𝑥0− 𝑥1 𝑥− 𝑥2 𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥1− 𝑥0 𝑥− 𝑥2 𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥2− 𝑥0 𝑥− 𝑥1 𝑥2− 𝑥1 f( x2 )

Contoh 1 : Diberikan data sebagai berikut

X 0,6 1,1 1,6

f(x) 2,139 2,815 3,955

Jika x = 1,4 maka cari f(x=1,4). Jawab : Interpolasi Linier. f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥1− 𝑥0 (x – x0 ) = 2,139 + 2,815 – 2,139 1,1− 0,6 (1,4 – 0,6 ) = 3,221 Interpolasi Kuadrat. f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 ) b0 = f(x0 ) = 2,139 b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥1− 𝑥0 = 2,815− 2,139 1,1−0,6 = 1,352 b2 = 𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )𝑥1 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥0 = 3,995 – 2,815 1,6 − 1,1 − 2,815 – 2,139 1,1 − 0,6 1,6 − 0,6 = 0,928

(20)

f2 = 2,139 + 1,352 (1,4-0,6) + 0,928 (1,4-0,6) (1,4-1,1) = 3,443

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu. f1 (x) = 𝑥− 𝑥1 𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥1− 𝑥0 f( x1 ) = 1,4− 1,1 0,6−1,1 (2,139 ) + 1,4− 0,6 1,1−0,6 (2,815 ) = 3,221

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua. f2 (x) = 𝑥− 𝑥1 𝑥0− 𝑥1 𝑥− 𝑥2 𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥1− 𝑥0 𝑥− 𝑥2 𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥2− 𝑥0 𝑥− 𝑥1 𝑥2− 𝑥1 f( x2 ) = 1,4−1,10,6−1,1 0,6− 1,61,4−1,6 (2,139 ) + 1,4− 0,61,1− 0,6 1,4− 1,61,1− 1,6 ( 2,815 ) + 1,4− 0,61,6− 0,6 1,4− 1,11,6− 1,1 ( 3,955 ) = 3,187

Contoh 2 : Diberikan nilai ln sebagai berikut :

x 2 3 6 f(x) = ln x 0,693 1,098 1,792 Cari nilai ln 5 ? Nilai ln 5 = 1,609 Jawab : Interpolasi Linier. f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥1− 𝑥0 (x – x0 ) = 1,098 + 1,792 –1,098 6 −3 (5 – 3 ) = 1,561 Interpolasi Kuadrat. f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 ) b0 = f(x0 ) = 0,693 b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥1− 𝑥0 = 1,098 – 0,693 3 −2 = 0,405 b2 = 𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 ) 𝑥2 − 𝑥1 − 𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )𝑥1 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥0 = 1,792 –1,098 6 − 3 − 1,098 −0,693 3 − 2 6 − 2 = 0,231−0,405 4 = - 0,043 f2 = 0,693 + 0,405 (5-2) – 0,043 (5-2) (5-3) = 1,908 – 0,258 = 1,65

(21)

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu. f1 (x) = 𝑥− 𝑥1 𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥1− 𝑥0 f( x1 ) = 5 − 3 2−3 (0,693 ) + 5−2 3−2 (1,098) = 1,908

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua. f2 (x) = 𝑥− 𝑥1 𝑥0− 𝑥1 𝑥− 𝑥2 𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥1− 𝑥0 𝑥− 𝑥2 𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) + 𝑥− 𝑥0 𝑥2− 𝑥0 𝑥− 𝑥1 𝑥2− 𝑥1 f( x2 ) = 5−32−3 5−62−6 (0,693 ) + 5−23−2 5−63−6 ( 1,098 ) + 6− 25−2 5−36−3 ( 1,792 ) = 1,648

Contoh 3 : Diberikan data dari hasil pengamatan antara kecepatan dan jarak henti sebagai berikut Kecepatan (km/jam) 30 40 50 60 70 Jarak henti (m) 46 65 90 111 148

a) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 45 km/jam, perkirakan jarak hentinya. b) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 55 km/jam, perkirakan jarak hentinya. Jawab

(22)

MATRIKS Notasi Matriks. A = [ aij ] A = 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 … . 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛

A disebut matrik bertipe m x n, artinya terdiri dari m baris dan n kolom. .

Penjumlahan Matriks

Jika A = 𝑎𝑖𝑗 dan B = 𝑏𝑎𝑖𝑗 betipe/berdimensi mxn maka C = A ± B = 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 juga bertipe mxn Contoh : A = 1 2 34 5 6 dan B = 10 12 1314 15 16

C = A + B = 1 2 3

4 5 6 + 10 12 1314 15 16 = 11 14 1618 20 22

Perkalian 2 Matriks.

