MODEL OPTIMISASI INTEGER UNTUK INTERAKSI DINAMIS DALAM JARINGAN SOSIAL

(1)

MODEL OPTIMISASI INTEGER UNTUK INTERAKSI DINAMIS DALAM JARINGAN SOSIAL

DISERTASI

Oleh

MAYA SILVI LYDIA 128110001/Ilmu Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2016

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

DINAMIS DALAM JARINGAN SOSIAL

DISERTASI

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

MAYA SILVI LYDIA 128110001/Ilmu Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2016

(3)

(4)

PANITIA PENGUJI DISERTASI

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

2. Dr. Dorien J. Detombe

3. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc 4. Prof. Dr. Marwan Ramli, M.Si

(5)

PERNYATAAN

Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul:

MODEL OPTIMISASI INTEGER UNTUK INTERAKSI DINAMIS DALAM JARINGAN SOSIAL

Merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pem- bimbingan para komisi pembimbing, kecuali yang dengan ditunjukkan rujukan- nya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di perguruan tinggi lainnya.

Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan dapat diperiksa kebenarannya.

Medan, Penulis,

Maya Silvi Lydia

i

(6)

Jaringan sosial menggambarkan struktur sosial yang terdiri dari satu set orang atau kelompok orang dengan beberapa pola interaksi atau hubungan antara mereka. Dalam gambaran umum, jaringan sosial dapat dipandang sebagai sebuah jaringan node (orang) yang terhubung satu dengan yang lainnya menggunakan edge atau disebut hubungan. Orang berinteraksi dengan sejumlah individu yang berbeda dan dengan beberapa individu lebih dari yang lainnya akan memberikan pengaruh pada tingkahlaku mereka secara mendasar. Pada kenyataannya karakteristik sebuah interaksi adalah dinamis. Konsep sentralitas digunakan untuk mengukur kepentingan posisi sebuah node di dalam jaringan. Untuk menunjukkan sifat dinamis sebuah node maka digunakan konsep resiproksitas dan transitivitas.

Dalam formulasi optimisasi, penelitian ini menggunakan model pemrograman linear integer untuk menganalisis interaksi dinamis dalam jaringan sosial. Untuk menyelesaikan model digunakan pencarian ketetangga yang mungkin. Hasilnya menunjukkan derajat optimal dari interaksi dinamis sebuah node.

Kata kunci: Optimisasi, Jaringan sosial, Sentralitas, Graf, Pencarian ketetanggaan yang mungkin

(7)

ABSTRACT

A social network represents a social structure containing a set of people or groups of people, with some pattern of interactions or ties between them. In most general representation a social network can be viewed as a network of nodes (peo- ple) related to one another using edges (relationship). People interact with diffe- rent numbers of individuals and with some individuals more than others and this effects behavior in fundamental ways. In reality the characteristic of the interac- tions is dynamic. The concept of centrality is used to measure the importance of a nodes position in the networks. In order to show the dynamic nature of a node the concept of reciprocity and transitivity are used. In the optimization formulation, this research uses an integer linear programming model to analyze the dynamic interactions in the social networks. A feasible neighborhood search is used to solve the model. The result shows the optimal degree of dynamic interaction of a node.

Keywords: Optimization, Social networks, Centrality, Graph, Feasible neighborhood search

iii

(8)

Alhamdulillah, Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang Maha Pengasih la- gi Maha Penyayang atas segala limpahan rahmat dan hidayah-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan disertasi yang berjudul Model Optimisasi Integer untuk Interaksi Dinamis dalam Jaringan Sosial.

Dalam Penyusunan disertasi ini, penulis telah banyak mendapat bantuan dan bimbingan, dari berbagai pihak. Untuk itu pada kesempatan ini dengan segala kerendahan disampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Runtung Sitepu, SH.M.Hum, selaku Rektor Universi- tas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan ke penulis untuk mengikuti program Doktor Ilmu Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Dr.Kerista Sebayang, MS, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Il- mu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepenulis untuk mengikuti program Doktor Ilmu Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Promotor atas ketulusan hati dan keikhlasannya dalam membimbing dan mendukung penulis selama mengikuti program Doktor sehingga selesainya disertasi ini.

(9)

4. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Co-Promotor atas ketulusannya dalam membimbing dan memberi motivasi kepada penulis selama mengikuti program Doktor sehingga selesainya disertasi ini.

5. Bapak Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, selaku Komisi Penguji atas ketulusannya dalam membimbing dan memberi motivasi kepada penulis selama mengikuti program Doktor sehingga selesainya disertasi ini.

6. Bapak Dr. Marwan Ramli, M.Sc, selaku Penguji luar komisi atas ketulusannya dalam membimbing dan memberi motivasi kepada penulis selama mengikuti program Doktor sehingga selesainya disertasi ini.

7. Seluruh Staf Pengajar Program Studi Doktor Ilmu Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Sumatera Utara.

8. Seluruh teman-teman Program Studi Doktor Ilmu Matematika, yang senan- tiasa memberi semangat dan dorongan serta doanya kepada penulis.

9. Ibu Misiani, S.Si dan Staf Administrasi Departemen Matematika serta Staf Administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Medan, Juni 2016 Penulis,

Maya Silvi Lydia

v

(10)

Maya Silvi Lydia dilahirkan di Medan pada tanggal 27 Januari 1974 dari Ayah Ir.H.T.Marzuki Jacob dan Ibu Dra.Hj.Ulfah, MS sebagai anak kedua dari empat bersaudara. Pada tahun 1986 lulus dari SD Yaspendhar 2 Medan. Pada tahun 1989 lulus dari SMP Yaspendhar 2 Medan dan pada tahun 1992 lulus dari SMA Negeri 1Medan. Pada tahun 1996 menyelesaikan studi Bachelor Sains Kom- puter (B.Sc) pada Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia dan Pada tahun 2001 berhasil menyelesaikan studi Master Sains Kom- puter (M.Sc) pada Fakulti Ilmu Komputer dan Teknologi Maklumat, Universitas Putra Malaysia. Selanjutnya pada tahun 2012, melanjutkan studi S3 Program Studi Doktor Ilmu Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan, Universitas Sumatera Utara Medan. Saat ini Maya Silvi Lydia bertugas sebagai Dosen Tetap pada Program Studi Ilmu Komputer Fakultas Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi Universitas Sumatera Utara.

(11)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Perumusan Masalah 5

1.2 Tujuan Penelitian 6

1.3 Kontribusi Penelitian 6

BAB 2 GRAF DAN MATRIKS DALAM PEMODELAN JARINGAN 7

2.1 Properti Dasar Graf dan Matriks 7

2.2 Order, Size dan Densitas 9

2.3 Derajat, Urutan Derajat danDistribusi Derajat 9

2.4 Subgraf, Diadic dan Triad 11

2.5 Path, Reachability dan Connectedness 12

2.6 Sentralitas (Sentralitas Derajat, Sentralitas Keantaraan, Sen-

tralitas Kedekatan) 14

2.7 Forbidden Tie 17

2.8 Resiprositas dan Transitifitas 17

BAB 3 ANALISIS JARINGAN SOSIAL 21

3.1 Pendahuluan 21

3.2 Hubungan (Connection) 25

vii

(12)

3.4 Atribut Sosial Titik dan Jaringan 26

3.5 Kesimbangan (Balance) 28

BAB 4 MODEL KOMPUTASI JARINGAN SOSIAL 29

BAB 5 MODEL OPTIMISASI DALAM JARINGAN SOSIAL DINAMIS 34

5.1 Pendahuluan 34

5.2 Model Jaringan Sosial Dinamis 36

5.3 Resiprositas Maksimum 37

5.4 Algoritma 39

BAB 6 KESIMPULAN 40

6.1 Kesimpulan 40

DAFTAR PUSTAKA 41

(13)

BAB 1 PENDAHULUAN

Jaringan sosial dijelaskan sebagai satu set orang atau kelompok orang yang memiliki pola interaksi atau hubungan diantara mereka. Pola interaksi yang terjadi antaralain hubungan pertemanan antara sekelompok individu, hubungan bisnis dalam industri ataupun hubungan perkawinan dalam keluarga. Beberapa contoh tersebut merupakan contoh jaringan yang telah dikaji sebelumnya. Dari contoh tersebut dapat dikatakan bahwa pengaruh jaringan sosial dapat digunakan untuk memahami prilaku manusia.

