8.Menerapkan Konsep Trigonometri - Perbandingan Trigonometri

(1)

8. M enerapkan Konsep Trigonometri

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari seluruh kegiatan belajar pada modul diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen)

2. Menentukan nilai perbandingan trigonometri, bila diketahui panjang sisi-sisi segitiganya 3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran

4. Menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub

5. Mengkonversikan koordinat kartesius ke koordinat kutub atau sebaliknya 6. Menjelaskan aturan sinus dan aturan cosinus

7. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus 8. Menentukan luas segitiga dengan aturan sinus

9. Mengoperasikan rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut dan sudut rangkap 10. Menjelaskan identitas trigonometri : sin2_{x + cos}2_{x = 1}

11. Menyelesaikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri :

- sin x = a - cos px = a

- a cos x + b sin x = c

Kegiatan Belajar 1. M enentukan dan menggunakan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut Tujuan Kegiatan Belajar 1

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, siswa diharapkan dapat : 1. menjelaskan tentang perbandingan trigonometri

2. menggunakan perbandingan trigonometri untuk menghitung panjang sisi dan besar sudut segitiga siku-siku.

3. menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1

1.1. Perbandingan Trigonometri

x = sisi siku-siku samping sudut ( proyeksi ) y = sisi siku-siku depan sudut ( proyektor ) r = sisi miring ( proyektum )

Dasar perbandingan : a. sinusα =

r y

d. cosecanα =

y r

b. cosinusα =

r x

e. secanα =

x r

c. tangenα =

x y

f. cotangenα =

y x

Contoh 1 :

Suatu garis OP dengan O ( 0 ; 0 ) dan P ( 12 ; 5 ) membentuk sudutα terhadap sumbu x positif. Tentukan perbandingan trigonometrinya.

Penyelesaian : r = 1122+52 = 144+25 = 169 = 13 a. sinusα =

13 5

d. cosecanα =

5 13

b. cosinusα =

13 12

e. secanα =

12 13 A

B

x

y r

α

O

y

r

5 P

w

.docu-track.com ww

(2)

c. tangenα =

Penyelesaian : Dengan memperhatikan gambar diperoleh : A B = BC = sama panjang = 1 maka :

(3)

1.2. Panjang Sisi dan Besar Sudut Segitiga Siku-siku

Dalam segitiga siku-siku, jika diketahui besar salah satu sudut lancip dan panjang salah satu sisinya maka ukuran unsur-unsur yang lain dalam segitiga tersebut dapat kita tentukan.

Perhatikan gambar di samping, misalkan kita ketahui sudut CAB =

α dan sisi AC = b maka besar sudut β, sisi a dan sisi c dapat ditentukan, dan berlaku :

1).β = 90° -α 2). tgα = maka a b.tg

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, α = 30° dan panjang sisi b = 30 cm. Hitunglah panjang sisi a dan c !

1.3. Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran Pembagian kuadran : terhadap garis y = x, diperoleh P’(q , p) di kuadran I.

Sehingga sudut antara OP’ dengan sumbu x positif adalah (90° - a) dan x = q , y = p dan OP’ = OP = r.

Kuadran III Kuadran IV

90°

(4)

o diperoleh P’ (-p , q) di kuadran II. Sehingga sudut antara OP’ dengan sumbu x positif adalah (180° - a°) dan x = q, y = -p, OP’ = OP = r, maka :

Bila ∆ OAP dicerminkan terhadap titik pangkal O atau diputar 180° maka diperoleh P’ (-q , -p) di kuadran III, sehingga sudut antara OP’ dan sumbu x positif adalah (180° + a°) dan x = - p, y = - q

(5)

Contoh :

sin 225° = sin (180° + 45°) = - sin 45° = - ½√ 2 cos 240° = cos (180° + 60°) = - cos 60° = - ½ tg 210° = tg (180° + 30° ) = tg 30° = ₃1 3

d. Sudut di Kuadran IV ( 270° ≤ x≤ 360° )

Perhatikan∆ OAP danP( p,q) di kuadran I.

r

Bila∆ OAP dicerminkan terhadap sb. X, maka diperoleh P’ (p , -q) di kuadran IV, sehingga sudut antara OP’ dan

Lembar Kerja Siswa 1

1. Tentukan perbandingan trigonometri sinus, cosinus dan tangen pada masing-masing segitiga berikut !

2. Nyatakan tiap-tiap bentuk berikut ini dalam sudut lancip! a. sin 117° c. tg 278° e. tg 203° b.cos 192° d. cos 331° f. sin 254° 3. Jika tgθ = −₁₈15 untuk 270° <θ < 360° hitunglah nilai dari : a. cosθ b. sinθ

4. Tentukan nilai dari :

a. sin2₃₀°_{+ cos}2₃₀°_{= …} _{c. cos 330}°_{+ tg 240}°_{- sin 45}°_{= ...}

(6)

5. Lengkapilah tabel di bawah ini !

Sudutα 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° Sinα

Cosα Tgα

6. Jika diketahui tg A = p. Hitunglah nilai dari : a. 2.sin A.cos A = …

b. cos2_{A – sin}2_{A = …}

7. Jika sinα = ₁₇8 dan cosβ = ₅3 untukα danβ sudut lancip, tentukan nilai dari : a. sinα .cosβ - cosα . sinβ = …

b. 2. sinβ . cosβ = … c. ₁tg₋α_tg+_α_.tg_tg_ββ = …

2. Kegiatan Belajar 2. M engkonversi koordinat kartesius dan kutub Tujuan Kegiatan Belajar 2

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat : 1. menjelaskan konsep koordinat kartesius dan koordinat kutub.

