Pendugaan
Pendugaan
P
P
a
a
rameter
rameter
Ayundyah
Ayundyah KesKesumumaawwatiati
Prodi
Prodi StatistikaStatistika FMIPFMIPA-UIA-UIII
April 13,
P
P
endugaan
endugaan
1
1 Proses yang menggunakan sampel statistik untuk mendugaProses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga % %
menaksir
menaksir hu&ungan parameter hu&ungan parameter populasi populasi yg yg tidaktidak dik dik etahuietahui
Penduga ' suatu statistik yg digunakan untuk mendugaPenduga ' suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatusuatu
param
parameter eter
3
3 (stimasi' Pengukuran terhadap nilai parameternya #populasi$(stimasi' Pengukuran terhadap nilai parameternya #populasi$ dadariri
data sampel yang
Ayundyah #UII$
Ayundyah #UII$ Pendugaan ParameterPendugaan Parameter April April 13, 13, !1" !1" %% 3!3!
Si)at-si)at
Si)at-si)at
P
P
enduga
enduga
1
1 * merupakan* merupakan p pendugaenduga tak tak &ias dari &ias dari * * +ika+ika (#(#**,,
$-
$-
**
**,, merupakanmerupakan p penduga enduga konsistenkonsisten &agi &agi * * apa&ila apa&ila nilainilai **,,
.enderung
.enderung mendekati mendekati nilai nilai parameter parameter * untuk * untuk n yang semakin n yang semakin &esar&esar mendek
mendek atiati taktak terhinggaterhingga
3
3 **,, merupakan penduga yang e)isien &agi * +ika pendugamerupakan penduga yang e)isien &agi * +ika penduga **,,
memiliki
memiliki /arians tau /arians tau standar standar de/iasi de/iasi yang le&ih yang le&ih ke.il ke.il di&andingkandi&andingkan dengan
dengan penduga penduga lainnya0lainnya0
**,, merupakanmerupakan p pendugaenduga yang yang .ukup .ukup &agi &agi * * apa&ilaapa&ila **,,
men.akup
men.akup seluruh seluruh in)ormasi in)ormasi tentang tentang * yang * yang terkandung terkandung didi dalam
Ayundyah #UII$
Ayundyah #UII$ Pendugaan ParameterPendugaan Parameter April April 13, 13, !1" !1" 33 %% 3!3!
2enis-+enis pendugaan &erdasarkan .ara
2enis-+enis pendugaan &erdasarkan .ara
p
p
eny
eny
a+ianny
a+ianny
a
a
1
1 Pendugaan itik Pendugaan yg hanya mempunyai atauPendugaan itik Pendugaan yg hanya mempunyai atau menymenye&utkane&utkan
satu
satu nilai0 idnilai0 idak mem&erikan sak mem&erikan selisih elisih atau atau +arak antara +arak antara nilainilai pend pendugauga dengan nilai se&enarnya
dengan nilai se&enarnya #pa#parameter$rameter$
Pendugaan Inter/al Pendugaan Inter/al Pendugaan Pendugaan yg yg memp dua nilai memp dua nilai s&gs&g p pem&atasan%em&atasan%
daerah
daerah p pem&atasanem&atasan
4igunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai 4igunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai se&enarnya%parameternya
se&enarnya%parameternya akanakan & &erada0erada0 5ilai #1-6$
5ilai #1-6$ dise&ut dise&ut koe)isienkoe)isien k k epeper.aer.ayyaaanan Selang
Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" % 3!
2enis-+enis pendugaan &erdasarkan pa
rameterny
a
1 Pendugaan rata-rata Pendugaan proporsi 3 Pendugaan /arians
Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" " % 3!
Pendugaan inter/al untuk
rata-rata
1 Untuk sampel &esar #n 8 3!$
a0 Utk populasi tdk ter&atas% populasi ter&atas yg pengam&ilan sampelnya dgn pengem&alian dan 9 dik etahui
9 9 :
;
< 6 0 = n>
?>
:@
< 6 0 = n #1$ Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan inter/al nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, +ika dipakai distri&usi pro&a&ilitas normal, .on)eden.e inter/al untuk rata-rata
Sehingga didapat dua &atas k eper.ayaan *,
-
7;
< 6 0 9 dan *,-
7@
< 60 9 #$ = n = nBontoh' Cata-rata IP sampel a.ak 3 mahasiswa tingkat S-1 adalah ,A0 Ditung selang keper.ayaan E" F dan EE F untuk rata-rata IP semua
mahasiswa S-1G Anggap &ahwa standar de/iasi populasinya !,30
&0 Untuk populasi ter&atas, pengam&ilan sampel tanpa pengem&alian dan 9 dik etahui 9 r 5
;
n 9 r 5;
n :;
<6% = n 0>
?>
:@
<6%= 0
5;
1 n #3$ 5;
1Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" % 3!
0 Untuk sampel ke.il #n J 3!$
s s :
;
t
6 0 = n>
?>
:@
t
6 0 = n #$ dengan s i -1 :i s -n;
1;
Kn#n :i$
n#n ; 1$
Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" E % 3!
