MODUL 1 INTEGRAL. Sekilas Info

MODUL 1

INTEGRAL

Standar Kompetensi :

Memahami integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri Kompetensi Dasar :

 Menggunakan konsep, sifat dan aturan dalam perhitungan integral tak tentu dan integral tentu

 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah dan volume benda putar

Sekilas Info

Orang yang pertama kali menemukan integral tertentu adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan asal Jerman yang lahir pada tahun 1826. Riemann menjelaskan integral tertentu dengan menggunakan luas daerah yang dihitungnya menggunakan poligon dalam dan poligon luar. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu tersebut dinamakan integral Riemann. Riemann meninggal pada tahun 1866.

BAB I. PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini Anda akan mempelajari penyelesaian integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri, menghitung integral dengan metode subtitusi dan integral parsial, menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan menghitung volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat.

B. Prasyarat

Untuk mempelajari modul ini, para siswa diharapkan telah menguasai konsep diffrensial fungsi aljabar dan fungsi trigonometri serta siswa mampu menggambar grafik suatu fungsi pada bidang koordinat.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu Anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului

merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal Anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika Anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika Anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat Anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, Anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menentukan penyelesaian integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri. 2. Menghitung integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri

3. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan menghitungnya.

4. Merumuskan integral tentu untuk untuk volum benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat dan menghitungnya.

BAB II. PEMBELAJARAN

1. Kegiatan Belajar 1 a. Definisi :

Jika F(x) adalah fungsi yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x). atau dengan kata lain ntegral merupakan operasi balikan (invers) dari diffrensial.

Integral tak tentu a. Defnisi

Integral tak tentu :



f(x)dxF(x)CF'(x) f(x), dimana c adalah konstanta b. Teorema Pengintegralan

Contoh 1.1 1.



5dx5xC

2.



2dx2xC

3.



dxxC

Jika k merupakan suatu konstanta maka



kdxkxC; C = konstanta Teorema 1

Jika n merupakan bilangan rasional dan n  0, maka



    C x n dx xn n 1 1 1 , dimana C = Konstanta Teorema 2

Contoh 1.2: 1. x dx x C  x C   



5 5 1 6 6 1 1 5 1 2.



x dx



x4 dx 3 4 3 C x x C x C x         4 3 4 7 4 7 1 4 3 4 3 . 7 4 1 1 1 3.



dx



x  dx x x 1 ₃4 3 4 C x C x C x dx x            



3 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 3 1 2 3 1 1 1 1 Contoh 1.3 : 1.



3t3dt 3



t3dt C t C t         _    4 1 3 4 3 1 3 1 3

Jika f (x) adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan k adalah konstanta maka



k.f(x)dxk



f(x)

2.



x dx



x2dx 3 3 2 5 2 5 C x x C x C x                     2 2 5 1 2 3 2 3 5 2 2 5 1 1 2 5 Contoh 1.4: 1.





x2 2x1



dx



x2dx



2xdx



dx C c c c C x x x c x c x c x              3 2 1 2 3 3 2 2 1 3 ; 3 1 2 2 3 1 2.





_ 







        dx x dx x x dx x x x dx x x 2 2 2 2 2 1 1 1 C x x C x x C x x dx x dx x                         





1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 3 2 3 2 2 3 3.





2x4



2dx





4x2 16x16



dx C x x x C x x x         16 8 3 4 16 2 16 3 4 2 3 2 3

Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang terintegralkan maka







f(x)g(x) dx



f(x)dx



g(x)dx

Contoh 1.5 : 1.



6x2



x3 4



8dx Misalkan :

 

dx x du dx x du x dx du x x u 2 2 2 3 6 2 3 3 4      maka



x



dx



x



x dx x 2 8 3 8 3 2 6 4 4 6



 







x



C C u du u du u          _   





9 3 9 8 8 4 9 2 9 1 2 2 2 . 2.





x1





x2 2x9



2dx Misalkan : dx x du dx x du x dx du x x x u ) 1 ( 2 1 ) 2 2 ( 2 2 9 2 ) ( 2         

Teknik Integral subtitusi

Jika u(x) suatu fungsi yang dapat didifrensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol,

maka





 





 



    C x u r n dx x nu x u r r 1 1 ) ( '

. dimana C adalah konstanta dan r  - 1.

maka











x x



C C u C u du u du u dx x x x             _      







3 2 3 3 2 2 2 2 9 2 6 1 6 1 3 1 2 1 2 1 2 1 9 2 1 3.





dx x x dx x x





           3 2 1 2 1 3 2 2 1 Misalkan :

 

dx x du dx x du x dx du x x u 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2         maka :









C x C x C u du u du u dx x x dx x x                    _{ }                  









2 2 2 1 2 3 3 3 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1

4.