2. mengubah dari koordinat kartesius ke koordinat kutub. 3. mengubah dari koordinat kutub ke koordinat kartesius. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 2

Letak suatu titik pada sebuah bidang dapat dinyatakan dengan 2 macam sistem koordinat, yaitu :

a. .

2.1. Koordinat kartesius

Sistem koordinat kartesius, yaitu dengan absis (x) dan ordinat (y). Misal Titik P (x , y)

2.2 Koordinat kutub

Sistem koorsdinat kutub, yaitu dengan jarak (r) dan sudut yang dibentuk dengan sumbu x positif (θ°). Misal Titik P (r ,θ°)

x x

y y

P (x , y)

0

x y

y

x r

θ°

P (r ,θ)

w

(7)

1.3 Konversi koordinat

Dari gambar koordinat kartesius titik P adalah (x , y) dan koordinat kutub adalah (r , θ°), tampak bahwa dari x , y , r, danθ° terdapat hubungan sebagai berikut :

1. sinθ° =

r y

→ y = r . sinθ° 2. cosθ° =

r x

→ x = r . cosθ 3. r = x2+y2

4. tgθ° =

x y

→ θ° =

x y tg . arc

5. Koordinat kutub titik P adalah (r,θ°) bila dinyatakan dengan koordinat kartesius adalah (r.cosθ° , r.sinθ°).

6. Koordinat kartesius (x,y) bila dinyatakan dengan koordinat kutub adalah ( x2+y2 ,

x y tg .

arc ).

Contoh 1. a :

Diketahui koordinat kutub titk P (4 , 60°). Tentukan koordinat kartesius titik tersebut ! Penyelesaian : P (4 , 60°) → r = 4 danθ° = 60°

x = r . cosθ° y = r . sinθ° x = 4. cos 60° y = 4 . sin 60° x = 4 . ½ y = 4 . ½√3 x = 2 y = 2√3

Jadi koordinat kartesius dari titik P (4 , 60°) adalah : P (2 , 2√3) Contoh 1. b :

Diketahui koordinat kartesius titik P (-2,-2√3). Tentukan koordinat kutub titik P tersebut! Penyelesaian : P (-2,-2√3). → x = -2 dan y = -2√3 ( di kuadran III)

r = (−2)2+(−2 3)2 tgθ° =

2 3 2 x y

− − =

r = 4+12 tgθ° =√3 r =√16 θ° = arc. tg√3

r = 4 θ° = 240° (kuadran III) Jadi koordinat kutub dari titik P (-2,-2√3) adalah : P (4 , 240°)

Lembar Kerja Siswa 2

1. Ubahlah koordinat kutub berikut ke koordinat kartesius ! a. A (6 , 30°) b. B (2 , 120°) c. C (6 , 315°) d. D (4√3 , 300°) 2. Ubahlah koordinat kartesius berikut ke koordinat kutub !

a. P (2 , 2√3) b. Q (-1 , -1) c. R (-2√3 , 6) d. S (6 , -2√3)

3. Nyatakan koordinat kutub titik-titik berikut ke koordinat kartesius ! a. (8 , 45°) b. (7 , 90°) c. (4√3 , 150°) d. (10 , 330°)

e. (8 , 240°) f. (3√2, 225°) g. (5√3 , 300°) h. (15 , 330°)

4. Nyatakan koordinat kartesius titik-titik berikut ke koordinat kutub! a. (5 , 5) b. (-5√3, 5) c. (-3√2, -3√2) d. (6 , -6√3)

d. (-3√2, 3√2) e. (-3√2, -3√6) f. (3√15, -9√5) 5. Nyatakan ke koordinat kartesius !

a. (4, 180°) b. (6 , 270°) c. (8 , 120°) d. (5 , 315°) e. (6 , 140°) f. (10, 185°) g. (8 , 310°) h. (5 , 15°)

w

(8)

Kegiatan Belajar 3

Tujuan Kegiatan Belajar 3

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini siswa diharapkan dapat : 1. Menjelaskan tentang aturan sinus dan cosinus

2. menerapkan aturan sinus untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga 3. menerapkan aturan cosines untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut suatu segitiga Uraian M ateri Kegiatan Belajar

3.1. A turan Sinus

∆ABC dengan panjang sisi-sisinya a, b, c dan CE dan BD adalah garis tinggi serta ∆ABC segitiga sembarang.