Perkalian 2 matriks dapat dilakukan jika, banyaknya elemen kolom matriks pertama sama dengan banyaknya elemen baris matriks kedua.

A x B = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 x 𝑏𝑗𝑘 𝑛𝑥𝑝 = 𝑐𝑖𝑘 𝑚𝑥𝑝 = C Contoh 1 : A = 1 2 3 4 5 6 dan B = 7 10 8 11 9 12 A x B = 1 2 34 5 6 x 7 10 8 11 9 12 = 1 7 + 2 8 + 3(9) 1 10 + 2 11 + 3(12)4 7 + 5 8 + 6(9) 4 10 + 5 11 + 6(12) = 50 68 122 167

(23)

Contoh 2 : A = 1 2 34 5 6 dan B = 4 5 6 7 8 9 1 2 3 Invers Matrik.

Matrik A-1 disebut invers dari matrik A, jika A.A-1 = A-1 . A = I

Dimana I = 1 0 0 1 atau 1 0 0 0 1 0 0 0 1 dst Contoh 1 : Matrik A = 2 −13 −4 dan A-1 = - 15 −4 1−3 2

A-1 merupakan invers dari A, sebab A. A-1 = - 15 2 −1

3 −4 −4 1−3 2 = - 15 2 −4 + −1 (−3) 2 1 + −1 23 −4 + −4 (−3) 3 1 + −4 2 = - 15 −5 0 0 −5 = 1 00 1 Contoh 2 : Matrik A = 1 3 3 1 4 3 1 3 4 dan A-1 = 7 −3 −3 −1 1 0 −1 0 1

A-1 merupakan invers dari A, sebab A. A-1 =

1 3 3 1 4 3 1 3 4 7 −3 −3 −1 1 0 −1 0 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Mencari Invers Matrik.

Contoh 1 : Cari Invers Matrik A = 2 −13 −4 Jawab :

(24)

1 −1/2

3 −4 1/2 00 1 baris 1 dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2 1 −1/2 0 −5/2 1/2 0 −3/2 1 baris 2 dikalikan (-2/5) 1 −1/2 0 1 1/2 0

3/5 −2/5 baris 2 dikalikan (1/2) ditambahkan ke baris 1 1 0 0 1 4/5 −1/5 3/5 −2/5 jadi A-1 = 4/5 −1/5 3/5 −2/5 = - 1 5 −4 1−3 2

Contoh 2 : Cari Invers Matrik A =

1 3 3 1 4 3 1 3 4 Jawab : 1 3 3 1 4 3 1 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

baris 2 – baris 1 ; baris 3 – baris 1

1 3 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 −1 1 0 −1 0 1

baris 2 dikalikan (–3) ditambahkan ke baris 1

1 0 3 0 1 0 0 0 1 4 −3 0 −1 1 0 −1 0 1

baris 3 dikalikan (–3) ditambahkan ke baris 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 −3 −3 −1 1 0 −1 0 1 dan A-1 = 7 −3 −3 −1 1 0 −1 0 1

Contoh 3 : Cari Invers Matrik A =

2 −3 4 4 3 −1 1 2 −4 Jawab : 2 −3 4 4 3 −1 1 2 −4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

(25)

baris 1 dikalikan 12 1 −3/2 2 4 3 −1 1 2 −4 1/2 0 0 0 1 0 0 0 1

baris 1 dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 2; baris 1 dikalikan (-1) ditambahkan ke baris 3.

1 −3/2 2 0 9 −9 0 7/2 −6 1/2 0 0 −2 1 0 −1/2 0 1 Baris 2 dikalikan (1/9) 1 −3/2 2 0 1 −1 0 7/2 −6 1/2 0 0 −2/9 1/9 0 −1/2 0 1

Baris 2 dikalikan (3/2) ditambahkan ke baris 1; baris 2 dikalikan (-7/2) ditambahkan ke baris 3. 1 0 1/2 0 1 −1 0 0 −5/2 3/18 3/18 0 −2/9 1/9 0 5/18 −7/18 1 baris 3 dikalikan (-2/5) 1 0 1/2 0 1 −1 0 0 1 3/18 3/18 0 −2/9 1/9 0 −10/90 14/90 −2/5

Penyebut disamakan menjadi per-90

1 0 1/2 0 1 −1 0 0 1 15/90 15/90 0 −20/90 10/90 0 −10/90 14/90 −36/90

Baris 3 ditambahkan ke baris 2; baris 3 dikalikan (-1/2) ditambahkan ke baris 1.

