Course 5 Pendugaanparameter

Pendugaan

Pendugaan

P

P

a

a

rameter 

rameter 

Ayundyah

Ayundyah KesKesumumaawwatiati

Prodi

Prodi StatistikaStatistika FMIPFMIPA-UIA-UIII

April 13,

P

P

endugaan

endugaan

1

1 Proses yang menggunakan sampel statistik untuk mendugaProses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga % % 

menaksir

menaksir hu&ungan parameter hu&ungan parameter populasi populasi yg yg tidaktidak dik dik etahuietahui



 Penduga ' suatu statistik yg digunakan untuk mendugaPenduga ' suatu statistik yg digunakan untuk menduga suatusuatu

 param

 parameter eter 

3

3 (stimasi' Pengukuran terhadap nilai parameternya #populasi$(stimasi' Pengukuran terhadap nilai parameternya #populasi$ dadariri

data sampel yang

Ayundyah #UII$

Ayundyah #UII$ Pendugaan ParameterPendugaan Parameter April April 13, 13, !1" !1"  %% _3!3!

Si)at-si)at

Si)at-si)at

P

P

enduga

enduga

1

1 * merupakan* merupakan p pendugaenduga tak tak &ias dari &ias dari * * +ika+ika (#(#**,,

$-

$-

**



 **,, merupakanmerupakan p penduga enduga konsistenkonsisten  &agi  &agi * * apa&ila apa&ila nilainilai **,,

.enderung

.enderung mendekati mendekati nilai nilai parameter parameter * untuk * untuk n yang semakin n yang semakin &esar&esar mendek 

mendek atiati taktak terhinggaterhingga

3

3 **,, merupakan penduga yang e)isien &agi * +ika pendugamerupakan penduga yang e)isien &agi * +ika penduga **,,

memiliki

memiliki /arians tau /arians tau standar standar de/iasi de/iasi yang le&ih yang le&ih ke.il ke.il di&andingkandi&andingkan dengan

dengan penduga  penduga lainnya0lainnya0



 **,, merupakanmerupakan p pendugaenduga yang yang .ukup .ukup &agi &agi * * apa&ilaapa&ila **,,

men.akup

men.akup seluruh seluruh in)ormasi in)ormasi tentang tentang * yang * yang terkandung terkandung didi dalam

Ayundyah #UII$

Ayundyah #UII$ Pendugaan ParameterPendugaan Parameter April April 13, 13, !1" !1" 33 %% _3!3!

2enis-+enis pendugaan &erdasarkan .ara

2enis-+enis pendugaan &erdasarkan .ara

 p

 p

eny

eny

a+ianny

a+ianny

a

a

1

1 Pendugaan itik Pendugaan yg hanya mempunyai atauPendugaan itik Pendugaan yg hanya mempunyai atau menymenye&utkane&utkan

satu

satu nilai0 idnilai0 idak mem&erikan sak mem&erikan selisih elisih atau atau +arak antara +arak antara nilainilai pend pendugauga dengan nilai se&enarnya

dengan nilai se&enarnya #pa#parameter$rameter$



 Pendugaan Inter/al Pendugaan Inter/al Pendugaan Pendugaan yg yg memp dua nilai memp dua nilai s&gs&g p pem&atasan%em&atasan%

daerah

daerah p pem&atasanem&atasan

4igunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai 4igunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai se&enarnya%parameternya

se&enarnya%parameternya akanakan & &erada0erada0  5ilai #1-6$

 5ilai #1-6$ dise&ut dise&ut koe)isienkoe)isien k k epeper.aer.ayyaaanan Selang

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1"  % _3!

2enis-+enis pendugaan &erdasarkan  pa

rameterny

a

1 Pendugaan rata-rata  Pendugaan proporsi 3 Pendugaan /arians

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" " % _3!

Pendugaan inter/al untuk

rata-rata

1 Untuk sampel &esar #n 8 3!$

a0 Utk populasi tdk ter&atas%  populasi ter&atas yg pengam&ilan sampelnya dgn pengem&alian dan 9 dik etahui

9 9 :

;

< 6 0 = n

>

?

