1 . Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah ...
A . p > l B . 2 < p < 3 C . p > 3
D . 1 < p < 2 E . p < 1 atau p > 2 Kunci : C
Penyelesaian :
Persamaan fungsi : F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6, Kita asosiasikan dengan persamaan y = ax² + bx + c
Dimana : a = p - 2
b = -2(2p - 3) = -4p + 6 c = 5p - 6
Syarat fungsi bernilai positif : 1. a > 0 p - 2 > 0
p > 2
2. D < 0 b² - 4ac < 0
(-4p + 6)² - 4 (p - 2)(5p - 6) < 0 16p² - 48p + 36 - 4(5p² -16p + 12) < 0 16p² - 48p + 36 - 20p² + 64p - 48 < 0 -4p² + 16p - 12 < 0
-p² + 4p - 3 < 0 p² - 4p + 3 > 0 (p - 3)(p - 1) > 0
Dari kedua syarat di atas, kita gabungkan keduanya menjadi :
atau p > 3
2 . Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk x = 1 dan grafiknya melalui titik (3, 1), memotong sumbu Y di titik ....
A . (0, ) B . (0, 3) C . (0, )
D . (0, 2) E . (0, )
Kunci : C Penyelesaian :
Persamaan fungsi kuadrat : y = ax + bx + c Diketahui :
- Nilai maksimum = 3, untuk x = 1.
Rumus : Nilai maksimum = - 1 = -
b = -2a ... (1) Titik (1, 3) y = ax² + bx + c
3 = a1² - 2a.1 + c 3 = a - 2a + c 3 = -a + c
a = c - 3 ... (2) - Titik (3,1) y = ax² + bx + c
1 = a.3² -2a.3 + c 1 = 9a - 6a + c
1 = 3a + c masukkan persamaan (2) 1 = 3 (c - 3) + c
1 = 3c - 9 + c 4c = 10
c = 2
Fungsi kuadrat memotong sumbu Y di titik (0, c) = (0, )
3 . Diketahui segitiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm, dan BCA = 120°. Keliling segitiga ABC = ...
A . 14. cm B . 15 cm C . 16 cm
D . 17 cm E . 18 cm Kunci : B
Penyelesaian :
Diketahui : ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm dan BCA = 120°
Untuk mencari x, gunakan rumus cosinus : AB² = AC² + BC² - 2 AC . BC . cos ACB 7² = 5² + x² - 2 . 5 . x cos 120°
49 = 25 + x² - 10x (- ) 49 = x² + 5x + 25 x² + 5x - 24 = 0
(x + 8) (x - 3) = 0 x1 = -8, x2 = 3 Kita ambil yang nilainya positif yaitu x = 3.
Maka Keliling segitiga ABC = AB + AC + BC = 7 + 5 + 3 = 15 cm 4 . Diketahui A adalah sudut lancip dan cos A =
Nilai sin A adalah ...
A . B . C .
D . E .
Kunci : A Penyelesaian : Diketahui : cos A =
Ingat rumus : sin²x + cos²x = 1
sin A = 2 sin A cos A
5 . Persamaan grafik di bawah ini adalah ...
A . y = 2 sin (x - ) B . y = sin (2x - ) C . y = 2 sin (x + )
D . y = sin (2x + ) E . y = 2 sin (2x + )
Kunci : C Penyelesaian :
Perhatikan kembali gambar di bawah ini !
Gambar ini merupakan fungsi sinus.
Rumus : y = A sin (x - )
Dimana A merupakan nilai maksimum, sedangkan adalah pergeseran sudut.
Seperti terlihat pada gambar nilai A = 2, dan = - Jadi persamaan fungsi sinus tersebut : y = 2 sin (x - (- )) y = 2 sin (x + )
6 . Himpunan penyelesaian persamaan sin x° - cos x° = ; 0<x<360 adalah ...
A . {15, 285}
B . {75, 165}
C . (105, 195}
D . {165, 255}
E . {195, 285}
Kunci : C Penyelesaian :
Persamaan sin x° - cos x° = , identik dengan persamaan k cos (x° - A) = dimana : a = 1, b = - , dan c = -
k =
A = 150°
2 cos (x - 150°) = cos (x - 150°) =
cos (x - 150°) = cos 45°
x - 150° = 45° dan 315°
x1 = 45 + 150 = 195°
x2 = 315 + 150 = 465° = (465 - 360)° = 105°
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (105, 195}
7 . Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 32x+1+8 . 3x-3 > 0 adalah ...
