01 Integral Fungsi Trigonometri

Teknik Pengintegralan 1

TEKNIK PENGINTEGRALAN

A. Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri

Pada materi “Turunan Fungsi” telah diuraikan tentang rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri, yakni turunan fungsi sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan dan cosecant. Mengingat integral merupakan proses balikan dari turunan, maka rumus-rumus dasar integral trigonometri didapat dari rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri, yakni sebagai berikut:

1. Jika f(x) = cos x maka f’(x) = –sin x. artinya



sinxdx = –cos x + C 2. Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x. artinya

_

cosxdx = sin x + C 3. Jika f(x) = tan x maka f’(x) = sec2x artinya



sec2x dx = tan x + C 4. Jika f(x) = cot x maka f’(x) = csc2x artinya



csc2x dx = –cot x + C

5. Jika f(x) = sec x maka f’(x) = sec x. tan x artinya

_

secx. tanx dx = sec x + C 6. Jika f(x) = csc x maka f’(x) = –csc x. cot x artinya



cscx.cotx dx = –csc x + C

Dari rumus-rumus dasar tersebut diperoleh rumus-rumus pengembangan, yaitu : Jika y = sin (ax + b) maka y’ = a.cos (ax + b), sehingga

dx

dy

= a.cos (ax + b)

dy = a.cos (ax + b) dx



dy =



a.cos(axb)dx y = a.



cos(axb)dx

sin (ax + b) = a.



cos(axb)dx

sehingga :



cos(axb)dx = sin (ax + b) + C

Dengan cara yang sama diperoleh rumus-rumus pengembangan integral trigonometri yang lainnya, yakni sebagai berikut :

1.



cos(axb)dx =

a

1

sin (ax + b) + C

2.



sin(axb)dx =

a

1

 cos (ax + b) + C

3.



sec2(axb)dx=

a

1

tan (ax + b) + C

4.



csc2(axb)dx=

a

1

Teknik Pengintegralan 2

Untuk pemahaman selengkapnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :

01. Selesaikanlah integral berikut ini :

a.



4sin(2x3)dx b.



6sec2(24x)dx c.



xdx

02. Selesaikanlah integral berikut ini :

a.



(tan2x  4)dx b.



4sin23xdx

Jawab

a. Untuk menjawab soal nomor 2a, diperlukan rumus-rumus trigonometri kelas X, yakni:

Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut



(tan2x  4)dx =



(sec2 x14)dx

=



(sec2 x5)dx

Teknik Pengintegralan 3 b. Untuk menjawab soal nomor 2b, juga diperlukan rumus trigonometri kelas XI, yakni:



 2

sin 2 1 2

cos  

  1 cos2 sin

2 2  

) 2 cos 1 ( 2 1

sin2    _{... (2)}

Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut



4sin23xdx =



[1cos2(3x)]dx 2

1 . 4

=



[22cos6x]dx

= x sin6xC 6

2 2

= x sin6xC 3

1 2

03. Selesaikanlah integral berikut ini :

a.



2sin4x.cos2xdx b.



(sinxcosx)2dx

Jawab

a. Untuk menjawab soal nomor 3a, diperlukan rumus trigonometri kelas XI, yakni: 2.sinA.cosB = sin(A + B) + sin(A –B) …... (3)

Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut



2sin4x.cos2xdx =



[sin(4x2x)sin(4x2x)]dx =



[sin6xsin2x]dx

= x cos2x C 2

1 6 cos 6 1

 



b. Untuk menjawab soal nomor 3b, diperlukan rumus trigonometri kelas X dan XI, yakni:

   2.sin .cos 2

sin  _{………...... (4)}

1 cos

sin2 2  _{…... (5)} Sehingga, soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut



(sinxcosx)2dx =



(sin2x2.sinx.cosxcos2 x)dx

=



(sin2xcos2 x2.sinx.cosx)dx

=



(1sin2x)dx

= cos2 C 2

1



 x