Statistika Ekonomi & Bisnis

(1)

Statistika Ekonomi & Bisnis

FEB UHAMKA, Oktober 2021

Oleh: Tono Saksono

(2)

3. Mean, Median, Mode dan Ukuran

Tendensi Sentral Lainnya

(3)

• σ_𝑗=1^𝑛 𝑥_𝑗 = 𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃+ . . . . +𝑥_𝑛

• σ_𝑗=1^𝑛 𝑥_𝑗𝑦_𝑗 = 𝑥₁𝑦₁ + 𝑥₂𝑦₂ . . . . 𝑥_𝑛𝑦_𝑛

• σ_𝑗=1^𝑛 𝑎𝑥_𝑗 = 𝑎 σ_𝑗=1^𝑛 𝑥_𝑗 = 𝑎𝑥₁ + 𝑎𝑥₂+ . . . 𝑎𝑥_𝑛

• Rerata dinamakan a measure of central tendency

• Arithmetic mean (atau mean);

• Median

• Mode

• Geometric mean

• Harmonic mean

(4)

ҧ𝑥 = 𝑥₁ + 𝑥₂ + 𝑥₃+ . . . . 𝑥_𝑛

𝑛 = σ_𝑗=1^𝑛 𝑥_𝑗 𝑛 Contoh: arithmetic mean dari 8, 3, 5, 12, 10 adalah:

ҧ𝑥 = 8 + 3 + 5 + 12 + 10

5 = 38

5 = 7.6

Arithmetic Mean

Weighted Arithmetic Mean

• 𝑣₁ = 8 − 7.6 = 0.4

• 𝑣₂ = 3 − 7.6 = −4.6

• 𝑣₃ = 5 − 7.6 = −2.6

• 𝑣₄ = 12 − 7.6 = 4.4

• 𝑣₅ = 10 − 7.6 = 2.4

• Maka 0.4 - 4.6 - 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0

• Jumlah kuadrat dari 𝑣_𝑗 adalah minimum

• 𝑣₁ ² + 𝑣₂ ²+ . . . + 𝑣_𝑘 ² = 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚

Karakteristik Arithmetic Mean

(6)

• Median adalah harga tengah (middle value) atau arithmetic mean dari dua middle values;

• Contoh 1:

• Himpunan (set): 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 memiliki median 6;

• Contoh 2:

• Himpunan (set): 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 memiliki median ½(9+11) = 10

Median

(7)

• Mode dari serangkaian angka adalah harga yang frekuensinya paling tinggi.

• Mode mungkin saja tidak ada. Atau jika ada pun, mungkin tidak unik.

• Contoh 1:

• Set (Himpunan): 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 memiliki mode 9;

• Contoh 2:

• Himpunan: 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 tidak memiliki mode

• Contoh 3:

• Himpunan: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 memiliki dua mode 4 dan 7 (bimodal)

Mode

(8)

• Root Mean Square (RMS) dari sebuah himpunan angka 𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛 didefinisikan dengan:

𝑅𝑀𝑆 = 𝑥² = σ_𝑗=1^𝑛 𝑥_𝑗²

𝑛 = σ 𝑥² 𝑛

• Contoh: RMS sebuah Himpunan: 1, 3, 4, 5, 7 adalah:

1² + 3² + 4² + 5² + 7²

5 = 20 = 4.47

Root Mean Square (RMS)

(9)

4. Deviasi Standar dan Ukuran

Dispersi Lainnya

(10)

• Tingkat penyebaran data numeris terhadap harga reratanya dinamakan variation atau dispersion.

• Beberapa ukuran dispersi ini adalah:

• Range

• Mean deviation

• Semi-interquartile range

• 10-90 percentile range, dan

• Standard deviation Contoh:

Range sebuah himpunan 2, 3, 3, 5, 5, 5, 10, 12 adalah: (12-2) = 10.

Kuncinya adalah angka terkecil dan terbesar.