1 0 0 0 1 0 0 0 1 20/90 8/90 18/90 −30/90 24/90 −36/90 −10/90 14/90 −36/90 Jadi dan A-1 = 20/90 8/90 18/90 −30/90 24/90 −36/90 −10/90 14/90 −36/90 = 1 90 20 8 18 −30 24 −36 −10 14 −36

(26)

Sistem Persamaan Linier. a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bn dapat ditulis dalam bentuk matrik :

𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 … . 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑛

Contoh 1 : Diberikan sistem persamaan linier x1 + 2x2 + x3= 2 3x1 + x2 – 2x3 = 1 4x1 – 3x2 – x3 = 3 Cari x1 ; x2 ; x3. Jawab : 1 2 1 3 1 −2 4 −3 −1 2 1 3

baris 1 dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2

1 2 1 0 −5 −5 4 −3 −1 2 −5 3

baris 1 dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 3

1 2 1 0 −5 −5 0 −11 −5 2 −5 −5

baris 2 dikalikan (-11/5) ditambahkan ke baris 3

1 2 1 0 −5 −5 0 0 6 2 −5 6

baris 2 dikalikan (-11/5) ditambahkan ke baris 3

x1 + 2x2 + x3= 2 - 5x2 – 5x3 = -5

(27)

Atau : 1 2 1 0 −5 −5 0 0 6 2 −5 6

baris 2 dikalikan (-1/5) didapat

1 2 1 0 1 1 0 0 6 2 1 6

baris 2 dikalikan (-2) ditambahkan ke baris 1 didapat

1 0 −1 0 1 1 0 0 6 0 1 6

Baris 3 dikalikan (1/6) didapat

1 0 −1 0 1 1 0 0 1 0 1 1

Baris 3 dikalikan (-1) ditambahkan ke baris 2 ; baris 3 ditambakan ke baris 1.

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 jadi x1 = 1 ; x2 = 0 ; dan x3 = 1

Contoh 2 : Seorang yang tinggal pada satu perumahan, memilih alat transportasi untuk pergi ke tempat kerjanya yakni dengan taksi, angkot dan bus. Adapun karakteristik dari ke-tiga moda adalah sebagai berikut :

Taksi (x1 ) Angkot (x2) Bus (x3)

Waktu tempuh 1/3 ½ 1

Jumlah tempat henti 0 2 7

Biaya 4 1 1/2

Dalam satu bulan orang tersebut menghabiskan waktu 14 jam,76 kali berhenti, biaya 26 rupiah. Hitung berapa kali orang tersebut menggunakan setiap moda.

Jawab :

Waktu tempuh : 1/3 x1 + ½ x2 + x3 = 14 Jumlah henti : 2x2 + 7x3 = 76 Biaya : 4x1 + x2 + 1/2x3 = 26

(28)

1/3 1/2 1 0 2 7 4 1 1/2 14 76 26

baris 1 dikalikan (-12) ditambahkan ke baris 3

1/3 1/2 1 0 2 7 0 −5 −23/2 14 76 −142

baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3

1/3 1/2 1 0 2 7 0 0 6 14 76 48

baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3

1/3 x1 + ½ x2 + x3 = 14 2x2 + 7x3 = 76

6x3 = 48, maka x3 = 8 ; x2 = 10 ; x1 = 3

Jadi orang tersebut untuk pergi ke tempat kerja 3 kali naik taksi 10 naik angkot dan 8 kali naik bus.

Buku Acuan :

Amrinsyah Nasution & Hasballah Zakaria, Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB Bandung.

Budi Murtiyasa, 2012, Matriks & Sistem Persamaan Linear, Muhammadiyah University Pres, Surakarta.

(29)

PROGRAM LINIER

Program Linier merupakan salah satu model dari Riset Operasi, dimana Riset Operasi ini merupakan alat untuk menjawab masalah, yakni mengoptimalkan atau meminimalkan suatu fungsi, yakni fungsi sasaran dengan syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi.

Jika fungsi sasaran dan syarat-syaratnya linier maka Program Linier dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Permasalah Program Linier :

Fungsi Tujuan : f(x) = a1x1 + a2x2 + ... + anxn Syarat-syarat : a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn≤ b2 ...

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn≤ bm dan xi≥ 0 ; untuk setiap i = 1 .... n

Masalah Program Linier dan Penyelesaian Cara Grafik.

