Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris A60 Matematika Aktuaria1

(1)

Pembahasan Soal

Ujian Profesi Aktuaris

Persatuan Aktuaris Indonesia

A60-Matematika Aktuaria Periode 2014-2018

Tim Penyusun:

Danang Teguh Qoyyimi Wawan Hafid Syaifudin

Maria Anestasia Felivia Kusnadi

2018

(2)

Daftar Isi

1 Periode Mei 2018 3

2 Periode November 2017 27

3 Periode Mei 2017 51

4 Periode November 2016 75

5 Periode Juni 2016 106

6 Periode November 2015 130

7 Periode Juni 2015 151

8 Periode November 2014 176

(3)

1 Periode Mei 2018

1. Sebuah asuransi diskrit khusus berjangka 2 tahun dengan uang pertanggungan tahun pertama sebesar 500.000, dan pada tahun ke-2, baik premi maupun manfaat kematian naik sebesar 10%. Diberikan qx = 0, 01, q_x+1 = 0, 02 dan i = 0, 05. Hitunglah premi netto tahunan untuk tahun pertama.

A. 7.176 B. 7.181 C. 7.186 D. 7.191 E. 7.196

Pembahasan: MisalkanP adalah premi netto untuk tahun pertama. Maka, P(1+ (1+10%)v(px)) =500.000

v(qx) + (1+10%)v²(px)(qx+1) P

1+^{1, 10} 1, 05(_{0, 99})

=_500.000

1

1, 05(_{0, 01}) +^{1, 10}

1, 05(_{0, 99})(_{0, 02})

P(2, 037143) =14.639, 46 P=7186, 268617

Jawab: C

2. Terdapat 2 decrement untuk karir seorang aktuaris yang berumur 50 tahun, yaitu decrement pertama mortalita dan decrement kedua adalah pensiun. Decrement 1 mengikuti uniform survival distribution dengan ω = 75, sedangkan decrement 2 memiliki µ⁽²⁾y = 0, 10 untuk y ≥50. Tentukan probabilitas aktuaris tersebut tetap pada pekerjaannya paling tidak selama 5 tahun namun kurang dari 15 tahun.

A. 0,145 B. 0,150 C. 0,155 D. 0,160

(4)

1 Periode Mei 2018 E. 0,165

Pembahasan: Jawab: ANULIR.

3. Diberikanlx=2.500(64−0, 8x)¹³ , dengan0≤x≤80. Tentukan Var(X)! A. 16,2857

B. 0,2857 C. 4.114,2857 D. 514,2857

E. 3,2857

Pembahasan: Pertama, kita hitungS0(t):

S0(t) = ^l^t l0

= ^2.500(64−0, 8t)^1/3

2.500(64−0, 8(0))^1/3 =0, 25(64−0, 8t)^1/3 Maka

E(T₀) = Z ₈₀

0 S₀(t)dt= Z ₈₀

0 0, 25(₆₄−0, 8t)^1/3dt=_60, dan

E(T₀²) =2 Z ₈₀

0 tS0(t)dt=2 Z ₈₀

0 0, 25t(64−0, 8t)^1/3dt

=2(2057, 142858)

=4114, 2856

SehinggaVar(X) =Var(T0) =E(T₀²) − [E(T0)]²=514, 2857 Jawab: D.

Berikut adalah informasi untuk soal nomor 4 dan 5.

Untuk (x) dan (y) yang saling bebas dengan qx=0, 2 dan qy=0, 1, diketahui bahwa tingkat mortalitas untuk integral ages mengikuti distribusi seragam.

4. Manakah grafik yang tepat untuk menggambarkan_spxsebagai fungsi daris dengan 0≤s≤ 1?

(5)

1 Periode Mei 2018

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Pembahasan: Diketahui bahwa tingkat mortalitas untuk integral ages mengikuti distribusi seragam, maka_sqx =s·qx, sehingga_spx =1−s·qx =1−0, 2s. Maka grafik yang tepat adalah grafik no 1.

Jawab: A.

5. Tentukanlahg(s)sehingga_sqxy=s·qxy+g(s) ·qxyterpenuhi untuk0≤s≤1.

A. g(s) =s²−s B. g(s) =√

1−s² C. g(s) =s(1−s) D. g(s) = ^√^s

1−s

E. g(s) =1−s

(6)

1 Periode Mei 2018 Pembahasan:

sqxy=1−spxy

=₁−spx·spy

=1− (1−_sqx) · (1−_sqy)

=1− (1− (_sqx+_sqy) +_sqx·_sqy)

=_sqx+_sqy−_sqx·_sqy

=sqx+sqy−sqx·sqy

=s(qx+qy) −s²(qxy)

=s(qxy+qxy) −s²(qxy)

=s·qxy+qxy(s−s²)

=s·qxy+qxy(s)(1−s)

Sehinggag(s) =s(1−s). Jawab: C.

6. Diketahui:P_x:3 =_{0, 35} i=_{0, 06} lx=₁₀₀ l_x+1 =₉₅ Hitunglah nilai10.000

2V_x:3 −₁V_x:3

! A. 2.565

B. 2.555 C. 2.575 D. 2.585 E. 2.595

Pembahasan: Diketahui:

px= ^l^x+1 lx

= ⁹⁵

100 qx=1−px= ⁵ 100 Dengan menggunakan rumus rekursif,

(10.000₀V_x:3 +10.000·P_x:3)(1+i) =10.000·qx+px·10.000₁V_x:3

⇒10.000₁V_x:3 = (_10.000·P_x:3)(₁+i) −_10.000q_x px

=3.378, 947

(7)

1 Periode Mei 2018 Dan

(10.000₂V_x:3 +10.000P_x:3)(1+i) =10.000=⇒10.000₂V_x:3 =5.933, 962 Sehingga

10.000

2V_x:3 −₁V_x:3

=2.555, 015 Jawab: B.

7. Diberikan sebuah fungsi survival dari seorang bayi yang baru lahir:

S0(x) =

( 1−₂₅₀^x , 0≤x<40 1− ₁₀₀^x ², 40≤x≤100

Hitunglah probabilitas seseorang yang berumur 25 tahun akan meninggal dalam 30 tahun.

A. 0,210 B. 0,215 C. 0,220 D. 0,225 E. 0,230

Pembahasan:

30q₂₅= ^S⁰(25) −S₀(55) S0(25) = ¹

−₂₅₀²⁵−1− ₁₀₀⁵⁵ ²

1−₂₅₀²⁵ =0, 255 Jawab: D.

8. A dan B, keduanya berumur 45 tahun dengan sisa umur di masa yang akan datang saling bebas, memiliki polis asuransi dengan ketentuan seperti berikut:

i. Premi dibayarkan secara tahunan pada awal tahun sepanjang A dan B masih hidup ii. Manfaat sebesar 60.000 per tahun akan dibayarkan di awal tahun selama hanya B yang

hidup

iii. Manfaat sebesar 3 kali premi netto akan dibayarkan di awal tahun selama hanya A yang hidup

iv. i=0, 06 =14, 1121 ¨a₄₅=12, 6994 Tentukan premi netto untuk polis tersebut.