Standard deviation dan ukuran dispersi lain

(11)

𝑀𝑒𝑎𝑛 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑀𝐷 = ^σ^𝑗=1

𝑛 𝑥_𝑗− ҧ𝑥

𝑛 = ^{σ 𝑥− ҧ}^𝑥

𝑛 = 𝑥 − ҧ𝑥 dimana

• ҧ𝑥 adalah arithemetic mean

• 𝑥_𝑗 − ҧ𝑥 adalah harga absolut deviasi 𝑥_𝑗 dari ҧ𝑥

Contoh:

Cari mean deviation dari sebuah himpunan angka 2, 3, 6, 8, 11 Arithmetic mean = ҧ𝑥 = ^2+3+6+8+11

5 = 6

Mean deviation (MD)= 2−6 + 3−6 + 6−6 + 8−6 + 11−6

5 = ^4+3+0+2+5

5 = 2.8

The Mean Deviation atau Average Deviation

(12)

Jika 𝑥₁, 𝑥₂, . . . . , 𝑥_𝑘 muncul dengan frekuensi 𝑓₁, 𝑓₂, . . . . , 𝑓_𝑘, maka mean deviationnya 𝑀𝐷 = σ_𝑗=1^𝑘 𝑓_𝑗 𝑥_𝑗 − ҧ𝑥

𝑛 = σ 𝑓 𝑥 − ҧ𝑥 𝑛

Dimana:

𝑛 = ෍

𝑗=1 𝑘

𝑓_𝑗

(13)

Standard deviation (s) sebuah himpunan 𝑥₁, 𝑥₂, . . . , 𝑥_𝑛 didefinisikan sebagai berikut:

𝑠 = σ_𝑗=1^𝑛 𝑥_𝑗 − ҧ𝑥 ² 𝑛

Dimana:

ҧ𝑥 adalah arithmetic mean Jadi

s = root mean square deviation

s di sini dinamakan uncorrected standard deviation atau biased standard deviation.

Cukup representative, jika jumlah sampelnya besar

The Standard Deviation

(14)

Jika 𝑥₁, 𝑥₂, . . . . , 𝑥_𝑘 muncul dengan frekuensi 𝑓₁, 𝑓₂, . . . . , 𝑓_𝑘, maka standard deviationnya 𝑠 = σ_𝑗=1^𝑘 𝑓_𝑗 𝑥_𝑗 − ҧ𝑥 ²

𝑛 Dimana:

𝑛 = ෍

𝑗=1 𝑘

𝑓_𝑗

(15)

Sifat-sifat Deviasi Standar (Standard Deviation)

• Deviasi Stabadr didefinisikan: 𝑠 =

^σ^𝑗=1

𝑘 𝑓_𝑗 𝑥_𝑗− ҧ𝑥 ²

𝑛

dimana ҧ 𝑥 adalah ahrga rerata atau arithmetic mean;

• Untuk distribusi normal (akan didiskusikan) maka:

• 68.27% kasusnya berada antara ҧ𝑥 − 𝑠 dan ҧ𝑥 + 𝑠 (baca: satu kali deviasi standar ke sebelah kiri dan kanan mean);

• 95.45% kasusnya berada antara ҧ𝑥 − 2𝑠 dan ҧ𝑥 + 2𝑠 (baca: dua kali deviasi standar ke sebelah kiri dan kanan mean);

• 99.73% kasusnya berada antara ҧ𝑥 − 3𝑠 dan ҧ𝑥 + 3𝑠 (baca: tiga kali deviasi standar ke sebelah kiri dan kanan mean).

• Ini berlaku juga untuk distribusi yang miring dalam batas yang

moderat (skewed).

(16)

(17)

Contoh:

• Sebuah pabrik kamera digital sedang melakukan tes kemampuan kamera produksinya dalam merekam obyek yang paling redup;

• Uji teknis ini dilakukan dalam ribuan serial citra;

• Sehingga, untuk mengukurnya, pabrik harus dapat mengekspresikan masing-masing citra dalam satu besaran statistik;

• Besaran tersebut adalah Mean dan/atau Standard Deviation.

• Resolusi geometris kamera: 16 MP dan resolusi radiometris 8-bit;

• Berikut adalah hasil test salah satu citra.

(18)

(19)

(20)

Variance adalah kuadrat dari standard deviation.

