Turunan Fungsi Trigonometri Turunan ting

Fakultas Program Studi TatapMuka Kode MK DisusunOleh

Teknik Teknik Sipil 90016 Reza Ferial Ashadi, ST, MT

Abstract

Kompetensi

Modul ini membahas mengenai turunan fungsi trigonometri dengan inversnya, yang dinamakan siklometri, turunan fungsi ke-n atau disebut juga turunan tingkat tinggi yaitu turunan kedua, ketiga, keempat dan seterusnya, serta membahas juga mengenai turunan fungsi balikan atau invers dan membahas turunan fungsi lainnya seperti turunan logaritma natural, turunan fungsi nilai euler dan lainnya.

Diharapkan setelah membaca modul ini mahasiswa dapat :

1. Memahami turunan fungsi trigonometri dan inversnya 2. Memahamai bagaimana

mencari turunan fungsi ke-n 3. Memahami turunan fungsi

invers

1. TURUNAN FUNGS

Berikut ini beberapa rumus tur

sin

cos

tan

2. TURUNAN FUNGS

Turunan fungsi invers trigonom

arcsin

√

arccos 1 √1 tan

GSI TRIGONOMETRI

turunan fungsi Trigonometri

cos

cot csc

sin sec sec

sec

csc csc cot

GSI INVERS TRIGONOMETRI

ometri disebut juga turunan fungsi siklometri

1

√1 arccot ₁ 1

arcsec 1

| |√

1

1 arccsc 1

| |√ cot

1

CONTOH SOAL

Carilah turunan dari

1. f(x) = 3 sin x – 2 co

2. f(x) = tan x

3. f(x) = 3 sin 2x

4. f(x) = _!"

5. f(x) = sin3 (4x)

Penyelesaian :

1. D(3 sin x – 2 cos x)

2. D(tan x) = D

#

$%&

'($

)

cos * sin

3. D(3 sin 2x) = D(6 s

= 6 D(sin x cos x)

= 6[sin x D(cos x) +

= 6 [(sin x)(- sin x)

= 6 [cos2 x – sin2x]

= 6 cos 2x

4.

* #

'($

$%&

)

$%&

+,

cos x

x) = 3 D(sin x) – 2 D(cos x) = 3 cos x + 2 sin

)

sin sin * cos

-+ cos -+-+ sin sin

1

-+ +.

6 sin x cos x)

x) + cos x D(sin x)]

x) + (cos x)(cos x)]

x]

$%& / '($ 0 '($ / $%&

!"1

sin sin 1 cos cos

+, cos -+

+, +, +,-+ cos

1 cos

1 -+ 1 cos1 cos1 cos

5. Dx(sin3 (4x))

Misalkan :

v = 4x dan u = sin v da

= 3u2 . cos v. 4

= 3 sin2 (4x) . cos (4x) . 4

= 12 sin2 (4x) cos (4x)

3.

TURUNAN TING

Operasi pendiferensialan men

baru f’. jika f’ sekarang ki

dinyatakan oleh f” (dibaca “

gilirannya ia boleh diturunka

turunan ketiga, dan seterusn

Sebagai contoh, andaikan

maka

Karena turunan dari fungsi n

akan nol.

1 1 cos

dan y = u3

2 2

3 . 35 . 5

) . 4

INGKAT TINGGI

engambil sebuah fungsi f dan menghasilkan

kita diferensialkan, kita masih menghasilk

“f dua aksen”) dan disebut turunan kedu

kan lagi, dengan demikian menghasilkan f’’

snya.

6 2 8 _{4 7 8}

6′ 6 8 7

6′′ 12 8

6′′′ 12

6′′′′ 0

i nol adalah nol, maka semua turunan tingka

an sebuah fungsi

ilkan fungsi lain,

dua dari f. Pada

f’’’, yang disebut

Kita telah memperkenlakan

turunan pertama) dari y = f(x

Masing-masing disebut, cara p

Terdapat sebuah variasi dari c

pakai juga. Semua cara pen

seerti diperlihatkan dalam bag

yang walaupun ruwet – keliha

wajar dari pada menuliskan

Derivatif Penulisa f’

Pertama f’(x)

Kedua f’’(x)

Ketiga f’’’(x)

Keempat f’’’’(x)

Kelima f(5)(x)

Keenam f(6)(x)

. . . . . .

