Pendugaan Parameter
Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII
Pendugaan
1 Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga /
menaksir hubungan parameter populasi yg tidak diketahui
2 Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatu
parameter
3 Estimasi: Pengukuran terhadap nilai parameternya (populasi) dari
Sifat-sifat Penduga
1 θ merupakan penduga tak bias dari θ jika E(ˆθ)=θ
2 θ merupakan penduga konsisten bagi θ apabila nilai ˆˆ θ cenderung
mendekati nilai parameter θ untuk n yang semakin besar mendekati tak terhingga
3 θ merupakan penduga yang efisien bagi θ jika penduga ˆˆ θ memiliki
varians tau standar deviasi yang lebih kecil dibandingkan dengan penduga lainnya.
4 θ merupakan penduga yang cukup bagi θ apabila ˆˆ θ mencakup
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya
1 Pendugaan Titik Pendugaan yg hanya mempunyai atau menyebutkan
satu nilai. Tidak memberikan selisih atau jarak antara nilai penduga dengan nilai sebenarnya (parameter)
2 Pendugaan Interval Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/
daerah pembatasan
Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai sebenarnya/parameternya akan berada.
Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan Selang kepercayaan : (1-α) x 100
Jenis-jenis pendugaan berdasarkan parameternya
1 Pendugaan rata-rata
2 Pendugaan proporsi
Pendugaan interval untuk rata-rata
1 Untuk sampel besar (n > 30)
a. Utk populasi tdk terbatas/ populasi terbatas yg pengambilan sampelnya dgn pengembalian dan σ diketahui
X − Zα 2. σ √ n < µ < X + Zα2. σ √ n (1)
Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan interval nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, jika dipakai distribusi probabilitas normal, confedence interval untuk rata-rata ditentukan.
Sehingga didapat dua batas kepercayaan ˆ θ = x − Zα 2. σ √ n dan ˆθ = x + Zα2. σ √ n (2)
Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1 adalah 2,6. Hitung selang kepercayaan 95 % dan 99 % untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-1! Anggap bahwa standar deviasi populasinya 0,3.
b. Untuk populasi terbatas, pengambilan sampel tanpa pengembalian dan σ diketahui X − Zα/2 σ √ n. r N − n N − 1 < µ < X + Zα/2 σ √ n. r N − n N − 1 (3)
2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30) X − tα 2. s √ n < µ < X + tα2. s √ n (4) dengan s = s Σni =1Xi n − 1 − (Σni =1Xi)2 n(n − 1)
Latihan Soal
1 Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang
diperlukan oleh sebuah mesin yang digunakan untuk memproduksi satu jenis kain. Diambil secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15 menit. Jika diasumsikan standar deviasi populasi 3 menit, tentukan estimasi interval rata-rata dengan tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95 % ?
2 Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur
beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99% ?
Pendugaan Interval Untuk Proporsi
1. Untuk sampel besar (n > 30)
a. Untuk populasi tidak terbatas
p − Zα/2 r p(1 − p) n < P < p + Zα/2 r p(1 − p) n (5)
b. Untuk populasi terbatas dan pengambilan sampel tanpa pengembalian
p − Zα/2 r p(1 − p) n r N − n N − 1 < P < p + Zα/2 r p(1 − p) n r N − n N − 1 (6)
2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30) p − tα/2 r p(1 − p) n < P < p + tα/2 r p(1 − p) n (7)
Latihan Soal
1. Sebuah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase barang rusak.
Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah barang yang ada dalam peti dan diperoleh 9 buah rusak. Dugalah persentase barang yang rusak. Digunakan interval keyakinan 99 %.
2. Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8 diantaranya apel kualitas
rusak. Dengan interval keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yang rusak ?
3. Sebuah perusahaan memproduksi baut, menggunakan mesin otomatis
dengan diameter menyebar mengikuti distribusi normal yang standar deviasinya (populasi) 0,02 milimeter. Diambil sampel acak empat buah baut untuk suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameternya sebesar 24,98mm. Buatlah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan 98 persen bagi rata-rata baut.
4. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99 %
5. Dari sampel random 400 orang yg makan siang di restoran NIKMAT
selama beberapa hari Sabtu, diperoleh data 125 org yg menyukai makanan tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi proporsi sebenarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk makan siangnya pd hari Sabtu di restoran tersebut dgn menggunakan interval keyakinan 98 %
Pendugaan Parameter Dua Populasi
Dalam materi ini akan dibahas metode inferensi (pendugaan) statistik untuk membandingkan dua perlakuan atau dua populasi berdasarkan sampel-sampel yang independen.
Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-rata µ1 dan µ2, varians σ12
dan σ22, maka estimasi dari selisih µ1 dan µ2 adalah x1 dan x2, sehingga Z = (xs1− x2) − (µ1− µ2) σ2 1 n1 + σ 2 2 n2
Pendugaan Interval Beda Dua Rata-Rata
1. Untuk sampel besar dan σ21 dan σ22 diketahui
X1− X2 − Zα 2.σX1−X2 < (µ1− µ2) < X1− X2 + Z α 2.σX1−X2 dengan σX 1−X2 = s σ2 1 n1 + σ 2 2 n2
Contoh Soal
Diketahui nilai ujian kimia yang diberikan pada 50 siswa putri dan 75 siswa putra mempunyai rata-rata secara berurutan adalah 76 dan 86. Cari selang kepercayaan 96 % untuk selisih µ1-µ2. Anggap standar deviasi populasi untuk masing-masing putri dan putra adalah 8 dan 6
Misal :
X1 = 86 adalah nilai siswa putra, n1=75 dan σ1=6
X1 = 76 adalah nilai siswa putri, n1=50 dan σ1=8
α = 0, 04 → z0,02= 2, 05. Sehingga Selang kepercayaan 96 % bagi selisih
rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah X1− X2 − Zα 2.σX1−X2< (µ1− µ2) < X1− X2 + Z α 2.σX1−X2 (86 − 76) − (2, 05). r 82 50 + 62 75 < (µ1− µ2) < (86 − 76) + (2, 05) r 82 75+ 62 50 sehingga diperoleh .... < (µ1− µ2) < ....