Jika s = standard deviation Maka s² = variance

Untuk memperoleh unbiased variance atau unbiased standard deviation, digunakan rumus:

𝑠² = 1

𝑛 − 𝑢 ෍

𝑗=1 𝑛

𝑥_𝑗 − ҧ𝑥 ² Dimana: n-u = r

𝑟 = redundancy (kelebihan pengamatan);

𝑢 = jumlah pengamatan minimum yang diperlukan

Biased variance dan unbiased variance

(21)

Coba sendiri, hitunglah mean deviation (MD) dari Himpunan berikut:

a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Contoh 4.3

(22)

• Variasi sesungguhnya yang dihitung dari rumus Standard Deviation 𝑠 = ^σ^𝑗=1^𝑛 ^𝑥^𝑗^−𝑎

2

𝑛

yang ukuran dispersi lain dinamamakn dispersi absolut.

• Namun, ukuran SD sebesar 1 meter dari mengukur jarak 1000 meter dan dari jarak 20 meter, tentu saja sangat berbeda;

• Untuk itu, kita sering menggunakan relative standard deviation (deviasi standar relatif):

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐷𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝐷𝑖𝑠𝑝𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝐴𝑣𝑒𝑟𝑎𝑔𝑒 ;

• Jika absolute dispersion adalah standard deviation 𝑠 dan average-nya adalah mean ҧ𝑥, maka relative dispersion-nya dinamakan coefficient of variation atau coefficient of dispersion yang didefinisikan dengan: 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑓 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑉 = ^𝑠

ҧ

𝑥 dan umumnya dinyatakan dalam persentase.

• Ingat, coefficient of variation adalah independen terhadap unit yang digunakan.

• Bagus untuk membandingkan unit-unit yang berbeda, tapi, kurang bagus jika ҧ𝑥 ≈ 0.

Dispersi absolut dan relatif, variasi koefisien

(23)

• 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑧 = ^{𝑥− ҧ}^𝑥

𝑠

• Ini mengukur penyimpangan (deviasi) dari mean dalam unit standard deviation-nya;

• Dinamakan juga Standard Scores;

• Sangat bermanfaat sebagai pembanding dalam memahami distribusi.

Standardized Variable dan Standard Scores

(24)

5. Moments, Skewness dan Kutosis

(25)

Tidak dibahas di sini

(26)

6. Dasar Teori Probabilitas

(27)

Dasar Teori Probabilitas

• Definisi klasik probabilitas: Misal, sebuah peristiwa E dapat terjadi dalam h kali dari total n kali yang memiliki kemungkinan yang sama.

• Maka probabilitas kemunculan peristiwa ini dinamakan sukses didefinisikan:

𝑝 = 𝑃𝑟 𝐸 = ℎ 𝑛

• Probabilitas kegagalan (failure) nya adalah:

𝑞 = 𝑃𝑟 𝑛𝑜𝑡 𝐸 = ^𝑛−ℎ

𝑛 = 1 − ^ℎ

𝑛 = 1 − 𝑝 = 1 − 𝑃𝑟 𝐸

• Jadi 𝑝 + 𝑞 = 1, atau 𝑃𝑟 𝐸 + 𝑃𝑟 𝑛𝑜𝑡 𝐸 = 1

• Peristiwa “not E” sering disebut juga: ത𝐸, ෨𝐸, 𝑎𝑡𝑎𝑢 ~𝐸

(28)

• Misal E adalah peristiwa yang dapat menghasilkan angka 3 dan 4 dalam satu lemparan dadu.

• Ada enam kemungkinan hasil lemparan dadu, yaitu: angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 (jika dadu-nya tidak bias, maka ke enam angka di atas memiliki peluang sama);

• Karena E dapat muncul dalam dua di antara enam persitiwa, maka:

𝑝 = Pr 𝐸 = 2

6 = 1 3

• Dan probabilitas tidak memperoleh angka 3 atau 4 (yaitu memperoleh angka 1, 2, 5, atau 6):

𝑞 = Pr ෨𝐸 = 1 − 1

3 = 2 3

Contoh:

(29)

• Probabilitas sebuah peristiwa adalah antara 0 dan 1;

• Jika peristiwanya tidak dapat muncul, maka probabilitasnya = 0;

• Jika peristiwanya harus muncul, atau kemunculannya pasti, maka probabilitasnya

= 1

Ingat:

(30)

• Definisi yang lebih baik adalah menggunakan istilah frekuensi relatif dari terjadinya peristiwa jika jumlah pengamatannya cukup besar.