Pada ∆ AEC, maka sin A = Dari pers. 1) dan pers. 2) didapatkan :

→ b . sin A = a . sin B ( masing-masing dibagi dengan sin A. sin B) Dari pers. 4) dan pers. 5) didapatkan

→ c . sin A = a . sin C (masing-masing dibagi dengan sin A. sin C)

Dari pers. 3) dan pers. 6) maka didapatkan aturan sinus :

→

Dari gambar di samping didapatkan :

→ A B = c, AC = b dan BC = a A turan sinus yang dipakai :

→

(9)

Contoh 2:

Diketahui ∆ A BC A B = 8 cm, A C = 5 cm dan∠ B = 37°. Hitunglah besar sudut C ! Penyelesaian :

Dari data di atas ada 2 kemungkinan segitiga yang terbuat, yaitu :

→ A B = c, AC = b dan BC = a A turan sinus yang dipakai :

→

C sin

c B sin

b

= →

C sin

8 37 sin

5

o = → ₅

o 37 sin . 8 C

sin =

→

5 602 , 0 . 8 C

sin = → sin C = 0,9632 dg tabel didapat∠C = 74°24’ = 74,4° Besar sudut C :

→ ∠ C = 74,4°

→ ∠C = 180° - 74,4° = 105,6° Jadi∠C = 74,4° dan 105,6°.

3.2 Aturan Cosinus

Pada ∆ A BC, CD adalah garis tinggi. sin A = CD AC.sinA CD b.sinA

AC CD

= ⇒ =

⇒

cos A = AD AC.cosA AD b.cosA AC

AD

= ⇒ =

⇒

Dasar Phytagoras dari ∆ BDC didapat :

→ _a2₌_CD2₊_BD2

→ _a2₌₍_b_._sin_A₎2₊₍_c₋_AD₎2

→ _a2₌₍_b_._sin_A₎2₊₍_c₋_b_._cos_A₎2

→ a2=b2.sin2A+c2−2.bc.cosA+b2cos2A → a2=b2.sin2A+b2cos2A+c2−2bc.cosA

→ a2=b2(sin2A+cos2A)+c2−2bc.cosA → a2=b2+c2−2.bc.cosA

Dengan memandang sudut B diperoleh : sin B =

a t

Maka :

→ t = a. sin B

→BD = a . cos B

→A D = c – a . cos B

→ _b2₌_t2₊_AD2_→ _b2 ₌₍_a_._sin_B₎2₊₍_c₋_a_._cos_B₎2

→ b2=a2.sin2B+c2−2.ac.cosB+a2.cos2B→ b2=a2.sin2B+a2.cos2B−2.ac.cosB+c2

→ _b2₌_a2_(sin2_B₊_cos2_B₎₋₂_._ac_._cos_B₊_c2_→ _b2₌_a2₊_c2₋₂_._ac_._cos_B

Dengan cara yang sama didapat rumus aturan cosinus sebagai berikut :

→ a2=b2+c2−2.bc.cosA

→ b2=a2+c2−2.ac.cosB

→ c2 =a2+b2−2.ab.cosC

C A

B 37°

8 cm _{5 cm}

37°

8 cm 5 cm

C A

B

A B

C

D

a b

c t

w

(10)

Contoh 1 :

Diketahui ∆ A BC , A B = 5 dan AC = 8 dan∠A=60°. Hitunglah panjang sisi BC!

Penyelesaian :

Dengan melihat data yang ada didapatkan :

A B = c = 5, AC = b = 8,∠A = 60° , maka aturan cosinus yang dipakai adalah :

Aturan cosinus yang dipakai :

B Dengan menggunakan tabel sin-cos atau dengan kalkulator didapatkan besar sudut B = 38°28’

Besar sudut C didapatkan dengan dasar jumlah sudut dalam sebuah segitiga adalah 180° maka besar sudut : C = 180° - ( 60° + 38° 28’)

C = 180° - 98° 28’ C = 81° 32’

Lembar Kerja Siswa KB 3

1. Tentukan nilai dari unsur yang belum diketahui jika a = 5,5 cm,∠B = 45° dan∠A = 60°.

(11)

7. Pada∠PQR jika PQ = 7 cm, QR = 9 cm dan PR = 6 cm, hitunglah nilai∠P,∠Q dan∠R!

8. Kota B terletak 20 km sebelah utara kota A dan kota C terletak 15 kn barat laut kota A. Hitunglah jarak antara kota B dan kota C!

9. Pada ∆ ABC,∠A = 30°,∠C = 45° dan b = 20 cm, tentukan a, c, dan∠B!

10. Pada ∆ ABC,∠C = 30°, b = 10 cm dan c = 6 cm, tentukan a,∠B dan∠C!

Kegiatan Belajar 4. M enerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut Tujuan Kegiatan Belajar 4

Setelah mempelajari uraian materi ini, siswa dapat : 1. Menentukan rumus luas segitiga

2. Menentukan luas segitiga Uraian M ateri Kegiatan Belajar 4

Gambar di bawah adsalah∆ ABC dan untuk mencari luas segitiga adalah :

Luas

∆ ABC =

2 tinggi x Alas

Dari gambar segitiga tersebut, alas = A B, tinggi CD, dan CD = b sinα, maka Luas∆ ABC =

2 A B.CD

= 2

sin A B.b α

= c.bsinα 2

1

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa bila diketahui besar salah satu sudut dan panjang dua sisi yang mengapit sudut itu, maka luas segitiga dapat ditentukan :

L∆ A BC = ½ a. b sinλ = ½ b.c sinα = ½ a.c sinβ Contoh 1 :

Diketahui∆ A BC dengan sisi a = 20, b = 25,δ = 550

Carilah luas∆ A BC tersebut !