Ke-n f(n)(x)

n tiga cara penulisan untuk turunan (sekar

f(x). Mereka adalah :

f’(x) Dxy

?@ ?

ra penulisan aksen, cara penulisan d, dan cara

ri cara penulisan aksen – yakni, y’ – yang kad

enulisan ini mempunyai perluasan utnuk turu

agan dibawah ini. Khususnya perhatikan cara

lihatannya paling cocok untuk Leibniz. Yang,

? ?

#

?@

?

)

sebagai

?1_@

? 1

isan Penulisan

y’ Penulisan D

y’ DxY

y’’ * 2

y’’’ *82

y’’’’ *A2

y(5) *B2

y(6) *C2

. . . . . .

y(n) *"2

karang disebut juga

ra penulisan Leibniz.

adang kala akan kita

runan tingkat tinggi,

ra penulisan Leibniz,

g, menurutnya, lebih

CONTOH SOAL :

1. y = 6x3 + 12x2 + 5x

2. y = sin 2x , tentuk

Penyelesaian :

1. y = 6x3 + 12x2 + 5x

2. y = sin 2x

KECEPATAN DAN PERCEPA

Dalam modul-4 sebelumnya,

definisi turunan. Kita akan me

5x + 2 , tentukan ?

D_@

? D

tukan ?

E_@

? E

5x + 2

2

18 24 5

2 _{36 24}

8₂

8 36

2

2 cos 2

2

4 sin 2

8₂

8 8 cos 2

A₂

A 16 sin 2

PATAN

a, kita memakai pengertian kecepatan sesaa

mengkaji ulang pengertian ini dengan memak

aatuntuk memotivasi

Juga, sejak saat ini kita ak

kecepatan sesaat yang lebih t

CONTOH :

Sebuah benda bergerak se

s = 2t2 – 12t + 8, dengan s di

benda bilamana t = 1 dan t = 6

Penyelesaian:

Jika kita memakai lambang v(t

jadi,

Kecepatan 0 bilamana 4

4 12 > 0, atau pada saat t bawah ini.

Tentu saja, benda tersebut

Tetapi jalur kita memperlihatk

kecepatan negatif; benda ber

kecepatan nol, kemudian m

kecepatan negatif bersesuai

kecepatan positif bersesuaian

-10

t = 3, s = -10, v = 0

akan memakai kata tunggal kecepatan seb

h tidak praktis.

sepanjang garis koordinat sehingga posisi

diukur dalam sentimeter dan t dalam detik. Te

= 6. Kapan kecepatannya 0? kapan ia positif?

v(t) untuk kecepatan pada saat t, maka

5 + 4 12

5 1 4 1 12 8 H/ . ,J

5 6 4 6 12 12 H/ . ,J

12 0, yaitu, pada saat t = 3. Kecepatan t t > 3. Semua ini diperlihatkan secara skema

t bergerak sepanjang sumbu-s, bukan pada

atkan apa yang terjadi pada benda itu. Jika

bergerak ke kiri (mundur). Pada saat t = 3 ia

mulai bergerak ke kanan bila kecepatan

uaian dengan gerakan benda itu ke arah

an dengan gerakan benda itu ke arah bertamba

0

5

-5

t = 0, s = 8, v = t = 6, s = 8, v =

t = 1, s = -2, v = -8

sebagai ganti istilah

si s-nya memenuhi,

Tentukan kecepatan

tan positif bilamana

ma dalam gambar di

da jalur di atasnya.

ika t = 0 dan t = 3,

ia “diperlambat” ke

annya positif. Jadi,

ah berkurangnya s;

Terdapat perbedaan teknis a

kecepatan (velocity) mempun

positif atau negatif. Laju didef

atas, laju pada saat t = 1 adal

adalah pengukur laju (speedom

Sekarang kita ingin memberik

hanya turunan pertama dari

terhadap waktu, yang dinamak

Dalam kasus di atas, s = 2t2 –

ini berarti bahwa kecepatan b

setiap detik, yang kita tuliskan

4. TURUNAN FUNGS

Misalkan fungsi f kontinu d

dan inversnya adalah x =

f’(x) ≠ _{0 pada I, maka fung}

ditentukan oleh

K

0L

s antara perkataan kecepatan (velocity) den

punyai sebuah tanda yang dihubungkan den

efinisikan sebagai nilai mutlak kecepatan. Jad

dalah | 8| = 8 cm/detik. Pengukur dalam keba

dometer); ia selalu memberikan nilai-nilai tak-ne

rikan tafsiran fisik mengenai turunan kedua ?

?

ari kecepatan. Jadi, ia mengukur laju peru

akan percepatan. Jika dinyatakan oleh a, mak

5 2

– 12t + 8, jadi,

5 + 4 12

+ ₄

bertambah dengan suatu tingkat yang tetap s

an sebagai 4 cm/detik/detik atau 4 cm/detik2.

GSI INVERS

u dan satu-satu pada selang I = Df dengan atur

= f-1(y), y ∈ Rf. Jika fungsi f terdiferensialkan

ungsi f-1 juga terdiferensialkan pada Rf, dan at

L

N

O L

KP _Q

,

atau

RQ_RN RNL RQ

engan laju (speed).

engannya; mungkin

adi, dalam contoh di

banyakan kendaraan

negatif.

?1

?S1 . Tentu saja ini

erubahan kecepatan

aka

p sebesar 4 cm/detik

turan y = f(x), x ∈ I,

an pada I dengan

CONTOH SOAL :

1. Tentukan Turunan dari

6

0

bisa juga kita invers kan du

y = 7x, maka x = 1/7 y

sehingga

6

0

2

O ?

?@

2. Tentukan Turunan dari

Penyelesaian

2 2

8

5

,

_sehingga

?@

?

f

0

y

O

VP _W

,

atau

dimana

,

D

X

@0B

#

@0B

YW

YZ [\_[] C 1

C^#_`a₁ )b/Dc1

ari Invers fungsi

2 7

2 ₇

2

O

dP

,

atau

? _?@ e_

ef g

dulu fungsi nya baru setelah itu kita turunkan

?

?@ g

ari Invers fungsi

2 2 8 ₅

?@

?

6

YW

YZ [\_[] C 1

#

B

)

/8 sehingga

c1 C#_`a1 )

1/D _C

#

@0B

)

0 /8

5. TURUNAN FUNGS

GSI LAINNYA

y = f(x)

y = f(x)

y = f(x)

y = f(x)

RN

RQ

.

.

.

i( )

j

O

( ).

i( )

(ln )

ln

1

ln j( )

j

O

( )

j( )

log

m

SOAL QUIZ PERTEMUAN KE

Soal Essay

1. Tentukan turunan d

2. Jika f(x) = sin x cos

3. Tentukan turunan d

4. Sebuah titik berger

sehingga posisinya

di sini s diukur dala

(a) Kapan kecepata

(b) Kapan percepata

KE-6 (MODUL-6)

n dari y = x

2

sin x

os 3x, maka tentukan

f '

#

n

C

)

.

n dari invers fungsi y = 3x

5

– 7

erak sepanjang garis koordinat menda

ya pada saat t dinyatakan oleh

+

8

12

36

30

lam meter dan t dalam detik.

tan nya 0?

atannya positif?

1. ____. e-paper. https://e

2. ____. e-paper. http://b turunan-fungsi-trigonom

3. ____. e-paper. htt tinggi-dan-turunan-fung

4. ____. e-paper. http://w

5. Martono, Koko, Drs, M

6. Purcell, Edwin J dan V

Jakarta. Penerbit Erlan

://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_of_trigon ://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2015/04/

ometri.html

https://www.scribd.com/doc/263646665/makala ungsi-implisit

//www.math.ubc.ca/~feldman/m200/formulae.pd

M.Si. 1999. Kalkulus. ITB Bandung. Penerbit E

Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geome

langga.

onometric_functions

4/soal-dan-jawaban-

alah-turunan-tingkat-.pdf

it Erlangga.