Contoh 1 : Suatu industri rumah tangga pembuat kerudung. Ada 2 macam model yang dibuat yakni model A dan model B. Ada 3 karyawan yang bekerja, karyawan 1 perminggu hanya bekerja 8 jam, karyawan 2 selama 15 jam, dan karyawan 3 selama 30 jam. Proses pembuatan kerudung setiap 1 losin (12 biji) untuk model A dikerjakan oleh karyawan 1 selama 2 jam, karyawan 3 selama 6 jam, sedangkan model B dikerjakan oleh karyawan 2 selama 3 jam dan karyawan 3 selama 5 jam.. Jika setiap penjualan 1 losin kerudung Model A memberi keuntungan 30.000 dan 1 losin model B memberi keuntungan 50.000. Maka berapa lusin model A dan model B harus dibuat agar keuntungannya maksimal. Jawab :

Model A Model B Jam Kerja

Karyawan 1 Karyawan 2 Karyawan 3 2 0 6 0 3 5 8 15 30 Keuntungan x . 10000 3 5 Fungsi tujuan : f = 3x + 5y Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8 2) 3y ≤ 15

(30)

3) 6x + 5y ≤ 30

Untuk fungsi tujuan : f = 3x + 5y didapatkan hasil : Untuk titik A(4,0) → f = 12

B(4, 6/5) → f = 12 + 6 = 18 C(5/6 , 5) → f = 5/2 + 25 = 27,5 D(0,5) → f = 25

Jadi, model A = 5/6 lusin, model 5 lusin dan keuntungan 275.000.

Contoh 2 : Seorang petani memiliki 16 ha tanah yang akan padi dan jagung. Adapun datanya sebagai berikut :

Sarana Padi Jagung bi satuan

Tanah Modal Air 1/5 3 12 2/5 2 0 16 120 360 Ha Ribu rupiah jam 2 1 Ribu rupiah Jawab : Fungsi tujuan : f = 2x + y Syarat-syarat : 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 2) 3x + 2y ≤ 120 3) 12x ≤ 360 Disederhanakan menjadi : 1) x + 2 y ≤ 80 2) 3x + 2y ≤ 120 3) x ≤ 30

Untuk fungsi tujuan : f = 2x + y didapatkan hasil : Untuk titik A(30,0) →

B(30, 15) → f = 60 + 15 = 75 C(20, 30) → f = 40 + 30 = 70

(31)

D(0,40) → f = 40 Untuk syarat-syarat didapatkan hasil : Untuk titik : A(30,0) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 6 ≤ 16 2) 3x + 2y ≤ 120 → 90 ≤ 120 3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360 B(30, 15) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 6+6 = 12 ≤ 16 2) 3x + 2y ≤ 120 → 90+30 = 120 ≤ 120 3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360 C(20, 30) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 4 + 12 = 16 ≤ 16 2) 3x + 2y ≤ 120 → 60+60 = 120 ≤ 120 3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360 D(0,40) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 16 ≤ 16 2) 3x + 2y ≤ 120 → 80 ≤ 120 3) 12x ≤ 360 → 0 ≤ 360

Masalah Program Linier dan Penyelesaian Metode Simplex. Jawab 1 :

Fungsi tujuan : f = 3x + 5y Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8

2) 3y ≤ 15 3) 6x + 5y ≤ 30

(32)

Langkah-langkah penyelesaian :

1. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut : Fungsi tujuan : f = 3x + 5y diubah menjadi f – 3x – 5y = 0

Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8 diubah menjadi 2x + s1 = 8 2) 3y ≤ 15 diubah menjadi 3y + s2 = 15 3) 6x + 5y ≤ 30 diubah menjadi 6x + 5y + s3 = 30

2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut :

f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 s3 1 0 0 0 -3 -5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 0 8 15 30

3. Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat (-5) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) :

0 3 5

4. Pilih baris kunci; (lihat 2) baris s1 ada nilai =

8 0 = ~ ; baris s2 = 15 3 = 5; baris s3 = 30

5 = 6. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s2 = 15 3 = 5. f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 s3 1 0 0 0 -3 -5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 0 8 15 30 F s1 y s3 1 0 0 0 0 3 0 1 0 15

5. Baris kunci dikalikan 1/3 didapat

f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 s3 1 0 0 0 -3 -5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 0 8 15 30 F s1 y s3 1 0 0 0 0 1 0 1/3 0 5

(33)

a) Baris y dikalikan 5 (0 5 0 5/3 0 25), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris y dikalikan (-5) (0 -5 0 -5/3 0 -25), ditambahkan ke baris s3.

f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 s3 1 0 0 0 -3 -5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 0 8 15 30 F s1 y s3 1 0 0 0 -3 0 0 5/3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1/3 0 6 0 0 -5/3 1 25 8 5 5 7. Kembali ke langkah 3 yakni : f x y s1 s2 s3 bi F s1 y s3 1 0 0 0 -3 0 0 5/3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1/3 0 6 0 0 -5/3 1 25 8 5 5 Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat (-3) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) : 2 0 6 8. Pilih baris kunci; (lihat 7) baris s1 ada nilai = 8 2 = 4 ; baris y = 5 0 = ~ ; baris s3 = 5 6 . Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s3 = 5 6 . f x y s1 s2 s3 bi F s1 y s3 1 0 0 0 -3 0 0 5/3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1/3 0 6 0 0 -5/3 1 25 8 5 5 F s1 y x 1 0 0 0 6 0 0 -5/3 1 5 9. Baris kunci dikalikan 1/6 didapat : f x y s1 s2 s3 bi F s1 y s3 1 0 0 0 -3 0 0 5/3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1/3 0 6 0 0 -5/3 1 25 8 5 5 F s1 y x 1 0 0 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