>

:

@

< 6 0 = n #1$  

Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan inter/al nilai rata-rata sampel yang dapat memuat parameter rata-rata populasi, +ika dipakai distri&usi pro&a&ilitas normal, .on)eden.e inter/al untuk rata-rata

Sehingga didapat dua &atas k eper.ayaan *,

-

7

;

< 6 ₀ 9 _{dan *},

-

₇

@

_< 6₀ 9 #$ _ = n  = n

Bontoh' Cata-rata IP sampel a.ak 3 mahasiswa tingkat S-1 adalah ,A0 Ditung selang keper.ayaan E" F dan EE F untuk rata-rata IP semua

mahasiswa S-1G Anggap &ahwa standar de/iasi populasinya !,30

 &0 Untuk populasi ter&atas, pengam&ilan sampel tanpa  pengem&alian dan 9 dik etahui 9 r   5

;

n 9 r   5

;

n :

;

<_6% = n 0

>

?

>

:

@

<6%_

= 0

 5

;

1 n #3$  5

;

1

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1"  % _3!

0 Untuk sampel ke.il #n J 3!$

s s :

;

t

6 0 = n

>

?

>

:

@

t

6 0 = n #$   dengan s i -1 :i s

-n

;

1

;

Kn

#n :i$

n#n ; 1$

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" E % _3!

Latihan Soal

1 Se&uah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata waktu yang

diperlukan oleh se&uah mesin yang digunakan untuk memproduksi

satu  +enis kain0 4iam&il se.ara a.ak 3 pis kain, waktu rata-rata yang diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 1" menit0 2ik a

diasumsikan standar de/iasi populasi 3 menit, tentukan estimasi

inter/al rata-rata dengan tingkat .on)iden.e #tingkat keper.ayaan$ E" F 

 Lima karyawan P (LII dipilih se.ara a.ak, kemudian diukur 

 &eratnya0 4atanya adalah , H, H!, " dan ! kg0 Nuatlah  pendugaan inter/al rata-ratanya dgn tingkat keyakinan EEF 

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1! % _3!

Pendugaan Inter/al Untuk Proporsi

10 Untuk sampel &esar #n 8 3!$ a0 Untuk populasi tidak ter&atas

r   p #1

;

 p$ r   p #1

;

 p$  p

;

<6%_

>

P

>

 p

@

<6%_ n #"$ n

 &0 Untuk populasi ter&atas dan pengam&ilan sampel tanpa  pengem&alian

r   p #1

;

 p $ r   5

;

n  p

;

<6%_ n

>

P

>

 p

@

<6%_  5

;

1 n  5

;

1 #A$

0 Untuk sampel ke.il #n J 3!$ r   p #1

;

 p$ r   p #1

;

 p$  p

;

t

6%_

>

P

>

 p

@

t

6%_ n #H$ n

Latihan Soal

10 Se&uah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase &arang rusak0 Untuk keperluan terse&ut, diam&il ! &uah &arang yang ada dalam  peti dan diperoleh E &uah rusak0 4ugalah persentase &arang yang

rusak0 4igunakan inter/al keyakinan EE 0

0 Se&uah Sampel se&anyak " &uah apel,  diantaranya apel kualitas rusak0 4engan inter/al keyakinan E"F, tentukan proporsi apel yang rusak 

30 Se&uah perusahaan memproduksi &aut, menggunakan mesin otomatis dengan diameter menye&ar mengikuti distri&usi normal yang standar de/iasinya #populasi$ !,! milimeter0 4iam&il sampel a.ak empat  &uah  &aut untuk suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata diameternya

se&esar ,Emm0 Nuatlah selang keper.ayaan dengan tingk a

t

keper.ayaan E persen &agi rata-rata  &au

t

0

0 Lima karyawan P (LII dipilih se.ara a.ak, kemudian diukur   &eratnya0 4atanya adalah , H, H!, " dan ! kg0 Nuatlah

 pendugaan inter/al rata-ratanya dgn tingkat keyakinan EE F

"0 4ari sampel random !! orang yg makan siang di restoran 5IKMA selama &e&erapa hari Sa&tu, diperoleh data 1" org yg menyukai

makanan tradisional0 entukan pendugaan inter/al &agi proporsi se&enarnya, orang yg menyukai makanan tradisional utk mak an

siangnya pd hari Sa&tu di restoran terse&ut dgn menggunakan inter/al keyakinan E F