A . x < 3 B . x >
C . x < -
D . x > -1 E . x < -3
Kunci : D Penyelesaian : 32x+1+8 . 3x-3 > 0 31.32x + 8 .3x - 3 > 0 3 . 32x + 8 .3x - 3 > 0
Kita misalkan 3x = y, maka : 3 y² + 8y - 3 > 0
(3y - 1) (y + 3) > 0 y = dan y = -3,
Hasilnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini :
Karena nilai 3x tidak mungkin negatif, maka nilai yang diambil adalah x >
Maka : 3x >
x > -1
8 . Nilai x yang memenuhi 2log2(4x - 4) - 2log (4x - 4)4 = 2log adalah ...
A . 3 atau 1 B . 3 atau C . 3 atau 2
D . 3 atau E . 3 atau 6 Kunci : B
Penyelesaian :
2log2(4x - 4) - 2log (4x - 4)4 = 2log (2log(4x - 4))2 - 4 2log (4x - 4) = 2log 2-3 Misalkan : 2log(4x - 4) = y
y² - 4y = -3 y² - 4y + 3 = 0
(y - 3) (y - 1) = 0 y1 = 3, y2 = 1 Untuk y1 = 3 : 2log (4x - 4) = 3 2log (4x - 4) = 2log 8 4x - 4 = 8
4x = 12 x = 3
Untuk y2 = 1 : 2log (4x - 4) = 1 2log (4x - 4) = 2log 2 4x - 4 = 2
4x = 6 x =
9 . Jika , maka x + 2y = ...
A . 6 B . 5 C . 4
D . 3 E . 2 Kunci : A
Penyelesaian :
3x - 2y = 2 ...(1)
-4x + 4y = 0 4x = 4y
x = y ...(2)
Masukkan persamaan (2) ke persamaan (1) 3x - 2y = 2
3y - 2y = 2
y = 2, karena x = y, maka x = 2 juga.
Maka x + 2y = 2 + 2 . 2 = 6
10 . Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah ...
A . 48,5 tahun B . 49,0 tahun C . 49,5 tahun
D . 50,0 tahun E . 50,5 tahun Kunci : C
Penyelesaian :
Diketahui : n = 6, U3 = 7, dan U5 = 12 Rumus :
Un = a + (n - 1)b U3 = a + 2b 7 = a + 2b
a = 7 - 2b ... (1) U5 = a + 4b
12 = (7 - 2b) + 4b masukkan persamaan (1) 12 = 2b + 7
2b = 5 b = 2,5
Setelah mendapatkan nilai b, kita cari nilai a dari persamaan (1) a = 7 - 2b
a = 7 - 2. 2.5 a = 7 - 5 = 2 Un = a + (n - 1) b
U6 = 2 + (6 - 1) . 2,5 = 2 + 5 . 2,5 = 2 + 12,5 = 14,5
Sn = n (a + Un) S6 = . 6 (2 + 14,5) = 3 (16,5) = 49,5 tahun
11 . Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp 100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak makin kecil uang yang diterima. Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp 5.000,00 dan si sulung menerima uang paling banyak, maka jumlah yang diterima oleh si bungsu adalah ...
A . Rp 15.000,00 B . Rp 17.500,00 C . Rp 20.000,00
D . Rp 22.500,00 E . Rp 25.000,00 Kunci : B
Penyelesaian :
Diketahui : Deret Aritmetika n = 4
S4 = 100.000 b = 5.000 Ditanyakan : a ?
Sn = n (2a + (n-1)b) S4 = . 4 (2a + (4 - 1)5000) 100000 = 2 (2a + 15000) 100000 = 4a + 30000 4a = 70000 a = 17500
Jadi si bungsu menerima Rp 17.500,00
12 . Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ...
A . B . C .
D . E .
Kunci : B Penyelesaian :
Dua dadu dilempar bersama-sama. Munculnya mata dadu berjumlah 9 atau 10 adalah : (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4) : ada 7 kemungkinan yang dapat terjadi Total kemungkinan yang dapat terjadi = 6 x 6 = 36.
Jadi Peluangnya : p =
13 . Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dan masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama adalah ...
A . B . C .
D . E .
Kunci : C Penyelesaian : Diketahui :
Kotak I 5 bola merah dan 3 bola kuning.
Kotak II 2 bola merah dan 6 bola kuning.
- Peluang bola merah dari kotak I = - Peluang bola merah dari kotak II =
- Peluang kedua bola berwarna merah = x = - Peluang bola kuning dari kotak I =
- Peluang bola kuning dari kotak II =
- Peluang kedua bola berwarna kuning = x =
- Jadi peluang kedua bola berwarna sama = + = = 14 .