(8)

1 Periode Mei 2018 A. 5.509

B. 7.523 C. 10.018 D. 12.540 E. 15.371

Komentar: Jika informasi yang diberikan adalah ¨a₄₅ =14, 1121 dan ¨a_45:45=12, 6994, maka soal tersebut dapat kita kerjakan seperti berikut ini:

APV(Bene f its) =60.000 ¨a_45|45+3P ¨a_45|45

dengan ä_45|45 = ä₄₅− ä_45:45=_{14, 1121}−12, 6994=_{1, 4127} APV(Premiums) =Pä_45:45

Sehingga

APV(Premiums) =APV(Bene f its) P(12, 6994) =60.000(1, 4127) +3P(1, 4127)

P=10.018 Yaitu, jawabannya adalah C.

9. Sebuah grup berisi 10.000 orang berumurx yang saling bebas, diketahui memiliki informasi sebagai berikut :

i. Manfaat anuitas akan dibayarkan setiap awal tahun sebesar 1 untuk setiap orang yang hidup

ii. Ax=0, 55 iii. ²A_x=0, 33

iv. i=0, 05

Y adalah peubah acak dari nilai sekarang (Present Value) dari total pembayaran anuitas. Den- gan menggunakan pendekatan normal, tentukan jumlah dana yang dibutuhkan agar 95% yakin anuitas di atas dapat dibayarkan. Untuk suatuX yang berdistribusi normal, diketahui

P(−1, 96<X<1, 96) =0, 95 P(−1, 645<X<1, 645) =0, 90.

A. 97.700 B. 96.675

(9)

1 Periode Mei 2018 C. 95.650

D. 94.625 E. 93.600

Pembahasan: MisalkanYiadalah peubah acak dari nilai sekarang untuk pembayaran anuitas pada individu ke-i. Maka,

E(Yi) = ¨ax= ¹−Ax

d =9, 45 Var(Yi) =

2A_x− (Ax)²

d² =12, 1275.

MakaY = _∑^10.000_i=1 Y_imenyatakan peubah acak dari nilai sekarang (Present Value) dari total pembayaran anuitas.

E(Y) =10.000E(Yi) =94.500 Var(Y) =10.000Var(Yi) =121.275 P(Y≤F) =_P

Z≤ ^F−94.500

√121.275

=0, 95

=⇒ ^F√−94.500

121.275 =1, 96−→F=95.182, 5614 Jawab: TIDAK JELAS.

komentar: SeharusnyaP(Z <1, 645) =0, 95 bukanP(Z <1, 96) =0, 95. Jika menggu- nakanP(Z<1, 645) =0, 95, maka nilai F=95072.864.

10. Untuk sebuah asuransi dwiguna (endowment insurance) dengan 15 kali pembayaran yang berkelanjutan secara penuh (fully continuous) selama 25 tahun senilai 1000 untuk (35), diketahui:

i. µ_35+t=0, 03 untuk t≥0 ii. δ=0, 05

iii. 1.000 ¯A_35:25¹ =324, 25 iv. ¯a_35:25 =8, 7351

Hitunglah₅V, net premium reserve pada tahun ke-5!

A. 139,03 B. 149,65 C. 152,17 D. 154,23 E. 163,31

(10)

1 Periode Mei 2018

Pembahasan: Untuk net premium reserve, kita gunakan rumus prospektif, (₅V+P¯a_40:10) =1.000 ¯A_40:20

Kita hitung besarnya premi menggunakan prinsip ekuivalensi:

P¯a_35:15 =1.000 ¯A_35:25 =⇒P= ^{1.000 ¯}^A^35:25

¯a_35:15 Selain itu, kita juga gunakan rumus:

nEx=vⁿnpx= (e^−nδ)(e^−nµ) =e^−n(0,08) A¯¹x:n = A^¯x−nExA¯n+x=

µ

µ+δ

−e^−n(0,08)

µ

µ+δ

= ³

8(1−e^−n(0,08)) A¯x:n = A^¯¹x:n +A^¯x:1

n = A^¯¹x:n +_nEx= ³

8(1−e^−n(0,08)) +e^−n(0,08)

¯ax:n = ¹−A^¯x:n

δ

Sehingga diperoleh:

A¯_35:15 = ³

8(1−e^−15(0,08)) +e^−15(0,08) =0, 563246

¯a_35:15 = ¹−A^¯_35:15

δ =8, 735072 A¯_35:25 = ³

8(1−e^−25(0,08)) +e^−25(0,08) =0, 459585 A¯_40:10 = ³

8(1−e^−10(0,08)) +e^−10(0,08) =0, 655831

¯a_40:10 = ¹−A^¯_40:10

δ =6, 883388 A¯_40:20 = ³

8(1−e^−20(0,08)) +e^−20(0,08) =0, 501185

Net premium reservepada tahun ke-5 adalah:

(₅V+P¯a_40:10) =1.000 ¯A_40:20

5V=1.000 ¯A_40:20 −^{1.000 ¯}^A^35:25

¯a_35:15 (¯a_40:10)

=139, 0248

(11)

1 Periode Mei 2018 Jawab: A.

11. Sebuah asuransi berjangka 2 tahun diskrit diterbitkan untuk (x) dengan i = 0. Diketahui qx=0, 25 dan Var(Z¹_x:2) =0, 75. Hitunglah qx+1!

A. 0,5 B. 0,6 C. 0,7 D. 0,8 E. 0,9

Pembahasan: Diketahuii=0, maka v=1.

A¹_x:2 =qx+v pxqx+1= qx+pxqx+1 2A¹_x:2 = qx+v²pxq_x+1= qx+pxq_x+1

Var(A¹_x:2) =²A¹_x:2 − (A¹_x:2)²

0, 75= qx+pxq_x+1− [qx+pxq_x+1]²

0, 75=0, 25+0, 25q_x+1− [0, 25+0, 25q_x+1]²

Diperoleh persamaan kuadrat0, 0625q²_x+1−0, 25q_x+1+0, 3125 = 0 yang memiliki akar kompleks.

Jawab: ANULIR.

12. Sedang dilakukan sebuah penelitian mengenai asumsi yang digunakan untuk menentukan tingkat harga premi untuk sebuah polis asuransi kesehatan. Perhitungan didasarkan pada mul- tiple state modelseperti diagram berikut:

(12)

1 Periode Mei 2018

Diketahui,

i. Premi dibayar secara berkelanjutan (continuous) oleh pemegang polis Sakit ii. Manfaat sakit dibayarkan secara berkelanjutan kepada pemegang polis Sakit iii. Tidak ada manfaat kematian

Dari kondisi - kondisi berikut, manakah yang paling mungkin menyebabkan kenaikan rate premi?

A. Tingkat suku bunga yang lebih rendah dan tingkat sembuh dari Sakit yang lebih tinggi B. Tingkat kematian yang lebih rendah dari kondisi Sehat dan kondisi Sakit

C. Tingkat kematian yang lebih tinggi dari kondisi Sehat maupun Sakit

D. Tingkat sembuh dari Sakit yang lebih rendah dan tingkat kematian yang lebih rendah dari Sakit

E. Tingkat suku bunga yang lebih tinggi dan tingkat kematian yang lebih rendah dari Sehat

Pembahasan: Dapat dijabarkan bahwa:

A. Tingkat suku bunga yang lebih rendah akan menyebabkan kenaikan premi, tetapi tingkat sembuh dari Sakit yang lebih tinggi akan menurunkan premi, karena proyeksi dari manfaat sakit akan turun dan lebih banyak pemegang polis yang membayar premi.

