TRIGONOMETR1

(1)

1

TRIGONOMETRI

STANDAR KOMPETENSI:

2 .

Menurunkan rumus trigonometri

dan penggunaannya

KOMPETENSI DASAR :

2.1 Menggunakan rumus sinus dan

cosinus jumlah dua sudut, selisih

dua sudut, dan sudut ganda untuk

menghitung sinus dan cosinus

sudut tertentu.

2.2 Menurunkan rumus jumlah dan

selisih sinus dan cosinus.

2.3 Menggunakan rumus jumlah dan

selisih sinus dan cosinus.

INDIKATOR

 Menggunakn rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.

 Menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

 Menyatakan perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinus.

 Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.

 Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

 Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus dua sudut.

 Merancang dan membuktikan identitas trigonometri.

 Menyelesaiakan masalah yang

melibatkan rumus jumlah dan selisih dua sudut.

(2)

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA

SUDUT

STANDAR KOMPETENSI:

2 .

Menurunkan rumus trigonometri dan

penggunaannya

KOMPETENSI DASAR :

2.4 Menurunkan rumus jumlah dan

selisih sinus dan cosinus.

INDIKATOR

(3)

3

Memahami kembali perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa

Rika mendapat tugas dari Pak Irman untuk menyelesaikan soal trigonometri tanpa

menggunakan kalkulator. Akan tetapi Rika binggung bagaimana menyelesaikannya, diapun

bertanya pada Siti teman sebangkunya.

0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330

sin x

cosx

tg x

Kita sudah mengetahui besar sudut-sudut istimewa dari isian kolom di atas. Dengan mengingat nilai sinus, cosinus dan tangen dari tiap sudut tersebut tentu akan sangat membantu kita dalam melakukan perhitungan.

Misalkan seorang tukang bangunan akan merenovasi bagian depan atap sebuah rumah yang berbentuk segitiga sama kaki. Pemilik rumah menginginkan bagian depan atap tersebut menjadi lebih tinggi. Oleh karena itu, pemilik rumah memutuskan agar besar sudut antara sisi miring atap dengan sisi alas sama dengan . Lalu, apakah tukang bangunan itu dapat memenuhi permintaan pemilik rumah, jika ia tidak menggunakan kalkulator atau sejenisnya untuk menghitung nilai dari sinus, cosinus, dan tangen.

Siti, Ika lagi bingung nih! Bagaimana cara menyelesaikan soal trigonometri tanpa menggunakan kalkulator. Kamu bisa bantu

nggak?

Oh, kalau soal itu aku bisa bantu. Begini ka, kamu bisa menggunakan perbandinggan trigonometri sudut-sudut istimewa. Nah! Untuk melatih kamu, coba isi kotak-kotak di

(4)

Ternyata, tukang bangunan menyanggupinya. Ia menggunakan salah satu aturan trigonometri yang dapat mempermudah dalam melakukan perhitungan. Jadi, sudut ia pecah menjadi penjumlahan dari dua sudut istimewa, yaitu ( ). Selanjutnya ia menghitung nilai cos menggunakan aturan trigonometri tersebut, yaitu:

cos cos ( ) cos cos sin sin

√ √ √ (√ √ )

Oleh karena tukang bangunan itu masih ingat nilai sinus dan cosinus dari sudut istimewa, maka hal ini menjadi tidak terlalu sulit baginya. Selanjutnya, untuk mengukur panjang sisi miring bagian depan atap, ia menggunakan formula , dengan adalah panjang sisi miring dan adalah setengah panjang sisi alas.

Ada beberapa aturan trigonometri yang lebih menarik lagi. Untuk mengetahuinya, dapat kalian pelajari lebih mendalam pada materi ini.

1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT 1.1 Rumus cos ( ) Y C B  A O X D

Pada segitiga ACO berlaku :

Dengan menggunakan rumus jarak :

( ( ) ) ( ( ) ) ( )-...+...+ ( ) *...+...++...-...

2-... ...(1) Pada segitiga BDO berlaku :

Dengan menggunakan rumus jarak :

( ) ( )

Jika jari-jari lingkaran = 1, Koordinat A( )

Koordinat B( )

Koordinat C( ( ) ( )) Koordinat D( )

(5)

5 ( )

Jadi rumus ( )adalah ( ) ...

Karena (– ) dan (– ) , maka : ( ) ( ( ))

...-... ...-... ...+... ( ) ...