Jawab : Luas∆ A BC = ½ a . b sinδ = ½ . 20 . 25 . sin 550

= ½ . 20. 25 (0,8191) = 209,78 satuan luas.

A B

C

D a b

c

α β

λ

C A

B

20

25 5500

w

(12)

Contoh 2

Diketahui∆ A BC, dengan sisi a = 14 cm, b = 16 cm dan c = 22 cm. Carilah luas∆ A BC tersebut !

Jawab :

α −

+

=b c 2.b.c.cos

a2 2 2

α −

+

=16 22 2.16.22.cos

142 2 2

196 = 256 + 489 – 704 cosα

cosα =

704 196

740−

cosα =

704 544

= 0,7727

α = 390_24’

Luas∆ ABC = ½ b.c sinα = ½ 16.22 sin 390_24’

= 176. 0,6347 = 111,7072 Jadi luas∆ A BC = 111,7072 cm2

1. Carilah luas∆ A BC jika :

a. a = 7 cm, b = 9 cm danδ = 720

b. b = 24 cm, c = 30 cm danα = 450

c. c = 40 cm, a = 14 cm danβ = 600

2. Carilah luas∆ A BC jika : a. a = 4 cm, b = 6 cm, c = 8 cm b. a = 12,7 cm,δ = 450_,β_{= 60}0

c. b = 15,16 cm, c = 14,8 cm,δ = 600

3. Luas segitiga ABC adalah 32 cm2_{. A B = 8 cm dan A C = 16 cm. Tentukan besar sudut A !}

4. Suatu jajaran genjang ABCD, AB = 84 cm, BC = 68 cm dan ∠BAD = 450_{. Hitunglah luas}

jajaran genjang ABCD tersebut !

5. Hitunglah luas segiempat ABCD seperti pada gambar berikut :

6. Hitunglah luas segitiga ABC dengan : a. sisi alas BC = 5,6 dan tinggi = 2,5 b. sisi alas BC = 16 dan tinggi = 8 cm

7. Hitunglah luas segitiga A BC, bila diketahui A B = 8, BC = 11 dan <B = 30 ! 8. Hitunglah luas segitiga ABC berikut, jika :

a. b = 4, c = 5 dan ,∠ A = 1200

b. a = 10, b = 20 dan∠ C = 450

9. Hitunglah luas segi empat A BCD seperti tampak pada gambar!

D

B C

A

1200 ₉

10 8

7

120°

C

D

A

8

7

60°

w

(13)

10. Diketahui segi enam beraturan dengan panjang sisinya 8 cm. Hitunglah luas segi enam tersebut !

Kegiatan Belajar 5. M enerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut Tujuan Kegiatan Belajar 5

Setelah mempelajari materi ini, siswa dapat :

1. Menentukan rumus-rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

2. Menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut. 3. Menggunakan rumus trigonometri jumla dan selisih dua sudut.

Uraian M ateri

5.1 Rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut. 1. Cos (A +B) = Cos A. Cos B – Sin A . Sin B

2. Cos (A -B) = Cos A. Cos B + Sin A . Sin B 3. Sin (A +B) = Sin A . Cos B + Cos A . Sin B 4. Sin (A -B) = Sin A. Cos B - Cos A . Sin B 5. Tan (A +B) = Tan A + Tan B

1 – Tan A. Tan B 6. Tan (A -B) = Tan A - Tan B

1 – Tan A - Tan B Contoh Soal :

Diketahui : Sin A =

5 3

untuk A sudut lancip Cos B =

-13 12

untuk B sudut lancip Tentukan : a. Sin (A + B)

b. Cos (B – A ) c. Tan (A – B) Jawab :

Sin A =

5 3

Sin B =

13 12

Cos A =

5 4

Cos B =

-13 12

Tan A =

4 3

Tan B =

-12 5

a. Sin (A +B) = Sin A . Cos B + Cos A . Sin B =

5 3

.

(-13 12

) +

5 4

.

13 5

=

-65 36

+

65 20

=

-65 16

b. Cos (B-A ) = Cos B . Cos A + Sin B . Sin A =

-13 12

.

5 4

+

13 5

.

5 3

=

-65 48

+

65 15

=

-65 33

c. Tan (A -B) = Tan A – Tan B 1 + Tan A . Tan B

A B

C

4

5 3

C

A B

12 5

13

w

(14)

=

5.2 Rumus trigonometri rangkap

a. Sin 2 A = 2 Sin A . Cos A

Diketahui Cos A =

13 12

untuk A sudut lancip. Tentukan : a. Sin 2 A

5.3 Rumus perkalian Sinus dan Cosinus

a. 2 Sin A . Cos B = Sin (A +B) + sin (A -B)

(15)

a. Cos 750_{Cos 15}0

b. Cos 2x . Sin x Jawab :

a. 2 Sin A Cos B = sin (A +B) + sin (A -B) Sin A Cos B = ½ {Sin (A +B) + Sin (A -B)} Sin 75 Cos 15 = ½ {Sin (75 + 15) + Sin (75 – 15)}