• Contoh:

• Jika 1000 lemparan koin menghasilkan 529 heads, maka frekuensi heads = 529/1000 = 0.529;

• Jika 1000 lemparan berikut menghasilkan 493 heads, frekuensi

relatif untuk total 2000 lemparan adalah: (529+493)/2000 = 0.511;

• Menurut definisi statistik, dengan melanjutkan lemparan2 tersebut, akhirnya akan mendekati pada sebuah angka yang dinamakan probabilitas diperolehnya satu head dalam satu lemparan koin;

• Saat ini kita sudah memperoleh angka 0.511 yang mendekati angka teoretis 0.5.

Definisi frekuensi relatif dari probabilitas

(31)

• Statistik sukar didefinisikan secara matematik karena batas angka yang sebenarnya mungkin tidak pernah ada

• Teori probabilitas modern dibangun berdasarkan kaidah axiomatik.

• Jadi, probabilitas sebetulnya merupakan konsep yang tidak dapat didefinisikan

• Mirip dengan titik dan garis yang juga tidak dapat didefinisikan dalam

matematik.

(32)

• E₁ dan E₂ adalah dua peristiwa

• Probabilitas E₂ terjadi Karena E₁ sudah terjadi dinyatakan dengan:

𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁ dinamakan probabilitas kondisional E₂ karena E₁telah terjadi.

• Jika kejadian atas ketidakmunculannya tidak mengakibatkan probabilitas terjadinya peristiwa , maka:

𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁ = 𝑃𝑟 𝐸₂ atau dikatakan: E₂ dan E₁ adalah peristiwa yang independen.

Jika tidak, maka keduanya adalah peristiwa yang dependen (saling tergantung, tidak bebas).

Probabilitas kondisional (bersyarat)

(33)

• Jika kita namakan E₁E₂ adalah peristiwa dimana “keduanya 𝐸₁ dan 𝐸₂ terjadi”, ini dinamakan compound event dan dinyarakan dengan:

𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ 𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁

• Untuk independent events:

𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ 𝑃𝑟 𝐸₂

(34)

• Misal E₁ adalah peristiwa “head dalam lemparan ke 5”, dan E₂ adalah peristiwa

“head dalam lemparan ke 6”.

• E₁dan E₂adalah independent events (peristiwa bebas, tidak saling tergantung).

• Maka probabilitas didapatkannya head pada lemparan ke lima dan ke enam dinyatakan dengan:

𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ 𝑃𝑟 𝐸₂ = 1 2

1

2 = 1 4

Contoh 1

(35)

• Jika probabilitas A dapat hidup selama 20 tahun lagi adalah 0.7 dan probabilitas B untuk hidup 20 tahun lagi adalah 0.5, maka probabilitas keduanya dapat hidup 20 tahun lagi adalah: (0.7)(0.5)=0.35

Contoh 2

(36)

• Sebuah kotak berisi 3 bola putih dan 2 bola hitam. Misal E₁ adalah peristiwa “bola yang diambil pertama berwarna hitam”, dan E₂ adalah peristiwa “bola kedua yang diambil berwarna hitam”. Dimana, setelah bola diambil dari kotak tidak

dimasukkan bola pengganti. Dengan demikian E₁ dan E₂adalah independent events.

• Maka probabilitas bola pertama yang diambil adalah bola hitam:

𝑃𝑟 𝐸₁ = 2

3 + 2 = 2 5

• Dengan demikian, probabilitas kedua bola yang diambil berwarna hitam adalah:

𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ 𝑃𝑟 𝐸₂ 𝐸₁ = 2 5

1

4 = 1 10

Contoh 3

(37)

• Dua atau lebih peristiwa dikatakan sama2 ekslusif jika kemunculan salah satunya menghilangkan kemunculan yang lain.

