MODUL
MATEMATIKA
KELAS X
SEMESTER II
Muhammad Zainal Abidin Personal Blog
SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel
TRIGONOMETRI
Standar Kompetensi :
Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar :
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.
BAB I PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan bentuk-bentuk persamaan trigonometri.
B. Prasyarat
Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.
1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua
soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut, 2. Menggunakan perbandingan trigonometri,
3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, 4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,
5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus, 6. Menentukan luas segitiga,
BAB II PEMBELAJARAN
A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI
A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga
Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan a Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan b Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan c
Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan c2 = a2 + b2
2. Besar sudut pada segitiga
Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 0
180
3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga a. sin = miring depan = c b b. cos c a miring samping c. tan a b samping depan d. cotg b a depan samping e. sec a c samping miring f. csc b c depan miring a b c B C A
Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus : Cotg tan 1 Sec cos 1 Csc sin 1 Contoh :
Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3. a. Tentukan panjang sisi c
b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut
Jawab : 3 4 tan 5 3 cos 5 4 sin 5 25 3 42 2 2 2 b a c b c a b a c
A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00, 300, 450, 600, 900) A C B 3 c 4 450 450 1 2 1 600 300 2 3 1
Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)
00 300 450 600 900 Sin 0 2 1 Cos 1 3 2 1 Tan 0 3 3 1 Csc t.t 2 Sec 1 3 3 2 Cotg t.t 3 Contoh : 0 180
Tentukan nilai dari :
1. Sin 00 + Csc 450 = 0 + 2 2 2. 3 3 3 3 3 1 3 3 2 3 tan 3 cot 6 sec g = 1
A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran
1. Dikuadran I
Titik A(x,Y) dikuadran I Absis positif Ordinat positif positif x y Tan positif r x Cos positif r y Sin A(x,y) x y r
2. Dikuadran II
Titik A(-x,y) dikuadran II Absis negatif Ordinat positif negatif x y Tan negatif r x Cos positif r y Sin
Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.
I II III IV Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + - Csc + + - - Sec + - - + Cotg + - + - Contoh : Diketahui Sin = , 5
3 dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai
Csc Cotg Sec , , Jawab : Sin 5 3 , y = 3, r = 5, x = 5232 259 164 Karena dikuadran II, nilai x = -4
Sehingga : Sec = 4 5 , Csc 3 5 , Cotg 3 4 A(-x,y) -x y r Kuadran I Semua + Kuadran II Sin & Csc + Kuadran III Tan & Cotg +
Kuadran IV Cos & Csc +
TUGAS I
1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut pada tiap gambar berikut :
a. b.
2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.
a. Cos p = 0,8 b. Cotg p = 2 3. Tentukan nilai dari :
a. Sin600 cotg 600 + sec 450 cos 450
b. Tan 300 + cos 300 c. 2 sin 600 cos 450
4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon
tersebut. ( tinggi dani 155 cm)
A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran a. Rumus di kuadran I Cotg Tan Cos Sin ) 90 ( sin ) 90 ( cos ) 90 ( b. Rumus di kuadran II Cotg Tan Sin Cos Cos Sin ) 90 ( ) 90 ( ) 90 ( atau Tan Tan Cos Cos Sin Sin ) 180 ( ) 180 ( ) 180 ( 5 12 5 2 2 Tinggi pohon Tinggi dani 10 m 600
c. Rumus di kuadran III Cotg Tan Sin Cos Cos Sin ) 270 ( ) 270 ( ) 270 ( atau Tan Tan Cos Cos Sin Sin ) 180 ( ) 180 ( ) 180 ( d. Rumus di kuadran IV Cotg Tan Sin Cos Cos Sin ) 270 ( ) 270 ( ) 270 ( atau Tan Tan Cos Cos Sin Sin ) 360 ( ) 360 ( ) 360 (
e Rumus sudut negatif
Tan Tan Cos Cos Sin Sin ) ( ) ( ) ( f.Rumus sudut lebih dari 3600 Tan k Tan Cos k Cos Sin k Sin ) 360 . ( ) 360 . ( ) 360 . ( Contoh :
Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya : a. Sin 1200 = Sin (900 + 300) = Sin 300 = 3 2 1 Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 = 3 2 1 b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450) = -Sin 450 = 2 2 1 Atau Cos 2250 = Cos (1800 + 450) = -Cos 450 = 2 2 1 c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300) = Sin 300 = 2 1