Pendugaan Parameter 4ua P

opulasi

4alam materi ini akan di&ahas metode in)erensi #pendugaan$ statistik  untuk mem&andingkan dua perlakuan atau dua populasi &erdasark an sampel-sampel yang independen0

Nila ada  populasi masing-masing dengan rata-rata ?₁ dan ?_ , /arians 9

dan 9, maka estimasi dari selisih ?1 dan ? adalah 7 1 dan 7 , sehingga

#7 ₁

;

7 _$

;

#?₁

;

?_ $ <

-

s 9 9

@

1  1 

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1" % _3!

Pendugaan Inter/al Neda 4ua

Cata-Ca

ta

10 Untuk sampel &esar dan 9 dan 9 dik etahui

: ₁

;

: _

;

< 6 09 : 1 1;:   

>

#?₁

;

?_ $

>

: ₁

;

: _

@

< 6 09 : 1;:  dengan s  1 9 9_: 1;: 

-@

n₁ n_  9 

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1 % _3!

Bontoh Soal

4iketahui nilai u+ian kimia yang di&erikan pada "! siswa putri dan H" siswa  putra mempunyai rata-rata se.ara &erurutan adalah H dan 0 Bari selang

keper.ayaan E F untuk selisih ?₁-?_0 Anggap standar de/iasi populasi untuk masing-masing putri dan putra adalah  dan 

Misal '

: ₁

-

 adalah nilai siswa putra, n₁H" dan 9₁-A : ₁

-

H adalah nilai siswa putri, n₁ "! dan 9₁-I

6

-

!, ! O _!,!

-

, !"0 Sehingga Selang keper.ayaan E F &agi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa putri adalah

: ₁

;

: _

;

< 6 09 : 1;: 

>

#?1

;

?$

>

: 1

;

: 

@

< 6 09_: 1;:  r    r    # H$ #, !"$  

@

>

#? ? $

>

# H$

@

#, !"$ "! H"

@

H" "! sehingga diperoleh 0000

>

#?₁

;

?_$ > 0000

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1" 1 % _3!

Interpretasi

10 4apat diper.aya E F &ahwa selisih rata-rata nilai u+ian kimia semua siswa putra dengan siswa putri &erkisar antara 3,3 hingga ,"H0

0 4engan tingkat signi)ikansi  F, rata-rata nilai u+ian kimia semua siswa putra le&ih tinggi antara 303 hingga 0"H dari nilai u+ian kimia semua siswa putri0

0 Untuk sampel ke.il, 9₁ dan 9_ tidak diketahui, selang k eper.ayaan #1-6$ 1!!F untuk ?₁

;

?_ : ₁

;

: _

;

t

6 0s : 1;: 

>

#?1

;

? $

>

: 1

;

: 

@

t

6 0s_: 1;:  dengan s _s #n₁

;

1$s 

@

#n_

;

1$s  1 1  

1  0 n₁

@

n_

;



@

n₁ n_ dan :  s  #:₁ $  1

-1

;

1

;

n₁ #n₁ 

;

1$  s  K: #K:_ $

-1 n n



;

1

;

n_ #n_ ; 1$

Bontoh

Suatu sampel random se&anyak 1 &uah, dari +enis produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan mempunyai &erat rata-rata 3011 gr dengan standar de/iasi !0HH1 gr0 Sedangkan sampel yang lain dari +enis produk yang

dihasilkan perusahaan lainnya &er+umlah 1" &uah dengan &erat r ata-rata 0! grdan standar de/iasi !00 4istri&usi &erat produk diasumsikan  &erdistri&usi normal, estimasilah per&edaan rata-rata terse&ut dengan

0 Selang keper.ayaan #1-6$1!! F untuk ?₁

;

?_ Q dimana 9

-

9, 9 dan 9 tidak dik etahui0

1  1 s s / s   / 6 6  n₁ n_   

@

 n₁ n_ dengan  1 1 @

S  S   @  /

-

n1 n1   1    n₁

@

n #n₁

;

1$ #n_ ; 1$

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1"  % _3!

