Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Kegiatan Belajar 6
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat
a. Menentukan nilai kosinus sudut tertentu menggunakan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut.
b. Menentukan nilai sinus sudut tertentu menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.
c. Menentukan nilai tangen sudut tertentu menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut.
B. Uraian Materi 6
Jumlah Dan Selisih Dua Sudut
a. Aturan kosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut
Perhatikan gambar berikut :
•
A (1, 0)
•
O
•
- 1
• D(cosβ, –sinβ)
• B(cosα, sinα)
• C(cos (α+β), sin (α+β))
α β
-β
Pada gambar di samping titik A, B, C, D terletak pada lingkaran yang berjari-jari 1. maka :
Untuk sudutα
α α
α α
sin sin
.
cos cos
.
= =
•
= =
•
y r
y
x r
x
Untuk sudut (α+β)
(
)
(
)
(
α β)
(
α β)
β α β
α
+ =
+ =
•
+ =
+ =
•
sin sin
.
cos cos
.
y r
y
x r
x
Untuk sudut -β
β β
β β
sin sin
.
cos cos
.
− = −
= •
= −
= •
y r
y
x r
x
Panjang AC sama dengan jarak titik A dan titik C.
cos 2 2
1 cos
2 1
1 cos
2 sin
cos
sin 1 cos
2 cos
0 sin
1 cos
2
Panjang BD adalah
(
)
(
)
sin sin cos cos 2 2
sin sin 2 cos cos 2 1 1
sin sin 2 cos cos 2 sin cos
sin cos
sin sin sin 2 sin cos
cos cos 2 cos
sin sin cos
cos
2
sin sin cos cos cos
2
) sin sin cos (cos 2 cos
) sin sin cos (cos 2 cos
2
) sin sin cos (cos 2 2 cos
2
Jika sudutβadalah searah jarum jam maka :
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
sin sin cos cos
sin sin cos
cos cos
cos
−
Jadi diperoleh aturan kosinus untuk penjulahan dan pengurangan dua sudut adalah
(
)
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Contoh soal :
1. Tentukan nilai dari cos (45o+ 30o)
Penyelesaian
(
)
4 2 6
4 2 4
6
2 1 2
2 2
3 . 2
2
30 sin 45 sin 30 cos 45 cos 30
45 cos
− =
− =
− =
− =
+ o o o o o
o
2. Tentukan nilai dari cos 15o
Penyelesaian
(
)
4 2 6
4 2 4
6
2 1 2
2 2
3 . 2
2
30 sin 45 sin 30 cos 45 cos
30 45 cos 15
cos 0
+ =
+ =
+ =
+ =
− =
o o o
o o o
3. Bentuk sederhana dari cos20ocos40o+ sin20osin40o
Penyelesaian
o o
o o o
o o
o
20 cos
) 20 cos(
) 40 20 cos( 40
sin 20 sin 40 cos 20 cos
= − =
− =
b. Aturan Sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut
Berdasarkan sudut berelasi dikuadran I, jika x sinx 2
cos π − = sehingga
(
)
(
)
β α β
α
β α π β
α π
β α π
β α π
β α π β
α
sin cos cos
sin
sin 2
sin cos 2
cos 2 cos
2 cos
2 cos sin
+ =
− +
− =
− − =
− − =
+ − =
+
Begitu juga untuk sin
(
α −β)
maka(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
β α β
α
β α
π β
α π
β α
π
β α π
β α π β
α β
α
sin cos cos
sin