Perkembangan pesat dalam jaringan sosial daring (online) telah memicu munculnya minat dalam penelitian pada berbagai bidang seperti, sosiologi, ekonomi, fisika, matematika dan kesehatan masyarakat. Penelitian disejumlah bidang telah menunjukkan bahwa jaringan sosial berperan di berbagai tingkatan, dari keluarga sampai pada tingkat negara. Penelitian tersebut bertujuan untuk mengkaji semua jenis fenomena. Interaksi sangat berguna untuk menganalisis penyebaran informasi. Dalam bidang ekonomi, melalui jaringan sosial, seorang manajer dapat memahami dan meramalkan hasil ekonomi (Granovetter, 1985), dan khususnya untuk berhadapan dengan aktor internal maupun eksternal. Penelitian lain mengkaji jaringan sosial didalam peluang kerja (Marmaros dan Sacerdote, 2002, Granovetter, 1985) demikian juga berkaitan dengan investasi (Cohen et al., 2008) dan produktifitas (Oswald et al., 2009). Penelitian tentang jaringan sosial yang

1

(14)

mengkaji fenomena prilaku individu antara lain berkaitan masalah kriminalitas telah dilakukan (Glaeser et al., 1996), selain itu didalam ilmu kesehatan jaringan sosial dikaji untuk menentukan pola infeksi penyebaran penyakit (Keeling dan Eames, 2005, Firmansyah dan Mawengkang, 2012 dan Read et al., 2008, Rolls et al., 2013), penyebaran prilaku seperti dalam pemasaran produk baru sebuah pe- rusahaan yang dipengaruhi oleh perbincangan dari mulut ke mulut (Kempe et al., 2003), dalam hal pemberhentian prilaku merokok (Christakis dan Fowler, 2008), pengaruh pertemanan dalam fenomena obesitas (Christakis dan Fowler, 2007) dan juga dalam penentuan prilaku yang memberi gagasan untuk bunuh diri seperti penelitian yang dilakukan oleh (Bearman dan Moody, 2004).Dalam perjalanan evolusi biologi, jaringan berperan sangat penting, yaitu didalam struktur populasi yang menjelaskan bahwa interaksi dapat digunakan untuk memfasilitasi perkem- bangan prilaku kooperatif (Ohtsuki et al., 2006, Tarnita et al., 2009a, Tarnita et al., 2009b, Nowak dan May, 1992, Fu et al., 2007). Secara umum, sebuah jaringan digunakan untuk memahami informasi tentang interaksi sosial. Setiap individu diwakilkan dengan sebuah node didalam jaringan, dan terdapat busur (edge) diantara dua node jika sebuah interaksi sosial terjadi pada suatu waktu tertentu antara kedua individu yang diwakilkan dengan node-node tersebut. Penyelidikan dan teori secara sistematis tentang struktur hubungan antara aktor sosial dapat dilakukan dengan konsep sistem sosial dalam bentuk graf dan jaringan. Teori graf menyediakan alat untuk menjelaskan dan memvisualisasikan secara formal struktur sosial yang terdiri dari tiga atau lebih aktor. Anggap N = {1, 2, . . . , n}

merupakan satu set node dalam jaringan dimana setiap node mewakili satu ak-

(15)

3

tor sosial. Aktor sosial ini biasanya orang atau juga sebuah kelompok, organisasi atau entiti sosial lain. Model jaringan untuk interaksi sosial dapat digambarkan dengan jelas secara matematis menggunakan sebuah graf. Akan tetapi, model ini memiliki kelemahan utama adalah karena graf yang telah digambarkan terse- but secara dasar masih statis sehingga tidak dapat menggambarkan hubungan dinamis diantara aktor sehingga informasi berkaitan dengan pola aktivitas sosial aktor tidak akurat. Dari sudut pandang optimisasi, konsep sentralitas digunakan untuk menggolongkan pengukuran apakah seorang aktor itu populer atau merupakan orang yang paling penting. Sentralitas merupakan salah satu bentuk pengukuran yang paling banyak digunakan dalam analisis jaringan sosial. Konsep ini merupakan indikator yang digunakan untuk mengukur kekuatan sosial dan pengaruh sebuah node berdasarkan kepada derajat pengaruh sebuah node atau aktor dalam jaringan. Konsep sentralitas telah diaplikasikan awalnya dalam komunikasi sosial dan telah dikaji oleh Bavelas (1950), setelah itu banyak pengukuran sentralitas yang telah dikembangkan antaralain pengukuran Sentralitas Keantaraan (Betweenness Centrality) dalam Freeman (1979) dan Gomez et al.,(2013), Sentral- itas Kedekatan (Closenes Centrality) dalam De Nooy et al., (2005) dan Ranjay (1999).

Interaksi sosial diantara individu merupakan interaksi yang tidak tetap atau berubah-ubah maka interaksi sosial tersebut digambarkan sebagai jaringan sosial dinamis. Karakteristik sebuah jaringan sosial dinamis yang harus diperhitungkan adalah ukuran jaringan yang selalu berubah-ubah. Salah satu faktor yang menyebabkan ukuran jaringan yang berubah-ubah adalah perkembangan jaringan sosial

(16)

daring (online) diantaranya Facebook. Analisis jaringan sosial digunakan untuk mempelajari hubungan atau relasi sosial antar anggota dari sebuah kelompok orang yang digambarkan dalam sebuah graf yang terdiri dari titik (node) yang menggambarkan aktor sosial dan garis (edge) yang mewakilkan hubungan antara aktor tersebut (Hanneman dan Riddle, 2005).

Sejalan dengan perkembangan kepentingan jaringan sosial, analisis berkaitan dengan jaringan sosial dinamis menjadi perhatian para peneliti. Beberapa Penelitian berkaitan dengan jaringan sosial dinamis telah banyak dikembangkan antara lain model komputasi dan matematika untuk menganalisis jaringan sosial dinamis yang dikembangkan oleh Berger dan Saia (2006). Model ini memungkinkan analisis jaringan sosial dinamis dengan menggunakan informasi tentang waktu sebuah interaksi terjadi. Untuk menggambarkan struktur sosial dalam sebuah bentuk dinamis, sebuah populasi individu dipantau selama periode waktu tertentu. Setiap interaksi antara individu disimpan pada tiap tahap waktu. Dalam analisis jaringan sosial dinamis telah berjalan dalam beberapa arah yaitu pertama memandang jaringan sebagai suatu sistem fisik yang kompleks dan berusa- ha untuk menjelaskan hukum yang mengatur evolusinya dan membatasi tingkah laku dan sifat-sifatnya. Kedua adalah pandangan kearah komputasi yang menggunakan probabilitas dan ketidakpastian dalam struktur informasi dan menggabungkan analisis jaringan sosial dengan sistem multi-agent (Berger dan Saia, 2006). Beberapa perkembangan penting yang memperluas analisis jaringan sosial kepada bidang analisis dan jaringan multi warna (multi-color networks). Tiga perkembangan penting antaralain meta-matrix, mengandaikan hubungan (tie) se-

(17)

5

bagai probabilitas dan menggabungkan jaringan sosial dengan sains kognitif dan sistem multi-agent. Ketiga perkembangan ini menghasilkan analisis jaringan dinamis (Carley, 2003). Beberapa tinjauan komputasi dalam analisis jaringan sosial menggabungkan probabilitas dan ketidakpastian (uncertainty) kedalam struktur informasi selain itu juga menggabungkannya dengan sistem multi-agent (Carley, 2003). Untuk memperoleh informasi berkaitan dengan jaringan dinamis, simulasi komputer masih merupakan teknik komputasi utama yang digunakan (Berger dan Saia, 2006). Dalam analisis jaringan sosial, hal yang penting adalah bagaimana memaksimalkan pengaruh dalam semua bidang mulai dari pemasaran sampai epi- demiologi yang bertujuan untuk memilih beberapa subset node dalam sebuah jaringan yang jika diaktifkan maka akan menyebarkannya ke sebagian besar node dalam jaringan secepat mungkin (Sylvester, 2009). Teknik yang dapat digunakan dalam jaringan sosial juga berguna untuk jaringan fisik dan masalah berbasis graf yang lain seperti untuk mencari sumber kontaminasi dalam persediaan air (Habiba et al., 2008).

1.1 Perumusan Masalah

Analisis jaringan sosial yang telah dilakukan sebelumnya menggunakan pengukuran sentralitas untuk menentukan individu manakah dalam sebuah jaringan sosial yang berpengaruh dalam sebuah jaringan sosial dan dapat menentukan berbagai macam keputusan. Akan tetapi penelitian tersebut tidak mengkaji interaksi dinamis yang terjadi dalam jaringan sosial yang memiliki karakteristik hubungan yang timbal balik (resiprositas). Sebuah hubungan dikatakan resiprokal

(18)

jika hubungan masuk (in-degree) dan hubungan keluar (out-degree) seorang individu (node) memiliki derajat yang sama.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan Penelitian ini adalah membuat framework model optimisasi integer untuk melakukan analisis jaringan sosial dinamis yang memaksimalkan jumlah sentralitas dan juga memaksimalkan hubungan resiprositas dan mempertimbangkan jumlah hubungan keluar sebuah node dalam jaringan sosial dengan mempertimbangkan kendala-kendala tertentu.