(34)

10. Pada kolom x, setiap barisnya dibuat 0 (nol)

a) Baris x dikalikan 3 (3 0 0 -5/6 1/2 5/2), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris x dikalikan (-2) (-2 0 0 5/9 -1/3 -5/3), ditambahkan ke baris s1.

f x y s1 s2 s3 bi F s1 y s3 1 0 0 0 -3 0 0 5/3 0 2 0 1 0 0 0 1 0 1/3 0 6 0 0 -5/3 1 25 8 5 5 F s1 y x 1 0 0 0 0 0 0 5/6 1/2 0 0 1 5/9 -1/3 0 1 0 1/3 0 1 0 0 -5/18 1/6 27,5 19/3 5 5/6 Jadi, didapat x = 5/6 ; y = 5 dan f = 27,5 Jawaban Contoh 2 : Fungsi tujuan : f = 2x + y Syarat-syarat : 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 2) 3x + 2y ≤ 120 3) 12x ≤ 360 Disederhanakan menjadi : 1) x + 2 y ≤ 80 2) 3x + 2y ≤ 120 3) x ≤ 30 Langkah-langkah penyelesaian : 1. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut : Fungsi tujuan : f = 2x + y diubah menjadi f – 2x – y = 0 Syarat-syarat : 1) x + 2y ≤ 80 diubah menjadi x + 2y + s1 = 80

2) 3x + 2y ≤ 120 diubah menjadi 3x + 2y + s2 = 120

3) x ≤ 30 diubah menjadi x + s3 = 30 2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut : f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 s3 1 0 0 0 -2 -1 0 0 0 1 2 1 0 0 3 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 80 120 30

(35)

3. Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat (-2) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) :

1 3 1

4. Pilih baris kunci; (lihat 2) baris s1 ada nilai =

8 1 = 80 ; baris s2 = 120 3 = 40; baris s3 = 30

1 = 30. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s3 =

30 1 = 30. f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 s3 1 0 0 0 -2 -1 0 0 0 1 2 1 0 0 3 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 80 120 30 F s1 s2 x 1 0 0 0 1 0 0 0 1 30 5. Baris kunci dikalikan, nilai pada kolom pertama 1. 6. Pada kolom x, setiap barisnya dibuat 0 (nol) a) Baris x dikalikan 2 (2 0 0 0 2 60), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris x dikalikan (-1) (-1 0 0 0 -1 -30), ditambahkan ke baris s1. c) Baris x dikalikan (-3) (-3 0 0 0 -3 -90), ditambahkan ke baris s2. f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 s3 1 0 0 0 -2 -1 0 0 0 1 2 1 0 0 3 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 80 120 30 F s1 s2 x 1 0 0 0 0 -1 0 0 2 0 2 1 0 -1 0 2 0 1 -3 1 0 0 0 1 60 50 30 30 7. Kembali ke langkah 3 yakni : f x y s1 s2 s3 bi F s1 s2 x 1 0 0 0 0 -1 0 0 2 0 2 1 0 -1 0 2 0 1 -3 1 0 0 0 1 60 50 30 30

Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat (-1) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) :

2 2 0

(36)

8. Pilih baris kunci; (lihat 7) baris s1 ada nilai =

50

2 = 25 ; baris s2 =

30

2 = 15 ; baris x

= 300 = ~ . Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s2 =

30 2 = 15. f x y s1 s2 s3 bi f s1 s2 x 1 0 0 0 0 -1 0 0 2 0 2 1 0 -1 0 2 0 1 -3 1 0 0 0 1 60 50 30 30 f s1 y x 1 0 0 0 0 2 0 1 -3 30

9. Baris kunci dikalikan 1/2 didapat : f x y s1 s2 s3 bi f s1 s2 x 1 0 0 0 0 -1 0 0 2 0 2 1 0 -1 0 2 0 1 -3 1 0 0 0 1 60 50 30 30 f s1 y x 1 0 0 0 0 1 0 1/2 -3/2 15

10. Pada kolom y, setiap barisnya dibuat 0 (nol) a) Baris y dikalikan 1 (0 1 0 1/2 -3/2 15), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris x dikalikan (-2) (0 -2 0 -1 3 -30), ditambahkan ke baris s1. f x y s1 s2 s3 bi f s1 s2 x 1 0 0 0 0 -1 0 0 2 0 2 1 0 -1 0 2 0 1 -3 1 0 0 0 1 60 50 30 30 f s1 y x 1 0 0 0 0 0 0 ½ 1/2 0 0 1 -1 2 0 1 0 1/2 -3/2 1 0 0 0 1 75 20 15 30 Jadi, didapat x = 30 ; y = 15 dan f = 75

(37)

ANALISA NETWORK

Analisa Network biasanya disusun untuk memudahkan pengurutan kegiatan yang kompleks, dimana kegiatan tersebut saling berhubungan.

