MAYA KURNIAWATI SMA NEGERI 1 SUMBER

(1)

MODUL

MATEMATIKA

KELAS X

SEMESTER II

(2)

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :

Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

(3)

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas

trigonometri, dan bentuk-bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut. 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan

prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut, 2. Menggunakan perbandingan trigonometri,

3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, 4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,

5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus, 6. Menentukan luas segitiga,

7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

(4)

B

A O

B

A O

A. PENGUKURAN SUDUT DENGAN UKURAN DERAJAT DAN RADIAN A.1 Definisi Sudut

Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan atau perputaran suatu titik tertentu ke titik tertentu lainnya terhadap pusat perputaran.

Ruas garis OA diputar terhadap titik pusat O ke garis OB. Sehingga diperoleh sudut AOB ditulis AOB. OA disebut sisi awal dan Ob disebut sisi terminal.

A.2 Sudut Positif dan Sudut Negatif

1. Jika OA diputar berlawanan arah jarum jam maka akan terbentuk sudut positif

2. Jika OA diputar searah jarumjam maka akan terbentu sudut negatif

A.3 Ukuran Sudut 1. Ukuran derajat

1 putaran = 360 ⟺ 1 = putaran

1 = 60 ⟺ 1 =

1 = 60 ⟺ 1 = = 2. Ukuran radian

1 rad = 180

1 putaran penuh = 2 rad

1 rad = ≈ 57,3 ≈ 57 18

Contoh:

Ubahlah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran derajat atau radian!

a. 30 f.

3 4

b. 90 g.

5 2

c. −45 h.

6 5

d. 100 i.

3



e. −390 j.

4 3



B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku 1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

x

y r

B C

A







B

(5)

Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan x Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan y Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan r

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan r2₌_x2₊_y2

2. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah _ __ __ _₁₈₀0 3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin  =

samping _



samping _



miring _



miring _





Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus : Cotg

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 3, b = 4. a. Tentukan panjang sisi c

b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut 

(6)

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa (00_{, 30}0_{, 45}0_{, 60}0_{, 90}0₎

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

00 ₃₀0 ₄₅0 ₆₀0 ₉₀0

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran 1. Kuadran I (0 < < 90) Absis negatif

Ordinat positif

(7)

negatif Absis negatif

Ordinat negatif

positif Absis positif

Ordinat negatif

negatif

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IV Kuadran II

Sin & Csc +

Kuadran III

(8)

TUGAS I

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut  pada tiap gambar berikut :

a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8 b. Cotg p = 2 3. Tentukan nilai dari :

a. Sin600_{cotg 60}0_{+ sec 45}0_{cos 45}0

b. Tan 300_{+ cos 30}0

c. 2 sin 600_{cos 45}0

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600_,

seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

A.4 Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi a. Sudut-sudut Berelasi di kuadran I

1. Relasi dengan = 90 −

Misal titik P (a, b) dan OP = r serta ∠ = dicerminkan terhadap garis = maka diperoleh:

 Bayangan: ( , )

Tinggi pohon

(9)

2. Relasi dengan = 360 + sejauh 90 maka diperoleh:

(10)

Contoh :

Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya : a.Sin 1200_{= Sin (90}0_{+ 30}0₎

1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos 3300

b. Tan (-1200₎

c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari : a. Sin 3000_{+ Cos 545}0

b. Cos 3900_{+ Sec 570}0

c. Cotg 7500_{+ Tan (-60}0₎

(11)

C. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1. Sin x = Sin p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2

X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2

2. Cos x = Cos p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2

X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2

3. Tan x = Tan p

X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian : a. Sin x = Sin 200_;₀_ _x_₃₆₀0

x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20

k = 1 x2 = 20 + 360

= 380 (tidak memenuhi)

X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160

Jadi HP = {20, 160}

b. 2 Cos x = 3 ; ₀_ _x_₃₆₀0 Cos x = 1₂ 3

Cos x = Cos 30

X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)

K = 1 x2 = 330

HP = {30, 330}

TUGAS III

1. Selesaikan persamaan berikut untuk₀_ _x_₃₆₀0 a. Cos x = Cos 50

b. Sin x – ½ = 0 c. 3 tan 2x + 3 = 0 d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0x2 a. 2 sin x = - 2

b. 2 tan 3x + 2 = 0 c. 2 cos ½ x = 1

D. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin2_{x + Cos}2_{x = 1}

Sin2_{x = 1 – Cos}2_x

Cos2_{x = 1 – Sin}2_x

2. 1 + tan2_{x = sec}2_x

1 = sec2_{x – tan}2_x

Tan2_{x = sec}2_{x – 1}

3. 1 + cotg2_{x = cosec}2_x

1 = cosec2_{x – cotg}2_x

Cotg2_{x = cosec}2_{x – 1}

Contoh :

1. Buktikan bahwa 5 tan2_{x + 4 = 5 sec}2_{x – 1}

Jawab :

5 tan2_{x + 4 = 5 (sec}2_{x – 1) + 4}

= 5 sec2_{x – 5 + 4}

(12)

2. Buktikan bahwa 3 cos2_{x + 3 sin}2_{x = 3}

Jawab :

3 cos2_{x + 3 sin}2_{x = 3 (cos}2_{x + sin}2_x)

= 3 . 1

= 3 (terbukti)

E. RUMUS SINUS DAN COSINUS 1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

SinC c SinB

b SinA

a _ _

Contoh :

1. Pada segitiga ABC, b = 1, __B_₃₀0_,__C _₅₃_1,0_{. Hitunglah c.} Jawab :

SinC c SinB

b _ _

SinB bSinC c

=

30 1, 53 12

Sin Sin

= 5 , 0

8 , 0 . 12

= 5 , 0

6 , 9 = 19,2

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. B68,2. Hitunglah C

SinC c SinB

b _ __{Sin C =}

65 2 , 68 46Sin b

cSinB_

=

65 928 , 0 46x

=

65 710 , 42

= 0,657

C = 41,1

A B

C

a

(13)

2. Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos}_

b2_{= a}2_{+ c}2_{– 2ac cos}_

c2_{= a}2_{+ b}2_{– 2ab cos}_

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600_.

Hitung panjang BC Jawab :

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos A}

= 52_{+ 8}2_{– 2.5.8. cos 60}

= 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40

= 49 a = 7 cm

F. LUAS SEGITIGA

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin A L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

A C B a L

sin 2

sin . sin . 2 

B C A b L

sin 2

sin . sin . 2 

C B A c

L

sin 2

sin . sin . 2 

A B

C

 



A B

C

a b

(14)

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400_{dan kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 100}0

dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam. 4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10

cm dan berpusat di O.

(15)

BAB III PENUTUP

(16)

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.