= ½ {Sin 900_{+ Sin 60}0_}

= ½ {1 + ½

3

} = ½ + ¼

3

b. 2 Cos A . Sin B = Sin (A+B) – Sin (A -B) Cos A Sin B = ½ {Sin (A +B) – Sin (A -B)} Cos 2x Sin x = ½ {Sin (2x + x) – Sin (2x – x)}

= ½ {Sin 3x – Sin x} = ½ Sin 3x – ½ Sin x

5.4 Rumus penjumlahan dan pengurangan Sinus dan Cosinus a. Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A +B) . Cos ½ (A -B) b. Sin A – Sin B = 2 Cos ½ (A +B) . Sin ½ (A -B) c. Cos A – Cos B = 2 Cos ½ (A +B) . Cos ½ (A -B) d. Cos A – Cos B = - 2 Sin ½ (A +B) . Sin ½ (A -B) Contoh :

Hitunglah : a. Cos 750_{+ Cos 15}0 _{b. Sin 75}0_{+ Sin 15}0

Jawab :

a. Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A +B) Cos ½ (A -B) Cos 750_{+ Cos 15}0_{= 2 Cos ½ (75+15) Cos ½ (75-15)}

= 2 Cos ½ (90) . Cos ½ (60) = 2 Cos 45 . Cos 30

= 2 . ½ 2. ½ 3 = ½ 6

b. Sin A + Sin B = 2 Sin ½ (A+B) . Cos ½ (A -B) Sin 75 + Sin 15 = 2 Sin ½ (75+15) . Cos ½ (75-15)

= 2 Sin ½ (90) . Cos ½ (60) = 2 Sin 45 . Cos 30

= 2 . ½ 2 . ½ 3 = ½ 6

1. Diketahui Sin A + ½, Cos B =

2 3

, A dan B sudut lancip. Tentukan nilai dari : a. Cos (A + B)

b. Sin (A – B) c. Tan (A – B)

2. Diketahui Tan A = -4/ 5 dan Tan B = 7/ 24, A sudut tumpul dan B sudut lancip. Tentukan nilai dari :

a. Cos (A -B) b. Sin (A+B) c. Tan (A-B)

3. Dengan mengatakan 750_{= 45}0_{+ 30}0_{. Tentukan nilai dari :}

a. Sin 750

b. Cos 750

c. Tan 750

4. Diketahui : tan B = 1/ 3 (B sudut lancip). Tentukan nilai : a. Sin 2 A

b. Cos 2 A

w

(16)

5. Nyatakan sebagai jumlah Sinus atau Cosinus dan sederhanakan jika mungkin : a. 2 Sin 1450_{Cos 55}0

b. Sin (π + x) . Cos (π - x)

c. 2 Cos (π/ 2 + x) . Cos (π/ 2 – x) d. 2 Cos 500_{Cos 40}0_{– 2 Sin 95}0_{. Sin 85}0

6. Sederhanakan : a. Cos 750_{– Cos 15}0

Sin 750_{+ Sin 15}0

b. Sin 7A – Sin 3A Sin 9A + Sin 3A 7. Buktikkan :

a. Tan 2x =

Kegiatan Belajar 6. M enyelesaikan persamaan trigonometri Tujuan Kegiatan Belajar 6

Setelah mempelajari uraian materi ini, siswa dapat : 1. Menentukan identitas trigonometri.

2. Menyelesaikan bentuk-bentuk persamaan trigonometri. Uraian M ateri

6.1 Identitas Trigonometri

Suatu persamaan yang dipenuhi oleh semua variabelnya disebut identitas/ kesamaan. Biasanya bentuk identitas diminta membuktikkan bentuk yang satu dengan bentuk yang lain, atau membuktikkan luar kiri sama dengan luar kanan.

Menurut definisi : Sinα =

Sekarang perhatikan rumus-rumus berikut : 1. Sin2α_{+ Cos}2α ₌

(17)

= ₂

(18)

6.2 Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat satu atau beberapa fungsi trigonometri dari beberapa sudut yang belum diketahui.

a. Persamaan trigonometri bentuk sederhana 1. Jika sin x = sinα maka (i) x =α0_{+ k.360}0

(ii) x = (1800_-α_{) + k.360}

2. Jika cos x = cosα maka (i) x =α0_{+ k.360}0

(ii) x = -α0_{k . 360}0

3. Jika tg x = tgα maka (i) x =α + k.1800

Dimana k adalah bilangan bulat. Atau

1. Jika sin x = Sinα maka (i) x =α + k . 2π (ii) x = (π -α) + k . 2π 2. Jika cos x = cosα maka (i) x =α + k . 2π

(ii) x = -α + k . 2π 3. Jika tg x = tgα maka x =α + k .π

Dimana k adalah bilangan bulat. Contoh :