1

S S

Soal Latihan

4alam se&uah penelitian kadar kimia-Rrto)os)or, a" sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 1 sampel diukur dari stasion 0 ke 1" sampel dari stasion 1 mempunyai rata-rata kadar orto)os)or 30 mg%l dan standar de/iasi 30!H mg%l, sedangkan 1 sampel dari stasion  mempunyai

rata-rata kadar 10E mg%l dengan standar de/iasi !0! mg%l0 Bari selang keper.ayaan E"F untuk selisih rata-rata kadar orto)os)or sesungguhnya  pada kedua stasion terse&ut, anggap &ahwa pengamatan &erasal dari  populasi normal dengan /arians yang &er&eda

Pendugaan inter/al &eda dua proporsi #P₁

;

P_$

;

<6%_ 0s_{#p1 ; p$}

>

 p₁

;

 p_

>

#P₁

;

P_ $

@

<6%_ 0s_{#p1 ; p$} dengan S p1;p

-s  p₁#1

;

 p₁$ n₁

@

 p#1

;

 p$ n_

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1"  % _3!

Bontoh

Suatu peru&ahan dalam .ara pem&uatan suku .adang sedang

diren.anakan0 Sampel diam&il dari .ara lama maupun yang &aru untuk melihat apakah .ara &aru terse&ut mem&erikan per&aiikan0 Nila H" dari 1"!! suku .adang yang &erasal dari .ara lama ternyata .a.at0 4an ! dari !!! yang &erasal dari .ara &aru ternyata .a.at0 Barilah selang

keper.ayaan E! F untuk selisih sesungguhnya proporsi yang &aik dalam kedua .ara terse&utG

(stimasi arians Populas

i

Sangat diperlukan untuk mengetahui se+auh mana se&aran nilai  parameter sehingga dapat di+adikan untuk mengam&il

langkah-langkah dalam mengendalikannya

Misalnya' yang &erkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan agar &ukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu  persyaratan tetapi +uga konsistensi dari nilai terse&ut harus &isa

Ayundyah #UII$ Pendugaan Parameter April 13, !1"  % _3!

(stimasi arians Populas

i

(stimasi inter/al /arians populasi &er&entuk'

k eterangan'

T 

 #n

;

1$s   6%_Q/

>

9

>

#n

;

1$s 

T 

7

T 



1;6%Q/

6%_Q/

-

 5ilai kritis yang tergantung tingkat keper.ayaan dan dera+at

ke&e&asan /

6

-

1 - tingkat k eper.ayaan /

-

dera+at ke&e&asan

-

n - 1

Bontoh

Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan diran.ang untuk  &ek er+a mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata se&anyak " kg0 Suatu

 pemeriksaan terhadap 1" kotak menun+ukkan &ahwa de/iasi standard  pengisian gandum itu adalah !,!E kg0 (stimasikan de/iasi standard  populasi dg tingkat keper.ayaan E" F

Latihan Soal

10 4ua +enis tam&ang ingin di&andingkan kekuatannya0 Untuk itu, "!  potong tam&ang dr setiap +enis diu+i dlm kondisi yg sama0 2enis A

memiliki kekuatan rata-rata H, kg dgn simpangan &aku ,3 kg, sedangkan +enis N memiliki kekuatan rata-rata H,3 kg dgn

simpangan &aku ", kg0 Nuatlah pendugaan inter/al &eda dua rata-rata dgn inter/al keyakinan E F

0 Suatu sampel random se&anyak 3!! org dewasa dan !! rema+a yg  pernah menyaksikan se&uah a.ara di CBI diketahui &ahwa 1" org

dewasa dan "! rema+a menyatakan suka pd a.ara ts&0 Nerapa &eda  proporsi dr seluruh org dewasa dan rema+a yg menyukai a.ara ts& &l