sin 2
sin cos
2 cos
2 cos
2 cos
2 cos sin
sin
− =
− −
+ − −
=
− − − =
− − − =
− + − =
− + =
−
Jadi diperoleh aturan sinus untuk penjulahan dan selisih dua sudut adalah
(
)
(
α
β
)
α
β
α
β
β
α
β
α
β
α
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
−
=
−
•
+
=
+
•
Contoh Soal :
1. Tentukan nilai dari sin 105o
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
(
)
4 2 6
4 2 4
6
2 2 2 1 2
2 2
3
45 sin 60 cos 45 cos 60 sin
45 60 sin 105 sin
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
o o o
o o o o
2. Jika tanα =1 dan
3 1
tanβ = denganαdanβsudut lancip, maka nilai sin
(
α−β)
adalahPenyelesaian
= •
= • = •
2 2 1 cos
2 2 1 sin 1 tan
α α α
= •
= • = •
10 10
3 cos
10 10
1 sin
3 1 tan
β β β
Maka
(
)
5 5 20
5 4
20 5 2 5 6
20 5 2 5 2 . 3
20 20 20
20 3
10 10 2
2 10
10 3 2
2
sin cos cos
sin sin
= =
− =
− =
− =
− =
− =
c. Aturan tangen untuk jumlah dan selisih dua sudut
dengan menggunakan identitas perbandingan maka :
(
)
(
)
tan tan 1
tan tan
cos cos
sin sin 1
cos sin cos
sin
cos cos
sin sin cos
cos cos cos
cos cos
sin cos cos
cos cos sin
sin sin cos cos
sin cos cos
sin cos sin tan
−
Dengan cara yang sama maka diperoleh :
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
tan tan 1
tan tan
cos cos
sin sin cos
cos cos cos
cos cos
sin cos cos
cos cos sin
sin sin cos
cos
sin cos cos
sin
sin sin cos
cos
sin cos cos
sin cos sin tan
tan
+
Jadi diperoleh aturan tangen untuk jumlah dan selisih dua sudut adalah
(
)
tan
tan
1
tan
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
tan
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Contoh Soal :
1. Jika
5 3 sina=− dan
25 7
cosb= dengan sudutadi kuadran III dan sudutbdi kuadran IV
maka nilai dari tan
(
a+b)
PenyelesaianSehingga
(
)
4 3 100
75 28 100
28 75 28
72 28
28 96 21
7 24 4 3 1
7 24 4
3
tan tan 1
tan tan tan
− −
= − =
+ − =
− −
− + =
− + =
+
b a
b a b
a
2. Buktikan bahwa tan
(
1800 −α)
=−tanα Penyelesaian(
)
(
)
terbukti
− = −
− = −
− = +
−
− = +
− − = −
α α
α α
α α
α
α α
α α α
tan tan
tan 1
tan
tan tan
0 1
tan 0
tan tan
180 tan 1
tan 180 tan
tan 180
tan
0 0 0
a
4 5 3
b
7 25 24
4 3 tan
5 4 cos
5 3 sin
= •
− = •
− = •
a a a
7 24 tan
25 7 cos
25 24 sin
− = •
= •
− = •
Sudut Rangkap
a. Aturan sin 2a, cos 2adan tan 2a
untuk memahami cara menurunkan aturan sudut rangkap maka pelajari berikut : 1. Rumus sin2a
a a
a a a a
a a a
cos sin 2
sin cos cos sin
) sin( 2
sin
=
+ =
+ =
Jadi diperoleh
a
a
a
2
sin
cos
2
sin
=
2. Rumus cos 2a
(
)
(
−)
= − −•
− = −
− • −
=
− =
+ =
1 cos 2 cos 1 cos
sin 2 1 sin sin
1 sin cos
sin sin cos cos
) cos( 2
cos
2 2
2
2 2
2 2
2
a a
a
a a
a a
