Rumus Sudut Ganda dan Sudut Rangkap Tiga

(1)

Rumus Sudut Ganda dan Sudut Rangkap Tiga 1. sin 2α=2.sinα . cosα

2.

cos 2 α = cos

²

α − sin

²

α = 2. cos

²

α − 1 = 1 − 2. sin

²

α

3.

tan 2 α = 2 tanα

1−tan

²

α

4.

sin 3 α =3. sinα −4. sin

³

α

5.

cos 3 α = 4. cos

³

α − 3. cosα

6.

tan 3 α = 3.tanα − tan

³

α

1−3. tan

²

α

Bukti :

1. Dari rumus

sin ( α + β )= sinα . cosβ + cosα . sinβ

Maka jika diambil

β=α

diperoleh

sin ( α + α )= sinα . cosα + cosα . sinα

sin 2α=sinα . cosα+sin. cosα

sin 2=2. sin. cosα 2. Dari rumus

cos ( α + β )= cosα . cosβ −sinα . sinβ

Maka jika diambil

β=α

diperoleh

cos ( α + α )=cosα . cosα− sinα . sinα cos 2 α =cos

²

α −sin

²

α

…….. terbukti

Dari rumus identitas

sin

²

α + cos

²

α =1

maka diperoleh bahwa

sin

²

α =1−cos

²

α

Sehingga cos 2α=cos²α−sin²α berubah menjadi

cos 2 α = cos

²

α −( 1 − cos

²

α )

Atau

cos 2 α =cos

²

α −1+ cos

²

α )=2. cos

²

α −1

……..terbukti

Dari rumus identitas

sin

²

α + cos

²

α =1

maka diperoleh bahwa

cos

²

α =1−sin

²

α

Sehingga cos 2α=cos²α−sin²α berubah menjadi

cos 2 α =( 1−sin

²

α )−sin

²

α

Atau

cos 2 α =1−sin

²

α −sin

²

α =1−2. sin

²

α

……..terbukti

3. Dari rumus

tan ( α + β )= tanα + tanβ 1 1−tanα .tanβ

Maka jika diambil

β=α

diperoleh

tan ( α + α )= tanα + tanα

1−tanα .tanα = 2. tanα

1−tan

²

α

^{……terbukti} 4.

sin 3 α = sin ( 2 α + α )= sin 2 α . cosα + cos 2 α . sinα

sin 3α=2.sinα . cosα . cosα+

(

1−2. sin²α

)

sin 3α=2.sinα .cos²α+

(

1−2. sin²α

)

. sinα sin 3α=2.sinα

(

¹−sin²α

)

+sinα−2. sin³α sin 3α=2.sinα−2. sin³α+sinα−2. sin³α sin 3α=3. sin−4. sin³α …….. terbukti

5.

cos 3 α =cos (2 α + α )=cos 2 α . cosα −sin 2 α . sinα cos 3 α = ( 2. cos

²

α −1 ) . cosα −2. sinα . cosα . sinα cos 3 α = 2. cos

³

α − cosα − 2. sin

²

α . cosα

cos 3 α =2. cos

³

α −cosα −2. ( 1−cos

²

α ) . cosα

cos 3 α = 2. cos

³

α − cosα − 2. cosα + 2. cos

³

α

cos 3 α = 4. cos

³

α − 3. cosα

……terbukti

(2)

6.

tan 3 α = tan ( 2 α + α )= tan 2 α + tanα 1− tan 2 α .tanα tan 3 α =

2. tan 2 α 1−tan

²

α + tanα 1 − 2. tan 2 α

1 − tan

²

α .tanα tan 3 α =

2.tanα

1−tan

²

α + tanα ( 1− tan

²

α ) 1− tan

²

α 1 − tan

²

α

1 − tan

²

α − 2. tan

³

α 1 − tan

²

α

tan 3 α = 2.tanα + tanα − tan

³

α 1 − tan

²

α − 2. tan

²

α tan 3 α = 3.tanα − tan

³

α

1−3. tan

²

α

……terbukti Contoh : Diketahui bahwa

sinA = 3

5 ; 0

^o

≪ A ≪ 90

^o, tentukan nilai dari :

a. sin 2A d. sin 2A

b. cos 2A e. cos 3A

c. tan 2A f. tan 3A

Jawab :

sinA = 3

5

maka diperoleh

cos A= 4

5

^dan

tan A = 3 4

a.

sin 2 A = 2. sinA . cosA = 2. 3 5 . 4

5 = 24 25

b.

cos 2 A =cos

²

A−sin

²

A = ( 4 5 )

²

− ( 3 5 )

²

= 16 25 − 25 9 = 25 7

c.

tan 2 A = 2.tanA 1 − tan

²

A =

2. 3 4 1 − ( 3 4 )

²

=

6 4 1− 9

16

= 6 4 7 16

= 6 4 . 16

7 = 24 7

d.

sin 3 A = 3. sinA − 4. sin

³

A = 3. 3

5 − 4. ( 3 5 )

³

= 9 5 − 108 125 = 225−108 125 = 117 125

e.

cos 3 A = 4. cos

³

A − 3. cosA = 4. ( 4 5 )

³

− 3. 4 5 = 4. 125 64 − 12 5 = 256 125 − 300 125 =− 125 44

f.

tan 3 A = 3.tanA −tan

³

A 1−3. tan

²

A =

3. 3 4 − ( 3 4 )

³

1 − 3. ( 3 4 )

²

=

9 4 − 27

64 1− 27 16

=

144 − 27 64 16−27

16

= 117

16

−11 16

=− 117 11

Soal Latihan :

(3)

1. Jika diketahui bahwa

cosA = 51

3 ; A sudut lancip

, maka tentukan nilai dari :

a. Sin 2A d. tan 3A

b. Cos 2A e. cos 3A

c. Tan 2A f. sin 3A

2. Buktikan bahwa : a.

1 − cos 4 A

sin 4 A = 2. tanx 1−tan

²

A

b.

1 − cos 2 A

1+ cos 2 A = tan

²

A

c.

1 + sin 2 A − cos 2 A

1+ sin 2 A + cos 2 A =tanA

3. Tentukan nilai dari :

a.

2. sin 67 1 2

o

.

cos

67 1 2

o

b.

2. cos

²

105

^o

−1

c.

2. tan 157 1 2

o

1− tan

²

67 1 2

o

4. Jika diketahui bahwa

cos 1

2 A = √ x+ 2 x 1

, maka tentukan nilai dari sin A ! Dikerjakan secara kelompok dan dikumpulkan hari SELASA, 2 Agustus 2022