1. Tentukan nilai dari a) cos b) cos Jawab : a) cos ( ) ………+……… ……… b) cos 75 ( ) ………-……… ……… Ayo, kerjakan dulu tugasnya 

TUGAS SISWA I

:

(6)

2. Dengan menggunakan segitiga siku-siku di bawah ini, tunjukkan Cos ( ) cos + sin , jika α = 900dan β = 300! Jawab : Ruas kiri : Cos ( ) cos ( ... - ... ) ... Ruas kanan :

Cos α cos β + sin α sin β = cos.... cos ....+ sin... sin... = ( .... x ... .... ) + ( ) = .... = ruas kiri

Jadi, berlaku bahwa cos (α – β ) = cos α cos β + sin α sin β untuk α = 300 dan β = 900

TUGAS SISWA II

:

1 2 √

(7)

7 3. Tentukan nilai cos 150 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri !

Jawab :

15 = 45 – 30 Cos 15 = cos ( .... - ....)

= cos ... cos.... + sin .... sin .... = ( ...)(...) + (...)(...) = .... (√ )

Jadi, nilai cos 150 ( √ √ ).

TUGAS SISWA III

:

“ AWALI SUATU HAL ATAU PUN PEKERJAAN

DENGAN SUATU KEJUJURAN,,,KARENA

KEJUJURAN ADALAH AWAL DARI SUATU

(8)

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

2.1 Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan cosinus sudut tertentu.

 Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.

 Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

Mengingat kembali materi tentang jumlah dan selisih cosinus.

Siti mendapat tugas dari Pak Zam untuk mencari nilai dari ( ) karena belum begitu paham meteri jumlah dan selisih cosinus yang lalu. Sitipun bertanya pada temannya Nopi.

Nopi, bagaimana cara untuk mencari nilai dari ( )?

Coba ingat kembali rumus pengurangan cosinus!

Kan rumusnya: ( ) nah, tinggal diganti aja dan

apa yang dipelajari sekarang STANDAR KOMPETENSI: KOMPETENSI DASAR : INDIKATOR:

(9)

9 Kita telah menguasai materi jumlah dan selisih cosinus. Materi penjumlahan dan pengurangan trigonometri yang lainnya akan kita bahas pada bagian ini! Selamat belajar!

1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

1.2 Rumus ( ) Karena ( ) dan ( ) , maka : ( ) ( ( )) (( ) ) : ( )

Karena (– ) dan (– ) , maka : ( ) ( ( )) . : ( )

Tugas Siswa:

1) Tentukan nilai dari a) Sin b) Sin c) Sin d) Sin Jawab : a) Sin ( ) b) Sin ( )

Sekarang mari kita belajar rumus jumlah dan selisih sinus

Bagaimana agar lebih memahami materi ini?

Coba kamu kerjakan tugas siswa berikut ini

Coba aja, pasti bisa dikerjain!

(10)

c) Sin ( ) d) Sin ( )

2) ( )sama dengan nilai Jawab: ( ) 1.3 Rumus ( ) Karena , maka: ( ) ( ) ( )

Jika pembilang dan penyebut dibagi

cos cos





, maka : Jadi: Selanjutnya adalah rumus tan Tugasnya mudah ya

:)

(11)

11 ( ) Karena ( ) , maka : Jadi: ( )

Tugas Siswa:

1) Tentukan nilai dari : a) Tan 10 b) Tan c) Tan Jawab: a) Tan ( ) b) Tan ( )

Sebelum ke “Latihan Siswa” kerjakan dulu “tugas siswa”

(12)

c) Tan ( )

2) Diketahui . Maka nilai dari adalah Jawab: ( )

3) Diketahui . Maka nilai dari adalah Jawab: ( )

(13)

13 Kerjakan soal-soal dibawah ini!

1) Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip, dengan dan Hitunglah:

a) ( ) b) ( ) Jawab:

2) Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip, dengan dan Hitunglah: a) ( )

b) ( ) Jawab:

3) ( ) dan nilai adalah Jawab:

(14)

4) Diberikan 2 buah sudut dengan nilai sinus masing-masing , sudut adalah sudut tumpul sedangkan sudut adalah sudut lancip. Tentukan:

a) ( ) b) ( ) Jawab:

“Berusalah sendiri dalam

mengerjakan sesuatu,

karena itu akan kamu

ingat selamanya”

“Get it yourself in a

work something, cause it

will you remember

forever”

(15)

15

STANDAR KOMPETENSI:

2. Menurunkan Rumus Trigonometri

dan Penggunaannya

KOMPETENSI DASAR :

2.5 Menggunakan rumus sinus dan cosinus

jumlah dua sudut, selisih dua sudut,

dan sudut ganda untuk menghitung

sinus dan cosinus sudut tertentu.

SUDUT RANGKAP

INDIKATOR



Menggunakan rumus sinus jumlah dan

selisih dua sudut.



Menggunakan rumus cosinus jumlah

dan selisih dua sudut.

(16)

Memahami kembali rumus jumlah dan selisih dua sudut

1. Jika dan dengan dan , tentukan nilai dari: a) ( ) b) ( ) Jawab : Dik : , maka maka Dit : a) ( ) b) ( ) penyelesian : a) ( ) = ...+... = ...+... = ... b) ( ) = ...+... = ...+... = ...