1. Tentukan penyelesaian Sin x = ½ 3 untuk 0 x 3600

Jawab : Sin x = ½ 3

Sin x = sin 600_{maka berlaku :}

(i) x = 600_{+ 0.360}0_{= 60}0

k = 0 x = 600_{+ 1.360}0_{= 60}0

k = 1 x = 600_{+ 1.360}0_{= 420}0_{(tidak memenuhi)}

(ii) x = (1800_-600_{) + k . 360}0

x = 1200_{+ k . 360}0

k = 0 x = 1200_{+ 0.360}0_{= 120}0

k = 1 x = 1200_{+ 1.360}0_{= 480}0_{(tidak memenuhi)}

Jadi Hp = {600_{, 120}0_}

2. Cos x ½, tentukan himpunan penyelesaiannya ! Jawab :

Cos x = ½ (untuk 0 x 3600₎

Cos x = Cos 600_{maka :}

(i) x = 600_{+ k . 360}0

k = 0 = 600_{+ 0.360}0_{= 60}0

k = 1 = 600_{+ 1.360}0_{= 420}0_{(tidak memenuhi)}

(ii) x = - 600_{+ k.360}0

k = 0 x = -600_{+ 0.360}0_{= -60}0_{(tidak memenuhi)}

k = 1 x = -600_{+ 1.360}0_{= 300}0

k = 2 x = -600_{+ 2.360}0_{= 660}0_{(tidak memenuhi). Jadi Hp = {60}0_{, 300}0_}

3. Tentukan penyelesaian dari tg x = 1/ 3 3 untuk 0 x 2π ! Jawab :

Tg x = 1/ 3 3

Tg x = tg

6

π_{maka x =}

6

π_{+ k .}_π

k = 0 x = π + 0 .π = π

w

(19)

k = 1 x =

6

π_{+ 1.}_π₌

6

7π

k = 2 x =

6

π_{+ 2.}_π₌ _π

6 13

tidak memenuhi Jadi Hp = {

6

π_,

6

7π

}

b. Persamaan bentuk sin px = a, cos px = a; dan tan px = a

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri bentuk sin px = a, cos px = a dan tan px = a, dengan p dan a merupakan konstanta, maka terlebih dahulu persamaan tersebut harus ke dalam bentuk dasar.

Contoh :

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut untuk 0 x 3600_!

a. 2 sin 2x = 3

b. cos 2x = ½ c. 3 tan 3x = -1 Jawab :

a. 2 sin 2x = 3 ↔ sin 2x = ½ 3

↔ sin 2x = sin 600_maka

(i) 2x = 600_{+ k . 360}0

x = 300_{+ k . 180}0

k = 0 x = 300_{+ 0 . 180}0_{= 30}0

k = 1 x = 300_{+ 1 . 180}0_{= 210}0

k = 2 x = 300_+2.1800₌₃₉₀0_{(tidak memenuhi)}

(ii) 2x = 1800_{– 60}0_{+ k . 360}0

2x = 1200_{+ k . 360}0

x = 600_{+ k . 180}0

k = 0 600_{+ 0 . 180}0_{= 60}0

k = 1 600_{+ 1 . 180}0_{= 240}0

k = 2 600_+2.1800_{= 420}0_{(tidak memenuhi)}

Jadi Hp = {300_{, 60}0_{, 210}0_{, 240}0_}

b. Cos 2x = ½

↔ cos 2x = Cos 600_{maka :}

(i) 2x = 600_{+ k . 360}0

x = 300_{+ k . 180}0

k = 0 x = 300_{+ 0 . 180}0_{= 30}0

k = 1 x = 300_{+ 1 . 180}0_{= 210}0

k=2 x = 300_{+2. 180}0_{= 390}0_{(tidak memenuhi)}

(ii) 2x = -600_{+ k . 360}0

x = -300_{+ k . 180}0

k = 0 x = -300_+0.1800_{= -30}0_{(tidak memenuhi)}

k = 1 x = -300_{+ 1 . 180}0_{= 150}0

k = 2 x = -300_{+ 2 . 180}0_{= 330}0

k = 3 x =-300_+3.1800_{= 510}0_{(tidak memenuhi)}

Jadi Hp = {300_{, 150}0_{, 210}0_{, 330}0_}

c.

3

tan 3x = -1

↔ tan 3x =

3

1

3

1 −

=

−

↔ tan 3x = tan 1500_maka

3x = 1500_{+ k . 180}0

x = 500_{+ k . 60}0

k = 0 x = 500_{+ 0 . 60}0_{= 50}0

k = 1 x = 500_{+ 1 . 60}0_{= 110}0

k = 2 x = 500_{+ 2 . 60}0_{= 170}0

k = 3 x = 500_{+ 3 . 60}0_{= 230}0

k = 4 x = 500_{+ 4 . 60}0_{= 290}0

k = 5 x = 500_{+ 5 . 60}0_{= 350}0

k = 6 x = 500_{+ 6 . 60}0_{= 410}0_{(tidak memenuhi)}

Jadi Hp = {500_{, 110}0_{, 170}0_{, 230}0_{, 290}0_{, 350}0_{, 410}0_}

w

(20)

2. Tentukan Hp dari

3

Cos (4x +π) = -1½ untuk 0≤ x≤ 2π Untuk menyelesaikan, kita ingiat rumus-rumus berikut :

Cos (A +B) + Cos (A -B) = 2 Cos A . Cos B

(21)

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut, untuk 0≤ x≤ 3600_!