_

_







           dx x x x dx x x x dx x x x 3 1 2 3 2 3 6 5 4 10 6 5 4 10 3 2 4 10 Misalkan :

 

dx x du x dx du x x x u ) 10 4 ( 2 5 2 6 5 2          maka :











x x



C C x x C u du u u du dx x x x                          







 3 2 2 3 2 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 6 5 3 6 5 3 2 3 2 2 2 6 5 4 10 Contoh 1.6a : 1.



 dx x x 7 5

Teknik Integral Parsial

Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka





udvuv vdu

Misalkan :







x



dx v dv v dx x dv dx du dx du x u





           2 1 2 1 7 5 7 5 1











x



C C x C x          _{ }               2 1 2 1 1 2 1 2 1 7 5 5 2 7 5 2 5 1 7 5 1 1 5 1 maka :







    dx udv uv vdu x x 7 5































x



x C C x x x C x x x C c c C x x x c x c x x c x c x x dx x c x x                   _           _{ }                      _             _{ } 

_

7 5 14 5 75 2 15 14 10 15 7 5 5 2 15 14 10 7 5 5 2 ; 7 5 15 2 7 5 5 2 7 5 75 4 7 5 5 2 7 5 3 2 5 1 5 2 7 5 5 2 7 5 5 2 7 5 5 2 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 1 2 1

2.



x 7x8dx Misalkan :











      dx x v dx x dv dx du x u 2 1 2 1 8 7 8 7







x



C C x           _  2 3 2 3 8 7 21 2 8 7 3 2 7 1 maka :







x 7x8dx udvuv vdu































x

 

x



C C x x x C c c C x x x c x c x x dx x c x x                     _{ }               _{ }             _{ } 

_

16 21 8 7 735 2 35 16 14 35 8 7 21 2 ; 8 7 35 2 8 7 21 2 8 7 5 2 7 1 21 2 8 7 21 2 8 7 21 2 8 7 21 2 2 3 2 3 2 1 2 3 2 2 5 1 2 3 2 3 1 2 3 3.





2x5



5x2dx Misalkan :







x



dx v dx x dv dx du x u



       2 1 2 1 2 5 2 5 2 5 2







x



c c x          _{ }  2 3 2 3 2 5 15 2 2 5 3 2 5 1





_

_



2x5 5x2dx udvuv vdu



 



















 













x



x



C C x x x C x x x c x c x x dx x c x x                      _{  }               _{ }            _        _{ }  

_

2 3 2 3 2 3 2 2 5 1 2 3 2 3 1 2 3 2 5 121 40 375 2 25 4 10 125 50 2 5 15 2 2 5 25 2 5 2 2 5 15 2 2 5 5 2 5 1 15 4 2 5 5 2 15 2 2 2 5 15 2 2 5 15 2 5 2 Contoh 1.6b 1.

















  udv dx x x x xdx 2 1 1 2 1 2 Misalkan :



x



dx dv x u 2 1 1 2    

Teknik Integral Parsial

Jika u(x) dan v(x) fungsi-fungsi yang dapat didifrensialkan, maka



udv d:apat diintegralkan dengan metode :

Teorema 6b u(x) (fungsi u(x)didiffrensialkan) dv (fungsi dv diintegralkan) ... ... ... ... 0 ... ... ... ... ... + – + – dst x (didifrensialkan)



x



2dx 1 1 2   (diintegralkan) 1 2x1c 0 ₃



2x1



2x1c 1 + –











x



x C C x x x C x x x x x xdx            _{ }         



1 2 1 3 1 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 2.