1.3 Kontribusi Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat menjadi sebuah kerangka dasar dalam pengembangan strategi dalam menganalisis dan optimisasi sebuah jaringan sosial dinamis tertentu.

(19)

BAB 2

GRAF DAN MATRIKS DALAM PEMODELAN JARINGAN

Bab ini membahas beberapa definisi penting dan konsep kunci graf dan matriks dalam memodelkan jaringan yang merujuk pada Wasserman dan Faust (1994) dan Bollobs (1998).

2.1 Properti Dasar Graf dan Matriks

Sebuah jaringan dapat direpresentasikan dalam dua cara yaitu menggu- nakan graf dan matriks. Andaikan N = {1, 2, . . . , n} merupakan sebuah him- punan verteks dalam sebuah jaringan. Dalam sebuah jaringan verteks mewakili seorang aktor sosial. Aktor biasanya adalah seseorang, atau bahkan kelompok, organisasi atau entitas sosial lain. Suatu graf G = (N, E) terdiri dari himpunan verteks (titik) N dan E merupakan himpunan edge (sisi) dari semua pasangan aktor berbeda (i, j) yang dihubungkan dalam sebuah hubungan jaringan. Edge (sisi) (i, j) dikatakan incident dengan verteks i dan j. Dalam hubungan jaringan tidak berarah, tidak ada perbedaan antara hubungan aktor i ke aktor j dan dari aktor j ke aktor i.

Dengan kata lain, garis (i, j) dan (j, i) dianggap tidak dapat dibedakan.

Apabila diperlukan untuk membedakan hubungan antara aktor, maka jaringan dapat diwakilkan menggunakan graf berarah (N, E) pada himpunan N . Him- punan verteks adalah N , dan himpunan hubungan E merupakan satu himpunan

7

(20)

semua pasangan berurutan (i, j) sehingga ada hubungan dari aktor i ke aktor j.

Edge digunakan untuk pasangan tidak berurutan (non directional tie) dan busur (arc) digunakan untuk pasangan berurutan (directional tie). Dalam kebanyakan kasus, hubungan dalam bentuk (i, i) disebut dengan loop tidak dipertimbangkan.

Graf dan graf berarah dapat diwakilkan dengan mudah menggunakan gam- baran graf. Elemen dari himpunan verteks N diwakilkan dengan verteks didalam gambar, dan garis tak berarah menghubungkan verteks i dan verteks j jika (i, j) merupakan edge didalam himpunan edge E. Dalam kasus graf berarah, sebuah busur (arc) digunakan yang diwakilkan dengan panah berarah yang digambarkan dari verteks i ke verteks j jika (i, j) berada dalam himpunan busur E. Graf berbobot menyertakan informasi tambahan yang berkaitan dengan verteks dan edge. Bobot sebuah graf dapat berupa jumlah panggilan telefon antara dua orang bulan lalu, atau biaya, keuntungan, kapasitas dan lain lain yang terjadi dalam jaringan sosial.

Jaringan yang direpresentasikan dengan matriks dimana baris dan kolom matriks berkorespondensi dengan aktor atau entitas. Entri sel matriks mengan- dung nilai link hubungan yang menghubungkan aktor/entitas, sel ke (i, j) merep- resentasikan hubungan dari aktor i ke aktor j. Matriks ini disebut dengan ad- jacency matrix. Adjacency matrix merupakan cara yang paling sederhana un- tuk merepresentasikan jaringan. Diasumsikan terdapat n verteks dalam jaringan, yang terhubung satu sama lain dengan m edge, selanjutnya misalkan edge tidak berarah, struktur hubungan dalam jaringan dapat dispesifikasikan secara lengkap

(21)

9

dengan matriks x dengan ordo n × n dengan entri x(i,j) = 1 jika terdapat sisi antara i dan j; dan x(i,j) = 0, jika sebaliknya tidak ada sisi antara i dan j. Oleh karena x(i,j)= 1 jika dan hanya jika x(i,j)= 1, maka x merupakan matriks simetri.

Dalam hal graf berarah, entri dalam matriks x merupakan busur dalam E.

2.2 Order, Size dan Densitas

Order didefinisikan sebagai jumlah verteks sedangkan size merupakan jumlah edge dalam sebuah graf; secara berurutan order dan size sebuah graf berarah merupakan jumlah verteks dan busur. Size graf dengan order n bernilai antara 0 untuk graf kosong dan n(n − 1)/2 untuk graf lengkap dengan order n (yaitu, graf dimana tiap pasangan verteks dihubungkan dengan sebuah edge). Sedangkan untuk graf berarah dengan order n, size bernilai antara 0 dan n(n − 1). Densitas sebuah graf atau graf berarah adalah perbandingan banyaknya sisi yang ada pada suatu graf (L) dengan jumlah maksimum sisi yang mungkin untuk n verteks, dan dalam range[0, 1], dengan rumus seperti pada persamaan 2.1.

D = L

n(n − 1)/2 (2.1)

2.3 Derajat, Urutan Derajat danDistribusi Derajat

Jumlah k(i) dari edge yang insiden dengan verteks i diistilahkan dengan de- rajat: k(i) =P

jxi,j yaitu jumlah baris i dalam matriks ketetanggaan x. Urutan derajat (k(1), k(2), . . . , k(n)) sebuah graf adalah urutan derajat verteksnya, yang

(22)

diberi index utk verteks 1, 2, . . . , n dalam N . Distribusi derajat (d0, d1, . . . , dn−1), adalah jumlah verteks dalam G dengan derajat k. Dalam graf berarah, konsep derajat lebih kompleks, karena kemungkinan ada busur berarah dari verteks j ke verteks i atau keluar dari vertex i menuju vertex j, atau mungkin ada busur (edge) di kedua arah antara vertex i dan j. Oleh karena itu, setiap verteks i dalam graf berarah dikenali berdasarkan derajat-keluar (out-degre): outi = δ⁺(i) = P

jxi,j

outi = δ⁺(i) = Σjxij; derajat-masuk (in − degree) ini = δ⁻(i) = P

jxi,j; dan mutual degree muti =P

jxijxji.

Distribusi derajat-masuk (in-degree) dan derajat-keluar (out-degre) dalam sebuah graf Web membantu peneliti untuk menemukan cara yang lebih baik dalam menemukan informasi yang berhubungan dalam web. Populasi sebuah halaman dalam Web yang aktif yaitu yang memiliki derajat-keluar (out-degre) yang tinggi tidak sama dengan populasi halaman yang popular dalam Web yaitu yang memi- liki derajat-masuk (in-degree) yang tinggi, seperti situs Wikipedia.org (Kleinberg, 1999). Dalam jaringan sosial, node yang memiliki derajat-keluar (out-degre) yang tinggi juga memiliki derajat-masuk (in-degree) yang tinggi pula (Mislove et al., 2007).

Mislove et al., (2007) dalam penelitiannya menunjukkan node yang memiliki derajat-keluar (out-degre) yang tinggi juga cenderung memiliki derajat-masuk (in-degree) yang tinggi. Untuk setiap jaringan, sebanyak 1% node teratas yang diranking dengan derajat-masuknya memiliki lebih dari 65% bertindih (overlap) dengan 1% node teratas yang diranking dengan derajat-keluarnya. Pertindihan

(23)

11

yang bersamaan dalam Web lebih kecil dari 20%. Oleh sebab itu, user yang aktif yaitu yang membuat link yang banyak dalam jaringan sosial cenderung lebih popular dimana mereka menjadi target dari banyak link.

Hasil dari perbandingan antara derajat-masuk dan derajat-keluar node individual dalam jaringan sosial menunjukkan bahwa; untuk semua jaringan, lebih dari 50% node memiliki derajat-masuk dalam 20% derajat keluarnya. Hubungan yang tinggi antara derajat-masuk dan derajat-keluar dalam jaringan sosial dapat dijelaskan sebagai jumlah link simetris yang banyak. Simetris yang banyak dapat disebabkan oleh kecenderungan user untuk membalas link dari user lain yang merujuk pada dirinya. Proses ini akan terhasil dari user aktif yaitu user yang meletakkan banyak link secara otomatis menerima link yang masuk pada dirinya (Mislove et al., 2007).

2.4 Subgraf, Diadic dan Triad

Setiap subhimpunan S dari himpunan verteks N pada sebuah graf G = (N, E) menghasilkan sebuah subgraf induksi H dari G dengan himpunan verteks S dan himpunan edgeE⁰yang terdiri dari semua edge dalam G yang menghubungkan pasangan verteks dalam S. Secara umum, setiap graf H = (N⁰, E⁰) merupakan subgraf G jika N⁰ ⊆ N danE⁰ ⊆ E. Jika setiap pasangan verteks dalam subgraf H dihubungkan dengan sebuah edge, maka H menjadi sebuah a clique.