B. Tingkat kematian yang lebih rendah dari kondisi Sehat→ada lebih banyak pemegang polis yang membayar premi→penurunan rate premi

C. Tingkat kematian yang lebih tinggi dari kondisi Sakit→penurunan pada manfaat sakit

→penurunan rate premi

D. Tingkat sembuh dari Sakit yang lebih rendah→kenaikan pada manfaat sakit→kenaikan ratepremi

Tingkat kematian yang lebih rendah dari Sakit →kenaikan pada manfaat sakit →kenaikan rate premi

(13)

1 Periode Mei 2018

E. Tingkat suku bunga yang lebih tinggi→penurunan rate premi

Tingkat kematian yang lebih rendah dari Sehat dapat menyebabkan penurunan rate premi karena ada lebih banyak pemegang polis Sehat yang membayar premi.

Jawab: D.

13. Seorang siswa menghitung nilai ¨axdengani=0, 05. Setelah diperiksa, ternyata seharusnya px+1lebih besar sebesar 0,05 dari yang digunakan oleh siswa tersebut. Dalam perhitungan- nya, siswa tersebut menggunakan nilai-nilai berikut:

qx=0, 1 qx+1=0, 2 ¨a_x+1=9

Bagaimanakah perubahan nilai ¨axjika dihitung denganpx+1yang benar dibandingkan dengan perhitungan awal?

A. Naik sebesar 0,43 B. Naik sebesar 0,57 C. Tidak ada perubahan D. Turun sebesar 0,57

E. Turun sebesar 0,43

Pembahasan: Kita gunakan rumus rekursif äx=₁+v·px·ä_x+1. Jadi, nilai äxyang dihitung pada saat awal(äx₀)adalah sebesar

¨ax₀ =1+v·px· ¨a_x+1=1+ ¹

1, 05(0, 9)(9) =8, 714286 Sedangkan, nilai ¨ax+2 = ^¨ax+1−1_vp

x+1 = ⁹⁻¹_0,8 (1, 05) = 10, 5. Sehingga, jika p_x+1 seharusnya lebih besar sebesar0, 05 dari yang digunakan, maka seharusnya ¨ax+1=1+v·px+1·¨ax+2= 1+_1,05¹ (0, 85)(10, 5) =9, 5 dan

¨ax=1+v·px· ¨ax+1=1+ ¹

1, 05(0, 9)(9.5) =9, 142857.

Jadi, perubahan nilai äxadalah sebesar äx− äx₀ =9, 142857−8, 714286=0, 428571.

Jawab: A.

14. Dari fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang tidak dapat digunakan sebagai survival model untukx >0?

A. SX(x) = (1+x)⁻³

B. S_X(x) =exp[7, 125· (1−2^x)]

(14)

1 Periode Mei 2018

C. SX(x) =e^−x²

D. SX(x) =exp[x−0, 72· (2^x−1)]

E. SX(x) = ₁₊¹^√_x

Pembahasan: Suatu fungsi survival harus memenuhi syarat berikut:

• S_X(0) =1, yaitu peluang dari individu (x) bertahan hidup selama 0 tahun adalah 1.

• lim_x→∞SX(x) =0, yaitu semua orang pada akhirnya akan meninggal.

• fungsi survival haruslah merupakan fungsi yang non-increasing.

Sehingga, jika kita periksa dari antara fungsi-fungsi tersebut hanya D yang tidak memenuhi ketiga syarat tersebut.

d

dxSX(x) =exp[x−0, 72· (2^x−1)](1−0, 72(2^x)ln 2)

Jikax =_{0, 5, maka} _dx^dS_X(x) =_{0, 359989}>0, jadi fungsi tersebut tidak non-increasing.

Jawab: D.

15. Sebuah kontrak endowment sepanjang 20 tahun diterbitkan kepada seseorang yang berumur 55 tahun. Endowment ini memiliki manfaat menurun yang dibayarkan pada akhir tahun kejadian, denganb_k = (₂₁−k)untuk kejadian pada tahun ke-k dan pure endowment dengan manfaat sebesar 1. Diketahui,

10V=5 19V=0, 6 q65=0, 1 i=0, 08 Hitunglah cadangan premi di akhir tahun ke-11(₁₁V)untuk produk tersebut!

A. 5,28 B. 4,29 C. 3,30 D. 2,31 E. 1,34

(15)

1 Periode Mei 2018 Pembahasan: π menyatakan besarnya premi.

19V=APV dari future benefits−APV dari future premiums, 0, 6= ¹

1+0, 08−π =⇒π=0, 326

11V= (₁₀V+π) (1+i) − (q65)(b11) p₆₅

= (5+0, 326)(1, 08) − (0, 1)(10)

1−0, 1 =5, 28

Jawab: A.

16. Y adalah nilai sekarang dari sebuah anuitas hidup sementara yang membayarkan 1 secara berkelanjutan (continuous) per tahun sepanjang (x) hidup selama n tahun ke depan. Diketahui,

i. ¯ax:n =4, 9 ii. ²¯a_x:n =3, 6 iii. δ=0, 095 HitunglahVar(Y)! A. 3,36

B. 6,69 C. 9,92 D. 12,25

E. 15,58 Pembahasan:

Var(Y) = ² δ

¯ax:n −²¯a_x:n

− (¯ax:n)²

= ²

0, 095(4, 9−3, 6) − (4, 9)²

=3, 358421

Jawab: A.

17. Sebuah asuransi seumur hidup untuk (40) memiliki manfaat pembayaran sebesarbk untuk kegagalan pada tahun ke-k. Diketahui informasi sebagai berikut,

i. Premi nettoP=P20

ii. Cadangan manfaat_tV=₂₀V, untuk t=0, 1, 2, . . . , 19

(16)

1 Periode Mei 2018 iii. q_40+k =q_20+k+0, 01, untuk k=0, 1, 2, . . . , 19

iv. ₁₁V20=0, 08 v. q₃₀ =0, 008 Tentukanlahb11! A. 0,16

B. 0,25 C. 0,36 D. 0,49 E. 0,64

Pembahasan: Diketahui bahwa

11V= (₁₀V+P20) (1+i) − (b₁₁−₁₁V)q50 . . .(1) dan

11V20= (₁₀V20+P20) (1+i) − (1−₁₁V20)q30

dengan₁₀V₌₁₀V₂₀dan₁₁V₌₁₁V₂₀, maka

11V= (₁₀V+P₂₀) (1+i) − (1−₁₁V)q₃₀ . . .(2) Persamaan(2)dikurangi persamaan(1)menghasilkan:

(b₁₁−₁₁V)q₅₀ = (₁−₁₁V)q₃₀ b11 = (1−₁₁V)q30

q50

+₁₁V

= (1−0, 08)0, 008 0, 008+0, 01 +0, 08

=0, 4888≈0, 49 Jawab: D.

18. Sebuah asuransi dwiguna (endowment insurance)n-tahun sebesar 1.000 untuk (x), diketahui:

i. Manfaat kematian dibayarkan pada saat kematian ii. Premium dibayarkan secara tahunan setiap awal tahun iii. Kematian berdistribusi seragam pada seluruh usia

iv. i=0, 05

(17)

1 Periode Mei 2018 v. _nEx=_{0, 172}

vi. A¯x:n =0, 192

Tentukan premi netto tahunan untuk asuransi di atas.