• Jadi, jika E₁ dan E₂ adalah peristiwa yang sama2 ekslusif , maka:

𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂ = 0

• Jika E₁ dan E₂ dinamakan sebagai peristiwa “salah satu dari E₁ atau E₂ terjadi”, maka:

𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝑃𝑟 𝐸₂ − 𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂

Probabilitas sama-sama ekslusif

(38)

• Jadi, untuk peristiwa yang sama2 eksklusif:

𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝑃𝑟 𝐸₂

• Secara umum: Jika E₁, E₂, . . . , E₁ adalah n peristiwa yang sama2 eksklusif yang memiliki probabilitas p₁, p₂, . . . . , p_n, maka probabilitas kemunculan salah satu dari E₁, E₂, . . . E_n, adalah: p₁ + p₂+ . . . . + p_n

(39)

• Jika adalah peristiwa “penarikan satu ace dari setumpuk kartu” dan adalah persitiwa “penarikan sebuah king”, maka:

𝑃𝑟 𝐴₁ = ⁴

52 = ¹

13 dan 𝑃𝑟 𝐴₂ = ⁴

52 = ¹

13

• Probabilitas penarikan yang menghasilkan satu ace atau king adalah:

𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝑃𝑟 𝐸₂ = 1

13 + 1

13 = 2 13

Karena kedua ace dan king tidak dapat diambil melalui satu tarikan, maka keduanya adalah mutually independent events.

Contoh 1

(40)

• Jika 𝐸₁ adalah peristiwa “menarik sebuah ace” dan 𝐸₂ adalah peristiwa “menarik sebuah sekop”, maka kedua peristiwa itu bukan mutually exclusive karena ace sekop dapat diambil melalui sebuah tarikan. Maka probabilitas dalam menarik salah satu ace atau sekop adalah:

𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝐸₂ = 𝑃𝑟 𝐸₁ + 𝑃𝑟 𝐸₂ − 𝑃𝑟 𝐸₁𝐸₂

= 4

52 + 13

52 − 1

52 = 16

52 = 4 13

Contoh 2

(41)

• Sepasang dadu dilemparkan dimana x adalah jumlah dari kedua hasil lemparan sepasang dadu tsb.

• Misalnya: probabilitas memperoleh jumlah 5 dari lemparan sepasang dadu adalah 4/36 = 1/9. Artinya, dalam 900 lemparan kita harapkan 100 di antara lemparan akan menghasilkan jumlah 5;

• Perhatikan bahwa ini analog dengan dengan relative frequensy distribution dengan relative frequency nya diganti dengan probabilitas;

Distribusi Probabilitas yang Diskrit

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(x) 1/36 2/36 3/16 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

(42)

• Jadi, distribusi probabilitas sebetulnya adalah bentuk ideal (teoretis) dari relative frequency distribution jika jumlah pengamatannya dibuat sangat besar;

• Dengan kata lain, probability distribution adalah merupakan distribusi untuk population (seluruh populasi), sedangkan relative frequency distribution adalah distribusi untuk sampel yang diambil dari populasi;

• Probability distribution dapat digambarkan secara grafis dengan memplot p(x) terhadap x;

• Dengan mengakumulasikan probabilitas, kita memperoleh cumulative probability distribution yang juga analog dengan cumulative relative frequency distribution.

• Fungsinya dinamakan distribution function.

(43)

0.03 0.06 0.08 0.11 0.14 0.17 0.14 0.11 0.08 0.06 0.03

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PROBABILITAS

JUMLAH HASIL LEMPARAN SEPASANG DADU P(X)

(44)

Ekspektasi Matematis

• Jika p adalah probabilitas bahwa seseorang akan menerima uang sebesar S, maka ekspektasinya (expectation) didefinisikan sebagai pS;

• Contoh:

• Jika probabilitas seseorang memenangi hadiah US$ 10 adalah 1/5, maka ekspektasinya adalah 1/5(US10) = US$ 2

• Konsep expektasi ini dapat dikembangkan. Jika x adalah sebuah discrete random variable dengan harga2 nya x₁, x₂, . . . , x_k dan memiliki probabilitas p₁, p₂, . . . , p_k, dimana p₁+p₂+ . . . +p_k = 1, maka ekpektasi matematik x adalah:

𝐸 𝑥 = 𝑝₁𝑥₁ + 𝑝₂𝑥₂+ . . . + 𝑝_𝑘𝑥_𝑘 = σ_𝑗=1^𝑘 𝑝_𝑗𝑥_𝑗

(45)