Sebuah himpunan statistik deskriptif graf atau graf berarah merupakan rangkuman dari semua subgraf-subgraf kecil. Sebagai contoh, sensus diad meru-

(24)

pakan jumlah dari setiap jenis subgraf induksi 2 verteks dan sensus triad merupakan himpunan subgraf induksi dengan 3 verteks. Sensus diad dan triad untuk graf berarah didefinisikan sama, namun jumlah subgraf dengan 2 dan 3 verteks lebih besar pada kasus graf berarah.

Dalam deskripsi sensus diad dan triad, tersirat bahwa dua graf mungkin saja memiliki bentuk yang sama. Untuk mempertegasya dengan menjelaskan pemetaan isomorfis antar graf. Secara khusus, dua graf G = (N, E) dan H = (N⁰, E⁰) adalah isomorfis jika ada pemetaan satu-ke satu j dari N kepada N⁰ sehingga (i, j) merupakan sebuah edge dalam E jika (ϕ(i), ϕ(j)) ada dalam edge dalam E⁰.

2.5 Path, Reachability dan Connectedness

Jaringan sosial sangat penting untuk dipahami karena proses sosialnya − misalnya penyebaran informasi, penyebaran pengaruh bahkan penyebaran penyakit − yang berpotensi terjadi disebabkan oleh hubungan jaringan. Konsep struktur path dalam jaringan dikaitkan dengan aliran proses sosial, dan meru- pakan konsep yang penting. Path dari verteks i ke verteks j merupakan urutan i = i0, i1, . . . , i1 = j dari verteks berbeda dimana setiap pasang yg verteks yang adjacent (ij−1, ij) dihubungkan oleh sebuah edge (arc atau busur). Dengan pan- jang path adalah l. Jika terdapat path dari verteks i ke verteks j, maka j dikatakan ditemukan dari verteks i. Jika verteks j sama dengan i maka path disebut sebagai siklus dengan panjang l.

(25)

13

Sebuah geodesic dari verteks i ke verteks lain j merupakan path dengan panjang minimum dan jarak geodesic dij dari verteks i ke verteks j adalah panjang geodesic. Jika tidak ada path dari i ke j, maka jarak geodesic adalah tak terhingga.

Jarak geodesic dij untuk verteks i yang berbeda dan j adalah nilai integer dengan rentang 1 sampai n − 1 atau tak berhingga. Untuk graf jarak geodesic adalah simetris, yaitu dji = dij; tetapi ini tidak selalu seperti ini untuk graf berarah.

Distribusi geodesic sebuah graf atau graf berarah adalah distribusi frekwensi jarak geodesic, yaitu distribusi perhitungan jumlah pasangan verteks berurutan yang memiliki jarak geodesic yang mungkin.

Jika setiap verteks dalam graf G dapat dicapai dari verteks lain, maka G terhubung. Sebuah komponen dari G adalah merupakan subgraf terhubung mak- simal, yaitu, subgraf terhubung dengan himpunan verteks W dimana tidak ada himpunan Z yang lebih besar yang berisi W yang dihubungkan. Sebuah path dari sebuah sumber s ∈ V ke target t ∈ V atau disingkat sebagai (s, t) − path, meru- pakan urutan alternatif dari verteks dan edges s, (s, v1), v1, (v1, v2), v2, . . . , (vk, t), t dimulai dengan s dan diakhiri dengan t, oleh sebab itu verteks sebelum dan sesu- dah edge berturut-turut merupakan ekor dan kepala. Panjang sebuah path (s, t) adalah jumlah edge yang dimilikinya dan jarak (distance), dist(s, t), dari s ke t ditentukan sebagai panjang minimum sebarang path (s, t) jika ada, atau didefin- isikan lain. Jika s = t, maka dist(s, t) = 0.

Jika ditunjukkan oleh σ(s, t) merupakan jumlah path terpendek dari (s, t) (geodesic), dan misalkan σ(s, t|v) merupakan jumlah path terpendek yang mele-

(26)

wati beberapa verteks v selain s, t. Jika s = t, maka σ(s, t) = 1 dan jika v ∈ s, t, maka σ(s, t|v) = 0.

Relasi rekursif ini menegaskan bahwa kebergantungan verteks s pada be- berapa vi dapat dikumpulkan dari kebergantungan pada verteks sebuah edge yang jauh. Dalam kasus graf berarah, dapat mendefinisikan sebuah semipath dari verteks i ke verteks j sebagai sebuah urutan orde i = i0, i1, . . . , i1 = j dari verteks berbeda dimana apakah (ij−1, ij) atau (ij, ij−1) adalah sebuah edge (busur). Pan- jang sebuah semi path adalah m. Jika tiap verteks dalam berarah G dapat dicapai dari verteks lain, maka G terhubung kuat. Jika ada sebuah semipath dari tiap verteks dalam G ke verteks lain, maka G dikatakan terhubung lemah.

2.6 Sentralitas (Sentralitas Derajat, Sentralitas Keantaraan, Sentrali- tas Kedekatan)

Konsep sentralitas merupakan konsep yang amat sangat penting dan telah banyak diaplikasikan dalam kajian jaringan (Freeman, 1979). Konsep dasar sentralitas ditemukan dalam konsep bintang dalam sociometric dimana seseorang yang paling popular dalam kelompoknya adalah mereka yang menjadi pusat perhatian. Sentralitas adalah indikator yang digunakan untuk menerangkan kekuatan sosial dan pengaruh dari sebuah verteks berdasarkan pada seberapa baiknya verteks tersebut terhubung dengan verteks lain dalam jaringan. Penelitian empiris sebelumnya ( Ahuja et al., 2003; Pryke 2004; Schilling dan Phelps 2007; Tallberg 2004; Wasserman dan Faust 1997; Puzis et al., 2013; Borgatti 2005; Smith 2003;

Nettleton 2003; dan Opsahl et al., 2010) menunjukkan bahwa individu atau or-

(27)

15

ganisasi dengan sentralitas yang tinggi menunjukkan posisi sosial ekonomi yang luar biasa dan juga level prestasi yang unggul.

Berbagai macam pengukuran yang telah dikembangkan diantaranya terma- suk sentralitas derajat (degree centrality), sentralitas kedekatan (closeness centrality), sentralitas keantaraan, sentralitas eigen vektor, sentralitas informasi, aliran keantaraan (flow betweenness) dan pengukuran pengaruh (influence measure).

Sentralitas derajat menunjukkan tingkat keserbasamaan atau ketaksamaan dalam posisistruktural yang didefinisikan sebagai sebuah jarak dan perubahan derajat (Freeman, 1979). Sentralitas derajat juga dapat dijelaskan sebagai jumlah hubungan yang incident pada sebuah simpul. Jumlah tiap baris pada dalam matrik ketetanggan menampilkan sebuah jaringan. Sentralitas Derajat ditunjukkan pada persamaan 2.2.

Sentralitas derajat

Ci = Xn

j=1

(Zij + Zji)/i = Xn

i=1

Xn j=1

Zij (2.2)

dimana Zij = derajat yang diterima sebuah verteks i dari verteks j dan n=jumlah verteks-verteks yang ada.

Sentralitas keantaraan menggambarkan sentralitas sebagai seorang media- tor atau perantara yang menunjukkan tingkatan dimana sebuah verteks terletak diantara pasangan verteks lain. Hal ini juga berarti sebagai proporsi dari semua jarak terpendek (geodesic) antara pasangan verteks lain yang melewati sebuah verteks. Sentralitas keantaraan ditunjukkan pada persamaan 2.3.

(28)

Sentralitas keantaraan (verteks i)

Bi =X

s,t:s6=t6=i

σi(s, t)

σ(s, t) (2.3)

dimana σi(s, t) = Jarak terpendek dari verteks s ke verteks t yang melalui verteks i.

Pengukuran kedekatan dan keantaraan hanya menghitung geodesic path, de- ngan asumsi bahwa apapun yang mengalir melalui jaringan, hanya dihitung se- panjang lintasan terpendek yang mungkin. Aliran keantaraan (flow betweenness) lebih mengasumsikan lintasan yang sesuai dimana tidak ada simpul yang dilalui lebih dari sekali. Sentralitas Kedekatan sebaliknya menunjukkan kemampuan mengakses informasi melalui verteks lain. Oleh karena itu sentralitas kedekatan memfokuskan pada seberapa dekat sebuah verteks dihubungkan kepada verteks lain dalam sebuah jaringan.