A. 10,1 B. 11,3 C. 12,5 D. 13,7 E. 14,9

Pembahasan: MisalkanP menyatakan premi netto tahunan, maka

P= ^{1.000 ¯}^A^x:n

¨ax:n

= ^1.000(0, 192)

¨ax:n

dengan

¨ax:n = ¹−Ax:n

d = (_{1, 05})

(0, 05) ¹−A¹x:n −Ax:1 n A¯x:n = ⁱ

δ A¹x:n

+_nEx=⇒ A¹x:n = (0, 192−0, 172)

0, 05 0, 0488

=⇒A¹x:n =0, 01952=⇒ ¨ax:n = ^{1, 05}

0, 05(1−0, 01952−0, 172) =16, 97808 Sehingga diperoleh:

P= ^1.000(0, 192)

16, 97808 =_{11, 31} Jawab: B.

19. Diketahui untuk sebuah select and ultimate mortality model dengan periode seleksi 1 tahun, bahwa p_[x] = (1+k)pxuntuk suatu konstantak. Jika ¨ax:n =21, 854 dan ¨a_[x]:n =22, 167, tentukanlahk!

A. 0,015 B. 0,020 C. 0,025 D. 0,030 E. 0,035

(18)

1 Periode Mei 2018 Pembahasan:

ä_[x]:n =1+v p_[x]ä_x+1:n−1 =1+ (1+k)vpxä_x+1:n−1 =1+ (1+k)(äx:n −1) Sehingga diperoleh:

k= ^¨a^[x]:n −1

¨ax:n −1 −1= ^{21, 167}

20, 854−1=0, 015 Jawab: A.

20. Dari sebuah fungsi kepadatan gabungan (joint density function) dariTxdanTyberikut:

f_T_x_,T_y(tx, ty) = ⁴

(1+tx+2ty)³^, ^untuk^t^x>0 dan ty>0, Tentukan_nqxy!

A. _1+3n¹ B. _1+n¹ C. _1+nⁿ D. _1+3n³ⁿ

E. _1+5n⁵ⁿ

Pembahasan:

npxy=FT_x,T_y(tx, ty) =_P(Tx≥n and Ty≥n)

= Z _∞

n Z _∞

n f_T_x_,T_y(tx, ty)dtxdty

= Z _∞

n Z _∞

n

4

(1+tx+2ty)³^dt^x^dt^y

= ¹ 1+_3n Sehingga

nqxy=1−npxy= ³ⁿ 1+3n Jawab: D.

21. Anuitas pasti dan berkelanjutan n tahun akan memberikan pembayaran yang pasti untuk n tahun pertama dan pembayaran selanjutnya akan dibayarkan jika masih hidup. Seorang pe- menang kuis berumur 40 tahun berhak untuk mendapatkan pembayaran sebesarP setiap awal

(19)

1 Periode Mei 2018

tahun selama 10 tahun secara pasti, dan selanjutnya selama ia masih hidup. Tentukan nilai pembayaranP jika diketahui

A40=0, 3 A50 =0, 35 A_40:10¹ =0, 09 i=0, 04 A. 538,35

B. 540,70 C. 542,05 D. 544,40 E. 546,75

Komentar: Kurang informasi tentang berapa nilai hadiah yang dimenangkan. Jika diasum- sikan uang yang dimenangkan adalah sejumlah 10.000, maka

10.000=P(ä₁₀ +_10|ä₄₀) =P(ä₁₀ +₁₀E₄₀· ä₅₀) Untuk menghitung₁₀E₄₀, perhatikan bahwa

A₄₀−A_40:10¹ =_{0, 21}=₁₀E₄₀A₅₀ =⇒₁₀E₄₀= ^{0, 21}

0, 35=_{0, 60.}

Kemudian, dapat dihitung pula

¨a₅₀= ¹−A50

d =16, 90 dan ¨a₁₀ = ¹−v¹⁰

d =8, 43533.

Sehingga

P= ^{10, 000}

8, 43533+ (0, 60)(16, 90) =538, 35.

Sehingga jawabannya adalah A.

Berikut adalah informasi untuk soal nomor 22 dan 23.

Kezia yang berumur 35 tahun memiliki sebuah anuitas seumur hidup premi tunggal dengan ketentuan seperti berikut:

i. Pembayaran sebesar 10.000 per tahun, dimulai pada umur 65 ii. Biaya awal sebesar 5% dari premi

iii. Biaya renewal sebesar 50 per tahun setiap awal tahun, termasuk tahun pertama iv. Biaya administrasi sebesar 50 setiap pembayaran manfaat

(20)

1 Periode Mei 2018

v. i=_{0, 06} ₃₀p₃₅=_{0, 8} ¨a₃₅=₁₅ ¨a₆₅ =₁₀ ₃₀E₃₅=_{0, 15}

22. Tentukan premi tunggal bruto untuk anuitas di atas dengan menggunakan prinsip ekuivalen (equivalence principle).

A. 15.228 B. 16.658 C. 17.088 D. 18.518 E. 19.948

Pembahasan: Misalkan G menyatakan premi tunggal bruto. Maka, menggunakan prinsip ekuivalen,

G=0, 05G+50 ¨a35+₃₀E35(10.000+50)¨a65

0, 95G=50(15) + (0, 15)(10050)(10) G= ^15.825

0, 95 =16.657.89≈16.658 Jawab: B.

23. Kezia ditawarkan untuk menambah manfaat anuitasnya dengan pengembalian single gross premiumpada akhir tahun kematian dengan bunga sebesar 6% per tahun jika ia meninggal sebelum umur 65 tahun. Berapa premi tambahan yang harus Kezia bayar jika ia setuju untuk penambahan manfaat ini?

A. 28.822 B. 21.100 C. 16.688 D. 9.944

E. 4.442

Pembahasan: Misalkan premi yang baru adalah G^∗, maka EPV (Expected Present Value) dari penambahan manfaat anuitasnya adalah

G^∗

q35v(1, 06) +_1|1q₃₅v²(1, 06)²+ · · · +_29|1q₃₅v³⁰(1, 06)³⁰=₃₀q35G^∗

= (1−₃₀p35)G^∗ =0, 2G^∗

(21)

1 Periode Mei 2018

Sehingga persamaan yang baru untuk premi tunggal brutonya adalah

G^∗=0, 05G^∗+0, 2G^∗+50 ¨a35+₃₀E35(10.000+50)¨a₆₅ 0, 75G^∗=₅₀(₁₅) + (_{0, 15})(₁₀₀₅₀)(₁₀)

G^∗= ^15.825

0, 75 =21.100

Premi tambahan yang harus Kezia bayar jika ia setuju untuk penambahan manfaat ini adalah sebesar

G^∗−G=_21.100−16.657.89=_{4.442, 105} Jawab: E.

24. Untuk dua orang dengan sisa umur di masa yang akan datang saling bebas (independent future lifetimes), (x) dan (y), diketahui δ=0, 05, µx=0, 1 dan µy=0, 15. Hitunglah ¯P(A^¯)_xy! A. 0,01

B. 0,03 C. 0,05 D. 0,07 E. 0,09

Pembahasan: Karena diketahui Constant Force of Mortality, maka:

A¯x= ^µ^x

µx+δ = ^{0, 1}

0, 1+0, 05 =0, 667 A¯y= ^µ^y

µy+δ = ^{0, 15}

0, 15+_{0, 05}=0, 75 µxy=µx+µy=⇒ A^¯xy= ^µ^xy

µxy+δ = ^{0, 25}

0, 25+_{0, 05} =0, 833 A¯_xy= A^¯x+A^¯y−A^¯xy=_{0, 667}+_{0, 75}−0, 833=_{0, 5833}

¯axy= ^A^¯^xy

δ =8, 333 P¯(A^¯_xy) = ^A^¯^xy

¯axy

= ^{0, 5833}

8, 333 =_{0, 07} Jawab: D.