Contoh 1 :

Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut :

Kegiatan Keterangan Kegiatan yang

mendahului Waktu (minggu) A B C D E F G Merencanakan Memesan mesin Menyesuaikan mesin Pesan material Buat rangka Finishing rangka

Pasang mesin pada rangka

- A B A D E C, F 11 3 9 5 4 2 6

Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut. Perencanaan tersebut disusun Network sbb :

Kemudian mencari jalur kritis sbb: A B 2 D E F G 7 C 3 0 A,11 11 11 B,3 14 11 D,5 16 14 2 C,9 23 16 E,4 20 20 F,2 22 23 G,6 29

(38)

Jadi waktu penyelesaian proyek 29 minggu. Contoh 2 :

Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut :

Kegiatan Kegiatan yang

mendahului Waktu (minggu) A B C D E F G H - - A B C C D,E F,G 3 4 3 5 5 3 5 3

Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut. Perencanaan tersebut disusun Network sbb :

Kemudian mencari jalur kritis sbb: A B C E D F G H 0 B,4 4 0 A,3 3 4 D,5 9 3 C,3 6 6 E,5 11 6 F,3 9 G,5 11 16 H,3 16 19

(39)

MODEL TRANSPORTASI

Model Transportasi merupakan model yang berkaitan dengan pendistribusian barang dari pusat penyediaan barang (sumber) ke tempat-tempat penerimaan barang (tujuan). Adapun persoalan yang akan dipecahakan pada model transportasi yakni menentukan pengiriman barang dari sumber ke tujuan dengan meminimalkan biaya.

Contoh 1 :

Seorang saudagar beras memiliki 3 gudang, yang akan mengirimkan berasnya ke 3 kota tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun kapasitas masing-masing gudang, permintaan dari 3 lokasi, serta biaya pengiriman terlihat pada tabel berikut :

Kapasitas masing-masing Gudang

Gudang Kapasitas Gudang

A 100

B 70

C 60

Total 230

Permintaan masing-masing Kota

Permintaan Kapasitas Gudang

Solo 60

Yogya 120

Semarang 50

Total 230

Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi.

Dari Biaya

Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang

Gudang A 22 7 10

Gudang B 17 22 12

Gudang C 27 12 21

(40)

Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method) Tabel awal :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Gudang Gudang A 22 7 10 100 Gudang B 17 22 12 70 Gudang C 27 12 21 60 Permintaan Beras 60 120 50 230

Penyelesaian berdasarkan tabel awal :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Gudang Gudang A 60 22 40 7 10 100 a b Gudang B 17 70 22 12 70 c Gudang C 27 10 12 50 21 60 d e Permintaan Beras 60 120 50 230

Jadi biaya pengiriman = 60(22) + 40(7) + 70(22) + 10(12) + 50(21) = 4310 Perbaiki tabel dengan coba-coba.

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Gudang Gudang A 22 100 7 10 100 a b Gudang B 60 17 10 22 12 70 c Gudang C 27 10 12 50 21 60 d e Permintaan Beras 60 120 50 230

(41)

Perbaiki tabel dengan coba-coba yang ke dua.

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Gudang Gudang A 22 50 7 50 10 100 a b Gudang B 60 17 10 22 12 70 c Gudang C 27 60 12 21 60 d e Permintaan Beras 60 120 50 230

Jadi biaya pengiriman = 50(7) + 50(10) + 60(17) + 10(22) + 60(12) = 2810

Dengan memilih biaya minimal lebih dulu. Tabel awal :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Gudang Gudang A 22 7 10 100 Gudang B 17 22 12 70 Gudang C 27 12 21 60 Permintaan Beras 60 120 50 230 Pengerjaan :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Gudang Gudang A 22 100 7 10 100 a Gudang B 20 17 22 50 12 70 c b Gudang C 40 27 20 12 21 60 e d Permintaan Beras 60 120 50 230

(42)

Contoh 2 :

Perusahaan air minum memiliki sumber air di 3 lokasi yakni Boyolali, Klaten dan Sarangan, yang akan mengirimkan produknya ke 3 kota tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun kapasitas masing-masing sumber air dan permintaan dari 3 kota, serta biaya pengiriman terlihat pada tabel berikut :

Kapasitas masing-masing Gudang

Sumber Kapasitas Produksi

Boyolali 5000

Klaten 6000

Sarangan 7000

Total 18000

Permintaan masing-masing Kota

Permintaan Kapasitas Bak Air

Solo 6000

Yogya 5500

Semarang 6500

Total 18000

Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi.