Kalian tentu sudah mempelajari rumus jumlah dan selisih dua sudut?

Bagimana? Sangat mudah bukan mengerjakan soal trigonometri menggunakan

rumus jumlah dan selisih dua sudut.

Untuk mengetahui apakah kalian sudah benar-benar memahami rumus dan dan

jumlah selisih dua sudut.

Coba kerja soal di bawah ini.

Ayo, ingat kembali rumus ( ) dan

(17)

17

Misalkan adalah sebuah sudut tunggal, maka dua sudut ( ditulis : ) disebut juga

sebagai sudut rangkap. Trigonometri sudut rangkap yaitu: dan .

2.1 Rumus

Ingat kembali rumus ( )

( ) = = ...+...

Jika kita ambil maka rumus diatas menjadi : ( )

...+... ...

jadi:

1) Diketahui berada di kuadaran II. Tentukan nilai Jawab :

Dik : , karena berada di kuadaran II maka , maka nilai = Dit : ? Penyelesaian: = ... = ( ) ( ) = ...

RUMUS SUDUT RANGKAP

Tugas Siswa

Gunakan dalil Phythagorass

(18)

2) Perhatikan gambar segitiga dibawah ini

Tentukan nilai ! Jawab :

Jika dan , maka nilai r

√( ) ( ) = √( ) ( ) = √ = = = = 2

(

) (

)

= 2.2 Rumus

Kita ingat kembali rumus ( ) ( ) = ... ...

Jika kita ambil maka rumus diatas menjadi: ( )

... ...

... ... ...(1)

 Karena cos2 sin2

1

    maka persamaan (1) menjadi : ... ...

... ... ...

 Karena sin2 cos2

1

   , maka persamaan (1) menjadi : ... ...

p q

(19)

19 Jadi:

... ...

...

1) Jika , dimana . Hitunglah nilai dari ! Jawab :

= ... = (

)

= ...

2) Diketahui . Tentukan nilai dari ! Jawab : . Maka nilai =

= (

)

(

)

= =

2.3 Rumus

Perhatikan kembali rumus untuk ( ) jika maka rumusnya menjadi:

( ) Jadi: ...

Tugas Siswa

(20)

1) Jika dan . Hitunglah nilai dan jawab : = = ( ) ( ) =

2) Diketahui _√ . Tentukan nilai dari !

Jawab : _√ , maka = = ... = = ( ) ( ) =

Diketahui adalah sudut lancip dan Hitunglah: a)

b) c) Jawab:

adalah sudut lancip dan , maka sudut dapat di lukis dengan memakai segitiga siku-siku seperti gambar di samping Berdasarkan gambar tersebut diperoleh :

Tugas Siswa

(21)

21 b) ( ) ( ) c) = ( ) ( ) = 2.4 Rumus untuk

Perhatikan kembali rumus , √

Dengan mengganti ke persamaan diatas maka diperoleh:

√

1) Dengan menggunakan rumus . Hitunglah nilai eksak dari ! Jawab : √ √ √ √ 2) Jika . Maka nilai dari !

Jawab : = ( ) = √ √

2.5 Rumus untuk

Sekarang mari kita bahas rumus sudut rangkap untuk sudut

(22)

Perhatikan kembali rumus , dengan cara yang sama untuk memperoleh rumus , maka rumus adalah:

√

1) Tentukan nilai dari Jawab :

= ( ) √

√

√ √

2) Diketahui nilai = √ . Maka nilai adalah... Jawab :

= √ = √ √ √ √

2.6 Rumus untuk

Dengan mensubstitusi rumus dan yang diperoleh sebelumnya pada

, diperoleh rumus yaitu:

√

1) Dengan menggunakan rumus . Tentukan nilai dari !

Tugas Siswa

(23)

23 = √ = √ = √

Kerjakan Soal-soal dibawah ini!

1) Jika adalah sudut lancip dan hitunglah : a)

b) Jawab:

2) Diketahui ( ) hitunglah nilai dari : a) ( )

b) ( ) Jawab:

3) Buktikan pernyataan di bawah ini a) b) Jawab:

(24)

4) Buktikan bahwa = Jawab:

:

5) Jika = √ . Tentukanlah nilai dari ! Jawab :

“semua impian kita bisa menjadi kenyataan, jika kita memiliki keberanian untuk

mewujudkannya” (Walt Disney)

(25)

(26)

Perhatikan gambar diatas!!!

Perlu kita ketahui bahwa sebenarnya konsep trigonometri tanpa kita sadari telah diterapkan dalam kehidupan kita sehari-sehari. Misalnya banyak hal-hal yang sederhana seperti memancing, penggunaan katrol saat mengambil air didalam sumur dan masih banyak lagi. Oleh karena itu jangan memandang sulit sesuatu sebelum Anda mengerjakannya.

