• Tidak ada hasil yang ditemukan

01 Turunan Fungsi Trigonometri

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "01 Turunan Fungsi Trigonometri"

Copied!
7
0
0

Teks penuh

(1)

Limit

PENERAPAN TURUNAN FUNGSI

A. Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut :

Jika f(x) = sin x maka :

Jadi dapat disimpulkan

(2)

f ’(x) = (2x 0) 2

1 2.sin 

.

    

1 1/2

f ’(x) = –2.sin x. (1/2)

f ’(x) = –sin x

Jadi dapat disimpulkan

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah :

Diketahui f(x) = tan x maka f(x) =

cosx sinx

Misalkan u = sin x maka u’ = cos x v = cos x maka v’ = –sin x

Sehingga : f’(x) =

2

v u.v' u'.v

f’(x) =

x x c

2

cos

sinx) ( ) (sin osx)

(cosx)(  

f’(x) =

x

2 2 2

cos x sin x

cos 

f’(x) = x

2

cos 1

f’(x) = sec2x Jadi dapat disimpulkan

Diketahui f(x) = cot x maka f(x) =

x x sin cos

Misalkan u = cos x maka u’ = –sin x v = sin x maka v’ = cos x

Sehingga : f’(x) =

2

v u.v' u'.v

f’(x) = (sinx)(sinx)(cosx)(cosx)

Jika y = cos x maka y’ = –sin x

(3)

f’(x) =

x

2 2 2

cos

x) cos x (sin  

f’(x) =

x

2

sin 1 

f’(x) = csc2x Jadi dapat disimpulkan

Diketahui f(x) = sec x maka f(x) =

x cos

1

Misalkan u = 1 maka u’ = 0

v = cos x maka v’ = –sin x

Sehingga : f’(x) =

2

v u.v' u'.v

f’(x) =

x

x x

2

cos

) sin ( ) 1 ( ) cos )( 0

(  

f’(x) = x x

2

cos sin

f’(x) =

x cos

1

.

x x cos sin

f’(x) = secx tanx

Jadi dapat disimpulkan

Diketahui f(x) = csc x maka f(x) =

x sin

1

Misalkan u = 1 maka u’ = 0 v = sin x maka v’ = cos x

Sehingga : f’(x) =

2

v u.v' u'.v

f’(x) =

x x x

2

sin

) cos ( ) 1 ( ) sin )( 0

( 

f’(x) = x

x

2

sin cos 

Jika y = cot x maka y’ =

(4)

f’(x) =

x sin

1

.

x x sin cos

f’(x) = cscxcotx

Jadi dapat disimpulkan

Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :

Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)

y’ = (cos u)(u’) y’ = u’.cos u

Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:

Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u

Untuk y = tan u maka y’ = u’.sec2u

Untuk y = cot u maka y’ = u'.csc2u Untuk y = sec u maka y’ = u’.secu tanu

Untuk y = csc u maka y’ = –u’cscu cotu

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :

(a) f(x) = cos (3x – 4)

(b) f(x) = 3.tan (x2– 4)

(c) f(x) = cot (2x + 5) – 5.sec(x2– 4)

(d) f(x) = 4x2– sec(2x2 + 3x)

Jawab

(a) f(x) = cos (3x – 4)

Maka f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4)) f ’(x) = –3.sin(3x – 4) (b) f(x) = 3.tan (x2– 4)

Maka f ’(x) = (2x)(3sec2(x2 4)) f ’(x) = 6x.sec2(x2 4)

(c) f(x) = cot (2x + 5) – 5.sec(x2– 4)

(5)

(d) f(x) = 4x2– sec(2x2 + 3x)

Maka f ’(x) = 8x – (4x + 3)(sec(2x2 + 3x).tan(2x2 + 3x))

02. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :

(6)

(c) f(x) = 5.sec3 x

f(x) = 5.

 

secx 3

Misalkan u = sec x maka u’ = sec x . tan x jadi f ‘(x) = 5.(3)

 

2

sec x (sec x . tan x ) f ‘(x) = 15sec3 x. tan x

(d) f(x) = ctg (4x2)3

f(x) = ctg(4x2)3/2

Misalkan u = (4x2)3/2 maka u’ = (4 2) (4) 2

3 1/2

x

u’ = 8 4x2

jadi f ‘(x) =

csc(4x2)

8 4x2

f ‘(x) = 8 4x2csc(4x2)

(e) f(x) = sin4(3x5)

f(x) =

sin(3x5)

4

Misalkan u = sin (3x + 5) maka u’ = 3.cos (sx + 5) jadi f ‘(x) = 4

sin(3x5)

3(3.cos (3x + 5))

f ‘(x) = 12.cos(3x5)sin3(3x5)

03. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini : (a) f(x) = 4cos2(3x2) – 4sin2(3x2)

(b) f(x) = 6.sin (x2– 4).cos (x2– 4)

(c) f(x) = x sin

x 2 sin

– x cos

x 2 cos

Jawab

(a) f(x) = 4cos2(3x2) – 4sin2(3x2)

f(x) = 4.[cos2(3x2) – sin2(3x2) ] f(x) = 4.cos 2(3x – 2)

f(x) = 4.cos(6x – 4)

Maka : f ’(x) = 4.{–6.sin(6x – 4)} f ’(x) = –24.sin(6x – 4) (b) f(x) = 6.sin (x2– 4).cos (x2– 4)

f(x) = 3.{2.sin (x2– 4).cos (x2– 4)} f(x) = 3.sin 2(x2– 4)

f(x) = 3.sin (2x2– 8)

(7)

(c) f(x) =

04. Tentukanlah nilai setiap turunan berikut ini untuk x bilangan real yang diberikan :

Referensi

Dokumen terkait

Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “ANALISIS SEMIOTIK PESAN

Hasil menunjukaan bahwa strategi rekrutmen ditunjukan untuk mengisi calon anggota legislatif dan pada saat yang sama untuk meningkatkan electoral strength partai

Tujuan penelitian adalah untuk menganalisis implementasi Program Adiwiyata di SMA N 1 Jetis Bantul sehingga berhasil mendapatkan penghargaan Adiwiyata Mandiri pada tahun

Hasil analisis, hubungan kedalaman air tanah dan fluks karbon dioksida di Gambut Pasang Surut menunjukkan bahwa kedalaman air tanah pada lahan kebun jagung berpengaruh

[r]

kombinasi tersebut maka dilakukan juga modifikasi nilai brightness pada citra penampung yang telah disisipkan untuk memperketat keamanan data

Terbentuknya kerajaan Saudi Arabia, tidak terlepas dari peran dua tokoh utama yaitu Muhammad ibn Abd Wahhab dan Muhammad ibn Sa’ud, dari persekutuan antara

1) Bapak Dr. Selaku Rektor Universitas Muhammadiyah Surabaya. Anna Marina, M.Si., Ak., CA, selaku Dekan Fakultas Ekonomi Universitas Muhammadiyah Surabaya. Fahmi W, Ak., MM.,