a
a a a a
a a a
Jadi diperoleh
−
•
−
•
−
•
=
1
cos
2
sin
2
1
sin
cos
2
cos
2
2
2
2
a
a
a
a
a
3. Rumus tan 2a
a a
a a
a a
a a a
2 tan 1
tan 2
tan tan 1
tan tan
) tan( 2
tan
− =
− + =
+ =
Jadi diperoleh
a
a
a
2
tan
1
tan
2
2
tan
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Contoh soal
1. Buktikan sin3a=3sina−4sin3a Penyelesaian
(
)
sin 4 sin 3 sin 4 sin 3
sin 4 sin 3 sin sin
3 sin 3
sin 4 sin 3 sin sin
1 sin 3
sin 4 sin 3 sin cos
sin 3
sin 4 sin 3 sin sin cos cos
sin 2
sin 4 sin 3 sin sin cos
cos cos sin 2
sin 4 sin 3 sin 2 cos cos 2 sin
sin 4 sin 3 ) 2 sin(
sin 4 sin 3 3 sin
− Penyelesaian
(
)
cos 3 cos 4 cos 3 cos 4
cos 3 cos 4 cos 3 cos 3 cos
cos 3 cos 4 cos cos 3 cos
cos 3 cos 4 cos cos 1 3 cos
cos 3 cos 4 cos sin 3 cos
cos 3 cos 4 cos sin 2 cos sin cos
cos 3 cos 4 sin cos sin 2 cos sin cos
cos 3 cos 4 sin 2 sin cos 2 cos
cos 3 cos 4 2
cos
cos 3 cos 4 3 cos
3. Jika
3 1
tana= tentukan cos 3a
Penyelesaian
10 50
9 10 5
45 54
10 9 10 5
54
10 9 10 10
27 . 4
10 3 3 10 3 4
cos 3 cos 4 3 cos
10 3 cos 3
1 tan
3 3
= − =
− =
− =
− =
− =
= ⇔
=
a a
a
a a
4. Jika
4 1 2 1
cos a= , tentukan nilai sina
Penyelesaian
8 15 sin
8 7 cos
16 16 2 cos
1 16
2 cos
1 4 1 2 cos
1 2 1 cos 2 cos
2 1 2 cos cos
2 2
= − =
− =
− =
− =
− =
=
a a a a a
a a
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd 5. Tentukan nilai dari 2cos215o−1
Penyelesaian
3 2 1 1 15 cos 2
30 cos 1 15 cos 2
) 15 ( 2 cos 1 15 cos 2
2 cos 1 cos 2
2 2 2 2
= −
= −
= −
= −
o
o o
o o
a a
b. Aturan Setengah sudut
Dari uraian sudut rangkap cos 2a dapat diturunkan aturan setengah sudut :
2 1 cos 2
1 cos
2 1 2 2 cos
2 1 cos
2 1 2 cos cos
cos 2
1 2 cos 1
cos 2 2
cos 2 2
+ =
⇔
+ =
⇔
+ =
⇔ =
+ ⇔
− =
a a
a
a
a a
a a
a a
2 cos 1 2 1 sin
2 2 2 cos 1
2 1 sin
2 2 cos 1 sin sin
2 1 2 cos sin
2 1 2
cos 2 2
a a
a
a
a a
a a
a a
− = ⇔
− = ⇔
− = ⇔
= −
− ⇔
− =
dan dari uraian tan 2a
( )
a a a
a a a
2 1 tan 1
2 1 tan 2 2
2 1 tan tan
1 tan 2 2 tan
2 2
− = ⇔
Contoh Soal
1. Tentukan nilai dari sin22,5o Penyelesaian
(
)
2 2 2 1
2 2 4 1
4 2 2
2 2
2 2
2 45 cos 1 45 2 1 sin 5 , 22 sin
2 cos 1 2 1 sin
− =
− =
− =
− =
− = =
− =
o
a a
2. Jika
3 2 2 1
sin x= tentukan tanx
Penyelesaian
5 4 tan
9 1 cos
cos 1 9 8
2 cos 1 9 4
2 cos 1 3 2
2 cos 1 2 1 sin
= = − =
− =
− =
− =
x x
x x
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Konversi Perkalian Penjumlah/Pengurangan
a. Aturan kosinus
Dari uraian jumlah dan selisih dua sudut cos (a + b) dan cos (a – b) kita dapat menurunkan aturan trigonometri yang lain
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a b a b)
b a
b a b