25. Sebuah asuransi seumur hidup yang berkelanjutan (continuous) sebesar 10.000 diterbitkan untuk (40). Premi dibayarkan sebesar 100 setiap tahun. Diketahui δ = 0, 04 dan µ70,5 = 0, 025, tentukan_30,5V jika_{dt t}^d V=337, 5 untuk t=30, 5.

(22)

1 Periode Mei 2018 A. 7.000

B. 7.500 C. 8.000 D. 8.500 E. 9.000

Pembahasan: Diketahui bahwa d

dt^tV=δtV+Pt−et− (St+Et−tV)µx+t

Untukt=30, 5,

337, 5=0, 04(_30,5V) +100−0− (10.000+0−_30,5V)(0, 025) 487, 5=0, 065(_30,5V)

30,5V=_7.500 Jawab: B.

26. Sebuah anuitas 5 tahun dengan manfaat sebesar 1 diterbitkan untuk (55). Diketahui lX = 100−x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dan i = 0.06. Tentukan probabilitas hasil penjumlahan pembayaran anuitas tanpa didiskon akan melebihi expected present value pada saat anuitas diterbitkan jika diketahui₅E55 =0, 7081 dan ¨a60=11, 1454 dan ¨a₅ =4, 4651.

A. 0,69 B. 0,71 C. 0,73 D. 0,75 E. 0.77

Komentar: asumsi jika yang dimaksud adalah anuitas seumur hidup dengan manfaat sebesar 1 yang dibayarkan setiap awal tahun, dengan 5 tahun pertama dijamin terbayar (guaranteed), maka expected present value pada saat anuitas dibayarkan adalah

¨a₅ +₅E55¨a60=4, 4651+ (0, 7081)(11, 1454) =12, 35716

Sehingga probabilitas hasil penjumlahan pembayaran anuitas tanpa didiskon akan melebihi expected present value pada saat anuitas diterbitkan adalah probabilitas bahwa setidaknya

(23)

1 Periode Mei 2018

ada 13 kali pembayaran anuitas. Hal ini akan terjadi jika (55) bertahan hidup hingga usia 55+12=67. Maka probabilitasnya adalah:

12p₅₅= ^l⁶⁷ l55

= ¹⁰⁰−67

100−55 =0, 7333 Sehingga jawabannya adalah C.

27. Diketahui sebagian dari sebuah tabel triple decrement.

Belakangan diketahui bahwa q⁽¹⁾₄₀ seharusnya bernilai0, 02, sedangkan angka-angka yang x l^(τ)x q⁽¹⁾x q⁽²⁾x q⁽³⁾x

40 15.000 0,01 0,04 0,05

41 - 0,04 0,08 0,10

lain sudah tepat. Berapakah dampak kesalahan ini terhadap nilaid₄₁⁽³⁾yang seharusnya?

A. Lebih kecil 20 dari yang seharusnya B. Lebih kecil 15 dari yang seharusnya C. Tidak ada dampak

D. Lebih besar 15 dari yang seharusnya E. Lebih besar 20 dari yang seharusnya

Pembahasan: Menggunakan data pada tabel yang awal,

p^(τ)₄₀ =1− (0, 01+0, 04+0, 05) =0, 9 l₄₁^(τ)=l₄₀^(τ)p^(τ)₄₀ =15.000(0, 9) =13.500 d⁽³⁾₄₁ =l₄₁^(τ)q⁽³⁾₄₁ =_13.500((_{0, 1}) =_1.350

Kemudian, jika kita ubahq⁽¹⁾₄₀ menjadi0, 02 sedangkan angka-angka yang lain tetap, maka p^(τ)₄₀ =1− (0, 02+0, 04+0, 05) =0, 89

l^(τ)₄₁ =l₄₀^(τ)p^(τ)₄₀ =15.000(0, 89) =13.350 d⁽³⁾₄₁ =l₄₁^(τ)q⁽³⁾₄₁ =13.350((0, 1) =1.335

Yaitu, nilaid⁽³⁾₄₁ seharusnya adalah1335 bukan 1350. Jadi, kesalahannya adalah lebih besar 15 dari yang seharusnya. Jawab: D.

(24)

1 Periode Mei 2018 28. Peubah acak nilai tunai untuk (x) dapat dinyatakan sebagai:

Z= f(x) =











0, Tx≤10 v^T^x, 10<T≤20 2v^T^x, 10<T≤20 0, lainnya

Dari pilihan-pilihan berikut, manakah ekspresi yang tepat untuk menggambarkanE[Z]? A. _10|A¯_x+_20|A^¯_x−_30|A^¯_x

B. A¯x+₂₀ExA¯x+20−230ExA¯x+30

C. ₁₀ExA¯x+₂₀ExA¯x+20−230ExA¯x+30

D. ₁₀E_xA¯_x+10+₂₀E_xA¯_x+20−2₃₀E_xA¯_x+30 E. ₁₀Ex[A^¯x+10+₁₀Ex+10A¯x+20−₁₀Ex+20A¯x+30] Pembahasan: Jawab: ANULIR.

Komentar: jika yang dimaksud adalah

Z= f(x) =











0, Tx≤10 v^T^x, 10<T≤20 2v^T^x, 20<T≤30 0, lainnya MakaZ dapat kita tuliskan sebagai

Z=











0, Tx≤10

v^T^x, 10<T≤20 v^T^x +v^T^x, 20<T≤30

0, lainnya

danE[Z] =_10|A^¯_x+_20|A^¯_x−2_30|A¯_x. Dengan menggunakan_n|A¯_x=_nExA¯x+n, maka diper- olehE[Z] =₁₀ExA¯x+₂₀ExA¯x+20−230ExA¯x+30sehingga jawabannya adalah C.

29. Berikut adalah Select and ultimate life table dengan periode seleksi 3 tahun:

Diketahui jugae60=1 dan kematian berdistribusi seragam pada setiap usia. Tentukan ˚e_[58]+2. A. 2,1

B. 1,6 C. 1,1

(25)

1 Periode Mei 2018

[x] l_[x] l_[x]+1 l_[x]+2 l_[x]+3 x+3 55 10.000 9.493 8.533 7.664 58 56 8.547 8.028 6.889 5.630 59 57 7.011 6.443 5.395 3.904 60 58 5.853 4.846 3.548 2.210 61

D. 0,6 E. 0,1

Pembahasan:

˚e_[58]+2=e_[58]+2+0, 5

e_[58]+2= p_[58]+2(1+e₆₁) =p_[58]+2

1+ ^e⁶⁰

p₆₀ −1

= ^l⁶¹

l_[58]+2× ^e⁶⁰ p60

= ²²¹⁰

3548× ¹

(2210/3904) = ³⁹⁰⁴

3549 =_{1, 100338}

˚e_[58]+2=1, 100338+0, 5=1, 6

Jawab: B.