Oh may good??? Aku takut banget sama materi perkalian sin dan cos. Kex mana ne sob?

Alahay… tenang-tenang kemarinkan sudah dijelasin trigonometrisudutganda. Jadi keduanya saling

berhubungan.Oke! Mari kita perhatikan bersama.

(27)

27

3.1 Rumus untuk

Perhatikan kembali rumus untuk ( ) Jika ( ) ( )dijumlahkan atau dikurangkan maka diperoleh:

( ) ( ) + ( ) ( ) ... jadi: = ...+... ( ) ( ) - ( ) ( ) ... ...-...

Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih sinus a) b) Jawab: a) ( ) * ( ) ( )+ b) ( ) ( ) 3.2 Rumus untuk

Perhatikan kembali rumus untuk ( ) Jika ( ) ( )dijumlahkan atau dikurangkan maka diperoleh:

( )

Apa ya, yang dipelajari dalam rumus perkalian sinus dan cosinus

(28)

( ) + ( ) ( ) ... jadi: = ...+... ( ) ( ) - ( ) ( ) ... jadi: = ...-... Jadi: = ... = ... = ... = ...

Tugas 2

Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih cosinus a)

b) Jawab:

a) ( )

(29)

29 Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat

1) Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih cosinus a)

b) Jawab:

2) Hitunglah nilai eksak dari: a) b) Jawab: 3) Tunjukkan bahwa: a) (√ ) b) (√ ) Jawab:

Latihan Siswa

Makin _{banyakilmumakinba}

nyak tau.yuk, kitacoba,,,

(30)

SemogaSukses

(31)

31

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS

Ok, sebelum kita lanjutkan materi tentang “RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS” Kita ingat kembali rumus perkalian sinus dan cosinus :

STANDAR KOMPETENSI:

2.Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

KOMPETENSI DASAR:

2.6 Menurunkan rumus jumlah

dan

selisih

sinus

dan

cosinus.

 Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.

Ayoo.. isi yuk.. :D

(32)

Dengan kita mengingat kembali rumus-rumus dalam perkalian sinus dan cosinus, akan memudahkan kita dalam menurunkan dan melakukan perhitungan dengan rumus-rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

4. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS

Jika

a b

 



dan

a

 

b



, maka : Maka persamaan menjadi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1) Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian sinus dan kosinus a) b) jawab: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) Hore, waktunya

belajar rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus

Yuk kita proses.. .

(33)

33 Jawab: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 3) Buktikan bahwa Jawab: ( ) ( )

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat

1) Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian sinus dan cosinus

a) b) Jawab:

(34)

2) Tunjukkan bahwa: √ Jawab: 3) Jika maka Jawab:

“Kesuksesan dimulai dari keberanian untuk bermimpi Be-brave to dream”

(35)

35

IDENTITAS TRIGONOMETRI

KOMPETENSI DASAR :

2.3Menggunakan

rumus jumlah dan

selisih sinus dan

cosinus.

INDIKATOR

 Merancangdan membuktikan identitas trigonometri.

STANDAR KOMPETENSI:

2 .

Menurunkan rumus trigonometri

dan penggunaannya

(36)

Apa sich perbedaan antara persamaan trigonometri dan identitas trigonometri?

Investigasi

Eky,kamu tahu nggak sich bagaimana perbedaan antara persamaan trigonometri dan identitas trigonometri? Aku binggung banget ni ika karena kedua-duanya juga menggunakan tanda sama dengan (“=”)

Begini musa,misalnya aku punya dua buah persamaan yaitu :

1. ( ) 2. ( )

Nah,cara untuk mengetahui mana yang merupakan identitas.trigonometri dan persamaan trigonometrinya yaitu kamu cukup mengganti nilai x dengan besar sudut sembarang.apabila hasilnya tetap maka pernyataan tersebut benar berarti itulah yang dinamakan dengan identitas trigonometri . contohnya: misalnya kamu mengganti nilai x dengan .

(37)

37

Note : dalam persamaan trigonometri hanya berlaku untuk satu atau beberapa sudut bagi x yang

belum diketahui. Misalnya adalah sebuah persamaan trigonometri , sebab :

Jadi dalam persamaan trionometri persoalan yang sering timbul adalah mencari penyelesaian persamaan trigonometri itu.

Oke,mari kita cek subsitusikan ke (1) subsitusikan ke (2) = 1 = = 1 1 = ( ) + 0 1 1 = 1 (benar)

Jadi bukanlh identitas trigonometri karena tidak berlaku untuk sembarang sudut. Sedangkan , berlaku untuk sembarang x maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

Untuk , dan Untuk ,

(38)

Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat

fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap

penggantian variabel dengan konstan anggota domain

fungsinya

Membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri untuk sudut