x2 6



3x5dx



udv



2 6



x 3x5dx x 2



x



2 c 3 5 3 9 2 2



x



2 c 5 5 3 135 4 0



x



2 c 7 5 3 2835 8











































x x





x



C C x x x x x x C x x x x x x C x x x x x dx x x                          _{     }            



2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 7 2 5 2 3 2 2 5 3 2090 432 135 2835 2 315 200 240 72 420 252 1890 315 5 3 9 2 25 30 9 315 8 5 3 15 4 6 5 3 9 2 5 3 2835 16 5 3 135 8 5 3 6 9 2 5 3 6

Contoh 1.7 : 1.



      x dx 6 6 sin  C x C x                     6 6 cos 6 6 6 cos 1 6 1   2.



cos2 xdx x x x maka dan persamaan dari x x x x x x x x 2 cos 2 1 2 1 2 cos 2 1 2 1 1 cos : * * * *) * ... . 2 cos 2 1 2 1 sin 1 2 cos sin 2 sin 2 1 2 cos *) ... sin 1 cos 2 2 2 2 2 2                      

Teknik Integral Fungsi Trigonometri

.









































                                   dx x n n x x n dx x dx x n n x x n dx x C b ax a dx b ax C b ax a dx b ax C x dx x ec C x dx x x C x ec dx x ec x C x dx x C x dx x C x dx x n n n n n n 2 1 2 1 2 2 cos 1 sin . cos 1 cos . 10 sin 1 cos . sin 1 sin . 9 cos 1 sin . 8 sin 1 cos . 7 cot cos . 6 sec sec . tan . 5 cos cos . cot . 4 tan sec . 3 cos sin . 2 sin cos . 1 Teorema 7

Maka





        x dx xdx cos2 2 1 2 1 cos2 C x x C x x       4 2 sin 2 2 sin 2 1 . 2 1 2 1 3.



sin5 xcosxdx Misalkan: dx x du x u cos sin   C x C u du u dx x x     





6 6 5 5 sin 6 1 6 1 cos sin 4.







_ dx x x x 2 2 sin 1 cos . sin Misalkan : dx x x du dx x x du x u cos . sin 2 1 cos sin 2 sin 1 2    





 









C x C u du u u du dx x x x            







2 1 2 2 2 1 2 2 sin 1 2 1 1 2 1 2 1 sin 1 cos . sin 5.



sin3xdx

Misalkan : dx x du dx x du x u sin sin cos     









C x x C u u du u x x x x dx x                   









cos cos 3 1 3 1 1 sin cos 1 sin sin sin 3 3 2 2 2 3 6.



dx x x sin Misalkan : du u dx x du dx x du dx dx x du dx x du x u . 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1           





C x C u du u udu u u dx x x        







cos 2 cos 2 sin 2 2 sin sin Integral Tentu Definisi : Integral tentu : f(x)dx F(b) F(a) b a  



Teorema yang digunakan untuk menghitung integral tentu sama teorema yang pada integral tak tentu di atas.

Contoh 1.8 : 1.



 5 1 3dx



18 ) 1 ( 3 ) 5 ( 3 3 51      x _ 2.



  



    4 1 3 2 4 1 3 3 ) 4 2 3 ( 4 2 3 dx x x dx x x x

 





8 3 9 8 75 8 1 4 72 3 8 1 2 1 12 2 2 1 3 16 2 4 2 ) 4 ( 3 2 2 3 4 1 2             _{ }           _{ }       x x x 3.











 



2 1 3 2 8 4 4 2x x x dx Misalkan : dx x du x x u ) 4 2 ( 8 4 2      maka









_



    2 1 3 2 1 3 2 8 4 4 2x x x dx u du













4 3 43 4 175 4 81 256 4 81 64 8 4 1 4 1 8 8 4 4 1 8 4 4 1 4 4 2 1 4 2                  x x

4.









2 0 3 cos sin 2  dx x x Misalkan: dx x du dx x du x u cos cos sin 2      





_



 2 0 3 0 3 2 cos sin 2   du u dx x x













4 15 0 2 4 1 1 2 4 1 sin 2 4 1 4 4 2 0 4             x 5.