a. Sin (600_{+ 2x) – Sin (60}0_{– x) = 1}

b. Sin 5x – sin x = 0 c. Cos 4x – Cos 2x = 0 Jawab :

a. Sin (600_{+ 2x) – Sin (60}0_{– x) = 1} ↔ 2 Cos 600_{Sin x = 1}

↔ 2 . ½ Sin x = 1

↔ Sin x = 1

↔ Sin x = Sin 900_{maka :}

(i) x = 900_{+ k . 360}0

k = 0 x = 900_{+ 0 . 360}0_{= 90}0

k = 1 x = 900_{+ 1 . 360}0_{= 450}0

(tidak memenuhi) (ii) x = 1800_{– 90}0_{+ k . 360}0

x = 900_{+ k . 360}0

k = 0 x = 900_{+ 0 . 360}0_{= 90}0

Jadi Hp = {900_}

b. Sin 5x – sin x = 0

↔ Sin (3x + 2x) – Sin (3x-2x) = 0

↔ 2 Cos 3x . Sin 2x = 0

↔ Cos 3x = 0 atau Sin 2x = 0

Untuk Cos 3x = 0↔ Cos 3x = Cos 900_{maka :}

(i) 3x = 900_{+ k . 360}0

x = 300_{+ k . 120}0

k = 0 x = 300_{+ 0 . 120}0_{= 30}0

k = 1 x = 300_{+ 1 . 120}0_{= 150}0

k = 2 x = 300_{+ 2 . 120}0_{= 270}0

(ii) 3x = 900_{+ k . 360}0

x = -300_{+ k . 120}0

k = 0 x = -300_{+ 0 . 120}0_{= -30}0_{(tidak memenuhi)}

k = 1 x = -300_{+ 1 . 120}0_{= 90}0

k = 2 x = -300_{+ 2 . 120}0_{= 210}0

k = 3 x = -300_{+ 3 . 120}0_{= 330}0

k = 4 x = -300_{+ 4 . 120}0_{= 450}0_{(tidak memenuhi)}

Untuk Sin 2x = 0↔ Sin 2x = Sin 0 maka : (i) 2x = 0 + k . 3600

x = k . 1800

k = 0 x = 0 . 1800_{= 0}

k = 1 x = 1 . 1800_{= 180}0

k = 2 x = 2 . 1800_{= 360}0

k = 3 x = 3 . 1800_{= 540}0_{(tidak memenuhi)}

(ii) 2x = 1800_{– 0 + k . 360}0

2x = 1800_{+ k . 360}0

x = 900_{+ k . 180}0

k = 0 x = 900_{+ 0 . 180}0_{= 90}0

w

(22)

k = 1 x = 900_{+ 1 . 180}0_{= 270}0

Jadi Hp = {00_{, 30}0_{, 90}0_{, 150}0_{, 180}0_{, 210}0_{, 270}0_{, 330}0_{, 360}0_}

c. Cos 4x – Cos 2x = 0

↔ Cos (3x + x) – Cos (3x – x) = 0

↔ -2 Sin 3x Sin x = 0

↔ Sin 3x = 0 atau Sin x = 0

Untuk Sin 3x = 0↔ Sin 3x = Sin 0 maka : (i) 3x = 00_{+ k . 360}0

x = 00_{+ k . 120}0

k = 0 x = 00_{+ 0 . 120}0_{= 0}

k = 1 x = 00_{+ 1 . 120}0_{= 120}0

k = 2 x = 00_{+ 2 . 120}0_{= 240}0

k = 3 x = 00_{+ 3 . 120}0_{= 360}0

(ii) 3x = 1800_{– 0 + k . 360}0

3x = 1800_{+ k . 360}0

x = 600_{+ k . 120}0

k = 0 x = 600_{+ 0 . 120}0_{= 60}0

k = 1 x = 600_{+ 1 . 120}0_{= 180}0

k = 2 x = 600_{+ 2 . 120}0_{= 300}0

Untuk Sin x = 0↔ Sin x = Sin 00_{maka :}

(i) x = 00_{k . 360}0

k = 0 x = 00_{+ 0 . 360}0_{= 0}0

k = 1 x = 00_{+ 1 . 360}0_{= 360}0

(ii) x = 1800_{– 0}0_{+ k . 360}0

x = 1800_{+ k . 360}0

k = 0 x = 1800_{+ 0 . 360}0_{= 180}0

Jadi Hp = {00_{, 60}0_{, 120}0_{, 180}0_{, 240}0_{, 300}0_{, 360}0_}

d. Persamaan trigonometri bentuk a Cos x0_{+ b sin x = c}

Untuk menyelesaikan persamaan a Cos x0_{+ b sin x = c, mula-mula persamaan itu}

diubah ke bentuk k Cos (x –α) = c, dimana k = a2+b2 dan tanα = a b , Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan Cos x – Sin x = 1 untuk 0≤ x≤ 3600_!