d. Sin (-2250) = - Sin 2250 = - Sin(1800 + 450) = - (-sin 450) = 2 2 1 TUGAS II
1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos 3300
b. Tan (-1200)
c. Sin 4500 2. Tentukan nilai dari :
a. Sin 3000 + Cos 5450 b. Cos 3900 + Sec 5700 c. Cotg 7500 + Tan (-600) 3. Sederhanakan a. ) 360 ( ) 270 cos( p Sin p b. ) 180 ( ) 90 cos( p Sin p c. 0 0 0 0 0 300 . 210 240 sec . 225 . 120 cos Sec Cos Co Tan 4. Buktikan bahwa a. 1 ) 180 ( ). 90 ( ) 180 ( ). 270 ( p Cos p Cos p Sin p Sin b. 1 ) 90 ( ). 180 ( ) 360 ( ). 180 ( p Cotg p Cotg p Sec p Cos B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1. Sin x = Sin p X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2 X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2 2. Cos x = Cos p X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2 X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2 3. Tan x = Tan p X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian : a. Sin x = Sin 200 ; 0 360 0x x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20 k = 1 x2 = 20 + 360 = 380 (tidak memenuhi) X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160 Jadi HP = {20, 160} b. 2 Cos x = 3 ; 0x3600 Cos x = 3 2 1 Cos x = Cos 30 X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30
X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)
K = 1 x2 = 330
HP = {30, 330}
TUGAS III
1. Selesaikan persamaan berikut untuk 0
360 0 x
a. Cos x = Cos 50 b. Sin x – ½ = 0 c. 3 tan 2x + 3 = 0
d. 2 cos x.sin x = sin x
2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0x2
a. 2 sin x = - 2 b. 2 tan 3x + 2 = 0 c. 2 cos ½ x = 1
C. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :
1. Sin2x + Cos2x = 1 Sin2x = 1 – Cos2x Cos2x = 1 – Sin2x 2. 1 + tan2x = sec2x 1 = sec2x – tan2x Tan2x = sec2x – 1 3. 1 + cotg2x = cosec2x 1 = cosec2x – cotg2x Cotg2x = cosec2x – 1
Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1 Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4
= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti) 2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)
= 3 . 1
= 3 (terbukti)
D. RUMUS SINUS DAN COSINUS
1. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut: SinC c SinB b SinA a Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1, 0 0
1 , 53 , 30 B C . Hitunglah c. Jawab : SinC c SinB b SinB bSinC c = 30 1 , 53 12 Sin Sin = 5 , 0 8 , 0 . 12 = 5 , 0 6 , 9 = 19,2 A B C a c b
2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. B68,2. Hitunglah C SinC c SinB b Sin C = 65 2 , 68 46Sin b cSinB = 65 928 , 0 46x = 65 710 , 42 = 0,657 C = 41,1 2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :
Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 600.
Hitung panjang BC Jawab : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60 = 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40 = 49 a = 7 cm A B C
E. LUAS SEGITIGA
1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui
L = ½ b.c. sin A L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B
2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.
A C B a L sin 2 sin . sin . 2 B C A b L sin 2 sin . sin . 2 C B A c L sin 2 sin . sin . 2
3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui L s.(sa).(sb).(sc) s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c) A B C a b c D
Contoh :
1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450 Jawab :
L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450 = 20. ½ 2 = 10 2
2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, A65,B60. Tentukan
luasnya. Jawab : 55 60 65 180 C C B A c L sin 2 sin . sin . 2 55 sin 2 60 sin . 65 sin . 52 L 82 , 0 87 , 0 . 425 , 0 . 25 L 27 , 11 L
3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Jawab : s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6 ) ).( ).( .(s a s b s c s L ) 5 6 ).( 4 6 ).( 3 6 .( 6 L 1 . 2 . 3 . 6 L 6 36 L cm2
TUGAS IV
1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm, 0
46
P
2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B
3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000 dengan kecepatan 90
km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam. 4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran
yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.
5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.
BAB III PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.
