Modul Matematika Kelas X Trigonometri

(1)

MODUL

MATEMATIKA

KELAS X

SEMESTER II

Muhammad Zainal Abidin Personal Blog

SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

(2)

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :

Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

(3)

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan

bentuk-bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

(4)

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut, 2. Menggunakan perbandingan trigonometri,

3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub, 5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus, 6. Menentukan luas segitiga,

(5)

BAB II PEMBELAJARAN

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku 1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut



dinamakan a Panjang sisi dihadapan sudut  _{dinamakan b} Panjang sisi dihadapan sudut  dinamakan c

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan

c2_{= a}2_{+ b}2

2. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah ______₁₈₀0 3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin  ₌

miring depan

=

c b

b. cos  samping_miring a_c c. tan  _sampingdepan _ab d. cotg  samping_depan _ba e. sec  _sampingmiring _ac f. csc  miring_depan _bc

a

b c

B C

A





(6)

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.

a. Tentukan panjang sisi c

b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut



Jawab :

(7)

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

00 ₃₀0 ₄₅0 ₆₀0 ₉₀0 Tentukan nilai dari :

1. Sin 00_{+ Csc 45}0_{= 0 +} ₂ _ ₂

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran 1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran I Absis positif

Ordinat positif

(8)

2. Dikuadran II

Titik A(-x,y) dikuadran II Absis negatif

Ordinat positif

negatif dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IV

Contoh :

Diketahui Sin



= ,

Karena dikuadran II, nilai x = -4 Sehingga : Sec



=

TUGAS I

A(-x,y)

-x y r

Kuadran I Semua + Kuadran II

Sin & Csc +

Kuadran III Tan & Cotg +

(9)

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut



pada tiap gambar berikut :

a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8 b. Cotg p = 2 3. Tentukan nilai dari :

a. Sin600_{cotg 60}0_{+ sec 45}0_{cos 45}0

b. Tan 300_{+ cos 30}0

c. 2 sin 600_{cos 45}0

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600_{, seperti gambar berikut.}

Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran

a. Rumus di kuadran I



c. Rumus di kuadran III

5

12

5 2

2

Tinggi pohon

Tinggi dani _{10 m}

(10)

d. Rumus di kuadran IV

e Rumus sudut negatif

f.Rumus sudut lebih dari 3600

Contoh :

(11)

TUGAS II

1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos 3300

b. Tan (-1200₎

c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari :

a. Sin 3000_{+ Cos 545}0

b. Cos 3900_{+ Sec 570}0

c. Cotg 7500_{+ Tan (-60}0₎

3. Sederhanakan a. cos(_Sin₍₃₆₀270 _pp₎)

4. Buktikan bahwa

a. 1

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI 1. Sin x = Sin p

(12)

b. 2 Cos x = 3 ; 0x3600

Cos x =

1 ₂

3

Cos x = Cos 30

X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak

memenuhi)

K = 1 x2 = 330

HP = {30, 330}

TUGAS III

1. Selesaikan persamaan berikut untuk₀__x_₃₆₀0 a. Cos x = Cos 50

b. Sin x – ½ = 0 c. 3 tan 2x + 3 = 0

d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0x2

a. 2 sin x = - 2 b. 2 tan 3x + 2 = 0 c. 2 cos ½ x = 1

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin2_{x + Cos}2_{x = 1}

Sin2_{x = 1 – Cos}2_x

Cos2_{x = 1 – Sin}2_x

2. 1 + tan2_{x = sec}2_x

1 = sec2_{x – tan}2_x

Tan2_{x = sec}2_{x – 1}

3. 1 + cotg2_{x = cosec}2_x

1 = cosec2_{x – cotg}2_x

Cotg2_{x = cosec}2_{x – 1}

Contoh :

1. Buktikan bahwa 5 tan2_{x + 4 = 5 sec}2_{x – 1}

Jawab :

5 tan2_{x + 4 = 5 (sec}2_{x – 1) + 4}

= 5 sec2_{x – 5 + 4}

= 5 sec2_{x – 1 (terbukti)}

(13)

Jawab :

3 cos2_{x + 3 sin}2_{x = 3 (cos}2_{x + sin}2_x)

= 3 . 1

= 3 (terbukti)

D. RUMUS SINUS DAN COSINUS 1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

Contoh :

(14)

C

 = 41,1

2. Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos}



b2_{= a}2_{+ c}2_{– 2ac cos}



c2_{= a}2_{+ b}2_{– 2ab cos}



Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm,  = 60A 0_.

Hitung panjang BC Jawab :

a2_{= b}2_{+ c}2_{– 2bc cos A}

= 52_{+ 8}2_{– 2.5.8. cos 60}

= 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40

= 49 a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin A

A B

C







A B

C

a b

(15)

L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

A C B a

L

sin 2

sin . sin .

2



B C A b

L

sin 2

sin . sin .

2



C B A c

L

sin 2

sin . sin .

2



3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

) ).( ).(

.(s a s b s c s

L   

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh :

1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450

Jawab :

L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ 2

= 10 2

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm,  A65,B60_.

Tentukan luasnya. Jawab :

55 60 65

180   

(16)

C

TUGAS IV

1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm, 0

46



P

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400_dan

kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000_{dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua}

(17)

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP

(18)

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga.

(19)