a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
− −
+ −
=
− = − −
+
+ =
−
− =
+
−
cos cos
2 1 sin sin
sin sin 2 cos
cos
sin sin cos cos cos
sin sin cos cos cos
jika yang dieliminasi adalah sinasinb
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a b a b)
b a
b a b
a b
a
b a b a b
a
b a b a b
a
− +
+ =
= − +
+
+ =
−
− =
+
+
cos cos
2 1 cos cos
cos cos 2 cos
cos
sin sin cos cos cos
sin sin cos cos cos
Jadi diperoleh
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
b
a
b
)
b
a
b
a
b
a
b
a
−
+
+
=
•
−
−
+
−
=
•
cos
cos
2
1
cos
cos
cos
cos
2
1
sin
sin
Contoh soal
(
)
cos 2 1 20 sin 70 sin50 cos 0 2 1 20 sin 70 sin
50 cos 90 cos 2 1 20 sin 70 sin
) 20 70 cos( ) 20 70 cos( 2 1 20 sin 70 sin
) cos( ) cos( 2 1 sin sin
=
Penyelesaian
(
)
(
)
(
)
1 75 cos 15 cos 4 cos 15 cos 4
60 cos 90 cos 2 75 cos 15 cos 4
) 75 15 cos( ) 75 15 cos( 2 1 4 75 cos 15 cos 4
) cos( ) cos( 2 1 cos cos
=
b. Aturan sinus
Dari aturan jumlah dan selisih dua sudut pada aturan sinus jika kita eliminasi maka diperoleh :
(
sin( ) sin( ))
2 1 cos sin
cos sin 2 ) sin( ) sin(
sin cos cos sin ) sin(
sin cos cos sin ) sin(
b
Jika yang dieliminasi adalah sinacosbmaka di peroleh :
(
sin( ) sin( ))
2 1 sin cos
sin cos 2 ) sin( ) sin(
sin cos cos sin ) sin(
sin cos cos sin ) sin(
Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Sehingga aturan sinus untuk konversi perkalian ke penjumlahan/pengurangan
(
)
(
sin(
)
sin(
)
)
2
1
sin
cos
)
sin(
)
sin(
2
1
cos
sin
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
−
−
+
=
•
−
+
+
=
•
Contoh Soal:
1. Tentukan nilai dari sin75ocos15o
(
)
(
)
4 3 2 15 cos 75 sin
2 3 2 2 1 15 cos 75 sin
2 3 1 2 1 15 cos 75 sin
60 sin 90 sin 2 1 15 cos 75 sin
) 15 75 sin( ) 15 75 sin( 2 1 15 cos 75 sin
+ =
+ =
+ =
+ =
− +
+ =
o o
o o
o o
o o
o o
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari
(
)
(
)
3 2 1 210 sin210
sin x+ + x− = untuk
360 0≤x≤
Penyelesaian
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 1 210 cos sin 2
210 cos sin 2 ) 210 sin( ) 210 sin(
) 210 sin(
) 210 sin( 2 1 210 cos sin
) sin( ) sin( 2 1 cos sin
3 2 1 210 sin
210 sin
=
= − +
+
− + + =
− +
+ =
= − + +
x
x x
x
x x
x
b a b
a b
a
360 . 330 360
. 210
330 sin sin 210
sin sin
2 1 sin
1 sin 2 sin 2
k x
atau k
x
x atau x
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {210o, 330o}
Konversi Penjumlah/Pengurangan ke Perkalian
Dari aturan a b=−
(
cos(
a+b)
−cos(
a−b)
)
2 1 sin
sin di peroleh di atas Jika a=
(
p+q)
21
dan
(
p q)
b= −
2 1
maka
(
)
(
)
cos cos
2 1 sin 2
1 sin 2 cos 2 cos 2
1 sin 2
1 sin 2
2 1 2
1 cos 2
1 2
1 cos 2
1 sin 2
1 sin 2
cos cos
sin sin 2
