Trigonometri Dasar dan Aplikasi Sederhan

Trigonometri Dasar dan Aplikasi Sederhana

Risqi Pratama, S.Si.

15 Desember 2017

Rumus Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Jika terdapat segitiga siku-siku sebagai berikut:

Gambar 1: Segitiga siku-siku.

Maka perbandingan trigonometrinya adalah

sinα= y

r cscα=

r

y cscα=

1

sinα (1)

cosα= x

r secα=

r

x secα=

1

cosα (2)

tanα= y

x cotα=

x

y cotα=

1

cotα (3)

Gambar 2 adalah segitiga-segitiga siku-siku dengan sudutα merupakan sudut istimewa. Se-gitiga siku-siku tersebut memiliki ukuran sisi-sisi yang bersesuaian dengan sudut apit antara sisi

samping dengan sisi miringnya. Jika disamakan dengan gambar 1 dan persamaan (1), (2) dan (3), maka perbandingan trigonometrinya adalah

Gambar 2: Segitiga siku-siku dengan ukuran sisi-sisinya pada sudut istimewa 30◦_{, 37}◦_{, 45}◦_{, 53}◦

dan 60◦_.

Perbandingan 30◦ ₃₇◦ ₄₅◦ ₅₃◦ ₆₀◦ ₉₀◦ ₁₈₀◦ ₂₇₀◦ ₃₆₀◦

sin 1

2 3 5

1 2

√

2 4 5

1 2

√

3 1 0 1 0

cos 1

2

√

3 4 5

1 2

√

2 3 4

1

2 0 1 0 1

tan 1

3

√

3 3

4 1

4 3

√

3 _∞ 0 _∞ 0

Tabel 1: Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa.

Rumus Trigonometri pada beberapa Aplikasi

Beberapa aplikasi perbandingan trigonometri antara lain pada penjumlahan sudut, rumus sinus dan cosinus dan rumus luas segitiga sembarang.

1. Rumus penjumlahan sudut, fungsinya untuk menentukan perbandingan trigonometri pada sudut yang berelasi

sin (a+b) = sinacosb+ sinbcosa sin (a₋b) = sinacosb₋sinbcosa (4)

cos (a+b) = cosaccosb₋sinasinb cos (a₋b) = cosaccosb+ sinasinb (5)

tan (a+b) = tana+ tanb

1₋tanatanb tan (a−b) =

tana₋tanb

1 + tanatanb (6)

2. Rumus sinus dan cosinus. Rumus sinus digunakan pada perbandingan sudut dalam segitiga dengan sisi yang menghadap sudut sedangkan rumus cosinus digunakan untuk menentukan

resultan vektor dari vektor-vektor sembarang. Perhatikan gambar 3 sebelah kiri, akan berlaku hubungan

a

sinA = b

sinB = c

sinC (7)

untuk gambar sebelah kanan berlaku

a2 =b2+c2₋2bccosA (8)

b2 =a2+c2₋2accosB (9)

c2 =a2+b2₋2abcosC (10)

Gambar 3: Rumus sinus dan cosinus pada segitiga sembarang.

3. Rumus luas segitiga sembarang dengan aturan trigonometri dapat diilustrasikan menggu-nakan gambar 3 sebelah kanan sebagai berikut

L= 1

2absinC (11)

L= 1

2bcsinA (12)

L= 1

2acsinB (13)

Catatan tambahan: _{ada rumus luas segitiga sembarang menggunakan persamaan}

L=ps(s₋a)(s₋b)(s₋c) s= K 2 =

a+b+c

2 (14)

Contoh soal

1. Sebuah antena dipasang dengan diberi penguat dari kawat yang diikatkan dari tanah ke puncak antena membentuk sudut 30◦ _{antara kawat dengan tanah. Jika tinggi antena 8 m}

berapakah panjang kawat tersebut? Jawab:

sin 30◦ ₌ t

L

dengan t= tinggi antena dan L= panjang kawat

Misal kita ambil sudut a = 30◦ _{sebagai pembanding sehingga diperoleh perbandingan}

∠A:∠B :∠C= 60◦_{: 90}◦_{: 150}◦_{. Menggunakan rumus sinus diperoleh}

Akan diperoleh perbandingan terhadapb yaknia= √23bdan c= 1

Dari pernyataan soal, maka sisi c adalah sisi miring. Rumus luasnya adalah

L= 1

2acsinB = 1

2a(5) sin 60

◦

Nilai adiperoleh dari perbandingan

cos 60◦ ₌ a

[1] Sumadi, Darno, Suharjana, A. (2008). ”Matematika: SMK/MAK Kelas XI Kelompok Tek-nologi, Kesehatan, dan Pertanian”. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan

Nasional.