• Jika probabilitas p

_j

di atas diganti dengan relative frequencies 𝑓

_𝑗

/𝑁 dimana 𝑁 = σ 𝑓

_𝑗

, expektasinya bertambah kecil menjadi σ 𝑓𝑥 /𝑁 yang merupakan arithmetic mean ҧ 𝑥 dari sebuah sampel berukuran N dimana x

₁

, x

₂

, . . . , x

_k

muncul dengan relative probabilities di atas. Jika N bertambah besar terus, maka relative frequencies f

_j

/N akan

mendekati harga probabilitas p

_j

;

• Ini berujung pada suatu interpretasi bahwa E(x) adalah merupakan harga rerata (mean) dari sebuah populasi dari mana sampel tersebut diambil.

• Jika m adalah rerata dari sebuah sampel (sample mean) maka rerata

populasinya biasanya dinyatakan dengan 𝝁 (dibaca: mu).

(46)

• Jika kita memilih sampel dengan ukuran N secara acak dari sebuah populasi (artinya: kita anggap bahwa semua sampel memiliki probabilitas yang sama),

maka dapat dibuktikan bahwa harga harapan (expected value) dari sample mean m adalah merupakan population mean 𝝁.

• Namun, ini tidak berlaku bahwa expected value yang dihasilkan dari sebuah sampel juga merupakan population quantity-nya;

• Misalnya, expected value dari sebuah sample variance adalah bukan merupakan population veariance-nya. Tapi adalah (n-1)/n kali variance-nya. Itulah sebabnya, ahli statistik memilih sample variance sama sengan variance dikalikan dengan n/(n-1).

Hubungan antara populasi, sample mean dan variance

(47)

Jika 𝑝 adalah probabilitas peristiwa yang akan terjadi untuk percobaan tunggal, dan

𝑞 = 1 − 𝑝 adalah probabilitas jika gagal, maka probabilitas suatu peristiwa akan terjadi 𝑥 kali dalam 𝑛 percobaan dinyatakan dengan:

𝑓 𝑥 = 𝑛

𝑥 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 = ^𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 → sering ditulis dalam bentuk lain 𝑝 𝑥 = 𝐶_𝑥^𝑛𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 = ^𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 Contoh:

Probabilitas untuk memperoleh dua heads dalam 6 lemparan koin:

𝐶₂⁶ 0.5 ²0.75⁶⁻² = 6!

2! 6 − 2 ! 0.5²0.75⁶⁻² = 15 64

2.2 Distribusi Binomial

(48)

• Pengobatan leukemia tertentu memiliki 25% probabilitas dapat menyembuhkan total.

• Jika 40 orang pasien dipilih secara acak dan diberi pengobatan, berapakah probabilitas minimal 15 orang dapat disembuhkan?

• Misal 𝑥 = jumlah keberhasilan dalam 40 percobaan.Dengan demikian, kita memerlukan 𝑃 𝑥 > 15 untuk 𝑝 = 0.25;

• 𝑓 𝑥 = 𝑛

𝑥 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 = ^𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 Ditulis juga:

• 𝑝 𝑥 = 𝐶_𝑥^𝑛𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 = ^𝑛!

𝑥! 𝑛−𝑥 ! 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 Dimana:

• 𝑞 = 1 − 𝑝;

• 𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … .0! → (0! 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 = 1)

𝑓 𝑥 = 40

15 (0.25)

¹⁵

(0.75)

⁴⁰⁻¹⁵

=

^40!

15! 40−15 !

(0.25)

¹⁵

(0.75)

⁴⁰⁻¹⁵

= 0.028192

Contoh 2.4

(49)

Probabilitas memperoleh dua heads dalam 6 lemparan adalah:

𝑝 𝑥 = 𝐶_𝑥^𝑛𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 = 𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 ! 𝑝^𝑥𝑞^𝑛−𝑥 n=6; x=2; p=1/2; q=1-1/2=1/2;

𝐶₂⁶ 1 2

2 1 2

6−2

= 6!