30. Diketahui sebuah asuransi seumur hidup sebesar 1.000 untuk (x), diketahui i. Gross premium sebesar 25

ii. Biaya per polis setiap awal tahun adalah 5 iii. Biaya per premi sebesar 2% setiap awal tahun

iv. i=0, 05

v. Cash value yang tersedia untuk ditarik pada akhir tahun ke-4 adalah 100

vi. q^(d)_x+3=0, 015 sedangkan q^(w)_x+3=0, 05 dengan withdrawal terjadi pada akhir tahun vii. Nilai aktuaria dari kumpulan premi setelah disesuaikan dengan manfaat dan biaya, biasa

disebut asset share, pada akhir tahun ke-3 bernilai 75

Jika pada tahun ke-4 kemungkinan withdrawal dan seluruh biaya menjadi 120% dari yang tertulis di atas, seberapa besarkah perubahan asset share pada akhir tahun ke-4?

A. Bertambah 1,11 B. Berkurang 1,21 C. Bertambah 1,31 D. Berkurang 1,41

(26)

1 Periode Mei 2018 E. Bertambah 1,51

Pembahasan: Menggunakan rumus rekursif untuk asset share:

[_kAS+G_k(1−c_k) −e_k](1+i_k) = p^(τ)_x+kk+1AS+q^(d)_x+k(b_k+1+E_k+1) +q^(w)_x+kk+1CV Sehingga:

4AS= [₃AS+G₃(1−c₃) −e₃](1+i) − [q^(d)_x+3(b₄) +q^(w)_x+3(₄CV)]

p^(τ)_x+k

= [75+25(1−0, 02) −5](1, 05) − [0, 015(1000) +0, 05(100)]

1−0, 05−0, 015

=84, 73262.

Pada tahun ke-4 kemungkinan withdrawal dan seluruh biaya menjadi 120% dari yang tertulis, yaitu

q^(w)_x+3=0, 05(120%) =0, 06 ek=5(120%) =6 c_k=_2%(_120%) =_{0, 024} Sehingga asset share yang baru adalah:

4AS^∗= [75+25(1−0, 024) −6](1, 05) − [0, 015(1000) +0, 06(100)]

1−0, 06−0, 015

=83, 31892.

Maka, perubahan asset share pada akhir tahun ke-4 adalah

4AS^∗−₄AS =83, 31892−84, 73262= −1, 4137 Jawab: D.

(27)

2 Periode November 2017

1. Diberikan sebagai berikut :

S_X(x) = ⁹⁰⁰⁰−10x−x²

9000 , untuk 0<x≤90 Hitunglah nilaiq₅₀−µ₅₀.

A. 0,000167 B. 0,000200 C. 0,000250 D. 0,000333 E. 0,000500 Pembahasan:

q50=_P[T50 ≤1] =1−^S(51) S(₅₀)

=1−⁹⁰⁰⁰−10×51−51² 9000−10×50−50²

=0, 0185.

µ₅₀ = ^f^X(50)

SX(50) = ¹⁰+2×50

9000−10×50−50² =0.0183.

q50−µ50=0.0185−0.0183=0.000200.

Jawab: B.

2. Hitunglah nilai dari_n−1V_x:n, jika diberikanAx:n =0, 50 dan d=0, 08 A. 0,80

B. 0,82 C. 0,84

(28)

2 Periode November 2017 D. 0,86

E. 0,90

Pembahasan: Dengan asumsi premi dibayar dengan besaran tetap selama masa asuransi (n) dan premi dihitung menggunakan prinsip ekuivalensi, maka besar premi per periode adalah

P= ^A^x:n

¨ax:n

= ^A^x:n

1− Ax:n d

= _1−0,5^{0, 5}

0,08

=0, 08.

Karena pada asuransi dwiguna jika tertanggung still in force padan−1 maka tertanggung akan menerima 1 pada waktun, apapun yang terjadi, maka dipunyai

(_n−1Vx:n +P)(1+i) =1

n−1Vx:n =v−P= (1−d) −P=1−0, 08−0, 08=0, 84.

Jawab: C.

3. Untuk suatu model “2-year selection and ultimate mortality”, diberikan:

(i) q_[x]+1=0, 95qx+1

(ii) l₇₆=_10.140 (iii) l₇₇=9.848 Hitunglahl_[75]+1 A. 10.120 B. 10.125 C. 10.130 D. 10.133 E. 10.135 Pembahasan:

q_[75]+1=0, 95q75+1=0, 95`₇₆− `₇₇

`₇₆ 1− `_[75]+2

`_[75]+1 =0, 95 292

10.140 =0, 0274 1− `₇₇

`_[75]+1 =0, 0274

`_[75]+1= ^{9, 848}

0, 9726=10.125

(29)

2 Periode November 2017 Jawab: B.

4. Diberikan sebagai berikut:

(i) qx=0, 5

(ii) “Force of Mortality” adalah konstan antara “integral ages”

Hitunglah_1/2px+1/4

A. 0,2525 B. 0,2626 C. 0,2727 D. 0,2828 E. 0,2929 Pembahasan:

qx= px=0, 5.

3/4p_x=_1/4p_x1/2p_x+1/4 (0, 5)^3/4= (0, 5)^1/4_1/2p_x+1/4

1/2p_x+1/4= (0, 5)^1/2

1/2q_x+1/4=1−_1/2p_x+1/4 =0, 2929

Jawab:E.

5. Untuk(x)dan(y)dengan “independent future lifetimes” diberikan sebagai berikut:

(i) ¯ax=_{10, 06} (ii) ¯ay=11, 95 (iii) ¯axy=12, 59

(iv) ¯Ax1 y=0, 04 (v) δ=_{0, 07} Hitunglah ¯Ax1 y A. 0,15 B. 0,20 C. 0,25

(30)

2 Periode November 2017 D. 0,30

E. 0,35

Pembahasan: Dari informasi yang diberikan, diperoleh:

(i) A¯x=1−δ ¯ax=0, 2958 (ii) A¯y=1−δ ¯ay=0, 1635 (iii) A¯_xy=1−δ ¯axy=0, 1187

(iv) A¯xy= A^¯x+A^¯y−A^¯xy=0, 3406 A¯¹xy= A^¯xy−A^¯x1

y=0, 3406−0, 04=0, 3006.

Jawab: D.

6. Suatu asuransi seumur hidup pada (x) dengan manfaat 1 dengan pengembalian dari “net single premium”tanpa bunga pada saat kematian. Diberikan:

(i) µx+t=0, 01 untuk t>0 (ii) δ=0, 02

Hitunglah “net single premium”

A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5 E. 4/9

Pembahasan:

P= Z _∞

0

(1+P)e^−δttpxµx+tdt

= (1+p) Z _∞

0 e−(0,02+0,01)0, 01dt

= ¹ 3 +¹

3P P= ¹

2 Jawab: A.

7. Untuk suatu model double decrement, diketahui sebagai berikut:

(31)

2 Periode November 2017 (i) T adalah variabel acak dari time-until-death (ii) J adalah variabel acak dari cause-of-decrement (iii) fT,Jadalah joint p.d.f dariT dan J

(iv)

fT,J(t, j) =

( 0, 6ke^−0,8t+0, 9(1−k)e^−1,5t, t≥0 dan J=1 0, 2ke^−0,8t+0, 6(1−k)e^−1,5t, t≥0 dan J=2 (v) _∞q⁽¹⁾x =3_∞q⁽²⁾x

Hitunglah k.