Dari Biaya

Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang

Boyolali 6 7 9

Klaten 8 5 10

Sarangan 7 4 5

Jawab :

Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method) Tabel awal :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Produksi Boyolali 6 7 9 5000 Klaten 8 5 10 6000 Sarangan 7 4 5 7000 Kapasitas Bak air 6000 5500 6500 18000

(43)

Penyelesaian berdasarkan tabel awal :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Produksi Boyolali 5000 6 7 9 5000 a Klaten 1000 8 5000 5 10 6000 b c Sarangan 7 500 4 6500 5 7000 d e Kapasitas Bak air 6000 5500 6500 18000

Jadi biaya pengiriman = 5000(6) + 1000(8) + 5500(5) + 500(4) + 6500(5) = 100.000

Dengan memilih biaya minimal lebih dulu. Tabel awal :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Produksi Boyolali 6 7 9 5000 Klaten 8 5 10 6000 Sarangan 7 4 5 7000 Kapasitas Bak air 6000 5500 6500 18000 Pengerjaan :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Produksi Boyolali 6 7 5000 9 5000 d Klaten 6000 8 5 10 6000 c Sarangan 7 5500 4 1500 5 7000 a b Kapasitas Bak air 6000 5500 6500 18000

(44)

MODEL PENUGASAN.

Model ini digunakan untuk masalah-masalah penugasan, yakni pemberian tugas dari pimpinan kepada karyawannya. Tujuannya untuk meminimalkan biaya atau memaksimalkan keuntungan.

Contoh 1 :

Suatu perusahaan mendapatkan 3 poyek, maka diperlukan 3 karyawannya yang bertanggung jawab untuk menyelesaikan masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut :

Karyawan Proyek A B C 1 13 16 8 2 10 12 13 3 11 14 9

Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawan tersebut harus dilakukan, agar biaya yang dikeluarkan seminimal mungkin.

Jawab : 1. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C 1 13 16 8 2 10 12 13 3 11 14 9

2. Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut.

Karyawan Proyek

A B C

1 5 8 0

2 0 2 3

3 2 5 0

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom B belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom B dengan angka terkecil dari kolom tersebut.

(45)

Karyawan Proyek

A B C

1 5 6 0

2 0 0 3

3 2 3 0

4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )

Karyawan Proyek

A B C

1 5 6 0

2 0 0 3

3 2 3 0

Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.

Jadi ada 2 garis yang melingkupi angka 0. Maka perlu memperbaiki matriks.

5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 2, kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang belum terliput garis.

Karyawan Proyek

A B C

1 3 4 0

2 0 0 3

3 0 1 0

6. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )

Karyawan Proyek

A B C

1 3 4 0

2 0 0 3

3 0 1 0

Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka 0. Berarti banyak garis = banyak baris, maka penugasan sudah optimal.

7. Kesimpulan :

Karyawan 1 ditugaskan ke proyek C dengan gaji 8. Karyawan 2 ditugaskan ke proyek B dengan gaji 12, dan Karyawan 3 ditugaskan ke proyek A dengan gaji 11.

(46)

Contoh 2 :

Suatu perusahaan mendapatkan 4 poyek, maka diperlukan 4 karyawannya yang bertanggung jawab untuk menyelesaikan masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut :

Karyawan Proyek A B C D 1 18 23 21 25 2 17 19 24 20 3 28 23 26 23 4 20 21 21 19

Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawn tersebut harus dilakukan, agar biaya yang dikeluarkan seminimal mungkin.

Jawab : 1. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C D 1 18 23 21 25 2 17 19 24 20 3 28 23 26 23 4 20 21 21 19

2. Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut.

Karyawan Proyek A B C D 1 0 5 3 7 2 0 2 7 3 3 5 0 3 0 4 1 2 2 0

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom C belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom C dengan angka terkecil dari kolom tersebut.

Karyawan Proyek A B C D 1 0 5 1 7 2 0 2 5 3 3 5 0 1 0 4 1 2 0 0

(47)

4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C D 1 0 5 1 7 2 0 2 5 3 3 5 0 1 0 4 1 2 0 0

Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.

Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka 0. Maka perlu memperbaiki matriks.

5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 1, kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI GARIS BERSILANGAN. Karyawan Proyek A B C D 1 0 4 0 6 2 0 1 4 2 3 6 0 1 0 4 2 2 0 0

6. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )

Karyawan Proyek A B C D 1 0 4 0 6 2 0 1 4 2 3 6 0 1 0 4 2 2 0 0

Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Berarti banyak garis = banyak baris, maka penugasan sudah optimal.

