TRIGONOMETRI (JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT)

(1)

TRIGONOMETRI (JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT)

PENDAHULUAN

Sudut-sudut Istimewa :

x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330

sin  x cos

 x tg _x

1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

1.1 Rumus cos ( )

Y

Jika jari-jari lingkaran = 1, maka :



B OA = OB = 1

A Koordinat A(

cos ,sin )



= A ( x1,y1)  Koordinat B(cos ,sin )  = B ( x2,y2) O X AOB ...

Pada segitiga ABO berlaku :

Dengan menggunakan rumus jarak : AB2 x x y y

2 1

2

2 1

2

(  ) (  )

= (... ...) 2 (... ...) 2

= ... = ... = ... AB2 ₂ ₂

  (... ...) ...(1) Dengan menggunakan Aturan Cosinus :

AB2 OA2 OB2 ₂OA OB AOB

   . cos

= ...

= ... ...(2)

Dari (1) dan (2) disimpulkan :

cos(



) ...

cos( )cos(  ( ))

Karena sin () sin dan cos() cos, maka :

(2)

Contoh 1: Tentukan nilai cos 15 !

Jawab : cos 15 = ………

1.2 Rumus sin( )

Karena cos(90 ) sin

   dan sin(90 ) cos

  , maka :

sin( )cos(90 ())

= cos(90 ) )

 

= ...

sin(



) ...

sin( )sin(  ( ))

= ... = ...

sin(



) ...

Contoh 2: Tentukan sin 165

Jawab : sin 165 = …………..

1.3 Rumus tg( )

Karena tg    sin

cos , maka:

tg( ) sin( ) cos( )

   

 

  

 = ...

Jika pembilang dan penyebut dibagi coscos, maka :

= ...

tg(



) ...

tg()tg( ( ))

= ...

(3)

(4)

2. RUMUS SUDUT RANGKAP

sin

2 



sin(

 



)

= ……..

sin2 ...

cos

2 



cos(

 



)

= ...

= ... ...(*) Karena cos2 ₁ sin2

    maka (*) menjadi :

cos2 ... = ...

Karena sin2 ₁ cos2

   , maka (*) menjadi :

cos2 ... = ...

sin  ...

Jadi cos2 ...

= ...  cos  ...

= ...

tg  ...

tg

2 



tg

(



)

= ...

tg2 ...

Contoh 1: Tentukan nilai dari sin22 5, 

Jawab : sin  ...

sin22 5,  = ...

Contoh 2: Jika sin  3

5, maka tentukan tg2

Jawab : sin  3

5 = ... maka x = ... tg ... ...

tg2 ...

LATIHAN SOAL

(5)

a. cos22 5, o_b._sin_{67 5}_, o_c._sin1121

9. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, buktikan bahwa 2

2

3. RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS

(6)

2 coscos ...

(-)  ... = ...

2 sinsin ...

Contoh 1: Hitung 4sin15cos45

Jawab : 4sin15cos45 = 4...

= 2.2...

= 2[...] = 2[...]

= ...

Contoh 2: Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan atau pengurangan dari 2cos(x45) sin( x45)

Jawab : 2cos(x45) sin( x45)_{= ...}

LATIHAN SOAL

1. Tentukan nilai dari :

a. cos15osin75o_b._cos₄₅o_cos₁₅o_c.₄ ₅₂1

2 7

1 2

sin cos

o o

d. 6cos105osin15o_e.

4cos217 5, ocos ,7 5o f. 1

2sin15 sin45

o o

2. Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus, lalu sederhanakan dari :

a.

cos(

x



) cos(

x



)

b. 4 1  

2 1 2

1 2

1 2 sin( x y) sin( x y)

c. 1₂sin(x2) cos(x2)

3. Buktikan :

a. x x ) cos2x

4 cos( ) 4 cos(

2   

b. sin , cos ,

cos cos

52 5 7 5

75 15 2 3

o o

o o  

c. 2 sin 4a sin 3a + 2 cos 5a cos 2a - cos 3a = cos a

4. Tunjukkan bahwa 8sin20.sin40.sin80  3

5. Hitunglah ₈_sin₇₀_sin₅₀_sin₁₀

(7)

x

4. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS

2 sin cosa b ...

Contoh 2: Nyatakan dalam bentuk perkalian dari sin 3x + sin x

Jawab : sin 3x + sin x = ....

2. Nyatakan sebagai bentuk perkalian !

(8)

4. Buktikan x y _xx y_y

cos cos

) ( sin tan

tan   