Sentralitas kedekatan (verteks i)

Cli= n − 1 P

k∈N

d(i, k) (2.4)

dimana n = jumlah verteks; N = total verteks; k = verteks ke k dalam jaringan;

dan d(i, k) = panjang lintasan terpendek antara verteks i dan k.

Bi = X

s,t:s6=t6=i

σi(s, t)

σ(s, t) (2.5)

dimana σi(s, t) = jarak terpendek dari verteks s ke verteks t yang melalui verteks i.

(29)

17

2.7 Forbidden Tie

Sebuah graf berarah dari verteks v ke verteks w dalam G disebut forbidden tie atau pengecualian (exception) jika seorang aktor tidak dibenarkan memiliki hubungan dengan w karena batasan fisik. Diberikan himpunan X dari forbidden tie, sebuah hubungan (v1, v1+ 1, . . . , vj) dinyatakan menghindari E jika (v1, v1+ 1, . . . , vj) ∈ E untuk semua i, j sehingga 1 ≤ i < j ≤ 1. Sebuah jaringan P dari s ke t disebut hubungan terpendek terhindar E(E − avoiding), jika panjang P merupakan yang terpendek diantara semua hubungan terhindar E dari s ke t.

2.8 Resiprositas dan Transitifitas

Kebanyakan jaringan yang kompleks seperti jaringan sosial secara alami berbentuk graf berarah (directed graf ) disebut digraf. Resiprositas merupakan karakteristik penting dari sebuah jaringan berarah dan banyak digunakan dalam pemodelan email, web dan jaringan kompleks yang lain. Resiprositas menilai ke- cendrungan pasangan verteks membentuk hubungan timbal-balik yang merupakan hal penting untuk dikaji dalam jaringan kompleks (Mei Yin dan Lingjiong Zhu, 2016). Secara formal dalam teori graf, suatu busur (u, v) dikatakan resiprokal jika busur berkaitan dengan (v, u).

Resiprositas r menyatakan ukuran densitas busur resiprokal dalam suatu jaringan (Durak et al., 2012) dengan r adalah perbandingan antara jumlah busur resiprokal dengan jumlah total busur. Sehingga ia juga dapat diinterpretasikan sebagai probabilitas suatu busur acak dalam jaringan yang resiprokal. Rasio r ini

(30)

lebih besar dalam jaringan bersifat sosial (misalnya, twitter, e-mail) dibandingkan dengan jaringan informasi (misalnya, WWW, news forum) atau jaringan temporal (misalnya, sitasi). Jika jaringan memiliki busur resiprokal dalam jumlah besar maka virus atau berita lebih cepat menyebar (Durak et al., 2012). Beberapa literatur yang menunjukkan bahwa resiprositas berperan penting dalam jaringan informasi, antara lain, jaringan email (Newman et al., 2002), Wikipedia (Zlatic et al., 2006; Zlatic dan Stefancic, 2011). Juga yang memperlihatkan bahwa jaringan sosial online secara alami digraf serta mengandung sejumlah resiprositas, yaitu, Twitter (Java et al., 2007; Kwak et al., 2010), Google+ (Magno et al., 2012), Flickr (Mislove et al., 2007; Cha et al., 2009), LiveJournal (Zhakarov, 2007; Gaudeul dan Peroni, 2010).

Pada kebanyakan jaringan sosial maupun jaringan kompleks yang lain, hu- bungan langsung (direct links) yang menunjukkan adanya hubungan atau interaksi sosial yang asimetris seperti misalnya hubungan follower dengan followee dalam jaringan sosial online menyebabkan munculnya graf berarah atau digraf sebagai model topologi untuk jaringan ini. Resiprositas, didefinisikan untuk digraf sebagai persentase busur yang merupakan busur yang resiprokal, dalam hal ini digunakan sebagai literatur untuk membandingkan jaringan berarah yang berbeda dan juga memberikan gambaran berkaitan dengan properti struktural jaringan tersebut.

Sebagai contoh untuk mengkaji apakah sebuah busur yang resiprokal dihasilkan acak secara kebetulan atau dihasilkan oleh beberapa proses (Jiang et al., 2015).

Dalam Jiang et al., (2015), kajian difokuskan pada masalah untuk memaksimalkan pencapaian resiprositas (maximizing achievable reciprocity) dalam sebuah digraf

(31)

19

dengan urutan indegree dan outdegree yang diberikan. Kajian ini menunjukkan bahwa resiprositas maksimum sangat bergantung pada urutan in-degree dan out- degree, dimana secara intuitif diinterpretasikan sebagai batasan (kendala) pada beberapa kapasitas sosial sebuah node dan menentukan batas dasar dalam re- siprositas yang terjangkau (achieveable reciprocity).

Dalam banyak jaringan ditemukan bahwa jika verteks A terhubung dengan verteks B dan verteks B dengan verteks C, sehingga mempertinggi probabilitas bahwa verteks A akan terhubung dengan verteks C. Terdapat 3 aktor i, j dan k dan hubungan antara ketika aktor tersebut.

Definisi 1 Triad yang melibatkan aktor i, j dan k adalah transitif jika kapan saja i −→ j dan j −→ k maka i −→ k.

Jika salah satu diantara dua kondisi tersebut tidak dipenuhi (i 9 j dan atau j 9 k) , maka ketiganya disebut dengan transitifitas kosong.

Teorema 2.1 Sebuah digraf adalah transitif jika tiap triad yang dimilikinya tran-

sitif. Jika sebuah digraf transitif tidak memiliki diad yang asimetris, maka ji- ka semua pilihan ada resiprokal, maka digraph tersebut dapat diklaster (cluste- rable). Transitifitas pada level jaringan akan menunjukkan tentang pengklaste- ran jaringan. Sedangkan pada level individu, transitifitas memberikan informasi mengenai derajat dimana seorang aktor berada dalam satu kelompok dengan ikatan yang kuat, atau apakah mereka memiliki hubungan diluar kelompoknya. Terlalu banyak transitifitas akan bermakna bahwa kelompok tersebut terputus dari dunia

(32)

luar, sebaliknya jika transitifitas sedikit maka kelompok tersebut sangat tidak teror- ganisasi untuk menguatkan prilaku anggotanya dalam kelompok tersebut.

(33)

BAB 3

ANALISIS JARINGAN SOSIAL

3.1 Pendahuluan

Analisis jaringan sosial mulai berkembang sekitar tahun 1920an dan berfokus pada hubungan antara entitas sosial. Dalam sains sosial, analisis terhadap jaringan telah lama dijadikan topik penelitian. Jaringan sosial terdiri dari entiti sosial, seperti individu maupun organisasi dengan hubungan tertentu. Pertemanan antar kelompok individu, hubungan bisnis antar perusahaan dan hubungan pernikahan antar keluarga merupakan contoh jaringan sosial yang telah dikaji sebelumnya.

Jaringan sosial merupakan suatu bidang penting dalam memahami prilaku manusia. Manusia berinteraksi dengan jumlah individu yang berbeda dari orang lain, tentunya hal ini akan mempengaruhi prilaku secara mendasar. Kajian terhadap berbagai bidang antaralain sosiologi, ekonomi, fisika, matematik maupun kesehatan umum, semuanya mengkaji jaringan sosial untuk memahami struktur dan juga pengaruhnya terhadap sosial dinamis.

Dalam bidang ekonomi, prilaku ekonomi yang dikaji antaralain berkaitan dengan keputusan pembelian ( Lazarsfeld dan Katz, 1955), prospek pekerjaan (Marmaros danSacrdote, 2002; Calvo-Armengol dan Jackson, 2004), berkaitan dengan ekonomi pailit (bankruptcy) (Uzzi, 1996), investasi (Cohen et al., 2008) maupun produktifitas (Oswald et al., 2009) kesemuanya sangat dipengaruhi oleh kontak pada jaringan sosial. Sementara prilaku mahasiswa yang mempengaru-

21

(34)

hi nilai IPK (Sacerdore, 2001) dan juga prilaku kriminal (Glaeser et al., 1996;

Haynie, 2001) adalah berkaitan dengan pengaruh rekan sejawat (peer). Saat ini, jaringan sosial telah dikaji sebagai faktor yang menentukan kesehatan (direview oleh Smith dan Christakis 2008), yaitu berkisar mulai dari penentuan pola penyebaran penyakit menular (Keeling dan Eames 2005) sampai kepada penyebaran prilaku seperti penghentian prilaku merokok (Christakis dan Fowler 2008) serta obesitas (Christakis dan Fowler 2007).