2! 6 − 2 ! 1 2

2 1 2

6−2

= 720

2 24

1 2

6

= 15 64

Contoh 1 (hal 122 Schaum)

(50)

Probabilitas memperoleh minimal empat heads dalam 6 lemparan adalah:

𝑝 𝑥 = 𝐶

_𝑥^𝑛

𝑝

^𝑥

𝑞

^𝑛−𝑥

= 𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 ! 𝑝

6! 6−6 ! 1 2

6 1 2

6−6

=

720 24 2

1 2

6

+

⁷²⁰

120 1 2

6

+

⁷²⁰

720 1 2

6

=

⁷²⁰

(48)(64)

+

⁷²⁰

(120)(64)

+

⁷²⁰

(720)(64)

=

15

+

⁶

+

¹ ²² ¹¹

Contoh 1 (hal 122 Schaum)

(51)

Distribusi probabilitas kontinyu yang terpenting adalah distribusi normal, atau kurfa normal, atau distribusi gauss yang fungsinya berbentuk:

𝑌 = ¹

𝜎 2𝜋 𝑒⁻¹² ^𝑋−𝜇 ^ൗ

2 𝜎2

(3) Dimana:

• Luas total daerah yang dibatasai oleh fungsi (3) dan sumbu x adalah satu.

Distribusi Normal (Schaum hal 123)

𝜇 = Mean (harga rerata)

𝜎 = Standard deviation (simpangan baku) 𝜋 = 3.14159 . . .

𝑒 = 2.71828 . . .

(52)

• Luas daerah di bawah kurva antara dua titik 𝑋 = 𝑎 dan 𝑋 = 𝑏 dimana 𝑎 < 𝑏

merepresentasikan probabilitas X terletak antara a dan b yang dinyatakan dengan 𝑃𝑟 𝑎 < 𝑋, 𝑏 .

• Jika variabel 𝑋 dinyatakan dalam unit standar 𝑧 = (𝑋 − 𝜇)/𝜎, persamaan (3) dikatakan berada dalam bentuk standar (standard form):

𝑌 = ¹

2𝜋 𝑒⁻¹²^𝑧²

(4)

Dalam kasus seperti ini, z dikatakan terdistribusi secara normal dengan mean sama

dengan NOL, dan variance sama dengan SATU, seperti diberikan dalam gambar berikut:

(53)

• Ide di atas dapat dikembangkan dimana variabel x dapat dianggap sebagai himpunan harga yang

kontinyu

• Relative frequency poligon untuk seluruh populasi (teoretis) akan merupakan fungsi kontinyu

Distribusi Probabilitas yang Kontinyu

• Total luas di bawah kurva ini = 1 (100%), dan luas daerah di bawah kurva antara x=a dan x=b memberikan nilai probabilitas harga x yang berada di antara a dan b. Atau ditulis:

𝑃𝑟 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

(54)

𝑓(𝑥)

𝑎 𝑏

𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) Misal: 𝑏 = 1.72; 𝑎 = 1.50

Maka probabilitas 𝑥 yang berada di antara 𝑎 dan 𝑏 dapat dilihat dari Tabel Standard Normal Curve.

𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 0.4573 − 0.4332

= 0.0241 = 2.41%

Yaitu luasan dalam kurva yang berwarna merah

(55)

Contoh 2.3 (Ramanathan)

• Luas daerah dari 0 sampai 1.72 adalah 0.4573;

• Karena kurva berbentuk simetri, luas daerah antara 0 dan -1.72 juga 0.4573;

• Jadi, luas antara 0.65 sampai 1.72 diperoleh dari selisih luas L1 (dari 0 ke 1.72) dengan L2 (dari 0 ke 0.65) = 0.4573-0.2422 = 0.1829 atau 18.29%;

• Dengan cara sama, kita dapat menghitung:

• 𝑃 −0.65 < 𝑥 < 1.44 = 0.2422 + 0.4251 = 0.6673 = 66.73%;

• 𝑃 −1.44, 𝑥, −0.65 = 0.1892 = 18.92%;

• 𝑃 𝑥 > 1.12 = 𝑃 𝑥 > 0 − 𝑃 0 < 𝑥 < 1.12 = 0.5 − 0.3686 = 0.1314 = 13.14%