Latihan Soal
1 Se&uah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang
diperlukan oleh se&uah mesin yang digunakan untuk memproduksi
satu +enis kain0 4iam&il se.ara a.ak 3 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 1" menit0 2ik a
diasumsikan standar de/iasi populasi 3 menit, tentukan estimasi
inter/al rata-rata dengan tingkat .on)iden.e #tingkat keper.ayaan$ E" F
Lima karyawan P (LII dipilih se.ara a.ak, kemudian diukur
&eratnya0 4atanya adalah , H, H!, " dan ! kg0 Nuatlah pendugaan inter/al rata-ratanya dgn tingkat keyakinan EEF
Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1! % 3!
Pendugaan Inter/al Untuk Proporsi
10 Untuk sampel &esar #n 8 3!$ a0 Untuk populasi tidak ter&atas
r p #1
;
p$ r p #1;
p$ p;
<6%>
P>
p@
<6% n #"$ n&0 Untuk populasi ter&atas dan pengam&ilan sampel tanpa pengem&alian
r p #1
;
p $ r 5;
n p;
<6% n>
P>
p@
<6% 5;
1 n 5;
1 #A$0 Untuk sampel ke.il #n J 3!$ r p #1
;
p$ r p #1;
p$ p;
t
6%>
P>
p@
t
6% n #H$ nLatihan Soal
10 Se&uah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase &arang rusak0 Untuk keperluan terse&ut, diam&il ! &uah &arang yang ada dalam peti dan diperoleh E &uah rusak0 4ugalah persentase &arang yang
rusak0 4igunakan inter/al keyakinan EE 0
0 Se&uah Sampel se&anyak " &uah apel, diantaranya apel kualitas rusak0 4engan inter/al keyakinan E"F, tentukan proporsi apel yang rusak
30 Se&uah perusahaan memproduksi &aut, menggunakan mesin otomatis dengan diameter menye&ar mengikuti distri&usi normal yang standar de/iasinya #populasi$ !,! milimeter0 4iam&il sampel a.ak empat &uah &aut untuk suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameternya
se&esar ,Emm0 Nuatlah selang keper.ayaan dengan tingk a
t
keper.ayaan E persen &agi rata-rata &aut
00 Lima karyawan P (LII dipilih se.ara a.ak, kemudian diukur &eratnya0 4atanya adalah , H, H!, " dan ! kg0 Nuatlah
pendugaan inter/al rata-ratanya dgn tingkat keyakinan EE F
"0 4ari sampel random !! orang yg makan siang di restoran 5IKMA selama &e&erapa hari Sa&tu, diperoleh data 1" org yg menyukai
makanan tradisional0 entukan pendugaan inter/al &agi proporsi se&enarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk mak an
siangnya pd hari Sa&tu di restoran terse&ut dgn menggunakan inter/al keyakinan E F
Pendugaan Parameter 4ua P
opulasi
4alam materi ini akan di&ahas metode in)erensi #pendugaan$ statistik untuk mem&andingkan dua perlakuan atau dua populasi &erdasark an sampel-sampel yang independen0
Nila ada populasi masing-masing dengan rata-rata ?1 dan ? , /arians 9
dan 9, maka estimasi dari selisih ?1 dan ? adalah 7 1 dan 7 , sehingga
#7 1
;
7 $;
#?1;
? $ <-
s 9 9@
1 1 Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1" % 3!
Pendugaan Inter/al Neda 4ua
Cata-Ca
ta
10 Untuk sampel &esar dan 9 dan 9 dik etahui
: 1
;
: ;
< 6 09 : 1 1;: >
#?1;
? $>
: 1;
: @
< 6 09 : 1;: dengan s 1 9 9: 1;: -@
n1 n 9 Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1 % 3!
Bontoh Soal
4iketahui nilai u+ian kimia yang di&erikan pada "! siswa putri dan H" siswa putra mempunyai rata-rata se.ara &erurutan adalah H dan 0 Bari selang
keper.ayaan E F untuk selisih ?1-?0 Anggap standar de/iasi populasi untuk masing-masing putri dan putra adalah dan
Misal '
: 1
-
adalah nilai siswa putra, n1H" dan 91-A : 1-
H adalah nilai siswa putri, n1 "! dan 91-I6
-
!, ! O !,!-
, !"0 Sehingga Selang keper.ayaan E F &agi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah: 1
;
: ;
< 6 09 : 1;: >
#?1;
?$>
: 1;
: @
< 6 09: 1;: r r # H$ #, !"$ @
>
#? ? $>
# H$@
#, !"$ "! H"@
H" "! sehingga diperoleh 0000
>
#?1;
?$ > 0000Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1 % 3!