Diagram di atas menyajikan data berat badan (dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah ...
A . 46,1 B . 46,5 C . 46,9
D . 47,5 E . 48,0 Kunci : D
Penyelesaian :
Untuk mencari modus dari data yang sudah dikelompokkan, digunakan rumus :
Dimana : TB = Tepi bawah kelas modus = 44,5 I = Interval = 5
f0 = frekuensi kelas modus = 12
f-1 = frekuensi kelas sebelum kelas modus = 6 f+1 = frekuensi kelas setelah kelas modus = 8 Maka :
15 . Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 adalah ...
A . 2 B . 3 C . 3
D . 4 E . 4
Kunci : E Penyelesaian :
Data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 setelah diurutkan menjadi :
Simpangan kuartil = (Q3 - Q1) = (12 - 3) = 4
16 . Diberikan fungsi f dan g dengan f(x) = 2x + 1 dan (f g)(x) = , x -1 maka invers dari fungsi g adalah g-1(x) = ...
A . B . C .
D . E .
Kunci : E Penyelesaian : f(x) = 2x + 1
(f g)(x) = = f(g(x)) f(g(x)) = 2 g(x) + 1 = 2g(x) = - 1 = g(x) =
Misalkan g(x) = y, maka :
17 . Diketahui f : R R dan g : R R, didefinisikan dengan f(x) = x³ + 4 dan g(x) = 2 sin x.
Nilai (f g) (- ) adalah ...
A . -4 B . 2 C . 3
D . 6 E . 12 Kunci : A
Penyelesaian : f(x) = x³ + 4 g(x) = 2 sin x
(f g)(x) = f(g(x)) = (2 sin x)³ + 4 = 8 sin³x + 4
(f g)(- ) = 8 sin³(- ) + 4 = 8 (-1)³ + 4 = -8 + 4 = -4
18 . Nilai dari = ...
A . 2 B . 3 C . 7
D . 9 E . 14 Kunci : B
Penyelesaian :
19 . Nilai dari = ...
A . - B . - C .
D . E .
Kunci : D Penyelesaian :
20 . Suatu garis menyinggung kurva y = x³ + 3x² - 2x - 5 di titik T (1, -3).
Persamaan garis singgung tersebut adalah ...
A . y = 5x - 7 B . y = 5x - 10 C . y = 7x - 3
D . y = 7x - 5 E . y = 7x - 10 Kunci : E
Penyelesaian :
Kurva y = x³ + 3x² - 2x - 5
Gunakan rumus turunan untuk mencari gradiennya : y' = 3x² + 6x - 2
Terletak pada titik T (1, -3) maka gradientya = 3(1)² + 6(1) - 2 = 3 + 6 - 2 = 7 Rumus persamaan garis : y = mx + c
y = 7x + c (1, -3) -3 = 7(1) + c
c = -10
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 7x - 10
21 . Diketahui , f ' adalah turunan pertama f dan g' adalah turunan pertama g.
Jika f(1) = f '(1) =1, maka g'(1) = ...
A . -3 B . -1 C . 1
D . 3 E . 4 Kunci : D
Penyelesaian : Diketahui :
f(1) = f '(1) =1
22 . Fungsi y = (p - 2)² x³ + x² - 5px mempunyai nilai minimum -27 untuk x = 3.
Nilai p = ...
A . 8 B . 5 C . 3
D . -3 E . -5 Kunci : C
Penyelesaian :
Fungsi y = (p - 2)² x³ + x² - 5px
Nilai minimum = -27 untuk x = 3 melalui titik (3, -27) y = (p - 2)² x³ + x² - 5px
-27 = (p - 2)² . 3³ + 3² - 5p . 3 -27 = 9 (p² - 4p + 4) + 9 - 15p -27 = 9p² - 36p + 36 + 9 - 15p 9p² - 51p + 72 = 0
3p² - 17p + 24 = 0 (3p - 8) (p - 3) = 0 p1 = dan p2 = 3.
Dari pilihan jawaban nilai p yang benar adalah 3.
23 . Nilai maksimum dari bentuk objektif k = 3x + 4y, yang memenuhi sistem pertidaksamaan x 0; y 0; 2x + y 11; x + 2y 10 dengan x, y R adalah ...
A . 36 B . 32 C . 30
D . 27 E . 24 Kunci : E
Penyelesaian : Diketahui :
x 0; y 0; 2x + y 11; x + 2y 10
Perpotongan 2 x + y = 11 dan x + 2y = 10 terjadi pada titik (4, 3)
Jadi nilai maksimum untuk nilai obyektif 3x + 4y = 3(4) + 4(3) = 12 + 12 = 24
24 . Dalam ABC, diketahui P titik berat ABC dan P titik tengah AC. Jika dan , maka = ...
