Turunan Trigonometri Fungsi Sin, Cos, Tan (Bahan Presentasi) Matematika Peminatan Kelas XII

(1)

asm

fungsi sin, cos, dan tan

(2)

(3)

Bukti

Buktikan d

kan deng

engan m

an meng

enggun

gunakan li

akan limit

mit, bah

, bahwa

wa ::



JJiik

ka

a ff((x

x)

) =

= ssiin

n x

x m

ma

ak

ka

a f’(x)

f’(x) =

= c

co

oss x

x



JJiik

ka

a ff((x

x)

) =

= c

co

oss x

x m

ma

ak

ka

a f’(x)

f’(x) =

= --ssiin

n x

x



(4)

(5)

Pada dasarnya turunan merupakan limit suatu Pada dasarnya turunan merupakan limit suatu fungsi. Jadi, untuk menentukan turunan fungsi fungsi. Jadi, untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dapat dicari

trigonometri dapat dicari dengan menggunakandengan menggunakan kon

(6)

(7)

1)

1) TTententukan dahulu f(xukan dahulu f(x+h), +h), kemudian kemudian tuliskan tuliskan f(x)f(x) di bawahnya. Terakhir, kurangkan kedua

di bawahnya. Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut untuk

persamaan tersebut untuk mendapatkanmendapatkan f(x+h)-f(x).

f(x+h)-f(x). f(

f(x+x+h)h)=s=sinin(x(x+h+h)) = = sisin x n x cocos s h + h + cocos x s x sisinn hh

--ff((xx)) = = ssiinn xx f(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x) f(x+h)-f(x)

= sin x cos h + cos x sin h

= sin x cos h + cos x sin h –– sinxsinx = sin x cos h

= sin x cos h –– sisinx nx + c+ coos x ss x sinin hh =

(8)

(9)

2) 2) MenghitungMenghitung f’(x)f’(x)

f’(x)

=

l

i

m

h h 00

=

l

i

m

h h 00

=

l

i

m

h h 00

(10)

(11)

Kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung Kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur

unsur hh _{dari limit, yaitu sin}_{dari limit, yaitu sin} x x _{dan cos}_{dan cos} x. x.

f’(x)

f’(x) = -sin= -sin x. x. _l_l_i_i_m_m ₊₊ _c_c_o_o_s_s x. x. _lim_lim h h 00 hh 00 d daann lliimm h h 00 Ol Oleh eh kakarerenana lilimm h h 00 Maka,

Maka, f’(x)f’(x) = -sin x (0) + cos x (1)= -sin x (0) + cos x (1)

f’(x)

f’(x) = = 00 + + ccooss xx

f’(x)

(12)

(13)

Cara ke-2

Mencari T

urunan sin

)) Terbukti Terbukti (( x x cos cos h) h) cos(x cos(x Limit Limit h).1 h).1 cos(x cos(x Limit Limit h h h h sin sin Limit Limit h). h). cos(x cos(x Limit Limit h h h h h)sin h)sin cos(x cos(x Limit Limit h h h h 2 2 1 1 h)sin h)sin (2x (2x 2 2 1 1 2cos 2cos Limit Limit Sin Sinββ --Sin Sinαα Rms) Rms) (Gunkn (Gunkn h h sin x sin x h) h) sin(x sin(x Limit Limit h h f(x) f(x) --h) h) f(x f(x Limit Limit (x) (x) '' f f :: BUKTI BUKTI x x cos cos (x) (x) y' y' maka maka sin x, sin x, y y Jika Jika sin x sin x F(x) F(x) 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 h h 0 0 h h 0 0 h h                                                     x x

(14)

(15)

1.

1. TTentukan entukan dadahuhulu f(xlu f(x+h+h), ), kemukemudiadian tuln tulisiskan f(xkan f(x) ) didi

ba

bawahwahnya. Tnya. Teraerakhirkhir, , kukuranrangkagkan n kedkedua ua perpersamsamaanaan ter

tersebsebut uut untntuk uk menmendapdapatkatkan an f(xf(x+h)+h)-f-f(x(x).).

f(x+h)=cos(x+

f(x+h)=cos(x+h) = cos x h) = cos x cos hcos h –– ssiin x n x ssiinn hh

f

f((xx)) == ccooss xx -

-f

f((xx++hh))--ff((xx)) == ccoos s x x ccoos s hh –– sin x sin hsin x sin h –– ccooss xx

f

f((xx++hh))--ff((xx)) == ccoos s x x ccoos s hh –– cos xcos x ––sisin n x x ssiinn hh

f

(16)

(17)

2) 2) MenghitungMenghitung f’(x)f’(x)

f’(x)

f’(x) =

= lliim

m

h h 00

=

l

i

m

h h 00

=

l

i

m

h h 00

(18)

(19)

Kemudian,keluarkan faktor yang tidak mengandung Kemudian,keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur

unsur hh _{dari limit,yaitu cos}_{dari limit,yaitu cos} x x _{dan sin}_{dan sin} x. x.

f’(x) f’(x) = -= -ccos os x.x. lilimm h h 00 -- ssiin n xx.. lliimm h h 00 O Olleeh h kkaarreennaa lliimm ddaann lliimm h h 00 hh 00 Maka,

Maka, f’(x)f’(x) = -cos x (0)= -cos x (0) –– sin x (1)sin x (1)

f’(x)

f’(x) = = 00 -- ssiin n xx

f’(x)

(20)

(21)