A. 3/8 B. 4/9 C. 1/2 D. 2/3 E. 1

Pembahasan:

∞q⁽¹⁾x = Z _∞

0 0, 6ke^−0,8t+0, 9(1−k)e^−1,5tdt

= ^{0, 6k}

0, 8 e^−0,8t+^{0, 9}(1−k)

1, 5 e^−1,5t|⁰_∞= ^3k

4 +³(1−k)

5 ,

∞q⁽²⁾x = Z _∞

0 0, 2ke^−0,8t+0, 6(1−k)e^−1,5tdt

= ^{0, 2k}

0, 8 e^−0,8t+^{0, 6}(1−k)

1, 5 e^−1,5t|⁰_∞= ^k

4+²(1−k)

5 .

Karena diketahui_∞q⁽¹⁾x =3_∞q⁽²⁾x maka diperoleh 3k

4 +³(1−k) 5 =3hk

4 +²(1−k) 5

i 15k+12(1−k) =15k+24(1−k)

12(1−k) =0 k=1.

Jawab: E.

Informasi untuk nomor 8 sampai 10

(32)

2 Periode November 2017

Suatu pembayaran dilakukan sebesar 10 di akhir minggu untuk memenuhi kebutuhan pembe- lian detergen. Kegunaan detergen adalah variabel “the week of exhaustion of supply” adalah variabel acakK Misalkan Z =10v^Kmenyatakan “present value” dari pembayaran variabel

k Pr(K=k)

1 0,20

2 0,30

3 0,20

4 0,15

5 0,15

acak. Dengan asumsi bungai=0, 01, ”effective per week”

8. Hitunglah “the mean” dariZ A. 9,731

B. 10,731 C. 11,731 D. 12,731 E. 13,731

Pembahasan: Dengan menganggap kuadrat padaPr(K=k)pada tabel tidak ada, maka soal dapat diselesaikan sebagai berikut:

E(Z) =

∑

5 k=1

10v^kPr(K=k)

=10 1 1, 01

0, 20+10 1 1, 01

2

0, 30+10 1 1, 01

3

0, 20 +10 1

1, 01

4

0, 15+10 1 1, 01

5

0, 15

=9, 730935512

Jawab: A.

9. Hitunglah ”variansi” dariZ A. 0,01663

B. 0,02663 C. 0,03663 D. 0,04663

(33)

2 Periode November 2017 E. 0,05663

Pembahasan: Diketahui E(Z²) =

∑

5 k=1

(10v^k)²Pr(K=k)

=100 1 1, 01

2

0, 20+100 1 1, 01

4

0, 30+100 1 1, 01

6

0, 20 +100 1

1, 01

8

0, 15+100 1 1, 01

10

0, 15

=94, 70778869.

Sehingga

Var(Z) =_E(Z²) − (_E(Z))²=0, 016682746

Jawab: A.

10. Hitunglah ”median” dariZ A. 9,706

B. 10,706 C. 11,706 D. 12,706 E. 13,706

Pembahasan: Dari tabel pmf tersebut di atas diperoleh cdf untukK adalah sebagai berikut:

k Pr(K=k) Pr(K≤k) Pr(K≥k)

1 0,20 0,20 1,00

2 0,30 0,50 0,80

3 0,20 0,70 0,50

4 0,15 0,85 0,30

5 0,15 1,00 0,15

(34)

P(Z≤zmed) =0, 50 P(_10v^K≤z_med) =_{0, 50} P(K≥ ^log(z_med/10)

log v ) =0, 50=_P(K≥3) log(z_med/10)

log v =3

z_med=10e^{3 log v} =10v³=9, 705901479

Jawab: A.

11. Manakah dari pernyataan berikut yang benar dari_{dt t}^d V¯(A^¯x) A. ^A^¯^x⁺^t^+¯a_¯a^x⁺^t^µ^x⁺^t

x

B. ^A^¯^x⁺^t^{− ¯a}_¯a^x⁺^t^µ^x⁺^t

x

C. ^{1−δ ¯a}^x⁺^t_¯a^{− ¯a}^x⁺^t^µ^x⁺^t

x+t

D. ^{1−δ ¯a}^x⁺^t_¯a^+¯a^x⁺^t^µ^x⁺^t

x+t

E. ^1−µ_¯a ^x⁺^t

x+t

Pembahasan: Sebelum menyelesaikan permasalahan ini, perlu diingat kembali derivatif dari fungsi asuransi terhadapx. Namun sebelumnya, perlu dilihat asuransi kontinu untuk(x)dapat dituliskan sebagai

A¯x= Z _∞

0 v^sspxµx+sds

= ¹

xp0 Z _∞

0 v^sx+sp0µx+sds

= ¹

xp0 Z _∞

x v^y−xyp0µydy dengany=x+s, sehingga ¯Axdapat dituliskan sebagai

A¯x= ¹ v^xxp0

Z _∞

x v^yyp₀µydy

bentuk ini dipilih karena di dalam integral sudah tidak memuatx sehingga lebih mudah men-

(35)

cari derivatifnya terhadapx. Selanjut derivatif dari ¯Axterhadapx dapat dihitung d

dxA¯x= ^d dx

1

v^xxp0

^Z ∞

x v^yyp0µ_ydy+ ¹ v^xxp0

d dx

^Z ∞

x v^yyp0µ_ydy

= −^v

xln vxp0+v^x(−_xp0µx) (v^x)_xp₀)²

Z _∞

x v^yyp0µydy+ ¹

v^xxp₀(v^xxp0µx)

= (δ+µx)A^¯x−µx (2.1)

Diketahui nilai cadangan pada waktut adalah

tV(A^¯x) =A^¯x+t−P¯ax+t

= A^¯x+t−P1−A^¯x+t

δ =1+ ^P δ

¯Ax+t− ^P δ. Karena premi dihitung sebagai premi bersih dan dibayarkan kontinu maka

P= ^A^¯^x

¯ax, sehingga

tV(A^¯x) =^{δ ¯}^a^x+A^¯x

δ ¯ax

¯Ax+t− ^P δ. Selain itu juga dipunyai

¯ax= ¹−A^¯x

δ (2.2)

sehingga δ ¯ax+A^¯x=1. Subsitusi hasil ini ke persamaan cadangan tadi diperoleh

tV(A^¯x) = ¹ δ ¯ax

¯Ax+t− ^P δ. Jadi derivatif dari fungsi cadangan terhadapt adalah

d

dt^tV(A^¯x) = ¹ δ ¯ax

d

dtA¯x+t = ¹ δ ¯ax

d

d(x+t)^A^¯^x+t^. Dengan menggunakan (2.1) dan (2.2) diperoleh

d

dt^tV(A^¯x) = ¹ δ ¯ax

((δ+µx+t)A^¯x+t−µx+t)

= ^{δ ¯}^A^x−µx+t(1−A^¯x+t) δ ¯ax

= ^{δ ¯}^A^x−µx+tδ ¯ax+t

δ ¯ax

= ^A^¯^x−µx+t¯ax+t

¯ax .

