Contoh Makalah Matematika Trigonometri

(1)

BAB I

Pada bab ini, materi itu akan dikembangkan sampai ke rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahasmengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap.Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di babini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuandan teknologi, misalnya dalam menjawab permasalahan berikut.Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuksudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θ agar roket mencapai jarak maksimum?Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut, pelajari bab ini dengan baik.

Rumusan Masalah

A. Bagaimanakah menentukan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut?

B. Bagaimanakah jika rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda?

C. Bagiamanakah cara mengoprasikan Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus?

Tujuan

A. menentukan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

B. menjabarkan Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

(2)

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih

Dua Sudut, dan Sudut Ganda

2.1.1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Telah dipelajari sebelumnya bahwa dalam segitiga siku-siku ABC berlaku:

Kemudian dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,

Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:

a. koordinat titik A (1, 0)

b. koordinat titik B (cos A, sin A)

c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}

d. koordinat titik D {cos (-B), sin (-B)}atau (cos B, -sin B)

Kelompok 3 Trigonometri

(3)

Jadi rumus cosinus jumlah dua sudut:

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B Dengan cara yang sama, maka:

cos (A - B) = cos (A + (-B))

cos (A - B) = cos A cos (-B) - sin A sin (-B) cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus cosinus selisih dua sudut:

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B Contoh :

1. Hitunglah nilai dari 75

(4)

1

2.1.2 Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Perhatikan rumus berikut ini!

Maka rumus sinus jumlah dua sudut:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B Dengan cara yang sama, maka:

sin (A - B) = sin (A + (-B))

sin (A - B) = sin A cos (-B) + cos A sin (-B) sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut:

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

Contoh soal

1. A dan B adalah dua buah sudut yang terletak di kuadran II. Jika Sin A = 3 5 dan

Universitas Muhammadiyah Jember Page 4

(5)

(6)

2.1.3 Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus tangen jumlah dua sudut:

Contoh soal

Universitas Muhammadiyah Jember Page 6

(7)

Jawab:

2.2. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda

2.2.1 Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus sin (A + B), untuk A = B maka diperoleh: sin 2A = sin (A + B)

sin 2A = sin A cos A + cos A sin A sin 2A = 2 sin A cos A

Rumus sinus sudut ganda:

sin 2A = 2 sin A cos A Conto soal :

1. Jika sin A = p dengan {p / -1 < p < 1} , maka sin 2A =

Jawab :

Sin A = p Cos p = 1 p 2

Sin 2A = 2 Sin A Cos A = 2 p 1 p 2

(8)

jawab :

2.2.2 Rumus Cosinus Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka diperoleh:

Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat rumus sebagai berikut.

Contoh soal :

(9)

Jawab :

2.2.3 Rumus Tangen Sudut Ganda

Dengan menggunakan rumus tan (A + B), untuk A = B diperoleh:

Rumus tangen sudut ganda:

Contoh soal :

(10)

Dengan cara yang sama didapat:

Rumus:

contoh soal :

(11)

Jawab :

2.3 Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus

2.3.1 Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus A. Perkalian Cosinus dan Cosinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

jumlahkan akan didapat;

cos (A + B) + cos (A – B) = 2 cos A cos B

(12)

Penyelesaian :

2 cos 75° cos 15° = cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)° = cos 90° + cos 60°

=0+ =

B. Perkalian Sinus dan Sinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut:

° ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian

°= cos (67 – 22 ) - cos (67 + 22 ) = cos 45° – cos 90°

= √ +0 = √

C.Perkalian Sinus dan Cosinus

Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut.

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B + sin (A + B) + sin (A – B) = 2 sin A cos B atau 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)

Dengan cara yang sama didapat rumus:

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)

Untuk lebih memahami rumus perkalian sinus dan cosinus, palajarilah contoh soal

berikut.

(13)

Contoh soal

Nyatakan soal ini ke dalam bentuk jumlah atau selisih sinus, kemudian tentukan hasilnya, sin 105° cos 15°

Penyelesaian

sin 105° cos 15° = {sin (105 + 15)° + sin (105 – 15)° } = (sin 120° + sin 90)°

= ( √ + 1) = √

D.Penjumlahan dan Pengurangan Sinus

(14)

= 2 cos 60° cos 40° =2. cos 40°

2. Sederhanakan cos 35° – cos 25°.

Penyelesaian :

cos 35° – cos 25° = –2 sin. (35 + 25)° sin . (35 – 25)° = –2 sin 30° sin 5°

= –2 . sin 5° = – sin 5° 3. Sederhanakan sin 315° – sin 15°.

Penyelesaian :

sin 315° – sin 15° = 2 . cos (315 + 15)° . sin (315 – 15)° = 2 . cos 165° . sin 150°

= 2 . cos 165 . = cos 165°

(15)

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

telah dipelajari dikelas X bahwa untuk menentukan sudut dengan menggunakan rumus segitiga. Sedangkan dalam makalah ini telah dijelaskan lebih rinci tentang penggunaan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut,dan sudut ganda,penggunaan rumus sinus, cosinus, dan tangen sudut ganda, penurunan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.diharapkan siswa mampu memahami semua apa yang telah dipaparkan dalam

makalah ini.

3.2 Saran

Apabila dalam pembuatan makalah ini ada kekurangan dalam hal apapun kami sangat mengharap kritik dan saran, sehingga nantinya bisa dibuat acuan untuk mendekati

(16)

DAFTAR PUSTAKA

Djumanta, Wahyudin. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Bandung : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Soedyarto, Nugroho.2008. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Djumanta, Wahyudin.2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta: PT Setia Purna Inves.