A . B . C .
D . E .
Kunci : D Penyelesaian :
Lihat gambar di bawah ini :
P adalah titik berat ABC, Q titik tengah AC dan
Maka :
25 . Proyeksi vektor pada vektor adalah ...
A .
B .
C .
D .
E .
Kunci : C Penyelesaian :
Vektor dan vektor
26 . Diketahui sebuah lingkaran melalui titik 0(0, 0), A(0, 8), dan B(6, 0). Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut di titik A adalah ...
A . 3x- 4y - 32 = 0 B . 3x - 4y + 32 = 0 C . 3x + 4y - 32 = 20
D . 4x + 3y - 32 = 0 E . 4x - 3y + 32 = 0 Kunci : B
Penyelesaian :
Lihat gambar di bawah ini :
Gradien AB
Maka gradien garis yang tegak lurus AB =
Persamaan garis yang singgung lingkaran pada (0, 8) : y = mx + c
8 = . 0 + c c = 8
Maka persamaannya adalah : y = x + 8
4y = 3x + 32 3x - 4y + 32 = 0
27 . Koordinat pusat hiperbola 3x² - 4y² + 12x + 32y + 10 = 0 adalah ...
A . (-2, 4) B . (-2, -4) C . (2, 4)
D . (2, -4) E . (4, 2) Kunci : A
Penyelesaian :
3x² - 4y² + 12x + 32y + 10 = 0 3 (x² + 4x) - 4 (y² - 8y) + 10 = 0
3 {(x + 2)² - 4} - 4 {(y - 4)² - 16} + 10 = 0 3(x + 2)² - 4(y - 4)² + 62 = 0
Jadi koordinat pusatnya adalah (-2, 4)
28 . Suatu suku banyak bila dibagi oleh x - 2 bersisa 11, dibagi oleh x + 1 sisanya -4. Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x² - x - 2 bersisa ....
A . x + 5 B . x - 5 C . 5x + 21
D . 5x + 1 E . 5x - 1 Kunci : D
Penyelesaian :
f(x) = (x²2 - x - 2) + ax + b = (x - 2)(x + 1) + ax + b Dibagi (x - 2) sisa 11 :
f(2) = 0 + 2a + b = 11
b = 11 - 2a Dibagi (x + 1) sisa -4 : f(-1) = 0 + -a + b = -4 -a + (11 - 2a) = -4 -3a + 11 = -4 -3a = -15 a = 5
b = 11 - 2a = 11 - 2(5) = 1 Jadi sisanya adalah 5x + 1
29 . Jika f(x) = (x - 2)² - 4 dan g(x) = -f(x), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah ....
A . 10 satuan luas B . 21 satuan luas C . 22 satuan luas
D . 42 satuan luas E . 45 satuan luas
Kunci : B Penyelesaian : f(x) = (x - 2)² - 4 = x² - 4x + 4 - 4 = x² - 4x
= (x - 4) x
Berarti fungsi f(x) memotong sumbu x di titik (4,0) dan (0, 0)
Sedangkan fungsi g(x) = -f(x), maka kedua kurva tersebut dapat digambarkan sbb :
Ada dua luas bidang, bagian bawah dibentuk oleh f(x) dan bagian atas dibentuk oleh g(x).
Kita cari luas bidang f(x) :
Nilai negatif menandakan bidang tersebut di bawah garis x.
Karena kedua bidang sama maka luas kedua daerah tersebut =
30 . Daerah D dibatasi oleh kurva y = sin x, 0 x dan sumbu X. Jika daerah D diputar 360° terhadap sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi adalah ...
A . ² satuan volum B . satuan volum C . ² satuan volum
D . satuan volum E . satuan volum
Kunci : C Penyelesaian :
Kurva y = sin x, 0 x , kemudian diputar 360 .
31 . Diketahui fungsi f (x) = (x + sin 3x) dan g (x) = x². Jika u(x) = g(f(x)), maka turunan pertama dari u(x) adalah u'(x) = ...
A . 2 (x + sin 3x + 3x sin 3x + 3 sin²3x) B . 2x + 2 sin 3x + 6x cos 3x + 3 sin 6x C . 2x + 6 sin 3x + cos 3x
D . 2 (x + sin 3x + 3 sin 3x + sin²3x)
E . 2x + 6 sin 3x + 3x cos 3x + sin 3x cos 3x Kunci : B
Penyelesaian :
f(x) = x + sin 3x g(x) = x² f '(x) = 1 + 3 cos 3x g'(x) = 2x u(x) = g(f(x))
u'(x) = g'(f(x)) = g'(f(x)) . f '(x)
= 2(x + sin 3x) (1 + 3 cos 3x)
= 2(x + 3x cos 3x + sin 3x + 3 sin x cos 3x) = 2x + 6x cos 3x + 2 sin 3x + 6 sin x cos 3x = 2x + 6x cos 3x + 2 sin 3x + 3 sin 6x
32 . Hasil dari = ...
A . B . C .
D . E .
Kunci : A Penyelesaian :
Misalkan : u = sin x du = cos x dx Maka :
33 .
A . sin x² + c B . cos x + c C . sin + c
D . cos + c E . cos x² + c Kunci : D
Penyelesaian : Misalkan : u = cos
Maka :
34 . x² cos x dx = ...
A . x² sin x + 2x cos x - 2 sin x + C B . x² sin x - 2x cos x - 2 sin x + C C . x² sin x - 2x cos x + 2 sin x + C
D . x² cos x + 2x cos x - 2 cos x + C E . x² cos x - 2x cos x - 2 cos x + C Kunci : A
Penyelesaian : x² cos x dx = ...
Misalkan : u = x² dv = cos x du = 2x dx v = sin x Maka : u dv = uv - v du
x² cos x dx = x² sin x - sin x . 2x dx
= x² sin x - {2x(-cos x) - 2(-cos x) dx}
= x² sin x + 2x cos x - 2 sin x + C
35 . Bayangan titik A (x, y) karena refleksi terhadap garis x = -2, dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3 dan kemudian dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut radian adalah (-4, 6).
Koordinat titik A adalah ...
A . (2, -10) B . (2, 10) C . (10, 2)
D . (-10, 2) E . (10, -2) Kunci : D
Penyelesaian :
dimana p = -2, dan q = 3
Maka : -2q + y = -4 2p - x = 6 -2(3) + y = -4 2(-2) - x = 6 -6 + y = -4 -4 - x = 6 y = 2 x = -10 Jadi titik A adalah (-10,2)
36 . Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah ...
A . B . C .
D . E . Kunci : B
Penyelesaian : Diketahui :
Ingat : Jarak suatu titik terhadap garis adalah jarak tegak lurus titik tersebut terhadap garis atau perpanjangannya.
Untuk memudahkan, kita gambar kembali CFP, seperti gambar di bawah ini :
Untuk mencari sudut PCF (x), gunakan rumus :
Maka :
37 . Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD.
Nilai sin = ...
A . B . C .
D . E .
Kunci : B Penyelesaian :
Kubus ABCD.EFGH, dengan bidang ACF dan ABCD yang saling membentuk sudut.
Karena mencari sudut, kita dapat mengumpamakan panjang sisi = 1 :
BP = BD = ,
38 . Penarikan kesimpulan dari premis-premis di bawah ini adalah ...
A . p B . ~p C . q
D . (p v q) E . ~q Kunci : A
Penyelesaian :
~q bernilai benar q bernilai salah.
Karena q salah berarti ~p = salah
~(~p) = p = benar
39 . Rasio suatu deret geometri tak berhingga adalah r = .
Suku pertama deret itu merupakan hasil kali skalar vektor dan . Jumlah deret geometri tak berhingga tersebut = ...
A . B . C . 1
D . 2 E . 4
Kunci : E Penyelesaian : Deret geometri :
Suku pertama (u1) merupakan hasil kali skalar :
Maka :
40 . Garis singgung pada parabola y = x² - 4 yang tegak lurus pada garis y = x + 3 memotong sumbu Y di titik ...
A . (0, - ) B . (0, - ) C . (0, - )
D . (0, - ) E . (0, - )
Kunci : C Penyelesaian :
Garis singgung pada parabola (gunakan turunan untuk mendapatkan gradiennya) y = x² - 4
y' = 2x m1
Garis tegak lurus dengan y = x + 3 m2 = 1, maka gradien garis singgungnya = -1 (Dua buah garis saling tegak lurus jika m1 x m2 = -1)
m2 = 2 x = -1 x = -
Masukkan ke dalam persamaan parabola : y = x² - 4 = (- )2 - 4 = - 4 = -3
Persamaan garis singgungnya : y - y' = m(x - x')
y - (-3 ) = -1(x - (- )) y + 3 = -x -
y = -x - - 3 y = -x -
Jadi garis singgung tersebut memotong sumbu Y di titik (0, - )