Jaringan sosial yaitu graf hubungan dan interaksi dalam sebuah kelompok individu memainkan peranan penting sebagai media dalam penyebaran informasi, ide dan juga pengaruh diantara anggotanya. Jika edge pada graf merupakan in- formasi yang akan mengalir melalui verteks pada edge yang bersesuaian, maka ali- ran tersebut akan memiliki arah maupun tidak. Hal ini memungkinkan informasi tersebut hanya mengalir melalui satu arah saja. Berdasarkan kepada sumber data, interaksi sosial dapat berupa komunikasi verbal ataupun tulisan (telefon, email, blog maupun ruang chat ), ataupun kolaborasi saintifik seperti co-authorship, kon- tak seksual antara pasien HIV, percintaan orang dewasa, kedekatan fisik maupun virtual. Edge biasanya dibobotkan dengan frekwensi interaksi.

Jika diasumsikan sebuah verteks merupakan agen sensor dan agen i dan merasakan agen j, sementara agen j tidak dapat merasakan agen i, maka edge tersebut dikatakan berarah dengan vj sebagai ekor dan vi sebagai kepala. Hal ini dapat digambarkan sebagai edge yang bermula dari vj dan berakhir pada vi. Sisi pada graf juga dapat hilang ataupun muncul kembali, sehingga jaringan da-

(35)

23

pat dikelompokkan kedalam tiga kelas yaitu jaringan statis dimana edge pada jaringan tersebut adalah statis yaitu ketika jaringan komunikasi statis telah dite- tapkan. Jaringan dinamis yaitu dimana himpunan edge pada jaringan tersebut ditetapkan berdasarkan waktu sehingga edge akan muncul ataupun menghilang.

Robot yang dilengkapi dengan sensor jarak dimana edge akan muncul jika agen mendekati jarak sensor dan menghilang jika sebaliknya berada diluar sensor jarak.

Sedangkan jaringan acak merupakan kelas khusus dari jaringan dinamis, dimana keberadaan suatu edge tertentu akan ditentukan oleh distribusi probabilitas dan bukan deterministik.

Jaringan paling sederhana terdiri dari dua objek dan sebuah relasi yang menghubungkannya. Anggaplah kedua objek tersebut sebagai aktor yaitu manusia. Aktor 1 dan 2 memiliki hubungan antara keduanya seperti contoh hubungan yang menyatakan bahwa keduanya berada pada ruangan yang sama. Hubungan ini merupakan hubungan tidak berarah. Hubungan yang berarah juga dapat berlaku pada jaringan tersebut, katakanlah aktor 1 menyukai aktor 2, maka arah hubungan adalah keluar dari aktor 1 menuju ke aktor 2. Jika di dalam sebuah jaringan memiliki lebih dari satu hubungan maka disebut hubungan multipleks.

Selain daripada berbagi atribut maupun keberadaan di suatu tempat, terdapat aliran antara aktor tersebut. Sebagai gambaran, jika aktor 1 menyukai aktor 2, maka sebagai contoh ada kemungkinan akan terjadi tukar menukar hadiah, aliran dan pertukaran tersebut merupakan dua hal penting dalam teori jaringan. Dalam hal ini hubungan tersebut dapat dikatakan hubungan berbobot (weighted ).

(36)

Ilmuwan sosial telah menemukan tiga jenis jaringan yaitu ego sentris, socio sentris dan jaringan sistem terbuka. Jaringan ego sentris merupakan jaringan yang dihubungkan dengan satu atau individual titik. Hubungan ini tidaklah hanya daftar orang atau organisasi, tetapi juga menggambarkan hubungan antara orang- orang didalam organisasi tersebut. Seseorang yang dikatakan memiliki teman baik dalam jumlah yang besar, maka dia akan dikatakan memiliki jaringan yang besar.

Sedangkan hubungan antara anak-anak dalam sebuah kelas ataupun hubungan antara eksekutif dan pekerja termasuklah dalam kategori socio sentris atau dise- but dengan jaringan dalam sebuah kotak. Jaringan sistem terbuka merupakan kebalikan dari jaringan socio centris, dimana batasan tidak terlalu jelas, sebagai contoh para anggota elit sebuah negara, hubungan antara perusahaan maupun rantai para pengaruh.

Hal utama didalam analisis jaringan sosial adalah penentuan kelompok dalam jaringan sosial yang kompleks. Kelompok merupakan kumpulan individu yang terhubung satu dengan yang lainnya melalui satu hubungan atau interaksi. Di- dalam sebuah kelompok, tiap anggota memiliki posisi yang berbeda. Beberapa dari mereka menempati posisi pusat, sementara yang lain tetap berada diseki- tarnya dan selebihnya berada diantaranya. Sebuah kelompok memiliki satu atau lebih pemain kunci. Satu definisi matematis untuk kelompok sosial berdasarkan kepada konsep sebuah clique. Clique dalam sebuah graf G didefinisikan sebagai subgraf H dari G dimana setiap verteksnya dihubungkan dengan setiap verteks lain dalam H. Clique H disebut maksimal jika ia tidak terdapat didalam subgraf lain dari graf G.

(37)

25

3.2 Hubungan (Connection)

Pada semua level analisis, titik adalah lebih mungkin terhubung dengan titik lain, jika titik-titik tersebut secara geografis berdekatan. Setiap individu akan lebih mungkin menjadi teman jika mereka secara geografis dekat (Feld dan Carter 1998). Kajian sebelumnya menunjukkan bahwa didalam sebuah proyek perumahan yang diperuntukkan bagi veteran perang dunia II, orang yang tinggal berdekatan akan lebih mungkin menjadi teman. Sedangkan orang yang tempat tinggalnya berada di ujung biasanya akan terisolasi dibandingkan dengan orang- orang yang berada diantar unit rumah yang berdampingan. Keakraban (propin- quity) juga dapat didefinisikan secara luas sebagai berada ditempat yang sama dan pada waktu yang sama. Kajian menunjukkan bahwa seseorang akan mungkin memiliki hubungan, relasi atau pertemanan jika mereka pernah berada di sekolah yang sama pada waktu yang sama.

Homofili dapat diartikan sebagai memiliki satu atau lebih atribut sosial yang umum, seperti kelas sosial tertentu. Secara teknis dikatakan bahwa pasangan dapat dikatakan homofilus jika karakteristik mereka sesuai dalam proporsi yang lebih dari yang diharapkan dari jaringan mana mereka berada (Verbruggr, 1977).

3.3 Jarak Antara Dua Titik

Secara umum, konsep jarak pada jaringan adalahpada jaringan dengan tiga atau lebih anggota atau titik. Bertambahnya jumlah titik dalam jaringan, menyebabkan sebuah jaringan menjadi lebih kompleks. Pada dasarnya jarak merupakan

(38)

isu yang diangkat oleh Milgram sehubungan dengan individu pada kajian Small Word, namun konsep ini dapat diaplikasikan ada semua level analisis jaringan.

Daerah dimana titik dihubungkan secara langsung dengan titik utama, maka dise- but zone order pertama (Barnes 1972). Sedangkan titik yang dua langkah terha- pus dari titik utama maka disebut zone kedua , dan seterusnya. Jika zone pertam berkaitan dengan individu orang, maka istilah yang digunakan adalah neighborhood didalam teori graf. Secara umum, yang dapat diperhatikan pada sebuah masyarakat kampung, dimana setiap orang saling mengenal satu sama lain, maka jumlah langkah (step) dari satu orang dengan orang lain adalah minimal. Maka dapat dikatakan order zone pertama adalah tidak lebih dari 500 penduduk lokal (Boissevain, 1974).

3.4 Atribut Sosial Titik dan Jaringan

Konsep penting dalam menjelaskan sebuah jaringan adalah apakah relasi antar titik yang berarah atau tak berarah, apakah timbal balik atau tidak dan juga derajat mutualitasnya. Selain itu mungkin terdapat lebih dari satu relasi yaitu apakah sebuah relasi itu multipleks atau tidak. Relasi dapat berupa perkongsian atribut ataupun ada aliran antar titik, dimana atribut ini dapat digunakan untuk menjelaskan relasi antara titik pada semua level analisis sosial.

Analisis jaringan dibedakan menjadi tiga level (Brandes dan Erlbach, 2004) yaitu Analisis level elemen(element-level analysis), Analisis Level Kelompok (group- level analysis) dan Analisis Level Jaringan (network level analysis). Pada element- level analysis, analisis dilakukan dengan penekanan mendasar pada properti titik

(39)

27

atau link secara individual. Sebagai contoh dalam mesin pencarian yang menco- ba halaman penting diantara interlink dalam website. Dalam group-level analysis, korelasi antara titik dianalisis secara khusus, salah satunya menyelidiki tentang properti group dari titik atau link. Dalam network level analysis, property graf di- analisis secara keseluruhan. Network level analysis digunakan untuk membedakan antara jenis network yang berbeda, dan menetapkan pengertian yang bernilai dan mengimplementasikannya dalam algoritma.