7. Kesimpulan :

Karyawan 1 ditugaskan ke proyek C dengan gaji 21 (kalau ke-proyek A, maka karyawan 2 tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek A dengan gaji 17, kemudian Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan gaji 23, dan karyawan 4 ditugaskan ke proyek D dengan gaji 19.

(48)

Contoh 3 :

Suatu perusahaan memiliki 4 karyawan, yang akan menyelesaikan 4 proyek yang diperoleh tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan :

Karyawan Proyek A B C D 1 40 80 70 75 2 80 50 100 95 3 100 120 110 100 4 85 100 95 90

Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh keuntungan yang semaksimal mungkin.

Jawab : 1. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C D 1 40 80 70 75 2 80 50 100 95 3 100 120 110 100 4 85 100 95 90

2. Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan angka pada setiap elemen baris tersebut.

Karyawan Proyek A B C D 1 40 0 10 5 2 20 50 0 5 3 20 0 10 20 4 15 0 5 10

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom A dan kolom D belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom A dengan angka terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kurangilah setiap elemen kolom D dengan angka terkecil dari kolom tersebut.

(49)

Karyawan Proyek A B C D 1 25 0 10 0 2 5 50 0 0 3 5 0 10 15 4 0 0 5 5

4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )

Karyawan Proyek A B C D 1 25 0 10 0 2 5 50 0 0 3 5 0 10 15 4 0 0 5 5

Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.

Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Maka penugasan sudah optimal. 5. Kesimpulan :

Karyawan 1 ditugaskan ke proyek D dengan keuntungan 75 (kalau ke-proyek B, maka karyawan 3 tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek C dengan keuntungan 100, kemudian Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan keuntungan 110, dan karyawan 4 ditugaskan ke proyek A dengan keuntungan 85.

(50)

Contoh 4 :

Suatu perusahaan memiliki 5 karyawan, yang akan menyelesaikan 5 proyek yang diperoleh tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan :

Karyawan Proyek A B C D E 1 20 22 20 18 25 2 24 20 19 25 23 3 19 18 17 18 22 4 23 25 18 26 21 5 20 23 24 21 27

Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh keuntungan yang semaksimal mungkin.

Jawab : 1. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C D E 1 20 22 20 18 25 2 24 20 19 25 23 3 19 18 17 18 22 4 23 25 18 26 21 5 20 23 24 21 27

2. Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan angka pada setiap elemen baris tersebut.

Karyawan Proyek A B C D E 1 5 3 5 7 0 2 1 5 6 0 2 3 3 4 5 4 0 4 3 1 8 0 5 5 7 4 3 6 0

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom A dan kolom B, dan kolom C belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom A dengan angka terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kolom-kolom yang lainnya

(51)

Karyawan Proyek A B C D E 1 4 2 2 7 0 2 0 4 3 0 2 3 2 3 2 4 0 4 2 0 5 0 5 5 6 3 0 6 0

4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )

Karyawan Proyek A B C D E 1 4 2 2 7 0 2 0 4 3 0 2 3 2 3 2 4 0 4 2 0 5 0 5 5 6 3 0 6 0

Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.

Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Maka penugasan sudah optimal.

5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 2, kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI GARIS BERSILANGAN. Karyawan Proyek A B C D E 1 2 0 0 5 0 2 0 4 3 0 4 3 0 1 0 2 0 4 2 0 5 0 7 5 6 3 0 6 0

6. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )

Karyawan Proyek A B C D E 1 2 0 0 5 0 2 0 4 3 0 4 3 0 1 0 2 0 4 2 0 5 0 7 5 6 3 0 6 2

(52)

Jadi ada 5 garis yang melingkupi angka 0. Berarti banyak garis = banyak baris, maka penugasan sudah optimal.

7. Kesimpulan :

Karyawan Proyek Untung Karyawan Proyek Untung

1 B 22 1 E 25 2 A 24 2 D 25 3 E 22 3 A 19 4 D 26 4 B 25 5 C 24 5 C 24 TOTAL 118 TOTAL 118 Buku Acuan:

B. Susanta, Program Linier, PMIPA, Univ. Gadjah Mada, Yogyakarta. Hamdy A. Taha, Riset Operasi, Binarupa Aksara, Jakarta.

Pangestu Subagyo, Marwan Asri, T.Hani Handoko, Dasar-Dasar Operations Research, BPFE, Yogyakarta.

Richard Bronson Ph.D, 1996, Teori Dan Soal Operation Research, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Sukanto Reksohadiprodjo, Manajemen Produksi Dan Operasi, BPFE, Yogyakarta Siswato, 2006, Operations Researc

Figur

Gambar Cardioda r = a ( 1 – Cos

Gambar Cardioda

r = a ( 1 – Cos p.10

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :