TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

(1)

SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Soal 1

Jika

f ( x )  sin x  cos x  tan x

maka

f  ( 0 )  ....

Jawab:

Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri:

x y

x

y  sin    cos x y

x

y  cos     sin x y

x

y  tan    sec

²

Karena

f ( x )  sin x  cos x  tan x

maka

f  ( x )  cos x  sin x  sec

²

x 0 sec 0

sin 0 cos )

0 (   

²

 f 

0 cos 0 1

1  

2



2 .

1 0 1

1   



Oya, jangan lupa tabel nilai fungsi trigonometri ya…!

(2)

2 Soal 2

Jika

f ( x )  sin 2 x  4 cos x

maka

f  ( x )  ....

Jawab:

Perhatikan fungsi pada soal mengandung unsur

2x

dan

x

yang merupakan bentuk u = fungsi dari (x).

Ingat rumus:

u u y

u

y  sin    (cos )   u u y

u

y  cos     (sin )  

Karena

f ( x )  sin 2 x  4 cos x

maka

2 1 1 2

).

1

sin ( 4 2 ).

2 (cos )

(   

^

 x x x x

f

²

1 2

).

1

(sin 4 2 cos

2 

^

 x x x

₁

1

₂

) (sin 2 2 cos 2

x x x 



2 (sin )

2 cos

2 x

x  x



_.

Keterangan:

Karena ²

1

x

x 

maka turunan dari

x

adalah

x x

x 1

2 2 1 1 2 1 1 2 1 2

1 ^



^



_.

Perhatikan pada perkalian

(cos 2 x )  2

tidak bisa menjadi

(cos x 4 )

, juga perkalian

x 1 x )

(sin 

tidak bisa menjadi

sin 1 .

(3)

Soal 3

Diketahui

f ( x )  cot x  2 sec x  a cosec x

dan

( ) 2

4 1

 

f 

. Tentukan nilai a.

Jawab:

Perhatikan iklan pada kereta cepat berikut ini!

x y

x

y  cot     cosec

²

x x

y x

y  sec    tan  sec

x x

y x

y  cosec     cot  cosec

Dengan menggunakan rumus tersebut, maka

x a

x x

x

f ( )  cot  2 sec  cosec



f  ( x )   cosec

²

x  2 tan x sec x  a cot x cosec x

) ( cosec )

cot(

) sec(

) tan(

2 ) ( cosec )

(

4

1 4

2 1 4

1

         

 a

f

) sin(

1 )

tan(

1 )

cos(

) 1 tan(

2 ) ( sin 2 1

4 1 4

1 4

2 1

  

 

 



 a

Ingat



4

1 rad =

 180   45 

4

1 , sehingga persamaan menjadi:

  ¹ ² ² ¹ ⁽ ¹ ² ⁾ ¹ ¹ ⁽ ¹ ² ⁾

2

2 1 2

1 2

2 1









 a

2 2 2 4 2 1

2) (1

 a





 

 



  



 2

2 2 4

2 a

 

 



  

 2

2 4 4 a

a 2 4 2

4  



 4 2  4  2 a



a   2 2  2

.

(4)

Soal 4

Diketahui

f ( x )  5 sin( x

²

 2 x )

. Tentukan

f  (x )

_.

Jawab:

Gunakan formula:

f ( x )  a sin u  f  ( x )  a (cos u )  u 

Karena

f ( x )  5 sin( x

²

 2 x )

maka

f  ( x )  5 [cos( x

²

 2 x )]( 2 x  2 )

 ( 10 x  10 ) cos( x

²

 2 x )

 10 ( x  1 ) cos( x

²

 2 x )

.

Soal 5

Diketahui

f ( x )  cos 3 x

. Tentukan

( )

9 1

 f 

. Jawab:

Gunakan formula: f(x) Uⁿ  f(x) n.Uⁿ^¹.U

Karena ²

1

) 3 (cos 3

cos )

( x x x

f  

maka

(cos 3 ) ( sin 3 ) 3

2 ) 1

(

² ¹

1

  

 x  x

^

x

f

) 3 (sin )

3 2 (cos

3

¹₂

x

x 





^

x x 3 cos 2

3 sin

 3



_.

(Di atas kita gunakan turunan dari cos 3x adalah (–sin3x).3)

Sehingga

 

  ^ ^ ^ ^ ^ ^





 

60 cos 2

60 sin 3 3

cos 2

3 sin ) 3

(

9 1 9 1 9

f

1

6 2 6 2

3 3

4 3 2

3

2 1 2 1







 





_.

(5)

Soal 6

Diketahui

f ( x )  x

²

tan 2 x

. Tentukan

f  (x )

_.

Jawab:

Gunakan formula: f(x) U.V  f(x) UV UV

dengan

U  x

² dan

V  tan 2 x

. Jadi,

f ( x )  x

²

tan 2 x  U . V



f ( x )  U  V  U V 

 2 x tan 2 x  x

²

(sec

²

2 x ). 2

 2 x tan 2 x  2 x

²

sec

²

2 x

.

Soal 7

Diketahui

x x x

f 1 sin

6 ) cos

(  

. Tentukan

)

(  2 f 

_.

Jawab:

Gunakan formula: ( ) ( ) ₂

V V U V x U

V f x U

f   

 





dengan

U  cos 6 x

dan ²

1

) (sin 1

sin

1 x x

V    

.

Cari dulu

U 

dan

V 

:

x x

U   (sin 6 ). 6  6 sin 6

x x x

x x

x

V sin

) cos (cos )

(sin )

(cos )

(sin

2

2 1 1 2

1 1 2 1 2

1

 

 

^ ^

Maka ₂ ²

1

2

( 1 sin )

sin ). cos 6 (cos )

sin 1

)(

6 (sin 6 )

(

x

x x x

x x

V V U V x U

f 





 

 

 

Masukkan

   90 

x 2

_,

(6)

2

2 1

) 90 sin 1

(

90 sin

90 ). cos

540 (cos )

90 sin 1

)(

540 (sin 6 ) 90 ( 2 )

(  



 











 

 

 f

f

. 4 0

0 0 )

1 1 (

1 ). 0 1 ( ) 1 1 ( 0 6 2 )

(

2

2 1

 

 







  f 

Soal 8

Jelasin aku dong tentang titik maksimum global (mutlak), titik maksimum lokal (relatif), titik minimum global (mutlak), titik minimum lokal (relatif), titik ekstrim, titik

stasioner, titik singular, fungsi naik, fungsi turun, cekung ke atas, cekung ke bawah dan titik belok dari fungsi y = f (x) ! Maaf ya merepotkan…!

Jawab:

Titik maksimum global (atau disebut juga titik maksimum mutlak) dari grafik

) (x f

y 

adalah titik yang paling tinggi pada grafik tersebut. Tidak ada titik lain yang lebih tinggi dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada).

Nilai y dari titik maksimum global disebut nilai maksimum global.

Titik minimum global (atau disebut juga titik minimum mutlak) dari grafik

) (x f

y 

adalah titik yang paling rendah pada grafik tersebut. Tidak ada titik lain yang lebih rendah dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada).

Nilai y dari titik minimum global disebut nilai minimum global.

Titik maksimum lokal (atau disebut juga titik maksimum relatif) dari grafik

) (x f

y 

adalah titik yang paling tinggi pada bagian grafik di dekat titik tersebut, tetapi (mungkin) bukan paling tinggi pada semua bagian grafik.

Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal.

Titik minimum lokal (atau disebut juga titik minimum relatif) dari grafik

) (x f

y 

adalah titik yang paling rendah pada bagian grafik di dekat titik tersebut, tetapi (mungkin) bukan paling rendah pada semua bagian grafik.

Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal.

(7)

Perhatikan grafik

y  f (x )

pada (GAMBAR 1) di bawah ini!

Fungsi

y  f (x )

tersebut didefinisikan pada selang [2, 16] yaitu pada selang

16 2  x 

saja. Titik A dan D di sini merupakan titik-titik ujung grafik.

Titik A adalah titik maksimum global, titik yang paling tinggi pada grafik.

Titik B adalah titik minimum global, titik yang paling rendah pada grafik.

Titik C adalah titik maksimum lokal, titik yang paling tinggi di daerah sekitar titik C tersebut, namun kalah tinggi dengan titik A.

Titik D adalah titik minimum lokal, titik yang paling rendah di daerah sekitar titik D tersebut, namun kalah rendah dengan titik B.

Nilai maksimum globalnya adalah 14, nilai minimum globalnya 5.

Nilai maksimum lokalnya 10 (maksimum hanya “lokal” di daerah sekitar titik C) dan nilai minimum lokalnya 6 (minimum hanya “lokal” di daerah sekitar titik D)

CATATAN CUKUP PENTING!!

Jika suatu titik (misal titik P) adalah titik maksimum global, maka titik P juga bisa disebut titik maksimum lokal, karena titik P juga paling tinggi di daerah sekitar titik P tersebut.

Namun jika diketahui titik P adalah titik maksimum lokal, maka belum tentu titik P adalah titik maksimum global. Ada kemungkinan titik P adalah titik maksimum global, namun mungkin juga bukan.

Jadi, pada grafik di (GAMBAR 1), titik A adalah titik maksimum global, namun titik A juga bisa dikatakan titik maksimum lokal.

Begitu pula dengan titik minimum!!

(8)

Logikanya, mirip dengan TNI yang terdiri dari Angkatan Udara (AU), Angkatan Darat (AD), dan Angkatan Laut (AL). Kita anggap Angkatan Udara (AU) adalah anggota TNI yang khusus, yaitu yang bisa mengendarai pesawat terbang.

  ^



Aku adalah anggota AU

Berarti kamu termasuk anggota TNI juga dong..!

Aku adalah anggota TNI

Kamu belum tentu anggota AU ….!

(9)

Aku adalah titik maksimum global.

Berarti kamu juga titik maksimum lokal dong…!

Sebab di daerah lokal sekitar kamu, kamu juga paling tinggi…!

Aku adalah titik maksimum lokal.

Kamu belum tentu titik maksimum global.

(10)

Perhatikan grafik

y  f (x )

pada (GAMBAR 2) di bawah ini!

Fungsi f (x) di atas didefinisikan pada semua x bilangan real

   x  

dengan bagian grafik makin tinggi pada sisi kiri dan kanan. Titik G dan I terletak sejajar sama rendah.

Pada grafik ini, kita katakan:

Titik E adalah titik minimum lokal. Titik F adalah titik maksimum lokal.

Titik G dan titik I adalah dua titik minimum global, sebab tidak ada bagian grafik lainnya yang lebih rendah dari titik G dan titik I.

Titik H adalah titik maksimum lokal, bukan global, sebab ada bagian grafik yang lebih tinggi dari titik H, misalnya titik J dan K.

Grafik tidak memiliki titik maksimum global, sebab kedua sisi grafik kiri dan kanannya makin meninggi.

Titik Ekstrim adalah titik maksimum atau titik minimum. Jadi, titik maksimum maupun titik minimum termasuk titik ekstrim.

Titik Stasioner adalah titik yang garis singgung di titik tersebut mendatar. Dengan kata lain, titik stationer adalah titik yang berlaku

f  ( x )  0

.

Pada grafik di atas, titik B dan C adalah titik-titik stationer, tetapi A dan D bukan.

(11)

Titik Singular adalah titik dimana

f  (x )

nya tidak ada. Bisa berupa:

a) Titik dengan sudut tajam

b) Titik dengan garis singgung vertikal (asymptot) c) Titik lompatan

d) Titik yang di dekatnya fungsi bergetar(bergoyang) sangat hebat, seperti grafik fungsi

^f ⁽ ^x ⁾ ^ ^sin  

¹_x di x = 0.

Titik Kritis adalah titik yang merupakan salah satu dari:

1) Titik ujung 2) Titik stasioner 3) Titik singular

TEOREMA: Titik Ekstrim (Maksimum atau Minimum) terjadi pada titik kritis, yaitu salah satu dari titik ujung, titik stasioner, atau titik singular.

Perhatikan grafik pada (Gambar 3) berikut ini:

Pada grafik di samping, titik Q adalah titik ujung, titik R adalah titik singular (denga sudut tajam), titik S adalah titik singular (dengan

lompatan) dan titik T adalah titik ujung.

Titik maksimum global terjadi pada R dan titik minimum global terjadi pada Q.

Perhatikan pula grafik (GAMBAR 4) di bawah ini!

Pada grafik di samping, grafik didefinisikan pada selang

[ 0 ,  )

.

Titik O adalah titik ujung kiri. Titik ujung kanan tidak ada.

Titik U (titik di x = 4) adalah titik stasioner, juga merupakan titik maksimum lokal

Titik V (titik di x = 6) adalah titik minimum, juga merupakan titik minimum lokal

(12)

Titik di x = 7 adalah titik singular (dengan garis singgung vertikal (asymptot)).

Garis x = 7 merupakan garis asymptot yang semakin didekati grafik dari sebelah kiri maupun kanan, tapi tidak pernah disentuh.

Fungsi naik yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya naik.

Pada fungsi naik, berlaku:

f  ( x )  0

.

Fungsi turun yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya turun.

Pada fungsi turun, berlaku:

f  ( x )  0

.

Pada grafik fungsi yang bentuknya cekung ke atas, berlaku:

f  ( x )  0

. Sedangkan jika cekung ke bawah, berlaku:

f  ( x )  0

.

Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari cekung ke atas ke cekung ke bawah, atau sebaliknya. Pada titik belok berlaku:

f  ( x )  0

.

Perhatikan grafik pada (GAMBAR 5) berikut ini:

Pada grafik di atas, fungsi f (x) naik pada selang

1  x  8

, dan turun pada selang

1 4  

 x

juga

8  x  12 .

Cekung ke atas pada

 4  x  4

dan cekung ke bawah pada

4  x  12

. Titik belok berada pada x = 4.

Soal 9

Tentukan nilai maksimum dari fungsi:

x x

x

f ( )  1  2 3 sin  6 cos

untuk selang

0  x  2 

. Jawab:

Kita cari turunannya terlebih dahulu.

(13)

x x

x

f  ( )  0  2 3 cos  6 (  sin )  2 3 cos  6 sin

_.

Fungsi

f (x )

mencapai maksimum saat

f  ( x )  0

2 3 cos x  6 sin x  0

2 3 cos x  6 sin x

x x cos

sin 6

3 2 

tan x 3

3 

x  30 

atau

x  150 

(Cek tanda positif-negatifnya: Ambil x =0masukkan ke f ’(x), kita peroleh:

) (

0 3 2 0 3 2 0 sin 6 0 cos 3 2 ) 0

( positif

f      

Maka daerah paling kiri (yang memuat x = 0) bertanda positif. Untuk daerah lain tinggal disesuaikan)

Jadi, fungsi f (x) mencapai maksimum saat x = 30^o

.













 f(30 ) 1 2 3sin30 6cos30 f_maks

1 2 3 6 3

2 1 2

1  







3 4 1 3 3 3

1   

 .

CARA LAIN:

Soal ini dapat diselesaikan tanpa menggunakan turunan. Tapi menggunakan rumus trigonometri yang menawan berikut ini!

(14)

) cos(

cos

sin x  b x  k x   a

dengan

k  a

²

 b

² dan

b

 a



tan

_.

Karena

f ( x )  1  2 3 sin x  6 cos x

maka di sini

a  2 3

dan

b  6

. Sehingga

3 4 3 16 48

36 12 6

) 3 2

(

² ²

2

        

 a b k

Jadi,

f ( x )  1  2 3 sin x  6 cos x  1  4 3 cos( x   )

Fungsi

f (x )

mencapai maksimum jika

cos( x   )  1

. Jadi, f_maks 14 3.

Soal 10

Tentukan persamaan garis singgung kurva

y  2 sin( x   )

di titik berabsis ₃^.

Jawab:

Kita gunakan teorema berikut:

Teorema

Misalkan garis singgung kurva y = f (x) di titik (x1, y1) adalah y = mx + c.

Maka berlaku:

( )

di 1 x

x

f

m  

_

Eh kawan, rumusnya

menawan nggak sih? Hhmmmm…..

(15)

Pada soal, kurvanya

y  f ( x )  2 sin( x   )

dan

x

₁



₃^_.

Gradien garis singgungnya adalah:

di 3

)

(

__

  x

x

f m

di 3

) cos(

2  

__

 x

x

1 2

240 cos 2 ) 180 cos(

2 ) cos(

2

1 3

4 3

4

3

           



^

Maka persamaan garis singgungnya berbentuk:

c x y  1  

c mx

y  

y  x  c

………(*)

Karena

x

₁



^₃_maka

2 sin( ) 2 sin( ) 2 sin( )

3 4 1 3

1

 x   

^

   

y

2 sin( 240 ) 2 3 3

2

1











Masukkan nilai

( , ) ( , 3 )

1 3

1

y 



x

ke persamaan (*) untuk mendapatkan nilai c.

 c



^

3

3 

^3



 c

Jadi, persamaan garis singgungnya:

y  x  c

3 

^3



 x

y

_.

Soal 11

Untuk selang

   x  

, tentukan daerah dimana fungsi

f ( x )  sin

²

x

naik ! Jawab:

Ingat bahwa:



 (x )  0

f

fungsi f naik



 (x )  0

f

fungsi f turun



 (x )  0

f

fungsi f mencapai nilai stasioner

(16)

Karena fungsi f naik, maka

f  ( x )  0 0 ) (cos )

(sin

2 x

²^¹

x 

2 (sin x )(cos x )  0

sin 2 x  0

Untuk titik nol (titik batas),

0 2 sin x 

0 sin 2

sin x 





 0 . 2

2 x k

atau

2 x  (   0 )  k . 2 

x  k . 

   .  2 k x

k   1  x   

2 1   2      



 x

k

k  0  x  0

0  2





 x

k

k  1  x  

Buat garis bilangan:

Untuk mengisi tanda positif-negatifnya, cek saja daerah antara 0 dan /2.

Misal kita ambil x = /4.

Lalu kita masukkan ke fungsi

f  ( x )  sin 2 x

_.

) 1 0

sin( 2 4 )

2 sin(

4 )

(        

f 

(positif)

Jadi daerah antara 0 dan /2 tandanya positif. Untuk daerah lain tinggal disesuaikan (selang- seling positif-negatifnya)

(17)

Fungsi f naik pada daerah f ’ nya yang positif.

Jadi, fungsi f naik pada daerah

2  





 x

dan daerah

0  x   2

_.

Tambahan: Berikut adalah grafik

f ( x )  sin

²

x

.

Soal 12

Untuk selang [0, ] tentukan interval dimana fungsi

f ( x )  cos x

cekung ke bawah!

Jawab:

Teorinya pakai turunan kedua:

bawah ke

cekung 0

) (

atas ke cekung 0

) (

f x

f

f x

f



 



 

Karena

^f ⁽ ^x ⁾  ^cos ^x   ^cos ^x 

²¹ maka

^f  ⁽ ^x ⁾ 

₂¹

 ^cos ^x 

²¹^¹

⁽  ^sin ^x ⁾

 

V U x

x x

x    



^

2 1 2

1 2

1

)

(cos

2 ) sin

sin

(

cos

(18)

Dan turunan keduanya,

)

2

(

V V U V x U

f   

 

2

2 1

2 1 2

2 1 1

) (cos 2

) sin ( ) (cos 2

) sin ( ) (cos 2 cos

 





 













 



x

x x

x

x x x

x

cos 4

cos ) cos (sin

cos 2



2





x x

cos cos

4 sin cos

2

²



²

 

Untuk selang [0, /2] (yaitu

0  x 

2^) nilai cos x dan sin x selalu positif , sehingga

bentuk

( )

) (

) ( cos

cos 4

sin cos

) 2 (

2

 



 



 

 x x

x x x

f

, selalu negatif.

Dengan demikian, pada selang [0, /2], fungsi f selalu cekung ke bawah.

Jadi, jawabannya interval [0, /2] =

 ^x ⁰ ^ ^x ^

^₂

^, ^x ^ ^R 

^.

Tambahan: Berikut adalah sketsa grafik

f ( x )  cos x

.

x

y  cos

(19)

Soal 13

Tentukan koordinat titik ekstrim dari fungsi:

x x x

f 2 cos

) sin

(  

pada interval

0  x  2 

.

Gambarkan pula sketsa grafiknya!

Jawab:

Titik ekstrim adalah titik maksimum dan minimum. Pertama, kita cari turunannya dahulu:

V U x x x

f 

 

cos 2

) sin (

2

( 2 cos )

) sin )(

(sin )

cos 2

)(

) (cos (

x

x x

V V U V x U

f 



 

 

 

 

2 2

) cos 2

(

1 cos 2 )

cos 2

(

sin cos

cos 2

x x x

x x

x



 



 

(Ingat

cos

²

x  sin

²

x  1

) Untuk mencari titik ekstrim, kita cari titik stasionernya, yaitu saat:

0 ) ( 

 x f

0 )

cos 2

(

1 cos 2

2





 x x

0 1 cos

2 x  

2

cos x  

1

Nilai x pada interval

0  x  2 

yang nilai cos nya – ½ adalah:

x  120 

atau

x  240 





3

x

2 _atau

 

3

x

4 _. Buat garis bilangan:

(20)

Lalu tentukan tanda positif-negatif daerahnya. Misal kita ambil daerah yang

mengandung x = 0. Cek ke ₂

) cos 2

(

1 cos ) 2

(

x x x

f 

 



, kita peroleh

3 0 1 9 3 )

1 2 (

1 1 2 )

0 cos 2

(

1 0 cos ) 2

0 (

2 2

  



 



 

f 

(positif)

Jadi, daerah paling kiri positif ! Daerah lainnya disesuaikan (selang-seling positif negatifnya)

Dari bagan di atas, jelaslah titik maksimum tercapai saat

 

3

x

2 dan titik minimum

saat

 

3

x

4 _.

Untuk titik maksimum,

) ( 2

3 120

cos 2

120 sin cos

2 sin )

(

2 1 2 1

3 2 3 2 3

2



 





 





 





 f x f

_maks

3 3

3 1 2

3 2 1



_.

Untuk titik minimum,

) ( 2

3 240

cos 2

240 sin cos

2 ) sin (

2 1 2 1

3 4 3 4 3

min 4

 

 





 





 





 f x f

3 3

3 1 2

3 2 1



 



_.

Jadi, koordinat titik maksimumnya



₃²

^ ^,

¹₃

³ 

sedangkan titik minimumnya



₃⁴

^ ^, ^-

₃¹

³ 

^.

(21)

Sketsa grafiknya:

(Catatan: titik potong grafik dengan sumbu X (yakni yang berkaitan dengan nilai x = 0, , dan 2diperoleh dari persamaan y = 0  f (x) = 0)

Soal 14

Gambarlah sketsa grafik fungsi

x x x

f cos

sin ) 1

(  

_.

Jawab:

Untuk menentukan naik-turunnya fungsi, kita gunakan turunan pertama.

x x x

x x

x x x

f sec tan

cos sin cos

1 cos

sin ) 1

(      

_.

x x

f  ( )  tan  sec  sec

²



x x x

x

cos

2

1 cos

sin  



x x cos

2

1 ) (sin 



……….. (*)

Titik stasioner saat

f  ( x )  0

0 cos 1 ) (sin

2

  x x

3 3

1 3 3

1

(22)

(sin x )  1  0

sin x   1

sin x  sin 270 

x  270   k . 360 

atau

x   90   k . 360 

,....

810 , 450 , 90

,...

990 , 630 , 270

 

















 

x

(jarak terdekat 360^o)

Perhatikan persamaan(*). Asymptot (tegak) saat:

[penyebut

f  (x )

_{] = 0}

0 cos

²

x 

0 cos x 



 cos 90 cos x

x  90   k . 360 

atau

x   90   k . 360 

x...,630,270,90,450,... atau x...,450,90,270,630,...

Dihimpun, x90,270,450,630,... (jarak terdekat 180^o)

Bandingkan hasil

( )

dengan

( )

, ternyata semua nilai

( )

terkandung di dalam

( )

_.

Untuk menentukan apakah nilai pada

( )

ini titik stasioner atau asymptot, atau bukan, kita hitung langsung saja nilai

f  (x )

nya dengan mengambil limit. Sebagai contoh, untuk titik





 90

x

kita hitung:

) sin )(

(cos 2 lim cos cos

1 ) lim (sin

) ( lim

2 90 90

90

x x

x x f

x x

x

    



















2 1 ) 1 ( 2

1 sin

2 lim 1

90

 



 







x

x .

Hasilnya bukan 0 dan bukan pula



, maka bukan titik stasioner bukan pula asymptot.

Untuk nilai-nilai lainnya pada

( )

, kita dapatkan hasil yang sama. Bukan titik stasioner bukan pula asymptot.

( )

( )

Digunakan Teorema l’Hopital

(23)

Kesimpulan:

Asymptot saat

x  90  ,  270  , 450  ,  630  ,...

Titik stasioner tidak ada!

Gambar garis bilangan:

Garis putus-putus menunjukkan asymptot.

Karena turunan pertama berbentuk

x x x

f cos

2

1 ) ) (sin

(  



terlihat bahwa

f  (x )

selalu positif , dan tidak pernah negatif karena

cos

²

x

merupakan bilangan kuadrat sehingga selalu positif atau nol, dan

(sin x )  1

juga selalu positif atau nol karena nilai

x

sin

selalu berada di antara –1 dan 1.

Kemungkinan

f  ( x )  0

dihapus karena tidak ada titik stasioner. Nilai-nilai x pada

( )

menghasilkan

2 ) 1 ( 

 x

f

> 0 yang juga positif !

Sehingga pengisian tanda daerah selalu positif  fungsi f (x) selalu naik.

Untuk menggambar grafiknya, coba cari titik potong antara grafik dengan sumbu X,

(24)

yaitu saat

cos 0 sin ) 1

(  

 x

x x f



1  sin x  0

dengan syarat

cos x  0 1

sin x  



 sin 270 sin x

x  270   k . 360 

atau

x   90   k . 360 

,....

810 , 450 , 90

,...

990 , 630 , 270

 

















 

x

(&&)

Untuk semua nilai-nilai x ini, ternyata tidak memenuhi syarat

cos x  0

. Jadi, nilai-nilai x menunjukkan titik singular yang tidak terdefinisi (karena

menghasilkan nilai fungsi

0 ) 0 ( x 

f

_).

Namun kita bisa menghitung nilai limitnya. Contoh, untuk x = –90^o:

1 0 0 sin

lim cos cos

sin lim 1

) ( lim

90 90

90



 

 



   







x

x x

x x f

x x

x .

Untuk semua nilai x pada (&&) juga menghasilkan limit yang sama.

Jadi, nilai-nilai x pada (&&) merupakan titik potong grafik dengan sumbu X, dalam pengertian limit!

Kita simpulkan sketsa grafiknya adalah sebagai berikut:

(25)

Soal 15

Pada selang (–270^o, 90^o) tentukan kapan fungsi

x x x

f cos

sin ) 1

( 



cekung ke atas dan

kapan cekung ke bawah? Tentukan pula titik beloknya!

Jawab:

Fungsi pada soal ini sama dengan fungsi pada Soal 12, yaitu

x x x

f cos

sin ) 1

(  

_.

Untuk menentukan cekung ke atas, cekung ke bawah atau titik belok, kita lihat dari turunan kedua dari f (x).

Review : Cekung ke atas 

f  ( x )  0

Cekung ke bawah 

f  ( x )  0

Titik belok 

f  ( x )  0

Turunan pertama sudah kita dapatkan dari Soal 12, yaitu:

x x x

f cos

2

1 ) ) (sin

(  

 



 

   V U

Maka turunan keduanya:

)

2

(

V V U V x U

f   

 

2 2 2

) (cos

) sin .(

cos . 2 ) 1 ) ((sin cos

) (cos

x

x x

x   



x

x x x

x x

4 2 3

cos

sin cos 2 sin

cos 2

cos  



x

x x

4 2 2

cos

) sin 2 sin

2 )(cos

(cos  



x

x x

3 2 2

2

cos

) sin 2 sin

sin

(cos   



x

x x

3 2

cos

) sin 2 sin

1 (  



(26)

SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 26 Inget:

x x

3 2

cos ) sin 1 ( 



Bagian pembilang, yaitu

( 1  sin x )

² selalu positif atau nol.

Maka positif-negatif

x x x

f

3

2

cos ) sin 1 ) (

(  



sekarang tergantung pada positif-

negatif bagian penyebutnya, yaitu

cos

³

x

. Untuk titik batas,

cos

³

x  0

0 cos x 

,...

450 , 270 ,

90  

 x

Buat garis bilangan memuat titik-titik batas:

Sementara itu,

Pembilang = nol jika

( 1  sin x )

²

 0



sin x   1



,....

810 , 450 , 90

,...

990 , 630 , 270

 

















 

x

Untuk nilai-nilai x ini,

cos x  0

. Jadi, untuk nilai-nilai ini

0 ) 0 ( 

 x

f

_tidak

terdefinisi.

Kita coba hitung limitnya, misalkan pada x = 270^o

) sin ( cos 3

) )(cos sin

1 ( lim 2 cos

) sin 1 lim ( )

(

lim

3 270 2

2 270

270

x x

x x x

f

x x

x



 



   





x x

x

3 cos sin

) sin 1 ( lim 2

270



 





x x

x

sin 2

sin 2 lim 2

2 270



3

 



 sin2x 2sinxcosx

Digunakan Teorema

l’Hopital

(27)

(cos 2 ) 2

cos 2 lim 0

2

270



3



 





x

x (digunakan teorema l’Hopital lagi)

0 2 ) 1 (

0 lim 2

2 270 3

 



 





x .

Bisa diperiksa untuk nilai-nilai

,....

810 , 450 , 90

,...

990 , 630 , ˆ 270

 

















 

x

berlaku

lim ( ) 0

ˆ

 



f x

x

x .

Jadi, untuk nilai-nilai

,....

810 , 450 , 90

,...

990 , 630 , ˆ 270

 

















  x

f ’’(x) tidak terdefinisi, namun kita bisa anggap itu adalah titik belok dalam pengertian limit, yaitu

lim ( ) 0

ˆ

 



f x

x

x .

Sekarang kita isi positif-negatif pada garis bilangannya:

Cek untuk x =0,

karena

x x x

f

3

2

cos ) sin 1 ) (

(  



maka

1 0

1 ) 0 1 ( 0

cos ) 0 sin 1 ) ( 0

(

3

2 3

2

   

 

f 

(positif)

Untuk daerah lain tinggal disesuaikan positif-negatifnya (selang-seling)

Kesimpulan:

Fungsi f (x) cekung ke atas pada interval (–90ô, 90ô) + k.360ô Fungsi f (x) cekung ke bawah pada interval (90ô, 270ô) + k.360ô

Fungsi f (x) tidak memiliki titik belok, namun jika dianggap ada dalam pengertian limit,

(28)

maka titik beloknya terjadi pada

,....

810 , 450 , 90

,...

990 , 630 , ˆ 270



















  x

Soal 16

Sebuah talang air terbuat dari papan aluminium selebar 3 m, ditekuk kedua tepinya sehingga membentuk sudut



terhadap bidang horizontal seperti pada gambar.

Tentukan sudut agar kapasitas talang air maksimum!

Jawab:

Kapasitas talang air menjadi maksimum jika volum talang air maksimum. Misalkan panjang talang air adalah t meter (lihat gambar!)

Untuk menyederhanakan gambar, kita lihat dari depan:

Jika bagian berwarna hijau dipindahkan ke kiri seperti pada gambar di atas, kita dapatkan bangun balok (dengan penampang persegi panjang)

(29)

SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 29 Ingat: turunan dari UV adalah U’V+UV’

Ingat:

Maka volume talang V  panjanglebartinggi

 ( 1  cos  )(sin  )( t )

 t sin   t cos  sin 

Volume mencapai maksimum sa’at turunannya nol,

 0

 d dV

 ⁽ ^sin ⁾ ^sin ^(cos ⁾ ^cos  ⁰

cos   t        t ^t ^cos ^ ^ ^t  ^ ^sin

²

^ ^ ^cos

²

^  ^ ⁰

^t ^cos ^ ^ ^t  ^cos

²

^ ^ ¹ ^ ^cos

²

^  ^ ⁰

^t ^cos ^ ^ ^t  ² ^cos

²

^ ^ ¹  ^ ⁰

^t  ² ^cos

²

^ ^ ^cos ^ ^ ¹  ^ ⁰

t ( 2 cos   1 )(cos   1 )  0 0

1 cos

2   

atau cos   1  0

2

cos  

1

_atau cos    1





 60 atau cos   180 

Volume mencapai maksimum saa’t   60  .





















2 2

sin 1

cos

1 cos sin

panjang lebar

(30)

Soal 17

Sebuah kertas karton berbentuk lingkaran dengan jari-jari 8 cm, dipotong sebuah sektornya dengan sudut pusat 

.

Dengan kertas karton yang telah terpotong ini dibuat selimut kerucut. Tentukan sudut agar volume kerucut yang terbentuk sebesar-

besarnya!

Jawab:

Perhatikan bahwa jari-jari karton terpotong dengan panjang 8 cm akan menjadi garis pelukis kerucut, dan keliling karton terpotong s (lihat gambar!) akan menjadi keliling lingkaran alas kerucut.

Misal panjang busur yang terpotong = b (lihat gambar di atas!). Misalkan pula jari-jari dan tinggi kerucut yang terbentuk berturut-turut adalah r dan t (lihat gambar di atas!)

Misal K = keliling kertas karton lingkaran mula-mula, maka:







 2 . 8 16

K cm

Dari definisi sudut dalam radian,

lingkaran jari

- jari

sudut depan

di busur

panjang 





(31)

8  b

  b  8  cm.

Karena s menjadi keliling lingkaran alas kerucut yang terbentuk, maka berlaku:

r s  2 

Hubungan antara K, s dan b adalah:

b s K  









 2 8

16 r









 16 8 2 r





 





  8

_⁴

2

8 r 16 .

Karena t, r dan garis pelukis 8 cm membentuk segitiga siku-siku, berlaku:

2 2

2

64 8 r r

t    

Volume kerucut yang terbentuk:

2 2

3 2 1 3

1

r t r 64 r

V     

Volume akan mencapai maksimum ketika turunannya nol,

 0

 d dV

 0

 d dr dr dV

 0

 d dr dr dV

0 ) ( ) 2 ( ) 64

( 64

2

² ⁴

2 1 2

2 1 2 3

1

 



 





 

     

 r r r r

^

r

_

(Di sini gunakan turunan u.v yaitu u’v+uv’ dengan u  r

²

dan v  64  r

²

, sedangkan  ( 

⁴_

)

 d

dr didapat karena r  8 

_⁴

 )

0 64

64 1

2

3 2 3

4





 





 



 



r r

0 64

64 1

2

3

2



 



r r

r

(32)

2 3

2

64 64 1

2 r r

r

r    

2 2

2

64 64 1

2 r r

r   



2 2

) 64

(

2  r  r

2

128  r  r 3

2

128  r 3

2

 128 r

3 6 3 3

2 8 3

2 8 3 128

3



8





 r

Untuk mendapatkan sudut



, kita gunakan persamaan yang sudah ada:





 8

_⁴

r







_⁴

3

8

6 8 6 8

3

8 4

  



) 6 8

(

3

8

4







^







 ( 2 6 )

3

2

rad.

Atau jika diukur dalam satuan derajat, maka :





























 ( 2 6 ) rad (2 6 ) 180 ( 2 2 , 449 ) 180 66

3 2 3

2 3

2

.