 0 cosxdx x x cos x dx 1 Sinx 0 – cos x



  0 0 cos sin cosxdx x x x x  





 



2 1 1 0 cos 0 sin 0 cos sin            

Rangkuman 1

1. Teorema pengintegralan

a. fungsi konstan



k dxkxC, k dan C adalah konstan

b. pangkat



    C x n dx xn n 1 1 1

, n bilangan rasional dan n 1 c. Perkalian konstan dengan fungsi



k.f

 

x dxk



f

 

x

d. penjumlahan dua fungsi





f

   

x g x



dx



f

 

x dx



g

 

x dx

e. pengurangan dua fungsi





f

   

x g x



dx



f

 

x dx



g

 

x dx

f. Teknik integral subtitusi



   





u

 

x



C n dx x u x u n n    



1 1 1 '

g. Teknik integral parsial



udvu.v



vdu

h.



cosxdxsinxc

i.



sinxdxcosxc

2. Integral tentu dari fungsi f(x) pada interval

 

a,b adalah



 

b a dx x f Tugas 1

1. Tentukan integral berikut : a.



x3 dx 2 f.







_ dx x x1 3 1 b.





x4 



dx 5 g.



x 4x1dx c.



  dx x x x 5 5 6 8 3 4 h.



x2 1x dx d.









dx x x 43 i.



xsin



x2 1



dx e.



        dx x x 2 2 1 1 1 j.



 x dx x cos 1 sin

2. Tentukan fungsi f(x) jika diketahui a. f '

 

x 5x2 2x dan f

 

0 2 b. f '

 

x  x2



3x2 6x



dan f

 

2 1 c.

 

1 1 '   t t f dan f

 

3 18 d. f '

 

t  2t1 dan 1 2 1 _       f

3. Hitunglah integral berikut : a.







 2 0 3 2 3 2 9 dx x x f.



3 0 5 sin cos  dx x x b.









 1 0 1 2 x dx x g.



2 0 sin 5 cos  dx x x c.



x xdx  0 2 sec 2 tan 4 h.



2 0 3 cos  dx x d.



2 0 cos 3 cos 2  dx x x i.



xdx 2 0 6 sin  e.









2 0 2 cos sin  dx x x j.



2 0 5 cos  dx x 2. Kegiatan Belajar 2 Aplikasi Integral Tujuan Pembelajaran :

1. Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva 2. Merumuskan integral tentu untuk luas daerah dan menghitungnya

3. Merumuskan integral tentu untuk volume benda putar dari daerah yang diputar terhadap bidang koordinat dan menghitungnya

a. Menghitung Luas Daerah

Luas daerah diatas sumbu-x

Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi oleh kurva

 

x f

y , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan

 

x 0

f dan kontinu pada selang axb, maka luas daerah R adalah :

 

x dx f R L b a



 ) ( Teorema 1

Contoh 2.1 :

1. Luas daerah yang dibatasi kurva f

 

x 4x2, sumbu-x garis x = 0 dan garis x = 1

Jadi luas daerahnya adalah

3 2

3 satuan luas

2. Luas daerah yang dibatasi kurva y5x4, sumbu-x, garis x = 0 dan garis x = 2

  



 

 

   

18 8 10 0 4 0 2 5 2 4 2 2 5 4 2 5 4 5 2 2 0 2 2 0          _        _       



x x dx x R L

Jadi luas daerahnya adalah 18 satuan luas

y= 5x + 4 + 2 4 + 0 R

Luas daerah di bawah sumbu-x

Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi oleh kurva

 

x f

y  , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan

 

x 0

f dan kontinu pada selang a xb, maka luas daerah S adalah :

 

x dx f s L b a



  ) ( Teorema 2

Contoh 2.2

Luas daerah yang dibatasi kurva 2 4 1



 x

y , sumbu-x, garis x = 4 dan sumbu-y.

Jadi luas daerahnya adalah 6 satuan luas

Contoh 2.3

Luas daerah yang dibatasi kurva f

 

x sinx,0 x2 dan sumbu-x

Jadi luas daerahnya adalah 4 satuan luas

Jika daerah T adalah daerah yang dbatasi oleh kurva

 

x f

y , sumbu-x, garis x = a dan garis x = c dengan

 

x 0

f pada interval axb, dan f

 

x 0 pada interval b xc maka luas daerah T adalah :





 





 

c b b a dx x f dx x f T L( ) Teorema 3 -

Contoh 2.4 :

Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva f

 

x 4x2, garis x = 0 dan garis y = 1 Tentukan batas pengintegralan dengan cara mencari

titik potong kedua kurva

3 3 3 0 1 4 2 2 2         x x x y x y

karena daerah dibatasi oleh garis x = 0 maka batas pengintegralan yang diambil adalah x0 dan x 3.