Dalam bidang pencarian Web (Web Search), dua contoh yang menonjol un- tuk menentukan sentralitas dalam jaringan adalah pengukuran Page Rank dan skor Hub dan otoritas (authorities) (Kleinberg, 1998). Indeks Page Rank mengu- kur sentralitas dengan menggunakan graf Web berarah dimana dokumen web dihubungkan melalui hyperlink. Asumsi yang mendasari pengukuran PageRank adalah sebuah link yangsesuai dengan rekomendasi sebuah dokumenyang relevan dengan dokumen yang memberi rekomendasi tersebut. Model yang dikembangkan Kleinberg (1998) menyebutkan otoritas adalah halaman yang dihubungkan oleh banyak hub dengan skor memperkirakan nilai dari isi halaman. Sebuah verteks diberikan skor otoritas tinggi jika banyak halaman yang merupakan link hub (penghubung) ke dirinya.

Sentralitas elemen dalam jaringan sosial dapat ditentukan menggunakan derajat masuk (in-degree) maupun derajat keluar (out-degree). Derajat sebuah vertex v dalam sebuah graf tidak berarah G = (V, E) dinotasikan dengan deg(v), yaitu jumlah garis (edge) dalam E yang memiliki v sebagai verteks. Derajat se-

(40)

buah verteks menunjukkan sentralitasnya dalam graf. Untuk graf berarah atau digraf G = (V, E), derajat keluar (out-degree) dari u ∈ V , dinotasikan dengan δ⁺(u) yaitu jumlah garis (edge) yang dimulai dari u, sedangkan derajat masuk (in-degree) dari u ∈ V merupakan jumlah garis (edge) yang berakhir di verteks u, dinotasikan dengan δ⁻(u).

3.5 Kesimbangan (Balance)

Teori keseimbangan merupakan konsep penting yang harus dipertimbangkan dalam analisis jaringan sosial. Heider’s (1946) mengkaji situasi sosial seorang individu dari segi kognisi dan persepsi. Kajian difokuskan pada bagaimana tingkahlaku atau opini individu bersamaan dengan tingkahlaku maupun opini orang atau entiti lain. Dua individu yang merupakan teman harusnya memiliki opini yang sama terhadap sebuah statemen. Dalam hal ini jika adadua entiti, keadaan keseimbangan terjadi jika hubungan antara dua entiti positif atau negatif disegala aspek. Jika berkaitan dengan tiga entiti, keadaan keseimbangan berlaku jika ketiga hubungan yang mungkin terjadi adalah positif disegala aspek, atau jika dua negatif dan satu positif.

(41)

BAB 4

MODEL KOMPUTASI JARINGAN SOSIAL

Teknik analisis tradisional tidak cukup untuk mengkaji fenomena sosial dinamis yang kompleks seperti jaringan sosial, penyebaran inovasi dan sistem kompleks yang lainnya. Model komputasi dibuat untuk mensimulasikan himpunan proses yang di observasi di dunia nyata untuk memahami proses-proses tersebut dan memprediksi hasil dari proses alami yang diberikan satu set parameter sebagai input. Jaringan sosial merupakan interaksi sosial diantara aktor-aktor yang memiliki hubungan yang dalam dunia nyata bersifat dinamis dan tidak tetap.

Untuk dapat memahami proses atau prilaku dalam jaringan sosial dinamis diperlukan model yang dapat digunakan untuk mensimulasikan proses dinamis dalam jaringan sosial tersebut.

Jaringan sosial merupakan paradigma yang sangat penting dalam memahami masalah yang sangat beragam mulai dengan masalah penyebaran penyakit menular sampai pada penyebaran informasi (Newman et al., 2006, Rolls et al., 2013). Teknik yang dapat diterapkan dalam jaringan sosial juga dapat digunakan untuk jaringan fisik dan masalah graf lainnya seperti menemukan sumber kon- taminasi pada pasokan air (Habiba et al., 2008).

Masalah-masalah yang telah dikaji sebelumnya kebanyakan hanya bertumpu pada jaringan sosial statis, dimana hubungan antar aktor tetap selama jangka waktu penelitian (Sylvester, 2009). Dalam banyak situasi hal ini merupakan

29

(42)

asumsi yang tidak realistis sebagai contoh seorang siswa akan berinteraksi dengan rekan di sekolah dan ketika kembali kerumah akan berinteraksi dengan orang yang berbeda. Interaksi orang dewasa yang akan berubah ketika berpindah ketempat kerja yang baru bahkan interaksi pada hewan pun akan berubah pada saat mereka bermigrasi ketempat lain.

Suatu hal yang sulit untuk mengukur jaringan dinamis berbanding jaringan statis. Pengukuran standar yang sering dilakukan untuk jaringan statis akan ter- ganggu ketika hubungan jaringan berubah. Brandes (2008) menjelaskan berbagai bentuk pengukuran sentralitas jaringan dan memperkenalkan algoritma untuk menghitung semua pengukuran yang ditentukan sebelumnya. Sentralitas merupakan satu dari dua tujuan utama dalam mengukur jaringan dinamis (Brandes, 2008) relevan dengan algoritma klaster (clustering) yang diperkenalkan dalam (Newman dan Girvan, 2004).

Kebanyakan kajian berkaitan jaringan dinamis dilakukan pada jaringan komputer, khususnya jaringan komunikasi tanpa kabel (wireless) (Wang dan Crowfort, 1992, Do, 2008). Domain jaringan komunikasi memiliki kebutuhan berbeda dengan analisis jaringan sosial. Kajian oleh Wang dan Crowfort, (1992) dan Do, (2008) hanya menekankan pada analisis lalulintas dalam jaringan saja. Sedang- kan analisis jaringan sosial jarang memperhatikan level penggunaan laluan (link), melainkan fokus pada apakah laluan tersedia dan apakah semua laluan diman- faatkan. Sebagai contoh apakah suatu virus akan berpindah dari satu orang kepada orang lain atau tidak.

(43)

31

Penelitian yang dilakukan oleh Leskovec et al., (2007) mengkaji jaringan sitasi blog yang bersifat temporal. Jaringan dalam model ini masih statis, tetapi tiap laluan (link) dibobotkan dengan bobot yang menunjukkan berapa lama waktu yang dilalui antara kemunculan sebuah cerita dalam satu blog dengan waktu blog tersebut di sitasi oleh blog lain.

Masalah utama yang paling penting dalam jaringan sosial adalah memaksimalkan pengaruh, yang mendasari kebanyakan aplikasi dalam dunia nyata, misalnya dalam merancang sebuah kampanye pemasaran secara viral. Untuk itu perlu dipilih subset node dalam graf sosial yang mana jika diaktifkan maka akan menye- bar ke semua node dalam graf. Diberikan sebuah jaringan G = (G1, . . . , GT) yang dinamik pada satu waktu T , pilih satu set verteks A0 dengan |A0| = k untuk menjadi menebarkan aktivasi yang akan memaksimalkan aktivasi total |AT| se- buah jaringan pada waktu T .

Dalam konteks pemasaran seara viral seseorang akan diberikan sampel sebuah produk untuk memilih satu kelompok orang yang sangat berpengaruh dengan harapan mereka akan merekomendasikan produk tersebut kepada teman mereka yang kemudian akan merekomendasikan kepada teman mereka seterusnya sehingga menjadi sebuah rantai yang akan mengalir keseluruh jaringan. Hal ini akan berdampak pada sebanyak mungkin orang yang mengetahui tentang produk baru tersebut. Masalah berkaitan dengan memaksimalkan pengaruh telah luas diteliti antaralain Kempe et al.,(2003), Abramson dan Rosenkopf (1997), Valente (1995), penelitian tersebut dilakukan pada jaringan statis karena masalah pemili-

(44)

han subset awal yang optimal merupakan NP -Hard, maka pendekatan algoritma harus digunakan. Pendekatan standar adalah menggunakan greedy dimana setiap node diukur dan diranking dengan indikator sentralitas. Ranking tertinggi node k kemudian akan dipilih sebagai aktivasi awal. Walaupun metode ini cukup sederhana, tetapi juga sangat efektif (Kempe et al., 2003).

Meskipun begitu pendekatan ini belum digunakan secara menyeluruh pada jaringan dinamis terutama pada bagian yang telah disebutkan sebelumnya yaitu kurangnya indikator untuk mengukur pengaruh sebuah node pada kondisi dinamis. Habiba et al., 2007 mengemukakan sebuah pengukuran yang disebut lin- tasan keantaraan sementara (temporal path betweenness), yaitu yang berpedoman pada penghitungan lintasan (path) sementara terpendek yaitu lintasan dalam graf yang berkitan dengan waktu.