Cara ke-2

Mencari T

urunan cos

)) Terbukti Terbukti (( sinx sinx h) h) sin(x sin(x --Limit Limit h).1 h).1 sin(x sin(x --Limit Limit h h h h sin sin Limit Limit h). h). sin(x sin(x --Limit Limit h h h h h)sin h)sin sin(x sin(x --Limit Limit x x h h h h 2 2 1 1 h)sin h)sin (2x (2x 2 2 1 1 2sin 2sin --Limit Limit Cos Cosββ --Cos Cosαα Rms) Rms) (Gunkn (Gunkn h h Cosx Cosx h) h) Cos(x Cos(x Limit Limit h h f(x) f(x) --h) h) f(x f(x Limit Limit (x) (x) '' f f :: BUKTI BUKTI sin x sin x --(x) (x) y' y' maka maka x, x, cos cos y y Jika Jika x x cos cos F(x) F(x) 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 h h 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 h h 0 0 h h 0 0 h h                                                        

(22)

(23)

• • Jika,Jika, ( () ) = =     ⇒ ⇒ ’() ’() = =  2 2   •

• Pembuktian turunan fungsi tangen dapat Pembuktian turunan fungsi tangen dapat menggunakanmenggunakan rumusrumus turunan fungsi hasil bagi

turunan fungsi hasil bagi,, Maka;Maka; ( () ) = =     ==    

    • • Misal,Misal,  =   ⇒ ’ =   =   ⇒ ’ =   • •   = =     ⇒ ⇒ ’ ’ = =     • • ’() = ’() =  ′′..−−  ..′′   • • ’() = ’() =   .   . −   −  (− (− ))   • • ’() = ’() =   + +   • • ’() = ’() = 1 1   • • ’  ’  = = sseecc22  TERBUKTITERBUKTI

(24)

(25)

Cara ke-2 Mencari Turunan tan

Misal

Misal     = = tantan  

    ℎ  ℎ = = tan tan    ℎ  ℎ ,, ingat rumusingat rumus ttaan  n      ==   ± ± 

1∓    1∓   

Agar nilai penyebut

(26)

(27)

′

′(())

= lim = lim

ℎℎ→→

00

 ((

+ +

ℎℎ))− − 

((



))

ℎℎ

′

′(())

= lim = lim

ℎℎ→→

00 tan

tan

((

+ +

ℎℎ))−−

tan tan



ℎℎ

′

′(())

= lim = lim

ℎℎ→→

00

tan

 − − ))

(( 

(1 + tan(1 + tan

 

.tan.tan



))

ℎℎ

′

′(())

= lim = lim

ℎℎ→→

00

(tan

((



+ +

ℎℎ

))

− − ))

.. (1 + (1 + tantan((



+ +

ℎℎ

)tan)tan



))

ℎℎ

′

′(())

= lim = lim

ℎℎ→→

00

(tan

((  − − 

) +) +

ℎℎ))

.. (1 + (1 + tantan((



+ +

ℎℎ

)tan)tan



))

ℎℎ

′

′(())

= lim = lim

ℎℎ→→

00

(tan

ℎℎ

).). (1 + (1 + tantan((



+ +

ℎℎ

)tan)tan



))

ℎℎ

 

′′

₍₍

_

_{) = lim}_{) = lim}

ℎℎ→→

00(1 + tan((1 + tan(



+ +

ℎℎ

)tan)tan



) + lim) + lim

ℎℎ→→

00



tan tan

ℎℎ

ℎℎ 

 

′′

_(())

₌_{= 1 + tan}_{1 + tan}22



(28)

(29)

Te

(30)

(31)

Tentukan turunan pertama

da

(32)

(33)

f’(x) f’(x) = = --ssiinn xx f(x) = 15 cos x f(x) = 15 cos x f’(x) f’(x) = 1= 15 (5 (-s-sinin x)x) f’(x) f’(x) = = --115 5 ssiinn xx

(34)

(35)

Tentukan turunan pertama

da

(36)

(37)

f(x) = 3 sin x + 4 cos x f(x) = 3 sin x + 4 cos x f’(x)

f’(x) = 3 (= 3 (cos cos x) + x) + 4 (-4 (-sinsin x)x) f’(x)

f’(x) = 3 cos x + (-4 sin x)= 3 cos x + (-4 sin x) f’(x)

(38)

(39)

Latihan

Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut: Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:

1. 1. f(x) = -6sinxf(x) = -6sinx 2. 2. f(x) = 3cosxf(x) = 3cosx 3. 3. f(x) = 5tanxf(x) = 5tanx 4.

4. f(x) = 4sinx – f(x) = 4sinx – 2cosx2cosx

5.

(40)

(41)

SOLUSINYA



 f(x)=f(x)=



 f(x) f(x) = = 4sinx4sinx – – 2cosx2cosx

f ‘ (x) = 4. dsinx

f ‘ (x) = 4. dsinx-2.dcosx-2.dcosx =4cosx+2sinx

=4cosx+2sinx



 f(x) f(x) = = 2sinxcos2sinxcosx x = = sin sin 2x2x

f ‘(x) = d2x.dsin2x f ‘(x) = d2x.dsin2x

=2cos2x =2cos2x

(42)

(43)

AKTIVITAS SISWA

4 4 --x x 4cos 4cos y y j. j. 4cos2x 4cos2x 2sinx 2sinx y y e. e. x x sin sin x x cos cos y y i. i. b) b) (ax (ax tan tan y y d. d. 1 1 2sin 2sin --y y h. h. ax ax tan tan y y c. c. sin sin --1 1 y y g. g. b) b) cos(ax cos(ax y y b. b. 4cos2x 4cos2x 3sin2x 3sin2x y y f. f. b) b) (ax (ax sin sin y y a. a. :: berikut berikut fungsi fungsi --Fungsi Fungsi Turunan Turunan Tentukan Tentukan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                   x x x x

(44)