Interpretasi
10 4apat diper.aya E F &ahwa selisih rata-rata nilai u+ian kimia semua siswa putra dengan siswa putri &erkisar antara 3,3 hingga ,"H0
0 4engan tingkat signi)ikansi F, rata-rata nilai u+ian kimia semua siswa putra le&ih tinggi antara 303 hingga 0"H dari nilai u+ian kimia semua siswa putri0
0 Untuk sampel ke.il, 91 dan 9 tidak diketahui, selang k eper.ayaan #1-6$ 1!!F untuk ?1
;
? : 1;
: ;
t
6 0s : 1;: >
#?1;
? $>
: 1;
: @
t
6 0s: 1;: dengan s s #n1;
1$s @
#n;
1$s 1 1 1 0 n1
@
n;
@
n1 n dan : s #:1 $ 1 -1;
1;
n1 #n1 ;
1$ s K: #K: $ -1 n n
;
1;
n #n ; 1$Bontoh
Suatu sampel random se&anyak 1 &uah, dari +enis produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan mempunyai &erat rata-rata 3011 gr dengan standar de/iasi !0HH1 gr0 Sedangkan sampel yang lain dari +enis produk yang
dihasilkan perusahaan lainnya &er+umlah 1" &uah dengan &erat r ata-rata 0! grdan standar de/iasi !00 4istri&usi &erat produk diasumsikan &erdistri&usi normal, estimasilah per&edaan rata-rata terse&ut dengan
0 Selang keper.ayaan #1-6$1!! F untuk ?1
;
? Q dimana 9-
9, 9 dan 9 tidak dik etahui01 1 s s / s / 6 6 n1 n
@
n1 n dengan 1 1 @S S @ /
-
n1 n1 1 n1@
n #n1;
1$ #n ; 1$Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" % 3!
1
S S
Soal Latihan
4alam se&uah penelitian kadar kimia-Rrto)os)or, a" sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 1 sampel diukur dari stasion 0 ke 1" sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar orto)os)or 30 mg%l dan standar de/iasi 30!H mg%l, sedangkan 1 sampel dari stasion mempunyai
rata-rata kadar 10E mg%l dengan standar de/iasi !0! mg%l0 Bari selang keper.ayaan E"F untuk selisih rata-rata kadar orto)os)or sesungguhnya pada kedua stasion terse&ut, anggap &ahwa pengamatan &erasal dari populasi normal dengan /arians yang &er&eda
Pendugaan inter/al &eda dua proporsi #P1
;
P$;
<6% 0s#p1 ; p$>
p1;
p>
#P1;
P $@
<6% 0s#p1 ; p$ dengan S p1;p -s p1#1;
p1$ n1@
p#1;
p$ nAyundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" % 3!
Bontoh
Suatu peru&ahan dalam .ara pem&uatan suku .adang sedang
diren.anakan0 Sampel diam&il dari .ara lama maupun yang &aru untuk melihat apakah .ara &aru terse&ut mem&erikan per&aiikan0 Nila H" dari 1"!! suku .adang yang &erasal dari .ara lama ternyata .a.at0 4an ! dari !!! yang &erasal dari .ara &aru ternyata .a.at0 Barilah selang
keper.ayaan E! F untuk selisih sesungguhnya proporsi yang &aik dalam kedua .ara terse&utG
(stimasi arians Populas
iSangat diperlukan untuk mengetahui se+auh mana se&aran nilai parameter sehingga dapat di+adikan untuk mengam&il
langkah-langkah dalam mengendalikannya
Misalnya' yang &erkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan agar &ukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu persyaratan tetapi +uga konsistensi dari nilai terse&ut harus &isa
Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" % 3!
(stimasi arians Populas
i(stimasi inter/al /arians populasi &er&entuk'
k eterangan'
T
#n;
1$s 6%Q/>
9>
#n;
1$s T
7T
1;6%Q/
6%Q/
-
5ilai kritis yang tergantung tingkat keper.ayaan dan dera+atke&e&asan /
6
-
1 - tingkat k eper.ayaan /-
dera+at ke&e&asan-
n - 1Bontoh
Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan diran.ang untuk &ek er+a mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata se&anyak " kg0 Suatu
pemeriksaan terhadap 1" kotak menun+ukkan &ahwa de/iasi standard pengisian gandum itu adalah !,!E kg0 (stimasikan de/iasi standard populasi dg tingkat keper.ayaan E" F
Latihan Soal
10 4ua +enis tam&ang ingin di&andingkan kekuatannya0 Untuk itu, "! potong tam&ang dr setiap +enis diu+i dlm kondisi yg sama0 2enis A
memiliki kekuatan rata-rata H, kg dgn simpangan &aku ,3 kg, sedangkan +enis N memiliki kekuatan rata-rata H,3 kg dgn
simpangan &aku ", kg0 Nuatlah pendugaan inter/al &eda dua rata-rata dgn inter/al keyakinan E F
0 Suatu sampel random se&anyak 3!! org dewasa dan !! rema+a yg pernah menyaksikan se&uah a.ara di CBI diketahui &ahwa 1" org
dewasa dan "! rema+a menyatakan suka pd a.ara ts&0 Nerapa &eda proporsi dr seluruh org dewasa dan rema+a yg menyukai a.ara ts& &l