Sejauh ini Habiba et al., (2007) telah menerapkan lintasan keantaraan tem- poral (temporal path betweenness) pada masalah memaksimalkan dan menutup penyebaran dalam jaringan dengan hasil yang baik (Habiba et al., 2008, Habiba dan Berger-Wolf, 2007). Teknik yang digunakan oleh Habiba et al., sejauh ini adalah dalam penelitian jaringan kendaraan ad hoc (ad hoc vehicular network ) (Do, 2008).

Sylvester (2009) menerapkan sentralitas keantaraan lintasan temporal (tem- poral path betweenness) pada tiga jenis jaringan dinamis buatan yang berbeda un- tuk menilai pemanfaatannya sebagai heuristik untuk teknik greedy dalam memaksimalkan pengaruh. Sebagai tambahan Sylvester (2009) mempertimbangkan de-

(45)

33

rajat rata-rata (average degree) sebuah node, penghitungan bobot keseluruhan tetangga (neighbors) dan gagasan baru yaitu koefisien klaster dalam situasi di- namis. Tiga jenis jaringan dinamis yang digunakan dalam Sylvester (2009) yaitu jaringan acak (random), jaringan skala bebas (scale-free) dan jaringan berdasarkan kedekatan (proximity-based). Dalam penelitian ini hanya garis (edge) saja yang ditambah dan dikurangi, node dibiarkan tetap. Graf yang digunakan adalah graf tak berarah dan tidak berbobot. Model yang digunakan dalam Sylverster (2009) adalah model treshold linear dan independent cascade model. Derajat rata-rata, keantaraan temporal (temporal betweenness) dan penghitungan bobot tetangga secara konsisten merupakan pengukuran yang terbaik (Sylverster, 2009)

(46)

MODEL OPTIMISASI DALAM JARINGAN SOSIAL DINAMIS

5.1 Pendahuluan

Didalam banyak situasi sosial, pengukuran sentralitas bertujuan untuk men- jawab pertanyaan mengenai siapakah orang yang sangat berpengaruh dalam sebuah jaringan.Hal ini dapat diaplikasikan pada berbagai macam keadaan seperti misalnyadalam membantu badan Intelijen untuk mengamankan organisasi kriminal atau untuk penempatan sumber daya manusia dalam organisasi formal dengan cara yang efektif. Aktor utama adalah mereka yang terlibat secara luas dalam hubungan dengan aktor lain. Keterlibatan ini menjadikan aktor tersebut lebih ter- lihat (visible) dibanding aktor lain. Pada hubungan tidak berarah, aktor sentral adalah seorang yang terlibat dalam banyak hubungan (ties).

Pengukuran sentralitas yang digunakan disini adalah berdasarkan Freeman (1979) yaitu mengukur densitas jaringan (D), sentralitas keantaraan (Betweenness Centrality) (B), dan sentralitas kedekatan (Closeness centrality) (Cl) dengan fungsi tujuan sebagai berikut.

Maks X

i∈δ⁻(i);(i,j)∈E;i,j /∈x

cjxij (5.1)

Maksimumkan jumlah link yang terhubung dengan seorang aktor dengan mempertimbangkan derajat masuknya. Seorang dengan derajat masuk yang ting-

(47)

35

gi dapat dikatakan seorang yang popular.Dalam model ini ditentukan kendala hubungan yang tidak diperbolehkan bagi seorang aktor sebagai berikut

Kendala

X

(i,j)∈δ⁺(i)

xij ≤ Di∀i, j ∈ N ; i, j /∈ X (5.2) X

(i,j)∈δ⁻(i)

xij = X

(v,j)∈δ⁺(i)

xiji /∈ X; ∀i ∈ N (5.3) X

(i,j)∈δ⁺(i)

(τjixij) ≥ Bii, j /∈ X; ∀i ∈ E (5.4) X

(i,j)∈δ⁻(i)

(τijxij) ≤ Clii, j /∈ X; ∀i ∈ E (5.5)

xij ∈ {0, 1} (i, j) /∈ X, ∀ (i, j) ∈ E (5.6)

τij faktor prevelensi.

Semua hubungan (ties) haruslah berada didalam densitas sebuah jaringan, densitas jaringan adalah rasio jumlah hubungan yang terjadi dengan jumlah hubungan yang berpotensi untuk terjadi. Dalam jaringan sosial, seorang aktor yang memiliki tingkat derajat keluar yang tinggi cenderung memiliki tingkat derajat masuk yang tinggi pula. Seorang aktor yang aktif adalah yang membuat banyak link dan menjadi popular jika menjadi target dari banyak link. Kendala kedua adalah bahwa derajat masuk dan derajat keluarnya haruslah sama.

Interaksi antara dua aktor yang tidak adjacent mungkin akan berpengaruh dengan aktor lain dalam himpunan aktor yang ada, terutama jika aktor tersebut berada pada path antara dua aktor. Aktor tersebut berpotensi untuk mengatur interaksi antara pasangan aktor yang adjacent dengannya. Sehingga menjadi

(48)

kendala bahwa jumlah hubungan tersebut haruslah lebih besar dari sentralitas keantaraan (B).Sedangkan sentralitas kedekatan mengukur seberapa dekat seorang aktor dengan semua aktor dalam himpunan aktor. Aktor sentral dalam sebuah jaringan memiliki langkah minimum ketika berhubungan dengan aktor lain, sehingga geodesic atau path terpendek yang menghubungkan aktor sentral harus sependek yang mungkin.

5.2 Model Jaringan Sosial Dinamis

Terdapat beberapa syarat penting agar dapat dikatakan bahwa terjadi hubungan sosial yang dinamis. Sebuah interaksi didalam jaringan sosial dianggap dinamis seharusnya ada resiprositas yaitu hubungan timbal balik antar satu aktor dengan aktor yang lain, jumlah derajat keluar yang maksimal, adanya sifat transitifitas antara beberapa aktor yang diukur dengan sentralitas keantaraan dan adanya keseimbangan (balance) antara aktor dalam hubungan tersebut.

Oleh karena itu objektif dari model jaringan sosial dinamis adalah untuk memaksimumkan ukuran sentralitas, maksimum jumlah busur derajat keluar dan juga maksimum resiprositas. Model optimisasi jaringan sosial dinamis dapat di- formulasikan sebagai:

P

j∈δ(i),(i,j)∈E,j /∈Xcjxij +P

(i,j)∈Eδ_(i)⁺xij +P

(i,j)∈Epxij

Kendala P

(i,j)∈δ⁺(i)

xij ≤ Di∀i, j ∈ N ; i, j /∈ X

(49)

37 P

(i,j)∈δ⁻(i)

xij = P

(v,j)∈δ⁺(i)

xiji /∈ X; ∀i ∈ N P

(i,j)∈δ⁺(i)

(τjixij) ≥ Bii, j /∈ X; ∀i ∈ E P

(i,j)∈δ⁻(i)

(τijxij) ≤ Clii, j /∈ X; ∀i ∈ E

xij ∈ {0, 1} (i, j) /∈ X, ∀ (i, j) ∈ E

5.3 Resiprositas Maksimum

Untuk suatu digraf G = (V, E), suatu titik memiliki derajat masuk (in- degree) dan derajat keluar (out-degree). Derajat masuk δ⁻(v) adalah jumlah busur berarah yang masuk ke titik v, dan derajat keluar δ⁺(v) adalah jumlah busur berarah yang keluar dari titik v. Terkait dengan setiap digraph G terdapat suatu bi-sikuen (d⁺, d⁻), dengan d⁺ = δ⁺(v) : v ∈ V merupakan sikuen derajat keluar dan d⁻ = δ⁻(v) : v ∈ V adalah sikuen derajat masuk. Diberikan suatu digraf G, ambil GS subgraf simetri dari G, yaitu (i, j) ∈ G dan (j, i) ∈ G. Busur resiprokal dari digraf G adalah juga dari GS. Jadi jumlah busur yang resiprokal ρ(G) dalam G diberikan oleh ρ(G) = |Gs|, dan resiprositas dari G adalah r(G) = ρ(G)/|G|. Dengan catatan bahwa |G|, menyatakan jumlah busur dalam G dan setiap pasangan busur resiprokal mengkontribusi dua terhadap ρ(G).

Untuk suatu bi-sikuen graf (d⁺, d⁻), andaikan ¯G(d⁺, d⁻) menyatakan him- punan tidak kosong dari graf yang mempunyai (d⁺, d⁻) sebagai degree bi-sikuennya.

Karena jumlah total busur tertentu untuk suatu bi-sikuen graf, maka memak- simumkan r(G) adalah sama seperti memaksimumkan ρ(G). Oleh karena itu persoalan memaksimumkan resiprositas adalah menentukan suatu digraf G dalam