(36)

2 Periode November 2017 Jawab: B

12. Suatu “nonhomogeneous Poisson process” mempunyai “rate function” λ(t) = t untuk 0 ≤ t ≤ 10 dan λ(t) = 10 untuk t >10. Hitunglah “expected number of events” pada interval (5,14]

A. 57,50 B. 60,50 C. 64,50 D. 75,50 E. 77,50

Pembahasan: Untuk proses Poisson non-homogen, nilai harapan banyaknya kejadian pada interval(s, t]adalahm(t) −m(s) =Rt

s λ(t)dt. Jadi banyaknya kejadian pada interval(_{5, 14}] adalah

m(14) −m(5) = Z 14

5 λ(t)dt= Z 10

5 tdt+ Z 14

10 10dt

= ¹

2t²|¹⁰₅ +_10t|¹⁴₁₀

=_{77, 50.}

Jawab: E.

13. Misalkan N berdistribusi “negative binomial” dengan E[N] = _{20 dan Var}[N] =_{24. Hi-} tunglah nilai dari parameter r

A. 5/6 B. 20 C. 25 D. 75 E. 100 Pembahasan:

E(N) = ^r(1−p)

p =20,

Var(N) = ^r(₁−p) p² =24 p= ^E(_N)

Var(N) = ²⁰ 24 = ⁵

6,

(37)

r= ²⁰×p

1−p = ²⁰×5/6 1/6 =100.

Jawab: E.

14. Jika diketahui µ⁽¹⁾_x+t=0, 1 dan µ⁽²⁾_x+t =0, 2. Hitunglah nilai dari_∞q⁽¹⁾x

A. 1 B. 1/2 C. 1/3 D. 1/4 E. 1/5

Pembahasan: Dari informasi tentang force of decrements diperoleh

tp^(τ)_x =e^R⁰^t^µ⁽^x¹⁺⁾^t^+µ⁽^x²⁺⁾^t^dt=e^0,3t.

∞q⁽¹⁾_x = Z _∞

0 tp^(τ)_x µ⁽¹⁾_x+tdt

= Z _∞

0 e^−0,3t0, 1dt= ^{0, 1} 0, 3 = ¹

3. Jawab: C.

15. Untuk suatu ”fully continuous whole life insurance” dengan benefit 10.000 diterbitkan pada usia (40). Diberikan sebagai berikut:

(i) Premi dibayarkan sebesar 100 per tahun (ii) δ=0, 05

(iii) µ_70,5=0, 038

(iv) Untukt=30, 5_{dt t}^d V=292 Hitunglah nilai dari_30,5V

A. 5.000 B. 5.500 C. 6.000 D. 6.500 E. 7.000

(38)

Pembahasan: Persamaan diferensial Thiele untuk nilai polis pada produk tersebut adalah d

dt^tV=δ_tV+P− (10.000−_tV)µ_x+t. Sehingga untukt=30, 5 diperoleh

d dt^tV

t=30,5 =292=0, 05_30,5V+100− (10.000−_30,5V)0, 038

30,5V= ²⁹²−100+380

0, 088 =_6500.

Jawab: D.

16. Untuk suatu polis asuransi ”fully discrete whole life” dengan benefit 100,000 pada usia hidup (35). Diberikan sebagai berikut:

(i) Biaya dibawah ini dibayarkan pada saat awal tahun ke 11 Per Polis = 50, Persentase dari Premi adalah = 15%

(ii) ”Gross Premi” sama dengan 1.100 per polis

(iii) ”Asset share” per polis pada akhir tahun ke 10 adalah 10.000 (iv) Selama tahun ke 11 ”realized investment rate” adalah 8%

(v) Selama tahun ke 11 ”realized mortality rate” adalah 0,005 Hitunglah ”Asset share” per polis pada akhir tahun ke 11 A. 10.900

B. 11.100 C. 11.124 D. 11.312 E. 11.422

Pembahasan:

AS₁₁= (10.000+0, 85×1.100−50)(1, 08) −0, 005×100.000 0, 995

=11.312, 3618.

Jawab: D.

17. Untuk sekelompok individu usia x, diberikan sebagai berikut:

(39)

2 Periode November 2017 k q^s_x+k q^ns_x+k 0 0,10 0,05 1 0,20 0,10 2 0,30 0,15

(i) 25% adalah ”smoker (s)” dan 75% adalah ”nonsmoker (ns)”

(ii)

(iii) i=_{0, 02}

Hitunglah nilai dari 10.000A¹_x:2 untuk individu yang dipilih secara acak pada kelompok ini A. 1.690

B. 1.710 C. 1.730 D. 1.750 E. 1.770

Pembahasan: For smokers:

A^(s)¹_x:2 =vq^(s)x +v²_1|q^(s)_x

= ¹

1, 02(0, 1) + ¹ 1, 02

2

(0, 9)(0, 2)

=0, 2710.

For non-smokers:

A^(ns)¹_x:2 =vq^(ns)x +v²_1|q^(ns)_x

= ¹

1, 02(0, 05) + ¹ 1, 02

2

(0, 95)(0, 1)

=0, 1403.

10.000 A¹_x:2 =10.000×_E[_E(Z|S)]untuk S variabel random status

=10.000(A^(s)¹_x:2P(S=s) +A^(ns)¹_x:2 P(S=ns))

=10.000(0, 271×0, 25+0, 1403×0, 75)

=1730, 1038.

Jawab: C.

(40)

18. UntukT, variabel acak ”future lifetime” pada (0), diberikan sebagai berikut:

(i) ω>₇₀ (ii) ₄₀p₀=_{0, 6} (iii) E(T) =₆₂

(iv) E[min(T, t)] =t−0, 005t², 0<t<₆₀ Hitunglah ”complete expectation of life” pada 40 A. 30

B. 35 C. 40 D. 45 E. 50

Pembahasan: Karena diketahuiE[min(T, t)] =t−0, 005t², 0<t<60 maka

E[min(T, 40)] = Z ₄₀

0 tp0dt=40−0, 005×40²=32.

Dari pernyataan (iii) diperoleh

E(T) = Z ₄₀

0 tp0dt+ Z _ω

40 tp0dt 62=32+

Z _ω 40 tp0dt Z _ω

40 tp₀dt=30.

Complete expectation of life pada (40) dapat dihitung sebagai

˚e40= R_ω

40 tp₀dt

40p₀

= ³⁰ 0, 6 =_50.

Jawab: E.

19. Diberikan suatu ”survival function”

S0(x) = ¹ 1+√

x Hitunglah_5|15q₁₅

(41)

2 Periode November 2017 A. 0,176

B. 0,186 C. 0,196 D. 0,206 E. 0,216 Pembahasan:

5|15q₁₅=_P(5≤T15 ≤20)

=F15(20) −F15(5) =S25(5) −S15(20)

= ¹+√ 15 1+√

20−¹+√ 15 1+√

35

=0, 8905−0, 7046=0, 1859.

Jawab: B.

20. Diberikan bahwa kematian mengikutilx=100−x, 0≤x≤100 Hitunglahe80

A. 6,75 B. 8,75 C. 9,25 D. 10,45

E. 11,35 Pembahasan:

˚e80 = ^ω−x

2 = ¹⁰⁰−80

2 =10,

e₈₀= ˚e₈₀−0, 5=_{9, 5.}

Jawab: - (dianulir).

21. Diberikan :

(i) Kematian berdistribusi seragam untuk setiap tahun usia (ii) i=0, 10

(iii) qx=0, 05 (iv) q_x+1=0, 06