 













   

3 2 0 3 3 1 3 3 3 1 3 3 1 4 3 3 0 3 3 0 2 3 0 2 3 0 2 1         _            







x x dx x dx x y y U L

Jadi luas daerahnya adalah 2 3 satuan luas

Jika daerah U adalah daerah tertutup yang dbatasi dua kurva yaitu y₁  f

 

x dan y₂ g

 

x , garis x = a dan garis x = b pada interval a xb, maka luas daerah U

adalah : 



 





 







   





b a b a b a dx x g x f dx x g dx x f U L( ) Teorema 4a

b. Menghitung Volume Benda Putar

Jika daerah R adalah daerah yang dbatasi kurva

 

x f

y  , sumbu-x, garis x = a dan garis x = b dengan

b

a jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x

sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah : 





 



b a dx x f V  2 Teorema 5

Jika daerah S adalah daerah yang dbatasi kurva x f

 

y , sumbu-y, garis x = a dan garis x = b dengan ab jika daerah S diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah :







 



b a dx y f V  2 Teorema 6

Luas daerah antara dua kurva yang saling berpotongan di dua titik adalah

₂ 6a D D L Teorema 4b a b f(x) g(x)

Contoh 2.6 :

Volume benda putar, daerah yang dibatasi oleh kurva f

 

x 4x2, sumbu-x, sumbu-y

diputar sejauh 360o mengelilingi : a. sumbu-x

b. sumbu-y

a.

Jadi volumenya jika diputar mengelilingi sumbu-x adalah 

15 256

satuan volume

b. Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu-y, maka fungsi

2

4 x

y  diubah menjadi fungsi dengan variabel y, sehingga fungsinya menjadi

y x y x x y         4 4 4 2 2 Sehingga volumenya

Contoh 2.7 :

Volume daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) x2, Sumbu- x,sumbu-y, garis x = 2 dan

y = - 1 yang diputar sejauh 360o mengeliling sumbu-x

Jadi volumenya adalah 

3 2

satuan volume

Jika daerah T dibatasi oleh kurva f

 

x dan g

 

x , dengan

 

x g

 

x

f  pada interval

 

a,b diputar mengelilingi sumbu-x, sejauh 360o maka volume benda putar tersebut adalah :

 









 







 





b a dx x g x f T V  2 2 Teorema 7

Rangkuman 2

1. Luas daerah tertutup yang terletak a. di atas sumbu-x 



 

b a dx x f L b. di bawah sumbu-x 



 

b a dx x f L

c. di atas dan di bawah sumbu-x 



 





 

c b b a dx x f dx x f L

d. di antara dua kurva 





   





b a dx x g x f L

e. di antara dua kurva yang saling berpotongan di dua titik ₂

6a D D L

2. Volume benda putar dari daerah yang dbatasi kurva dan diputar mengellingi : a. sumbu-x 





 



b a dx x f V  2 b. sumbu-y 





 



b a dx y f V  2

c. sumbu-x dan dibatasi kurva f(x) dan g(x) 







 







 





b a dx x g x f V  2 2

d. sumbu-y dan dibatasi kurva f(y) dan g(y) 







 







 





b a dx y g y f V  2 2 Tugas 2

1. Gambarlah dan hitunglah luas daerah-daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut :

a. yx, sumbu-x, gars x = 0, dan garis x = 6 b. f

 

x sinx pada interval

    2 3 , 2   dan sumbu-x c. f

 

x  x2 dan yx2

d. ysinx dan ycosx pada interval



0,2



e. y2x2 8x dan y x2 3x4

f. yx3 dan y x2

2. Tentukan volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva berikut a. y xx2, sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o

b. yx2, sumbu-x dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360o c. ytanx, sumbu-x dan garis

2





x diputar mengililingi sumbu-x sejauh 360od. d. y x dan y x2 diputar mengelilingi sumbu-y sejauh 360o.