Interpretasi
1. Dapat dipercaya 96 % bahwa selisih rata-rata nilai ujian kimia semua
siswa putra dengan siswa putri berkisar antara 3,43 hingga 8,57.
2. Dengan tingkat signifikansi 4 %, rata-rata nilai ujian kimia semua
siswa putra lebih tinggi antara 3.43 hingga 8.57 dari nilai ujian kimia semua siswa putri.
2. Untuk sampel kecil, σ21 dan σ22 tidak diketahui, selang kepercayaan (1-α) 100% untuk µ1− µ2 X1− X2 − tα 2.sX1−X2 < (µ1− µ2) < X1− X2 + t α 2.sX1−X2 dengan sX 1−X2= s (n1− 1)s2 1 + (n2− 1)s22 n1+ n2− 2 . s 1 n1 + 1 n2 dan s12 = ΣX 2 1 n1− 1− (ΣX1)2 n1(n1− 1) 2 2
Contoh
Suatu sampel random sebanyak 12 buah, dari jenis produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan mempunyai berat rata-rata 3.11 gr dengan standar deviasi 0.771 gr. Sedangkan sampel yang lain dari jenis produk yang dihasilkan perusahaan lainnya berjumlah 15 buah dengan berat rata-rata 2.04 grdan standar deviasi 0.448. Distribusi berat produk diasumsikan berdistribusi normal, estimasilah perbedaan rata-rata tersebut dengan tingkat kepercayaan 90 persen.
2. Selang kepercayaan (1-α)100 % untuk µ1− µ2; dimana σ12 6= σ2 2, σ12 dan σ22 tidak diketahui.
X1− X2 − tvα 2. s s12 n1 + s22 n2 < µ1− µ2< X1− X2 + t v α 2. s s12 n1 + s22 n2 dengan v = S2 1 n1 + S2 2 n1 2 S2 1 n1 2 (n1− 1) + S2 2 n2 2 (n2− 1)
Soal Latihan
Dalam sebuah penelitian kadar kimia-Ortofosfor, a5 sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel diukur dari stasion 2. ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar deviasi 3.07 mg/l, sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians yang berbeda
Pendugaan interval beda dua proporsi (P1− P2) − Zα/2.s(p1−p2)< p1− p2< (P1− P2) + Zα/2.s(p1−p2) dengan Sp1−p2 = s p1(1 − p1) n1 +p2(1 − p2) n2
Contoh
Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang
direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaiikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat. Dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat. Carilah selang
kepercayaan 90 % untuk selisih sesungguhnya proporsi yang baik dalam kedua cara tersebut!
Estimasi Varians Populasi
Sangat diperlukan untuk mengetahui sejauh mana sebaran nilai parameter sehingga dapat dijadikan untuk mengambil
langkah-langkah dalam mengendalikannya
Misalnya: yang berkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan agar bukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu persyaratan tetapi juga konsistensi dari nilai tersebut harus bisa terjamin
Estimasi Varians Populasi
Estimasi interval varians populasi berbentuk: (n − 1)s2 χ2 α/2;v < σx2< (n − 1)s 2 χ2 1−α/2;v keterangan:
χ2α/2;v = Nilai kritis yang tergantung tingkat kepercayaan dan derajat kebebasan v
α = 1 - tingkat kepercayaan v = derajat kebebasan = n - 1
Contoh
Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan dirancang untuk bekerja mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata sebanyak 25 kg. Suatu pemeriksaan terhadap 15 kotak menunjukkan bahwa deviasi standard pengisian gandum itu adalah 0,0894 kg. Estimasikan deviasi standard populasi dg tingkat kepercayaan 95 %
Latihan Soal
1. Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya. Untuk itu, 50
potong tambang dr setiap jenis diuji dlm kondisi yg sama. Jenis A memiliki kekuatan rata-rata 87,2 kg dgn simpangan baku 6,3 kg, sedangkan jenis B memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg dgn simpangan baku 5,6 kg. Buatlah pendugaan interval beda dua rata-rata dgn interval keyakinan 94 %
2. Suatu sampel random sebanyak 300 org dewasa dan 400 remaja yg
pernah menyaksikan sebuah acara di RCTI diketahui bahwa 125 org dewasa dan 250 remaja menyatakan suka pd acara tsb. Berapa beda proporsi dr seluruh org dewasa dan remaja yg menyukai acara tsb bl digunakan tingkat keyakinan 90%
3. Data berikut berupa masa putar film yang diproduksi dua perusahaan film.
Buatlah pendugaan interval bagi beda dua rata-rata masa putar film-film yang diproduksi oleh dua perusahaan tersebut dengan menggunakan interval keyakinan %