Jawab :

Cos x – Sin x = 1 a = 1

b = -1 c = 1

w

(23)

tanα = a b

tanα = 1 (kwIV) 1

1

− −

α = 315

Cos x – Sin x = k Cos (x –α) = 1 2 Cos (x – 315) = 2

2 1 2 1 ₌

Cos (x – 315) = Cos 450_{, maka :}

i. x – 3150_{= 45}0_{+ k . 360}0

x = 3600_{+ k . 360}0_{untuk k = 0 diperoleh x = 360}0

ii. x – 3150_{= -45 + k . 360}0

x = 2700_{+ k . 360}0

k = 0 x = 2700_{+ 0 . 360}0_{= 270}0

Jadi Hp = {2700_{, 360}0_}

e. Persamaan kuadrat dalam Sin, Cos, Tan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri kuadrat dengan pemisalan kemudian dijalankan untuk mendapatkan akar-akar penyelesaian, dan diselesaikan sesuai dengan rumus dasar.

Contoh :

Tentukan Hp dari persamaan Sin2_{x + Sin x-2 = 0 untuk 0}≤_x≤₃₆₀0_!

Jawab :

Sin2_{x + Sin x - 2 = 0}

Misal Sin x = p maka

Sin2_{x + Sin x - 2 = p}2_{+ p – 2 = 0}

p2_{+ p – 2 = 0}

(p + 2) (p – 1) = 0 p + 2 = 0 atau p – 1 = 0 p = -2 p = 1

p = -2

Sin x = -2 (tidak mungkin, karena Sin x≤ -1) p = 1

Sin x = 1

Sin x = Sin 900_{maka :}

(i) x = 900_{+ k . 360}0

k = 0 x = 900_{+ 0 . 360}0_{= 90}0

(ii) x = 1800_{– 90}0_{+ k . 360}0

k = 0 x = 900_{+ k . 360}0_{= 90}0_{(sama dengan (i))}

Jadi Hp = {900₎

Lembar Kerja Siswa KB 6 1. Buktikan :

a. Cos A (1 – tan A ) = Cos A – Sin A b. 2 Cos2_{A – 1 = 1 – 2 Sin}2_A

c.

1 A Sin 2

1 A

Ctan -A Tan

A Ctan A

Tan

2 ₋

= +

w

(24)

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0≤ x≤ 3600_{dari persamaan berikut :}

a. Cos x = ½

3

b. Sin x = - ½ c. Tan x = -

3

3. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0≤ x≤ 2π dari : …. a. Sin 3x = ½

2

b. b. Tan 5x = 1/ 3

3

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari : a. Cos 6x – Cos 2x = 0 untuk 0≤ x≤ 3600

b. Sin 4x + Sin 2x = 0 untuk 0≤ x≤ 3600

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. 2 Sin2_{x – 6 Sin x + 4 = 0 untuk 0}≤_x≤₃₆₀0₃

b. Cos x +

3

Sin x =

3

untuk 0≤ x≤ 3600

c. 2 Cos2_{x – 3 Cos x + 1 = 0 untuk 0}≤_x≤₃₆₀0

d.

2

Cos x -

2

Sin x = 1 untuk 0≤ x≤ 3600

w

(25)

UJI KO M PETENSI

Pilihlah jawaban yang benar ! 1. Nilai dai cos 135° adalah … 6. Koordinat kartesius titik (4 , 330°) adalah …

a. (2√ 3 , -2) b. (2√ 3 , 2) c. (-1 , 2√ 3) d. -2 , 2√ 3) e. (2 , 2√ 3) 9. Pada setiap segitiga berlaku …

a.

(26)

a.

1 a

1 a 2 a

2 2

+ + +

b.

1 a

1 a 2 a

2 2

+ − −

c.

1 a

1 a a

2 2

+ + +

d.

1 a

1 a 2 a

2 2

+ + −

e.

1 a

1 a 2 a

2 2

− + −

20. Luas segitiga ABC dengan panjang sisi b = 5 cm, panjang sisi c = 8 cm, ∠A = 45° adalah …

A. 10 cm2 _{B. 10}√_{3 cm}2 _{C. 20 cm}2 _{D. 20}√_{3 cm}2 _{E. 20}√_{2 cm}2

21. Diketahui sin A = ₅3, cos B = ₁₃5 , A dan B sudut lancip, maka nilai dari sin(A + B) = …

A.−63₆₅ B.−₆₅50 C. −₆₅33 D. ₆₅33 E. ₆₅63

22. Jika cos A = ₅4 dan 0° < A < 90° , maka sin 2A = …

A. ₂₅24 B. ₁₀8 C. ₁₀6 D. ₂₅7 E. ₂₅4

23. sin 75° + sin 15° = …

A. – 1 B. 0 C. ½√ 2 D. ½√ 6 E. 1

24. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3x°- 1 = 0, untuk 0°≤x≤ 360° adalah …

A. {20°, 10°, 220°, 260°, 340°} D. {60°, 120°, 240°, 300°}

B. {20°, 120°, 140°, 240°, 300°, 340°} E. {60°, 100°, 240°, 330°}

C. {60°, 120°, 240°, 300°}

25. Ali berdiri sejauh 100 meter dari suatu tiang dan memandang ke puncak dengan sudut pandangα. Jika

sinα = ¾ dan tinggi Ali 1,50 meter, maka tinggi tiang adalah ….

A. 61,5 mater B. 75 meter C. 76,5 meter D. 81,5 meter E. 134,8 mater

w